YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
98
NOELEMENTAR FUNKSIYALAR
Abduraxmonov Abduvohid Abdimoʻmin oʻgʻli
Qiyomova Dilshoda Mardon qizi
Nizomiy nomidagi TDPU Matematika va informatika yo‘nalishi
4-bosqich talabalari
Telefon raqami: +998-90-267-88-42
+998-90-788-73-28
https://doi.org/10.5281/zenodo.12531054
Annotatsiya.
Ushbu maqolada noelementar funksiyalar haqida ma’lumotlar keltirilgan. Hamda
ba’zi bir noelementar funksiyalar ko‘rinishdagi funksiyalar orqali misol qilib tushunchalar
keltirilgan. Bunda funksiyalarning asosiy xossalaridan, aniqlanish sohasidan, qiymatlar
sohasidan, shuningdek funksiyalarning grafigidan ham foydalanilgan.
Kalit so‘zlar.
Funksiya, hosila, tenglama, funksiya grafigi, noelementar funksiya.
Ключевые слова.
Функция, производная, уравнение, график функции, ноелементарное
функции.
Keywords.
Function, derivative, equation, function graph, non-standard function.
Elementar bo‘lmagan funksiyalar
noelementar
funksiyalar deyiladi.
Noelementar funksiyalarning bo‘lakli uzluksiz funksiyalar, limit orqali berilgan funksiyalar,
ba’zi bir maxsus funksiyalar, ba’zi bir statistik funksiyalar turlari mavjud.
Masalan
\ \ \
\
\
\ \ \
'
0,
( )
1
\
\
,
'
x irratsional son bo lsa
D x
x ratsional son bo lsa
ko‘rinishidagi funksiya
Dirixle funksiyasi
deyiladi.
2.1. Bo‘lakli uzluksiz funksiyalar
f x
funksiya
,
a b
oraliqda aniqlangan bo‘lsin.
Ta’rif
: Agar
,
a b
da berilgan
f x
funksiya
,
a b
ning chekli sondagi nuqtalaridan
tashqari qolgan hamma joyda uzluksiz bo‘lib, chekli sondagi nuqtalaridan birinchi tur uzulishga
ega bo‘lsa, u holda
f x
funksiya
,
a b
da
bo‘lakli uzluksiz
deyiladi.
Xususiy holda
zinapoyasimon funksiyalar
bo‘lakli uzluksiz funksiyalarga misol bo‘la oladi.
Zinapoyasimon funksiyalar
.
Ta’rif
:
Agar
,
a b
oraliqni chekli sondagi oraliqlarga bo‘lish mumkin bo‘lgan, bu oraliqlarning
har birida
f x
funksiya o‘zgarmas qiymat qabul qilsa, u holda
f x
funksiya
zinapoyasimon
funksiya
deyiladi. Uzilish nuqtalarida funksiya aniqlangan yoki aniqlanmagan bo‘lishi mumkin.
Biz quyidagi eng ko‘p qo‘llaniladigan zinapoyasimon funksiyalarni qaraymiz.
Signum x.
(Signum lotincha so‘zdan olingan bo‘lib, ishora degan ma’noni bildiradi.) Signum
x
funksiya ushbu formula yordamida beriladi
𝑦 = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥 = {
1, 𝑥 > 0 𝑏𝑜‘lganda
0, 𝑥 = 0 𝑏𝑜‘lganda
−1, 𝑥 < 1 𝑏𝑜‘lganda
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
99
Bu funksiyaning grafigi 1-chizmada berilgan bo‘lib, u ikkita yarim to‘g‘ri chiziqlardan va
0;0
nuqtadan iborat. Bunda yo‘nalish
0;1
va
0; 1
nuqtalarning funksiya grafigiga tegishli
emasligini ko‘rsatadi.
1-misol.
y signx
funksiyaning grafigini chizing.
1-rasm.
y signx
Yechilishi.
Agar
;
(
)
2
2
x
k
k
k
Z
bo‘lsa, u holda
0
sinx
bo‘ladi. Shuning
uchun
signumx
funksiyaning
ta’rifiga
ko‘ra,
1
signsin x
.
