Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 162
ANIQMAS INTEGRAL VA UNING TADBIQLARI
Xatamova Munira
O’zbekiston Milliy Universiteti “Tabiiy va aniq ” fanlarga ixtisoslashtirilgan
S.H.Sirojiddinov nomli akademik litseymatematika o’qituvchisi
Annotatsiya:
Ushbu maqola aniqmas integralni hisoblashning ba`zi usullari haqida
bo’lib u sakkiz bo’limdan iborat.Har bir bo’limda aniqmas integral hisoblash usullari
tushuntirilgan misollar yechimi bilan berilgan
Kalit so’zlar
: Boshlang’ich funksiya, bo’lakab va belgilan integrallash , ratsional va
irratsional funksiyalarni integrallash, angi o’zgaruvchi kiritish ,trigonometric funksiyalar
boshlang’ich funksiyasi
KIRISH
Hozirgi davrda ta’limni axborot texnologiyalarisiz tasavvur qilib bo‘lmaydi, mana
shu sababli barchamiz «yangi pedagogik texnologiyalar» atamasini ishlata boshladik. Bir
misol, shaxsiy kompyuter ta’limning imkoniyatlarini butunlay o‘zgartirib yubordi. Internet
resurslari ta’lim tizimiga yangi pedagogik texnologiyalarni tadbiq etish bo‘yicha yanada
kattaroq imkoniyatlar yaratib berdi. O‘zbekistonning mustaqilligi sharoitlarida ta’lim
tizimini isloh qilish birinchi navbatda ta’lim va tarbiya tizimiga ilg‘or axborot
texnologiyalarning tatbiq etish bilan bog‘liq.
Barkamol, har tomoonlama rivojlangan shaxsni tarbiyalash muammosi tatizimidan
yosh avloddan faqat milliy madaniyat yutuqlarini emas, balki umuminsoniy dunyo
madaniyati yutuqlarini ham egallab olishga intilishni shakllantirishni talab etadi. Barkamol
shaxsni tarbiyalash g‘oyasi milliy mustaqillikning ustuvor g‘oyalaridan biri hisoblanadi.
Ta’lim sifatini, ma’naviy-g‘oyaviy tarbiyasi darajasini oshirish vazifasi hisoblanadi.
Kadrlar tayyorlash milliy dasturini amalga oshirish so‘zsiz yangi axborot texnologiyalariga
asoslanishi zarur. Ta’lim tizimini rag‘batlantirmay turib, fuqarolik jamiyatini qurib
bo‘lmaydi. Ta’lim tizimi yopiq nuqtai nazarlar, qarashlar statik tizimi emas, bir uzluksiz
jarayondan iborat bo‘lishi kerak. Mustaqil Respublikamizning rivojlanishini kafolatlash
uchun ta’lim tizimi dinamik, mukammal bo‘lishi kerak.
Integral matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u amaliy (tatbiqiy)
masalalarni yechishning kuchli vositalaridan biridir. U tatbiqiy masalaning matematik
modeli bo‘lib xizmat qiladi. Shuning uchun ham sodda tenglamalarni yechish, turmushda
uchrab turadigan ba’zi masalalarni yechishda tenglamalardan foydalana olish matematik
madaniyatning muhim ko‘rsatkichi bo‘lib xizmat qiladi. Shu sababali ham maktab,
akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika kurslarida tenglamalar mavzusi uzviy
o‘rganiladi. Bunda o‘quvchilar chiziqli, kvadrat tenglamalarni, ularga keltiriladigan
tenglamalarni, ratsional tenglamalarni, sodda irratsional tenglamalarni, trigonometrik,
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 163
ko‘rsatkichli, logarifmik tenglamalarni o‘rganadi. Aniq fanlar yo‘nalishidagi akademik
litseylarda aniq integralni hisoblash o‘rganiladi.
Maqolaning maqsadi va vazifalari: Maqolaning
maqsadi
aniq integralni hisoblash
va uning turli masalarda qo’llanilishini o‘rganishdan iborat. Maqolaning nazariy va
amaliy ahamiyati:
Integrallar xilma-xil bo‘lgani singari, uni yechish usullari ham turlichadir. Aniq
integrallarni qaysidir ma’noda “standartlashdirish”, ya’ni ularni yechish usullari bo‘yicha
klassifikatsiyalash, yechish usulini ilmiy asoslash matematikaning vazifalaridan biridir.
Ushbu ishning amaliy ahamiyati shundan iboratki, bunda aniq integral ma’lum turlarga
klassifikatsiyalangan, ularni yechish usullari ko‘rsatilgan. Ushbu ishda olingan natijalar
aniq fanlar yo‘nalishidagi akademik litseylarning matematika ta’limi jarayonida,
matematikaga qiziquvchi o‘quvchilarga sinfdan tashqari ishlarni tashkillashtirishda
foydalanishi mumkin.Bundan tashqari OTMga kirish imtihonlarida , olimpiada
masalalarida ham ushbu ishdan foydalanish mumkin.
1-§. Boshlang’ich funktsiya va aniqmas integral
Fan va texnikaning ko’p masalalarida funktsiya hosilasini bilgan holda, o’zini tiklash
zaruriyati uchraydi. Masalan, 7-bobning 1-§ ida harakatning berilgan
𝑠 = 𝑓(𝑡)
tenglamasini
differentsiallab, nuqtaning
𝜗 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
tezligini va yana bir marotaba differentsiallab, nuqtaning
tezlanishini topish mumkinligini ko’rgan edik. Aslida, teskari masalani yechishga to’g’ri
keladi, ya’ni berilgan
𝑎 = 𝑎(𝑡)
funktsiya uchun shunday
𝜗 = 𝜗(𝑡)
funktsiyani tiklash
kerakki,
𝑎 = 𝑎(𝑡)
bu funktsiya uchun hosila vazifasini o’tasin va funktsiya uchun shunday
funktsiyani topish kerakki, uning hosilasi
𝜗 = 𝜗(𝑡)
bo’lsin. Biz bu bobni shu masalaga
bag’ishlaymiz.
