P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
52
BIR VAQTLI AVTOREGRESSIYA MODE
PARAMETRLARNI BAHOLARI UCHUN LIMIT TEOREMALAR
Mirzayev Toxirjon Saloxetdinovich,
Namangan davlat pedagogika instituti,
Email: tsmirzayev@mail.ru,
Tojiboyeva Tursunxon Shuxratbek qizi
Matematika 1 kurs magistr
Annotatsiya:
Ushbu maqolada bir vaqtli avtoregressiya modeli uchun
oddiyroq limit taqsimotga ega.
Bir vaqtli avtoregressiya modeli, limit teorema, viner jarayoni, eng
kichik kvadratlar usuli, normal taqsimot qonuni.
Email: tsmirzayev@mail.ru,
LIMIT THEOREMS FOR ESTIMATORS OF UNKNOWN PARAMETERS
IN SIMULTANEOUS AUTOREGRESSIVE MODELS
Mirzayev Toxirjon Saloxetdinovich,
Namangan state pedagogical institute,
Email: tsmirzayev@mail.ru,
Annotation: This article proposes new parameter estimation methods for the
simultaneous autoregressive model. The proposed estimators have a simpler asymptotic
distribution compared to the traditional estimators obtained by the least squares method.
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
53
Keywords: Simultaneous autoregressive model, limit theorem, Wiener process,
least squares method, normal distribution law.
uchun nostandart bahol
Bir vaqtli avtoregressiya modeli deb quyidagi
( )
( )
1
1
( )
( )
( )
0
,
1, 2,...,
1,
;
,
lg
,
n
n
k
k
k
n
k
n
n
n
X
X
k
n
X
X
X
beri
an tasodifiy miqdor
(1)
modelga aytiladi (q. [1]), bunda
,
1,2,...,
1
k
k
n
matemati
miqdorlar.
1 2,
1 2 va portlash
tipiga mansub agar
1 2
lsa.
Yuqorida keltirilgan model uchun eng kichik kvadratlar usulida qurilgan baho
1
1
1
1
2
1
1
1
1
.
(
n
n
n
n
k
k
k
k
n
n
n
n
k
k
k
X
X
X
X
X
Bu baho uchun limit taqsimotni topish uchun
n
k
X
tasodifiy miqdorlarni
1
1
,...,
n
miqdorlar orqali ifodalash lozim.
Teorema [1].
Agar
1 2, u holda
( )
( )
( )
0
1
1
1
k
k
n
n
n
k
n
k
k
X
X
X
n
n
1
1
1
2 1
1
2
1
.
k
n
k l
k l
l
l
l
l k
k
k
l
n l
n
n
(2)
Kritik tipda bir vaqtli avtoregressiya modeli uchun yuqoridagi bahoning limit taqsimoti
uchun quyidagi li
Teorema [1].
Agar
,
k
k
N
tasodifiy miqdorlar
2
1
1
0,
1
E
E
va
8
1
,
E
1 2
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
54
1
2
0
1
2
0
,
2
(
t
t
n
t
dw
n
dt
bu yerda
[0,1]
t t
w
standart viner jarayoni va
1
0
2 1
2
1
,
[0,1].
t
t
s
s
t
t
sdw
t
s dw
t
1 2
kichik kvadratlar usulida qurilgan baho murakkab limit taqsimotga ega ( q. [1], [2],[3]),
va
1 2
1 2 va
1 2, hollarda soddaroq strukturaga
1 2 va
1 2, tiplar uchun nostandart baholarni alohida-
1-hol.
1 2
k
1
dan
n-1
1
1
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
X
X
X
yoki qisqacha ko rinishda
.
n
n
n
X
Y
Z
(3)
Navbatda (3) tenglamada
,
n
Z
miqdorni hisobga olmagan holda yechimini topamiz va
quyidagi bahoga ega bo lamiz
n
n
n
X
Y
.
Enda (3) dan foydalanib chegirmani topamiz
n
n
n
Z Y
.
(4)
2-hol.
1 2
1
k
k
1
dan
n-1
1
1
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
k
k
k
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
X
X
X
yoki qisqacha ko rinishda
.
n
n
n
X
Y
Z
%
%
%
(5)
Navbatda (4) tenglamada
,
n
Z
% miqdorni hisobga olmagan holda yechimini topib
nostandart bahoga va bu baho uchun quyidagi chegirmaga ega bo lamiz
n
n
n
Z
Y
% %
%
.
(6)
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
55
0
0
n
n
n
X
X
tanishib chiqamiz.
Teorema A.
,
1,2,...,
1
k
k
n
miqdorlar matematik kutilmasi nol va
dispersiyasi birga teng bo lgan bog liqsiz bir hil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo lib
1. Agar
1 2
n
2
1
2
;
n
n
2. Agar
1 2
n
2
1
2
n
n
%
,
bunda
2
2 15,
1
1
,
matematik kutilmasi nol va kovariasion matrisasi
1
5 24
5 24
1
Yuqoridagi teoremaga o
1
( )
,
2
n
n
ham nostandart baholar uchun asimptotik limit taqsimotlarini topish mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Baran. S., Pap. G. Asymptotic inference for a one-dimensional simultaneous
autoregressive model // Metrika, 2009. DOI 10.1007/s00184-009-0289-5.
2. Anderson T.V. On asymptotic distributions of estimates of parameters of stochastic
difference Equations // Ann. Math. Statist, 1959. -V.30. -Pp. 676-687.
3. White, J.S. The limiting distribution of the serial correlation coefficient in the explosive
case // Ann. Math. Statist, 1958. -V. 29. -Pp. 1188-1197.
