122
YANGI OʻZBEKISTON PEDAGOGLARI
AXBOROTNOMASI
IF: 5.141
www.in-academy.uz
Volume 3 Issue, 05 YO’PA
Volume 3 Issue 01 YOPA
SKALYAR ARGUMENTLI VEKTOR FUNKSIYA VA UNING
XOSSALARI
Ismoilov Davronbek Ilxomjon o‘g‘li
Termiz davlat pedagogika instituti o’qituvchisi
davronbekismoilov343@gmail.com
Vohidov Diyor Baxtiror o‘g‘li
Termiz davlat pedagogika instituti talabasi
Suyunov Jamshid Faxriddin o'g'li
Termiz davlat pedagogika instituti talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15575748
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Qabul qilindi: 25- May 2025 yil
Ma’qullandi: 28-May 2025 yil
Nashr qilindi: 31-May 2025 yil
agar t=t0 nuqtada x(t), y(t), z(t) funksiyalar limitga ega
bo`lsa, (t) vektor funksiyaning t=t0 nuqtadagi limiti
KEY WORDS
vektor, funksiya, radius vektor,
funksiani hosilasi, funsiyani limiti
0
0
0
0
lim ( )
lim ( )
lim ( )
lim ( )
t
t
t
t
t
t
t
t
r t
x t i
y t j
z t k
bo`ladi.
Skalyar argumentli vektor funksiya
Ta`rif:
Agar E sohadan olingan har bir haqiqiy
t
songa biror qoidaga ko`ra bittadan
r
(t)
vektor mos qo`yilgan bo`lsa, E to`plamda
t
haqiqiy o`zgaruvchining vektor funksiyasi
berilgan deyiladi.
Agar
R
3
fazodagi bazis (
i
,
j
,
k
)
bo`lsa, u holda vektor funksiyani
r
(t)=x(t)
i
+
y(t)
j
+z(t)
k
(1)
ko`rinishda yozish mumkin. Bunda
x(t), y(t), z(t)
lar
r
vektorning koordinata o`qlaridagi proeksiyalaridir.
Vektor funksiyaning berilishi bilan uchta skalyar
funksiya
x(t), y(t), z(t)
larning berilishi teng
kuchlidir.Agar
r
(t)
vektoring boshlang`ich nuqtasi
koordinatalar boshiga joylashtirilsa
(bunday vektor radius-vektor deb ataladi),
u holda
r
(t)
vektor uchlarining geometrik
1-rasm
o`rni
vektor
funksiyaning
godografi
deyiladi.
Godografning fizik ma`nosi shundan iboratki, agar
t
parametr vaqt deb olinsa,
r
(t)
radius-
vektorning godografi harakatdagi nuqtaning traektoriyasini bildiradi. (1-rasm)
Vektor funksiyaning hosilasi.
Agar
t
t
0
nuqtada
x(t), y(t), z(t)
funksiyalar limitga ega bo`lsa,
r
(t)
vektor
funksiyaning
t
t
0
nuqtadagi limiti
123
YANGI OʻZBEKISTON PEDAGOGLARI
AXBOROTNOMASI
IF: 5.141
www.in-academy.uz
Volume 3 Issue, 05 YO’PA
Volume 3 Issue 01 YOPA
0
0
0
0
lim ( )
lim ( )
lim ( )
lim ( )
t
t
t
t
t
t
t
t
r t
x t i
y t j
z t k
(2)
bo`ladi.
Agar
0
0
lim ( )
( )
t
t
r t
r t
bo`lsa, vektor-funksiya
t
t
0
da uzluksiz deyiladi.
Endi
r
(t)
vektor-funksiyaning hosilasi haqidagi masalaga o`tamiz.
0
( )
r t
vektorning boshi koordinatalar boshida deb faraz qilamiz. Bu holda
r
(t)
vektor-funksiyaning godografi parametrik ko`rinishda
x
x(t), y
y(t), z
z(t)
tengliklar bilan
berilgan fazoviy egri chiziqdan iborat bo`ladi. O`zgaruvchi
t
ning shu egri chiziqdagi M
0
nuqtaga mos keladigan
t
t
0
qiymatini olib, unga
t
orttirma beramiz. U vaqtda
0
(
)
r t
t
=
0
0
0
(
)
(
)
(
)
x t
t i
y t
t j
z t
t k
vektorni hosil qilamiz, bu vektor egri chiziqda biror M nuqtani aniqlaydi.( 2-rasm).