Agar
2
; +
(
2
)
x
k
k
k
Z
bo‘lsa,
0
sin x
bo‘ladi. Bundan esa
sin
1
sign
x
bo‘ladi. Agar
,
\
x
k k Z
bo‘lsa, u holda ta’rifga ko‘ra
0
y
signsin x
bo‘ladi. Shunday qilib,
qaralayotgan funksiyaning grafigi 2- rasm ko‘rinishida tasvirlanadi.
Eslatma.
( ( ))
y
sign f x
funksiyaning grafigini quyidagi tartibda chizish kerak: avvalo
( )
y
f x
funksiya grafigi chizilib, so‘ngra bu funksiya grafigining yuqori va pastki tekisliklarda
yotgan qismlari aniqlanadi, ya’ni
x
ning
( )
0
f x
,
0
f x
va
0
f x
bo‘ladigan
qiymatlari aniqlanadi. Undan so‘ng,
signumx
ning ta’rifiga asosan, berilgan funksiya grafigi
chiziladi. Bunda
1
у
to‘g‘ri chiziqlar
bilan
( )
y
f x
funksiya grafigining kesishish nuqtalari o‘zgarishsiz qoldiriladi, ya’ni bu
nuqtalar berilgan funksiya grafigiga tegishli bo‘ladi.
(
)
y
f signx
funksiyaning grafigini chizishda
𝑓(𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥) = {
𝑓(1), 𝑥 > 0 𝑏𝑜‘lganda,
𝑓(0), 𝑥 = 0 𝑏𝑜‘lganda,
𝑓(−1), 𝑥 < 1 𝑏𝑜‘lganda.
formula e’tiborga olinadi. Bunda -1,0,1 qiymatlar funksiyaning aniqlanish sohasiga qarashli
ekanini hisobga olish kerak bo‘ladi.
2.
( )
y
f x
ko‘rinishidagi fuksiyaning grafigini yasash.
( )
y
f x
ko‘rinishidagi funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda bajariladi. (3-
chizma)
( )
y
f x
funksiya grafigini chizish
1.
(
)
y
n n
Z
to‘g‘ri chiziqlar bo‘lib,
y
n
va
1
y
n
to‘g‘ri chiziqlardan tashkil topgan
oraliqlardan biri qaraladi.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
100
2.
y
n
,
1
y
n
to‘g‘ri chiziqlar bilan
( )
y
f x
funksiya grafigining kesishish nuqtalari
3.
( )
y
f x
funksiyaning grfigiga kiradi, qaralayotgan oraliqda
( )
y
f x
funksiyaning
boshqa nuqtalari esa shu oraliqdagi funksiya grafigining y=n to‘g‘ri chiziqlarga proyeksiyasi
sifatida olinadi, chunki bu oraliqda
( )
y
f x
grafigining ixtiyoriy
M
nuqtasining
0
y
ordinatasi
n<
0
y
<n+1 oraliqda bo‘lib, uning butun qismi
0
y
n
teng bo‘ladi.
( )
y
f x
funksiya grafigi joylashgan boshqa oraliqlardagi
( )
y
f x
funksiya grafigi ham
xuddi 3) banddagi singari chiziladi.
2-rasm.
( )
y
f x
3-rasm.
( )
y
f x
y=f([x]) funksiyaning grafigini yasash.
y
f
x
funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda bajariladi. (4-chizma):
1)
y
f x
funksiyaning grafigi chiziladi
2)
(
)
x
n n
to‘g‘ri chiziqlar chizilib
, x=n
,
x=n+1
to‘g‘ri chiziqlardan tashkil topgan
oraliqlardan biri qaraladi
3)
y
f x
funksiya grafigining
x=n
,
x=n+1
to‘g‘ri chiziqlar bilan kesishish nuqtalari
y
f
x
funksiya grafigiga kiradi, chunki ularning absissalari butun sonlardan iborat,
qaralayotgan oraliqdagi
y
f
x
funksiya grafigining boshqa nuqtalari esa shu oraliqdagi
funksiya grafigining
y=f(n)
to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasi sifatida olinadi, chunki bu oraliqdagi
ixtiyoriy
N
nuqtaning
0
x
absissasi n<
0
x
<
n+1 da bo‘lib uning butun qismi [
0
x
]=n bo‘ladi
4)
y
f x
funksiya grafigi joylashgan boshqa oraliqdagi
y
f
x
funksiyaning grafigi
xuddi yuqoridagi funksiyalar kabi chiziladi.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
101
4-rasm. (1)
y
f x
. (2)
y
f
x
5-rasm. (1)
2
y
x
, (2)
2
[ ]
y
x
y={f(x)} funksiyaning grafigini yasash.
f x
f x
f x
bo‘lgani uchun
y
f x
funksiya grafigini chizish
y
f x
va
y
f x
funksiyalar ayirmasining grafigini chizishga keltiriladi.