1-ta’rif.
Agar
[𝑎, 𝑏]
oraliqning barcha nuqtalari uchun
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
munosabat o’rinli
bo’lsa,
𝐹(𝑥)
[𝑎, 𝑏]
oraliqda
𝑦 = 𝑓(𝑥)
funktsiyaning boshlang’ich
1
funktsiyasi, deyiladi
.
1-
misol
.
𝑓(𝑥) = 2𝑥
funktsiya uchun ta’rifga ko’ra
𝐹(𝑥) = 𝑥
2
boshlang’ich funktsiya
bo’ladi, chunki
(х
2
)′ = 2х
.
2-
misol
.
𝑓(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
funktsiyaga
𝐹(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥
boshlang’ich funktsiya bo’ladi, chunki
(𝑡𝑔𝑥)′ =
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
.
Har bir funktsiyaning, agar mavjud bo’lsa, boshlang’ich funktsiyasi yagona emas (7-
bob, 1-§ dagi teorema natijasiga qarang), ya’ni boshlang’ich funktsiyalar o’zgarmasga farq
qiladi. Masalan,
𝑥
2
+ 𝐶
har qanday
𝐶
o’zgarmas son uchun
𝑓(𝑥) = 2𝑥
funktsiyaning
boshlang’ich funktsiyasi bo’ladi, chunki
(𝑥
2
+ 𝐶)′ = 2𝑥
.
2-ta’rif.
Agar
𝐹(𝑥)
funktsiya
𝑓(𝑥)
ning boshlang’ichi bo’lsa,
𝐹(𝑥) + С
ifoda
𝑓(𝑥)
funktsiyaning aniqmas integrali deb atalib,
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
ko’rinishda belgilanadi.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 164
Demak, ta’rifga ko’ra, agar
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
bo’lsa
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
bo’lar ekan. Bu yerda,
𝑓(𝑥)
integral ostidagi funktsiya,
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
integral ostidagi ifoda va
— integral belgisi, deb ataladi.
belgi birinchi marotaba Leybnitsning 1686 yilda chop ettirgan «Chuqur geometriya va
bo’linmaslar tahlili hamda cheksizlik» memuarida uchraydi. Leybnits va Nyutonning
o’sha davrdagi xatlaridan ma’lum bo’lishicha, integral tushunchasi Nyutonga ham ma’lum
bo’lgan. Leybnits o’z memuarida
belgi ostidagi
𝑑𝑥
ifodaning zarurligi haqida ham gapirib
o’tgan. Lekin «integral» atamasini birinchi marotaba aka-uka Bernullilar ishlatgan.
Geometrik nuqtai nazardan aniqmas integral egri chiziqni
Оу
o’q bo’ylab parallel surish
natijasida hosil bo’ladigan egri chiziqlar oilasini tasvirlaydi.
Har qanday funktsiya uchun boshlang’ich funktsiya mavjudmi, degan tabiiy savol
tug’iladi. Boshlang’ich funktsiyalar faqat berilgan oraliqda uzluksiz bo’lgan funktsiyalar
uchungina mavjuddir. Demak, aniqmas integral uzluksiz funktsiyalar uchun mavjud ekan.
Buni biz keyingi bobda isbotlaymiz.
Berilgan
𝑓(𝑥)
funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasini topish jarayoni
𝑓(𝑥)
funktsiyani integrallash, deb ataladi.
Aniqmas integral ta’rifidan bevosita quyidagilar kelib chiqadi:
1. Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funktsiyaga teng, ya’ni agar
𝐹′(𝑥) =
𝑓(𝑥)
bo’lsa, u holda
(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥)′ = 𝑓(𝑥)
. (1)
2. Aniqmas integralning differentsiali integral ostidagi ifodaga teng, ya’ni
𝑑(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
. (2)
3. Biror funktsiya differentsialining aniqmas integrali shu funktsiya bilan o’zgarmasning
yig’indisiga teng:
∫ 𝑑𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
. (3)
Hosilalar jadvali va aniqmas integral ta’rifidan foydalanib, integrallar jadvalini tuzib
olish mumkin:
1.
∫ 𝑥
𝑛
𝑑𝑥
=
x
n
C
n
1
1
(
C
=const, n
–1)
2.
1
x
dx
x
C
ln
3.
a dx
a
a
C
x
x
ln
(
a
>0)
4.
∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒
𝑥
+ 𝐶
5.
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
6.
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶
7.
∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
=tg
𝑥 + 𝐶
8.
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
=-ctg
𝑥 + 𝐶
9.
∫
tg
𝑥𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠 𝑥| + 𝐶
10.
∫
ctg
𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑠𝑖𝑛 𝑥| + 𝐶
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 165
Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega:
1
0
.
Agar
А
— o’zgarmas son,
С
— biror o’zgarmas bo’lsa, u holda
∫ 𝐴𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
bo’ladi, ya’ni o’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin.
2
0
.
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪
.
Haqiqatan, agar tenglikni o’ng tomonini differentsiallasak:
(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥)
′
= (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥)
′
± (∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥)
′
= 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)
.
Demak, tenglikni chap va o’ng tomonlari
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)
ifodaning boshlang’ich
funktsiyalari ekan, shu sababli ular o’zgarmasga farq qiladi.
3
0
.