Vektor-funksiya orttirmasini tuzamiz va uning skalyar argument orttirmasiga
nisbatini qaraymiz:
2 - rasm
0
0
0
0
0
0
0
0
(
)
( )
((
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
r t
t
r t
x t
t
x t
y t
t
y t
z t
t
z t
r
i
j
k
t
t
t
t
t
(3)
Ta`rif
. Agar
t
0 da
r
t
nisbatning chekli limiti mavjud bo`lsa, u limit
r
(t)
vektor-
funksiyaning
t
t
0
nuqtadagi hosilasi deyiladi va
r
`(t
0
)
yoki
0
( )
dr t
dt
orqali belgilanadi.
0
0
'( )
lim
t
r
r t
t
(4)
Hosila vektorning yo`nalishini aniqlash maqsadida chizmaga e`tibor bersak,
t
t
0
da
M nuqta M
0
ga, M
0
M kesuvchi esa urinmaga intiladi. Demak, hosila vektor
0
'( )
r t
parametrning o`sish tomoniga urinma bo`ylab yo`nalgan vektor bo`ladi.
Ravshanki, (10.3) tenglikdan
r
`(t
0
)=
0
0
0
'( )
'( )
'( )
x t i
y t
j
z t k
ekanligi, bundan esa
hosilani hisoblashning asosiy qoidalari vektor-funksiyalar uchun ham o`z kuchida qolishi
kelib chiqadi.
Masalan: vektor-funksiyalar yig`indisining hosilasi qo`shiluvchi vektor-funksiyalar
hosilalarining yig`indisiga teng.
Xususan, ikki vektor-funksiyalar yig`indisi uchun
1
2
1
2
( ( )
( )) '
'( )
'( ))
r t
r t
r t
r t
(5)
ko`rinishdagi formula o`rinlidir.
Shunga o`xshash, O`zgarmas son ko`paytuvchisini hosila ishorasidan tashqariga
124
YANGI OʻZBEKISTON PEDAGOGLARI
AXBOROTNOMASI
IF: 5.141
www.in-academy.uz
Volume 3 Issue, 05 YO’PA
Volume 3 Issue 01 YOPA
chiqarish mumkin:
(
( ))
d ar t
dr
a
dt
dt
(6)
Endi vektor-funksiyalarga xos amallar bilan bog`liq bo`lgan hosilani hisoblashning
ba`zi qoidalarini keltiramiz. Bu qoidalarning isbotini o`quvchilarga mashq sifatida qoldiramiz.
1. Vektor-funksiyalarning skalyar ko`paytmasidan olingan hosila ushbu formula bilan
ifodalanadi:
1
2
1
2
2
1
(
)
d r r
dr
dr
r
r
dt
dt
dt
(7)
2. Agar
f(t)
skalyar funksiya va
r
(t)
vektor-funksiya bo`lsa,
f(t)
r
(t)
ko`paytmaning hosilasi ushbu formula bo`yicha hisoblanadi:
( ( ) ( ))
d f t r t
df
dr
r
f
dt
dt
dt
(8)
3.
r
1
(t)
va
r
2
(t)
vektor-funksiyalarning vektor ko`paytmasining hosilasi
formula bo`yicha topiladi.
1
2
1
2
2
1
(
)
d r
r
dr
dr
a
r
r
dt
dt
dt
(9)
Vektor funksiya
Birorta G to`plam berilgan bo`lsin ,Agar G to`plamning har bir nuqtasiga aniq bitta
vector mos qo`yilgan bo`lsa ,G to`plamda vector funksiya berilgan deyiladi.Bu moslikni
( )
p
r p
ko`rinishda yozing.
Ta`rif-1
.
Berilgan
( )
r p
vector funksiya va o`zgarmas
a
vector uchun
0
p
p
da
| ( )
|
0
r p
a
Munosabat bajarilsa,
( )
r p
vector
0
p
p
da
a
limitga ega deyiladi va
( )
r p
a
ko`rinishda yoziladi.
Bu yerda
| |
( , )
a
a a
bo`lib,
( , )
a a
esa skalyar ko`paytmadir.
Agar formulada kiritilgan dekart kordinatalar sistemasida
1
2
3
( )
( ), ( ), ( ) ,
,
,
r p
x p y p z p
a
a a a
bo`lsa
0
p
p
da
( )
r p
a
munosabat quyidagi uchta munosabatga ekvivalentdir.
1
0
( )
x p
a
p
p
2
0
( )
y p
a
p
p
3
0
( )
z p
a
p
p
Vector funksiya limiti uchun quyidagi teoremani o`rinlidir.
Ta`rif-6
. Berilgan
( ), ( )
r p p p
vector funksiyalar va
0
0
lim ( )
p
p
p
tenglik bajarilsa, quyidagi
munosabat o`rinlidir.