Amaliyotda
y
f x
funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda bajariladi:
1)
y
f x
funksiyaning grafigi chiziladi
2)
(
)
y
n n
to‘g‘ri chiziqlar chiziladi
3)
y=n to‘g‘ri chiziqlar bilan
y
f x
funksiya grafigining kesishgan nuqtalaridan
ordinatalar o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkaziladi, natijada funksiyaning y={f(x)} qiymatlari
hosil bo‘lgan to‘rtburchakka tushadi.
y
f x
funksiyaning grafigi yuqori yarim tekislikdagi
to‘rtburchakka tushgan qirmini n masofa pastga, pastki tekislikdagi to‘rtburchakka tushgan
1
n
qismini masofagacha yuqoriga ko‘chiriladi.
6-rasm. (1)
{ }
y
x
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
102
7-rasm. (1)
2
x
y
, (2)
}
{2
x
y
y=f({x}) ko‘rinishdagi funksiyaning grafigini yasash.
{
}
y
f
x
davriy funkiya bo‘lib, uning davri
1
ga teng
}
{
y
f
x
f x
funksiyaning bu xususiyatlarini e’tiborga olgan holda, uning grafigi quyidagi tartibda chiziladi:
1)
0;1
da
( )
y
f x
funksiyaning
grafigi
chiziladi;
2)
{
}
y
f
x
funksiyaning davriyligini e’tiborga olib,
( )
y
f x
funksiyagrafigi davriy davom
ettiriladi.
8-chizma. (1)
2
x
y
, (2)
{ }
2
x
y
2.2.Funksional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalar
Natural sonlar to‘plami N va biror X to‘plamda (X
R) aniqlangan F funksiyalar to‘plami berilgan
bo‘lsin. Har bir natural n
N songa F to‘plamdagi bitta
( )
n
u x
funksiyani mos qo‘yish natijasida hosil bo‘lgan
1
2
( ),
( ),...,
( ),...
n
u x u x
u x
(1)
ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deyiladi va {
( )
n
u x
} kabi belgilanadi.
( )
n
u x
funksiya (1) funksional ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi.
X to‘plamda
0
x
nuqtani olib, berilgan (1) funksional ketma-ketlikning har bir hadining shu
nuqtadagi qiymatlarini qaraylik.
Ular
1
0
2
0
0
( ),
( ),...,
( ),...
n
u x
u x
u x
(2)
sonlar ketma-ketligini tashkil etadi.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
103
Ta’rif.
Agar (2) sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘lsa, u holda
( )
n
u x
funksional ketma-ketlik
0
x
nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi,
0
x
nuqta esa
yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi.
( )
n
u x
funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish nuqtalaridan iborat to‘plam, uning
yaqinlashish sohasi deyiladi.
Aytaylik, D (D
R) to‘plam {
( )
n
u x
} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo‘lsin. U
holda D to‘plamdan olingan har bir x nuqtada funksional ketma-ketlik sonli ketma-ketlikga
aylanib, u yaqinlashuvchi, ya’ni chekli limitga ega bo‘ladi. D to‘plamdan olingan har bir x ga unga
mos keladigan sonli ketma-ketlikning chekli limitini mos qo‘ysak, D to‘plamda aniqlangan
funksiyaga ega bo‘lamiz. Bu funksiya
( )
n
u x
funksional ketmaketlikning limit funksiyasi
deyiladi
lim
( )
( )
n
x
u x
f x
Bu holda
( )
n
u x
funksional ketma-ketlik D sohada (D sohaning har bir nuqtasida) f(x)
funksiyaga yaqinlashadi deyiladi. {
( )
n
u x
} funksional ketma-ketlik D sohaning har bir
nuqtasida f(x) funksiyaga yaqinlashadi, degan jumlani, boshqacha, quyidagicha aytish mumkin:
ixtiyoriy
>0 son va ixtiyoriy x
D uchun shunday
0
0
n
n
(
,x) topilib, barcha
0
n
n
larda
( )
( )
n
u x
f x
tengsizlik bajariladi.