Agar
𝐹(𝑥)
funktsiya
𝑓(𝑥)
ning boshlang’ichi bo’lsa, u holda
∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
bo’ladi.
Bu xossa ham yuqoridagidek, differentsiallab isbot qilinadi.
Misol
.
(
)(
)
x
x
x
dx
2
2
2
3
1
2
integralni hisoblang.
Yechish.
∫
(𝑥
2
+ 1)(𝑥
2
− 2)
√𝑥
2
3
𝑑𝑥 = ∫
𝑥
4
− 2𝑥
2
+ 𝑥2 − 2
𝑥
2/3
𝑑𝑥 = ∫
𝑥
4
− 𝑥
2
− 2
𝑥
2/3
𝑑𝑥 =
= ∫(
𝑥
4
𝑥
2/3
−
𝑥
2
𝑥
2/3
−
2
𝑥
2/3
)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
10/3
𝑑𝑥 − ∫ 𝑥
4/3
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥
−2/3
𝑑𝑥 =
=
𝑥
10/3+1
10/3 + 1
−
𝑥
4/3+1
4/3 + 1
− 2
𝑥
−2/3+1
−2/3 + 1
+ 𝐶 =
3
13
𝑥
13/3
−
3
7
𝑥
7/3
− 6𝑥
1/3
+ 𝐶
Endi olingan javobning to’g’riligini tekshirish uchun undan hosila olib, integral ostidagi
funktsiya bilan taqqoslaymiz:
(
3
13
𝑥
3/13
−
3
7
𝑥
7/3
− 6𝑥
1/3
+ 𝐶)
/
= 𝑥
10/3
− 𝑥
4/3
− 2𝑥
−2/3
=
=
𝑥
4
− 𝑥
2
− 2
𝑥
2/3
=
𝑥
4
− 2𝑥
2
+ 𝑥
2
− 2
√𝑥
2
3
=
𝑥
2
(𝑥
2
− 2) + (𝑥
2
− 2)
√𝑥
2
3
=
=
(𝑥
2
+ 1)(𝑥
2
− 2)
√𝑥
2
3
.
Demak topilgan natija to’g’ri ekan.
2-§. Integrallashning o’rniga qo’yish usuli
Faraz qilaylik, bizda
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
integralni hisoblash talab qilingan bo’lsin.
Integral ostidagi ifodada
𝑥 = 𝜙(𝑡)
, (1)
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 166
deb o’zgaruvchini almashtiramiz, bu yerda,
𝜙(𝑡)
— teskari funktsiyaga ega, uzluksiz
differentsiallanuvchi uzluksiz funktsiya. U holda, quyidagi tenglik o’rinli:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓[𝜙(𝑡)]𝑑𝜙(𝑡) = ∫ 𝑓[𝜙(𝑡)]𝜙′(𝑡)𝑑𝑡.
(2)
Bu tenglikni isbotlash uchun (2) ni differentsiallaymiz. Chap tomonining hosilasi
(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥)
′
𝑥
= 𝑓(𝑥)
.
o’ng tomonini murakkab funktsiyadan hosila olish qoidasiga ko’ra differentsiallaymiz:
(∫ 𝑓[𝜙(𝑡)]𝜙′(𝑡)𝑑𝑡)
𝑥
′
= (∫ 𝑓[𝜙(𝑡)]𝜙′(𝑡)𝑑𝑡)
𝑡
′
⋅
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
= 𝑓[𝜙(𝑡)]𝜙′(𝑡)
1
𝜙′(𝑡)
= 𝑓[𝜙(𝑡)] = 𝑓(𝑥).
Oxirgi tenglikda (1) ning hosilasi
𝑥′(𝑡) = 𝜙′(𝑡)
va teskari funktsiyaning hosilasini
hisoblash formulasiga ko’ra
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
1
𝜙′(𝑡)
bo’lishidan foydalanildi.
Demak, (2) ning chap va o’ng tomonlaridan alohida-alohida olingan hosilalari o’zaro
teng ekan, ya’ni (2) tenglikning ikkala tomonida turgan ifodalar
𝑓(𝑥)
ning boshlang’ichi
ekan.
Integrallashning bu usulini qo’llashdan maqsad, berilgan integralni soddaroq, yengil
hisoblanadigan integralga olib kelishdan iborat. Ayrim hollarda, bu maqsadga (1) almashtirish
emas, balki
𝑡 = 𝜓(𝑥)
ko’rinishdagi almashtirish tezroq olib keladi. Masalan,
∫
𝜓′(𝑥)𝑑𝑥
𝜓(𝑥)
ko’rinishdagi integralda
𝑡 = 𝜓(𝑥)
desak, u holda
𝑑𝑡 = 𝜓′(𝑥)𝑑𝑥
,
∫
𝜓′(𝑥)𝑑𝑥
𝜓(𝑥)
= ∫
𝑑𝑡
𝑡
= 𝑙𝑛|𝑡| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝜓(𝑥)| + 𝐶
.
bo’ladi.
1-
misol
.
∫
𝑥𝑑𝑥
1+𝑥
2
.
Agar
𝑡 = 1 + 𝑥
2
desak,
𝑑𝑡 = 2𝑥𝑑𝑥
va
∫
𝑥𝑑𝑥
1+𝑥
2
. =
1
2
∫
𝑑𝑡
𝑡
=
1
2
𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 =
1
2
𝑙𝑛(1 + 𝑥
2
) + 𝐶
bo’ladi.
2-
misol
.
∫ 𝑒
𝑥
2
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑒
𝑥
2
2𝑥𝑑𝑥 = (𝑥
2
= 𝑢, 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢) =
=
1
2
∫ 𝑒
𝑢
𝑑𝑢 =
1
2
𝑒
𝑢
+ 𝐶 =
1
2
𝑒
𝑥
2
+ 𝐶
.