0
0
0
0
1) ( )
( )
2)
( ) ( )
3) ( ( , ( ))
( , )
4) [ ( ), ( )
[ , ]
p
p
p
p
p
p
p
p
r p
p p
a b
p r p
a
r p p p
a b
r p p p
a b
125
YANGI OʻZBEKISTON PEDAGOGLARI
AXBOROTNOMASI
IF: 5.141
www.in-academy.uz
Volume 3 Issue, 05 YO’PA
Volume 3 Issue 01 YOPA
1)
( )
( )
r p
p p
0
0
0
lim ( ( )
( ))
lim ( )
, lim ( )
p
p
p
p
p
p
r p
p p
a b
r p
a
p p
b
isboti.
( )
( )
( )
d p
r p
p p
,
c
a b
0
lim | ( )
| 0
p
p
d p
c
| ( )
| | ( ( )
) ( ( )
) | | ( )
|
| ( )
|
d p
c
r p
a
p p
b
r p
a
p p
b
0
0
2)
0
0
lim ( ) ( )
p
p
p r p
a
0
0
| ( ) ( )
|
0
p
p
p r p
a
0
0
| ( ) ( )
( )
( ) | | ( ( ) ( )
)
( ( )
) |
| ( ( ) ( )
) |
| ( ( )
) | 0
p r p
p a
p a
p r p
a
a
p
p r p
a
a
p
3)
0
( ( ) ( ))
( , )
p
p
r p p p
a b
1
1
1
( ) { ( ),
( ), ( )}
r p
x p y p z p
1
1
1
2
1
3
0
0
0
( )
,
( )
,
( )
,
x p
a
y p
a
z p
a
p
p
p
p
p
p
2
2
2
( ) { ( ),
( ),
( )}
p p
x p y p z p
2
1
2
2
2
3
0
0
0
( )
,
( )
,
( )
,
x p
b
y p
b
z p
b
p
p
p
p
p
p
1
2
3
1
2
3
{ ,
, }
{ , , }
a
a a a
b
b b b
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
( ) ( ) { ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )}
( ) ( )
( ( ),
( ), ( )) ( ( ),
( ),
( ))
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
r p p p
x p x p
y p y p
z p z p
r p p p
x p y p z p
x p y p z p
x p x p
y p y p
z p z p
1 1
2 2
3 3
( , )
a b
a b
a b
a b
1)
( ( ) ( )) '
'( ) ( )
( ) '( )
2)
( ( )
( )) '
'( )
'( )
3)
( ( ), ( )) '
( '( ), ( )) ( ( ), '( ))
4)
[ ( ), ( )]' [ '( ), ( )] [ ( ), '( )]
p r p
p r p
p r p
r p
p p
r p
p p
r p p p
r p p p
r p p p
r p p p
r p p p
r p p p
Isboti.
126
YANGI OʻZBEKISTON PEDAGOGLARI
AXBOROTNOMASI
IF: 5.141
www.in-academy.uz
Volume 3 Issue, 05 YO’PA
Volume 3 Issue 01 YOPA
0
(
) (
)
( ) ( )
lim ( ) ( )
( (
)
( )) (
)
( ) (
)
( ) ( )
1)
'( ) ( )
'( ) ( )
h
p
h r p
h
p r p
p r p
h
p
h
p r p
h
p r p
h
p r p
h
p r p
r p
p
0
( ( )
( )
)
( ( )
( ))
lim ( ( )
( ))
( (
)
( ))
( ) ( (
)
( ))
( ) ( ( )
( ))
2)
'( )
'( )
h
f r p
p p
h
F r p
p p
f r p
p p
h
r p
h
r p
r p
p p
h
p p
p p
r p
p p
h
r p
p p
0
(
), (
)
( ) ( )
lim( ( ), ( ))
( (
)
( )) (
)
( ) (
)
( ) ( )
3)
'( ) ( )
'( ) ( )
h
r p
h p p
h
r p p p
r p p p
h
r p
h
r p p p
h
r p p p
h
r p p p
h
r p p p
p p r p
0
(
), (
)
( ) ( )
lim( ( ), ( ))
( (
)
( )) (
)
( ) (
)
( ) ( )
4)
'( ) ( )
'( ) ( )
h
r p
h p p
h
r p p p
r p p p
h
r p
h
r p p p
h
r p p p
h
r p p p
h
r p p p
p p r p
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati:
1.
Thomas, G.B., Weir, M.D., & Hass, J. Thomas' Calculus. Pearson Education, 14-nashr, 2017.
2.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning, 8-nashr, 2016.
3.
Marsden, J.E., & Tromba, A.J. Vector Calculus. W. H. Freeman, 6-nashr, 2011.
4.
Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, 10-nashr, 2011.
5.
Schey, H.M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. W. W.
Norton, 4-nashr, 2005.
6.
O‘zbekiston Respublikasi Oliy ta’lim muassasalari uchun darsliklar jamoasi. Matematika 2.
Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti, 2020