Masalan:
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
,...,
,...
1
2
3
x
x
x
n x
Funksional qatorlar va ularning yaqinlashishi
Hadlari funksiyalardan iborat bo‘lgan qatorlarni qaraymiz:
1
2
,...,
...
n
u x
u x
u x
(1)
Bunday qatorlar
funksional qatorlar
deyiladi va
1
( )
n
n
u x
kabi belgiladi:
1
2
1
( )
,...,
...
n
n
n
u x
u x
u x
u x
bu yerda
1
2
,
,...
u x u x
funksiyalar (1) funksional qatorning hadlari,
n
u x
esa umumiy
hadi.
1
2
,
,
,...,
...
n
u x u x
u x
funksiyalarning hammasi biror chekli yoki cheksiz oraliqda
aniqlangan va uzluksiz funksiyalar.
Masalan,
2
1
( ) 1
...
...
n
f x
x
x
x
1
1
1
1
1
( )
...
...
(
)(
1)
(1
)(2
)
(2
)(3
)
(
)(
1)
n
f x
x n x n
x
x
x
x
n x n x
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
104
Limit orqali berilgan funksiyalar.
Limit orqali berilgan funksiyalarning grafigini chizishda
avvalo limit hisoblanib, so‘ngra uning grafigi chiziladi.
1-
misol.
2
,
lim(
\ \
1
)
1
n
n
y
x
x
Agar
1
x
bo‘lsa, u holda y= 0, agar x=0 bo‘lsa, y= 1 bo‘ladi. Agar
1
x
bo‘lsa, u holdada
n
. Shunday qilib, y = l bo‘lib, x = - 1, x = l nuqtalarda funksiya uzilishga ega b o‘lar ekan.
Bu funksiyaning grafigi 9-rasmda ko‘rsatilgan.
9-rasm.
2
,
lim(
\ \
1
)
1
n
n
y
x
x
2-misol.
ln(2
)
lim
n
n
n
x
y
n
,
0
x
.
х=0 va x=1 bo‘lganda,
ln 2
y
bo‘ladi. Agar
0
1
х
bo‘lganda,
ln 2
y
1
2
х
bo‘lganda
esa
2
ln 2 ln(1 ( ) )
ln(2
)
lim
lim
ln 2
n
n
n
n
n
x
n
x
y
n
n
Agar х=2 da,
ln 2
y
bo‘ladi, agar
2
х
bo‘lganda esa
ln
y
x
bo‘ladi. Shunday qilib,
ln 2,
0 0
2
'lg
,
ln ,
2
'l
\ \
\
\
\
g
.
\
bo
anda
y
x
x
bo
anda
funksiyani hosil qilamiz. Bu funksiyaning grafigi 10- chizmada tasvirlangan.
10-rasm
3-misol
.
2
limsin
n
n
y
x
Agar
sin
1
x
bo‘lsa,
2
limsin
0
n
n
x
bo‘ladi. Demak, y=0.
sin
1
x
bo‘lganda, y=1 bo‘ladi.
Shunday qilib,
2
2
\ \
\
\
0,
'lg
,
g
\
\
1,
'l
.
k
k
x
bo
anda
y
x
bo
anda
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
105
funksiya hosil bo‘ladi.
3-misol
.
2
lim
1
nx
nx
n
x x e
y
e
.
Agar x=0 bo‘lsa, y=0 bo‘ladi; agar x>0 bo‘lsa,
lim
nx
n
e
bo‘lgani uchun
2
y
x
bo‘ladi; agar x<0 bo‘lsa
lim
0
nx
n
e
bo‘lgani uchun y=x
bo‘ladi.
Demak,
,
0
'lg
,
0,
0
'lg
,
\
,
0
'l
\ \
\
\
\
\ \
\
g
.
x
x
bo
anda
y
x
bo
anda
x
x
bo
anda
funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiyaning grafigi 11-rasmda tasvirlangan.
11-rasm.