3-§. Kvadrat uchhad qatnashgan integrallar
Bunday integrallar asosan quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
1. 𝐽
1
= ∫
𝑑𝑥
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
; 2. 𝐽
2
= ∫
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥;
3. 𝐽
3
= ∫
𝑑𝑥
√𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
; 4. 𝐽
4
= ∫
𝐴𝑥 + 𝐵
√𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥;
5. 𝐽
5
= ∫ √𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐𝑑𝑥.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 167
Bunday integrallarni hisoblash uchun integral ostida qatnashgan uchhaddan to’liq kvadrat
ajratilib, ikkihad kvadratining algebraik yig’indisiga keltiriladi. Natijada hosil bo’lgan ifodani
integrallar jadvali yordamida integrallash mumkin bo’ladi.
Kvadrat uchhaddan to’liq kvadrat quyidagicha ajratiladi:
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥
2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
) = 𝑎[(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
+
𝑐
𝑎
−
𝑏
2
4𝑎
2
] = 𝑎[(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
± 𝑘
2
]
bu yerda,
±𝑘
2
=
4𝑎𝑐−𝑏
2
4𝑎
2
. Bunda plyus yoki minus ishora
ax
2
+bx+s
kvadrat uchhadning
ildizlari haqiqiy yoki kompleks bo’lishiga qarab aniqlanadi, ya’ni
b
2
-4ac
ni ishorasiga
qarab aniqlanadi.
To’liq kvadrat ajratilgandan keyin yuqorida keltirilgan integrallar quyidagi ko’rinishni
oladi:
1. 𝐽
1
= ∫
𝑑𝑥
𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥+𝑐
=
1
𝑎
∫
𝑑𝑥
(𝑥+
𝑏
2𝑎
)
2
±𝑘
2
Bunda
x+b/2a=t, dx=dt
desak,
J
a
dt
t
k
1
2
2
1
bu esa jadvaldagi integraldir.
4-§. Bo’laklab integrallash usuli
Bizga ikkita differentsiallanuvchi
𝑢(𝑥)
va
𝜗(𝑥)
funktsiyalar berilgan bo’lsin. Bu
funktsiyalar ko’paytmasi
𝑢𝜗
ning differentsialini topaylik. Bu differentsial quyidagicha
aniqlanadi:
𝑑(𝑢𝜗) = 𝑢𝑑𝜗 + 𝜗𝑑𝑢
.
Buning ikki tomonini hadma-had integrallab, quyidagini topamiz:
𝑢𝜗 = ∫ 𝑢𝑑𝜗 + ∫ 𝜗𝑑𝑢
yoki
∫ 𝑢𝑑𝜗 = 𝑢𝜗 − ∫ 𝜗𝑑𝑢
.
(1)
Oxirgi topilgan ifoda bo’laklab integrallash formulasi, deyiladi.
Bu formulani qo’llab integral hisoblaganda
∫ 𝑢𝑑 𝜗
ko’rinishdagi integral, ancha sodda
bo’lgan
∫ 𝜗𝑑 и
ko’rinishdagi integralga keltiriladi.
Agar integral ostida
u=lnx
funktsiya yoki ikkita funktsiyaning ko’paytmasi hamda
teskari trigonometrik funktsiyalar qatnashgan bo’lsa, bunda bo’laklab integrallash
formulasi qo’llaniladi. Bu usul bilan integrallaganda yangi o’zgaruvchiga o’tishning xojati
yo’q.
Umuman, aniqmas integralni hisoblaganda topilgan natija yoniga o’zgarmas (
C=const
)
ni qo’shib qo’yish shart. Aks holda, integralning bitta qiymati topilib, qolganlari tashlab
yuborilgan bo’ladi. Bu esa integrallashda xatolikka yo’l qo’yilgan, deb hisoblanadi.
1-
misol
.
∫ 𝑥
arctg
𝑥𝑑𝑥
ni hisoblang.
Yechish
.
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥, 𝑑𝜗 = 𝑥𝑑𝑥 , 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
1+𝑥
2
, 𝜗 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥
2
/2
(bunda
C=0
deb olindi). (1) formulani qo’llaymiz.
∫ 𝑥
arctg
𝑥𝑑𝑥 =
𝑥
2
2
arctg
𝑥 − ∫
𝑥
2
2(1+𝑥
2
)
𝑑𝑥
(*)
∫
𝑥
2
1+𝑥
2
𝑑𝑥
ni alohida hisoblaymiz
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 168
∫
𝑥
2
1 + 𝑥
2
𝑑𝑥 = ∫
1 + 𝑥
2
− 1
1 + 𝑥
2
𝑑𝑥 = ∫(1 −
1
1 + 𝑥
2
)𝑑𝑥 = 𝑥 −
arctg
𝑥 + 𝐶
buni (*) ga qo’yamiz.
∫ 𝑥
arctg
𝑥𝑑𝑥 =
𝑥
2
2
arctg
𝑥 −
𝑥
2
+
1
2
arctg
𝑥 + 𝐶 = −
1
2
+
𝑥
2
+ 1
2
arctg
𝑥 + 𝐶
2-
misol
.
∫ 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
ni hisoblang.
Yechish
. Agar
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥
,
𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝜗
desak,
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
,
𝜗 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥
2
2
bo’ladi. U holda
∫ 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
2
2
𝑙𝑛 𝑥 − ∫
𝑥
2
2
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑥
2
2
𝑙𝑛 𝑥 −
𝑥
2
4
+ 𝐶
.
5-§. Ratsional kasrlarni integrallash
Ikkita algebraik
𝑃
𝑛
(𝑥) = 𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
+ 𝑎
𝑛−1
𝑥
𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
va
𝑄
𝑚
(𝑥) = 𝑏
𝑚
𝑥
𝑚
+
𝑏
𝑚−1
𝑥
𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏
1
𝑥 + 𝑏
0
ko’phadlarning
𝑓(𝑥) =
𝑃
𝑛
(𝑥)
𝑄
𝑚
(𝑥)
(1)
nisbati ratsional funktsiya yoki ratsional kasr, deb ataladi, bu yerda
𝑎
𝑛
, 𝑏
𝑚
≠ 0
,
𝑛 ≥
0, 𝑚 ≥ 1
.Quyidag
𝐴
𝑥−𝑎
,
𝐴
(𝑥−𝑎)
𝑘
(𝑘 ≥ 2)
𝐴𝑥+𝐵
𝑥
2
+𝑝𝑥+𝑞
,
𝐴𝑥+𝐵
(𝑥
2
+𝑝𝑥+𝑞)
𝑘
(𝑘 ≥ 2),
(2)
ko’rinishdagi ratsional funktsiyalar eng sodda ratsional kasrlar, deb ataladi, bu yerda,
𝐴, 𝐵, 𝑎, 𝑝, 𝑞
– o’zgarmas sonlar,
𝑘
— natural son,
𝑥
2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞
kvadrat uchhad haqiqiy
ildizlarga ega emas, ya’ni
𝑝
2
4
− 𝑞 < 0
.
Uchinchi va to’rtinchi ko’rinishdagi ratsional funktsiyalarni integrallashni 3-§ da
ko’rgan edik. Avvalgi ikkita kasrning integrali esa quyidagicha bo’ladi:
𝐴 ∫
𝑑𝑥
𝑥−𝑎
= 𝐴 𝑙𝑛|𝑥 − 𝑎| + 𝐶
,
𝐴 ∫
𝑑𝑥
(𝑥−𝑎)
𝑘
= −
𝐴
𝑘−1
⋅
1
(𝑥−𝑎)
𝑘−1
+ 𝐶
.
Agar (1) ratsional kasrning suratida turgan ko’phadni darajasi
𝑛
maxrajda turgan
ko’phadning darajasi
𝑚
dan kichik bo’lsa, (1) ni to’g’ri kasr, aks holda noto’g’ri kasr, deymiz.
Agar (1) noto’g’ri kasr bo’lsa, ko’phadni ko’phadga bo’lish qoidasiga ko’ra bo’lib, uni
𝑓(𝑥) =
ko’phad
+
𝑃
𝑛1
(𝑥)
𝑄
𝑚1
(𝑥)
(𝑛
1
< 𝑚
1
)
ko’rinishga keltirish mumkin. Ko’phadni integrallashni avvalgi paragraflarda ko’rdik.
Demak, har qanday ratsional funktsiyani integrallashdagi asosiy qiyinchilik to’g’ri kasrni
integrallashga keltirilar ekan. Ixtiyoriy to’g’ri kasrni integrallash quyidagi teoremaga
asoslanadi.
Teorema.
Agar haqiqiy to’g’ri (1) kasrning mahraji
s
r
l
s
s
l
k
r
k
m
m
q
x
p
x
q
x
p
x
c
x
c
x
b
x
Q
2
1
1
2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
ko’rinishda ko’paytuvchilarga ajralsa, u holda (1) yagona ravishda quyidagi:
𝑃
𝑛
(𝑥)
𝑄
𝑚
(𝑥)
=
1
,
1
1
1
2
,
1
1
1
,
1
1
1
1
)
(
)
(
c
x
A
c
x
A
c
x
A
k
k
k
r
k
r
k
r
r
k
r
r
c
x
A
c
x
A
c
x
A
r
r
r
,
1
2
,
1
,
)
(
)
(
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 169
+
𝐵
1,1
𝑥 + 𝐶
1,1
(𝑥
2
+ 𝑝
1
𝑥 + 𝑞
1
)
𝑙
1
+
𝐵
1,2
𝑥 + 𝐶
1,2
(𝑥
2
+ 𝑝
1
𝑥 + 𝑞
1
)
𝑙
1
−1
+ ⋯ +
𝐵
𝑥
1,𝑙
1
+ 𝐶
1,𝑙
1
𝑥
2
+ 𝑝
1
𝑥 + 𝑞
1
+
+
𝐵
𝑠,1
𝑥+𝐶
𝑠,1
(𝑥
2
+𝑝
𝑠
𝑥+𝑞
𝑠
)
𝑙𝑠
+
𝐵
𝑠,2
𝑥+𝐶
𝑠,2
(𝑥
2
+𝑝
𝑠
𝑥+𝑞
𝑠
)
𝑙𝑠−1
+ ⋯ +
𝐵
𝑥
𝑠,𝑙𝑠
+𝐶
𝑠,𝑙𝑠
𝑥
2
+𝑝
𝑠
𝑥+𝑞
𝑠
(3)
ko’rinishda eng sodda kasrlar yig’indisiga yoyiladi.
Demak, bu teoremaga ko’ra har qanday haqiqiy to’g’ri ratsional kasr uchun ko’rsatilgan
indekslari bo’yicha shunday
А, В, С
o ’zgarmas sonlar topiladiki, (2) munosabat
x
ning
с
1
, с
2
, ⥂ ⋯ , с
𝑟
qiymatlaridan boshqa barcha qiymatlari uchun bajariladi.
Bu koeffitsientlarni aniqlash uchun odatda noaniq koeffitsientlar usuli qo’llaniladi. Bu
usulni birinchi marotaba I. Bernulli qo’llagan.