2.3. Integral bilan aniqlangan funksiyalar
Umumiy holda elementar funksiyalar bilan ifoda qilinmaydigan funksiyalar maxsus funksiyalar
deyiladi. Bularning ko‘pchiligi maxsus ko‘rinishdagi differensial tenglamalarning yechimlari
bo‘lib, ular
integrallar
orqali ifoda qilinadi.
1. Ko‘rsatkichli integral funksiya.
Ko‘rsatkichli integral funksiyaning ko‘rinishi
1
exp(
)
( )
n
n
t
xt
E x
dt
(
0,1, 2,...;
0)
n
x
shaklida bo‘ladi. Bu fiinksiya quyidagi rekurrent formula orqali hisoblanadi:
1
1
( )
( )
x
n
n
n
E
x
e
xE x
,
1,2,3,...
n
Xususiy holda,
0
( )
x
e
E x
x
,
1
1
!
( )
ln
( 1)
k
k
k
x
k k
E x
C
x
, bunda C=0,57721156647 –
Eyler o‘zgarmasi. Bu funksiyaning grafigi 12-rasmda tasvirlangan.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
106
12-rasm.
2
. Integral sinus funksiya.
Ushbu
0
sin
x
t
dt
t
integral integral sinus funksiya deb ataladi va uni
0
sin
x
t
Six
dt
t
kabi belgilanadi. Bu funksiya qatorga yoyish bilan hisoblanadi:
2
1
0
( 1)
.
(2
1)(2
1)!
n
n
n
x
Six
n
n
Bu funksiya
2
у
gorizontal asimptotaga ega bo‘lib, uning grafigi 13- chizmada tasvirlangan.
13-rasm.
3. Integral kosinus funksiya.
Ushbu
0
cos
1
ln
x
t
C
x
dt
t
funksiya integral kosinus funksiya deyiladi va u qatorga yoyish bilan hisoblanadi:
2
0
( 1)
ln
2
(2 )!
n
n
n
x
Six C
x
n
n
Bu funksiya uchun OX o‘qi gorizontal asimptota bo‘lib hisoblanadi. Kosinus integral
funksiyaning grafigi 14- chizmada tasvirlangan
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
107
14-rasm.
XULOSA
Ushbu maqola Noelementar funksiyalar va ularni tekshirish haqida ma’lumot berilgan. Berilgan
ta’rif va teoremalarni o‘rgandim va misollarga tatbiqini ko‘rib chiqdim.
Bu maqolada o‘rganilgan mavzuni yoritishga zarur bo‘lgan tushunchalar va ma’lumotlar
keltirilgan.
Ushbu nazariyalarni o‘rganib chiqish jarayonida , kasb-hunar kollejlar, litseylar va oliy ta’lim
muassasalarida matematik analiz fanidan funksional ketma-ketliklar nazariyasini o‘rganishga
oid ma’lumotlar tahlil qilindi.
Mavjud adabiyotlarning tahlili natijasida ko‘pgina adabiyotlarda funksional ketma-ketlik
tushunchalari yaxshi yoritilgani ma’lum bo‘ldi.
References:
1.
Azlarov.T, Mansurov.H “Matematik analiz” T. “O‘qituvchi” 1989-yil.
2.
Turgenbayev.R.M, Qodirov. K. R, Bakirov. T. Yu “Matematik analiz” (qatorlar nazariyasi)
o‘quv qo‘llanma. Farg‘ona 2019.
3.
Gaziyev.A, Israilov.I, Yaxshiboyev.N “Matematik analizdan misol va masalalar”. Toshkent
“Yangi asr avlodi” 2006
4.
Н.Я. Веленкин К.А Бахан И.А Марон “задачник по курсу математического анализа”
Москва 1971
5.
Gaziyev.A, Israilov.I “Funksiyalar va grafiklar” o‘quv qo‘llanma. “Voris-nashriyot”,
Toshkent-2006
6.
Azlarov T., Mansurov X., Matematik analiz. 1-qism-T.: “ O‘qituvchi ”, 1994.-416 b.
7.
Azlarov T., Mansurov X., Matematik analiz. 2-qism-T.: “ O‘qituvchi ”, 1995.-436 b.
8.
Sa’dullaev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to‘plami. 1-qism. T.:
“O‘zbekiston”-1993.-317 b.
9.
Turg‘unbayev R., Koshnazarov R. Matematik analizning elementar matematika
masalalarini yechishda tadbiqlari. Toshkent-2007.