Bu usulni quyidagi kasr misolida ko’rsatamiz:
2𝑥
2
+2𝑥+13
(𝑥−2)(𝑥
2
+1)
2
=
𝐴
𝑥−2
+
𝐵𝑥+𝐶
𝑥
2
+1
+
𝐷𝑥+𝐸
(𝑥
2
+1)
2
.
Tenglikning o’ng tarafini umumiy maxrajga keltirib, suratlarini tenglasak:
2𝑥
2
+ 2𝑥 + 13 = 𝐴(𝑥
2
+ 1)
2
+ (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥
2
+ 1)(𝑥 − 2) + (𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥 − 2)
. (4)
tenglikning o’ng tomonini ixchamlab, tenglikning ikkala tomonidagi
x
ning bir xil
darajalari oldidagi koeffitsientlarni tenglab, quyidagi sistemani hosil qilamiz:
𝑥
4
:
𝐴 + 𝐵 = 0
,
𝑥
3
:
−2𝐵 + 𝐶 = 0
𝑥
2
:
2𝐴 + 𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 = 2
,
𝑥:
−2𝐵 + 𝐶 − 2𝐷 + 𝐸 = 2
𝑥
0
:
𝐴 − 2𝐶 − 2𝐸 = 13
, bundan
𝐴 = 1
,
𝐵 = −1
,
𝐶 = −2
,
𝐷 = −3
,
𝐸 = −4
.
Demak
2𝑥
2
+2𝑥+13
(𝑥−2)(𝑥
2
+1)
2
=
1
𝑥−2
−
𝑥+2
𝑥
2
+1
−
3𝑥+4
(𝑥
2
+1)
2
.
Xuddi shu natijaga
x
ning o’rniga ketma-ket
–1,0,1,
2 va
–2
qiymatlarni qo’yib kelsa ham
bo’ladi. Bunda noma’lum koeffitsientlarni topish uchun quyidagi sistema hosil bo’ladi
{
25𝐴 = 25,
𝐴 − 2𝐶 − 2𝐸 = 13,
4𝐴 + 6(𝐵 − 𝐶) + 3(𝐷 − 𝐸) = 13,
4𝐴 − 2(𝐵 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐸) = 17,
25𝐴 + 20(2𝐵 − 𝐶) + 4(2𝐷 − 𝐸) = 17.
(2) dagi qo’shiluvchi kasrlarning integralini eslasak, quyidagi xulosaga kelamiz:
Har qanday ratsional funktsiyaning integrali ratsional funktsiya, logarifmik va
arktangens funktsiyalar orqali ifodalanadi.
Ko’rgazma sifatida yuqoridagi misolga qaytamiz:
∫
2𝑥
2
+ 2𝑥 + 13
(𝑥 − 2)(𝑥
2
+ 1)
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑥 − 2
− ∫
𝑥 + 2
𝑥
2
+ 1
𝑑𝑥 − ∫
3𝑥 + 4
(𝑥
2
+ 1)
2
𝑑𝑥 =
=
1
2
3−4𝑥
𝑥
2
+1
+
1
2
𝑙𝑛
(𝑥−2)
2
𝑥
2
+1
− 4
arctg
𝑥 + 𝐶
.
6-§. Irratsional funktsiyalarni integrallash
Bu paragrafda biz ratsional bo’lmagan funktsiyalarni o’zgaruvchini almashtirish usuli
yordamida qanday qilib ratsional ifodaga olib kelish yo’llarini, va nihoyat noratsional
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 170
funktsiyalarning integrallarini almashtirish natijasida hosil bo’lgan ratsional ifodalarga 5-§ da
berilgan usullarni qo’llab hisoblashni ko’ramiz. Bu — jarayonni ratsionallashtirish usuli,
deyiladi.
1.
∫ 𝑅 (𝑥, √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑚
) 𝑑𝑥
, bu yerda
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
-o’zgarmas sonlar,
𝑚
-natural son,
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠
0
,
𝑅(𝑥, 𝑦)
- o’z argumentlariga nisbatan ratsional ifoda.
Berilgan integralni
𝑡 = √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑚
almashtirish ratsionallashtiradi. Haqiqatan
𝑡
𝑚
=
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
.
Bundan
𝑥 =
𝑏−𝑑𝑡
𝑚
𝑐𝑡
𝑚
−𝑎
,
𝑑𝑥 =
𝑚𝑡
𝑚−1
(𝑎𝑑−𝑏𝑐)
(𝑐𝑡
𝑚
−𝑎)
2
𝑑𝑡
.
U holda
∫ 𝑅 (𝑥, √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑚
) 𝑑𝑥
=
∫ 𝑅 (
𝑏−𝑑𝑡
𝑚
𝑐𝑡
𝑚
−𝑎
, 𝑡)
𝑚𝑡
𝑚−1
(𝑎𝑑−𝑏𝑐)
(𝑐𝑡
𝑚
−𝑎)
2
𝑑𝑡 = ∫ 𝑅
1
(𝑡)𝑑𝑡
,
bu yerda
𝑅
1
(𝑡)
–
𝑡
ning ratsional funktsiyasi.
1-
misol
.
∫
𝑑𝑥
√(𝑥−1)(𝑥+1)
2
3
= ∫ √
𝑥+1
𝑥−1
3
𝑑𝑥
𝑥+1
.
Yechish
. Agar
𝑡 = √
𝑥+1
𝑥−1
3
desak,
𝑥 =
𝑡
3
+1
𝑡
3
−1
,
𝑑𝑥 = −
6𝑡
2
𝑑𝑡
(𝑡
2
−1)
2
bo’ladi. U holda
∫ √
𝑥+1
𝑥−1
3
𝑑𝑥
𝑥+1
= ∫
−3𝑑𝑡
𝑡
3
−1
= ∫ (−
1
𝑡−1
+
𝑡+2
𝑡
2
+𝑡+1
) 𝑑𝑡 = =
1
2
𝑙𝑛
𝑡
2
+𝑡+1
(𝑡−1)
2
+ √3
arctg
2𝑡+1
√3
+ 𝐶
.
Integral ostidagi kvadrat uchhad tabiiy karrali ildizga ega emas, chunki aks holda
integral ostidagi ifoda ratsional ifodaga aylanib qoladi. Agar u haqiqiy har xil
х
1
, х
2
ildizlarga ega bo’lsa, u holda
√𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = √𝑎(𝑥 − 𝑥
1
)(𝑥 − 𝑥
2
) = (𝑥 −
𝑥
1
)√а
𝑥−𝑥
2
𝑥−𝑥
1
deb, berilgan integral yuqorida ko’rilgan 1-tur integralga keltiriladi.
Endi, faraz qilaylik, kvadrat uchhad haqiqiy ildizlarga ega emas va
𝑎 > 0
bo’lsin. U
holda berilgan integralni Eylerning 1-almashtirishi, deb ataluvchi
√𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡 − √𝑎 ⋅ 𝑥
almashtirish ratsionallashtiradi. Haqiqatan, agar bu tenglikni kvadratga ko’tarib
ixchamlasak,
𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡
2
− 2√𝑎 ⋅ 𝑡𝑥
va bundan
𝑥 =
𝑡
2
−𝑐
2√𝑎𝑡+𝑏
,
√𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 =
√𝑎𝑡
2
+𝑏𝑡+𝑐√𝑎
2√𝑎𝑡+𝑏
𝑑𝑥 = 2
√𝑎𝑡
2
+𝑏𝑡+𝑐√𝑎
(2√𝑎𝑡+𝑏)
2
𝑑𝑡
.
Bularni berilgan integralga olib borib qo’ysak, integral ostidagi funktsiya
𝑡
ning
ratsional funktsiyasiga aylanadi.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 171
7-§. Trigonometrik funktsiyalarni o’z ichiga olgan ayrim ifodalarni integrallash
Biz shu paytgacha faqat algebraik (ratsional va irratsional) funktsiyalarni integrallashni
ko’rgan bo’lsak, bu paragrafda noalgebraik funktsiyalarni, shu jumladan, trigonometrik
funktsiyalar qatnashgan ifodalarni integrallashni ko’ramiz.
Bizga
∫ 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑑𝑥
(1)
integral berilgan bo’lsin, bu yerda
𝑅(𝑥, 𝑦)
– o’z argumentlariga nisbatan ratsional
funktsiya.
Trigonometriyadan ma’lumki,
𝑠𝑖𝑛 𝑥 =
2𝑡𝑔
𝑥
2
1+𝑡𝑔
2𝑥
2
,
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1−𝑡𝑔
2𝑥
2
1+𝑡𝑔
2𝑥
2
.
Shu sababli, (1) ni
𝑡 = 𝑡𝑔
𝑥
2
(2)
almashtirish ratsionallashtiradi. Haqiqatan, (2) dan
𝑥 = 2
arctg
𝑡
,
𝑑𝑥 =
2𝑑𝑡
1+𝑡
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 =
2𝑡
1+𝑡
2
,
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1−𝑡
2
1+𝑡
2
.
Bularni (1) ga qo’ysak:
∫ 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑅 (
2𝑡
1+𝑡
2
,
1−𝑡
2
1+𝑡
2
)
2𝑑𝑡
1+𝑡
2
= ∫ 𝑅
1
(𝑡)𝑑𝑡
.
1-
misol
.
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
integralni hisoblang.
Yechish:
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
= ∫
2𝑑𝑡
1+𝑡2
2𝑡
1+𝑡2
= ∫
𝑑𝑡
𝑡
= 𝑙𝑛|𝑡| + 𝐶 = 𝑙𝑛 |𝑡𝑔
𝑥
2
| + 𝐶
.
Yuqorida keltirilgan (2) almashtirish universal almashtirish, deb ataladi. Bu usul ayrim
hollarda murakkab ratsional funktsiyalarga olib keladi, shuning uchun bu usul bilan bir qatorda
maqsadga tezroq olib keluvchi almashtirishlar ham ishlatiladi. Shulardan ayrimlarini ko’rib
chiqaylik. Avval izohlash jarayonida zarur bo’ladigan bir nechta tushunchalarni kiritib olaylik.
Agar
𝑅(−𝑥, 𝑦) = 𝑅(𝑥, 𝑦)
(
𝑅(𝑥, −𝑦) = 𝑅(𝑥, 𝑦)
) bo’lsa,
𝑅(𝑥, 𝑦)
funktsiya
х
ga (
у
ga)
nisbatan juft deyiladi, agar
𝑅(−𝑥, 𝑦) =
-
𝑅(𝑥, 𝑦)
(
𝑅(𝑥, −𝑦) =
-
𝑅(𝑥, 𝑦)
) bo’lsa,
𝑅(𝑥, 𝑦)
funktsiya
х
ga (
у
ga) nisbatan toq, deyiladi.
mkin.
Agar
𝑅(𝑢, 𝜗)
𝑢
ga nisbatan toq bo’lsa, uni
𝑅(𝑢, 𝜗)
=
𝑅
2
(𝑢
2
, 𝜗) ⋅ 𝑢
ko’rinishga keltirsa bo’ladi.
1.
Agar
𝑅(𝑢, 𝜗)
𝑢
ga nisbatan toq bo’lsa, u holda
∫ 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑅
2
(𝑠𝑖𝑛
2
𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
= − ∫ 𝑅
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠
2
𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑥
bo’ladi va demak,
𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
almashtirish ratsional funktsiyaning integraliga olib keladi.
2-
misol
.
∫
𝑠𝑖𝑛
3
𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
𝑑𝑥 = − ∫
1−𝑡
2
𝑡
2
𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 − ∫
𝑑𝑡
𝑡
2
= = 𝑡 +
1
𝑡
+ 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
+ 𝐶
.
2.
Agar
𝑅(𝑢, 𝜗)
𝜗
ga nisbatan toq bo’lsa, u holda
∫ 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑅
0
(𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠
2
𝑥)
соs
𝑥𝑑𝑥 =
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 172
= ∫ 𝑅
0
(𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 1 − 𝑠𝑖𝑛
2
𝑥)𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝑥
bo’ladi va demak,
𝑡 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥
almashtirish bilan maqsadga yetishamiz.
. Bundan berilgan integralni
𝑡 = 𝑡𝑔𝑥
almashtirish ratsionallashtirishi kelib chiqadi.
4.
𝑱
𝟏
= ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒎 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝒙𝒅𝒙
,
𝑱
𝟐
= ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒎 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝒙𝒅𝒙
va
𝑱
𝟑
=
∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒎 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒏 𝒙𝒅𝒙
ko’rinishdagi integrallar quyidagi formulalar yordamida
hisoblanadi:
𝑐𝑜𝑠 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 =
1
2
[𝑐𝑜𝑠( 𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠( 𝑚 − 𝑛)𝑥]
,
𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 =
1
2
[𝑠𝑖𝑛( 𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑠𝑖𝑛( 𝑚 − 𝑛)𝑥]
,
𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑥 =
1
2
[− 𝑐𝑜𝑠( 𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠( 𝑚 − 𝑛)𝑥]
.
Bularni berilgan integrallarga mos ravishda qo’yib hisoblaymiz:
𝐽
1
=
1
2
∫[𝑐𝑜𝑠( 𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠( 𝑚 − 𝑛)𝑥]𝑑𝑥 =
=
𝑠𝑖𝑛(𝑚+𝑛)𝑥
2(𝑚+𝑛)
+
𝑠𝑖𝑛(𝑚−𝑛)𝑥
2(𝑚−𝑛)
+ 𝐶
.
O’olgan ikkitasi ham shu kabi hisoblanadi.
5-
misol
.
∫ 𝑠𝑖𝑛 5 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥𝑑𝑥
integralni hisoblang.
Yechish
.
∫ 𝑠𝑖𝑛 5 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∫[− 𝑐𝑜𝑠 8 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥]𝑑𝑥 =
= −
𝑠𝑖𝑛 8𝑥
16
+
𝑠𝑖𝑛 2𝑥
4
+ 𝐶.
.
8-§. Ayrim irratsional funktsiyalarni trigonometrik almashtirishlar yordamida
integrallash
Biz 6-§ da batafsil ko’rgan
∫ 𝑅(𝑥, √𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥
(1)
integralga qaytamiz, bu yerda
𝑎 ≠ 0, 𝑐 −
𝑏
2
4
≠ 0
. Bu paragrafda trigometrik almashtirishlar
yordamida (1) integral
7-
§ da ko’rilgan
∫ 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑧 , 𝑐𝑜𝑠 𝑧)𝑑𝑧
(2)
integral ko’rinishiga qanday qilib keltirilishi ko’riladi.
3-§ da
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
kvadrat uchhad koeffitsientlarning har xil qiymatida
√𝑚
2
𝑡
2
+ 𝑛
2
,
√𝑚
2
𝑡
2
− 𝑛
2
va
√𝑛
2
− 𝑚
2
𝑡
2
ifodalardan biriga keltirilishini ko’rgan edik, shuning uchun
umumiylikni buzmagan holda, (1) integral
∫ 𝑅(𝑡, √𝑚
2
𝑡
2
+ 𝑛
2
)𝑑𝑡
, (3)
∫ 𝑅(𝑡, √𝑚
2
𝑡
2
− 𝑛
2
)𝑑𝑡
, (4)
∫ 𝑅(𝑡, √𝑛
2
− 𝑚
2
𝑡
2
)𝑑𝑡
(5)
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
74-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 173
integrallarning biriga keltirilgan, deb faraz qilamiz.
Agar (3) ga
𝑡 =
𝑛
𝑚
tg
𝑧
almashtirishni, (4) ga
𝑡 =
𝑛
𝑚
𝑠𝑒𝑐 𝑧
almashtirishni va (5) ga
𝑡 =
𝑛
𝑚
𝑠𝑖𝑛 𝑧
almashtirishni qo’llasak, bu integrallar (2) integral ko’rinishiga keladi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:
1.
Abduhamidov A.U., Nasimov X.A. “Algebra va matematik analiz asoslari”. II
qism. Akademik litseylar uchun darslik. – T., 2008 y.
2.
N.Ya.Vilenkin va boshqalar. Algebra va matematik analiz. Matematika chuqur
o’rgatiladigan sinflar uchun darslik. 11-sinf (rus tilida). M.:”Prosvisheniye”,1995.
3.
Matematikadan qo’llanma. Maktab o’qituvchilari uchun qo’llanma. II qism.
(T.A.Azlarov, M.A.Sobirov, M.A.Mirzaahmedov va boshqalar).T.A.Azlarov
tahr.ostida.- T.: “O’qituvchi”,1979.-447 b.
4.
www.edu.uz – Axborot ta’lim portali;
5.
www.pedagog.uz – Malaka oshirish muassasalari sayti.
