YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
107
BO'LINISH BELGILARI: SONLARNING UMUMIY BO'LUVCHISI VA KARRALISI
Meyliyev Jasurbek Ortiq o'g'li
Qarshi davlat universiteti Matematika va kompyuter ilmlari fakulteti.
Matematika yo'nalishi 1- bosqich talabasi
Tel +99895 185 43 01
jasurmeyliyev20062006@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15193083
Annotatsiya:
Mazkur maqolada bo‘linish belgilari, sonlarning umumiy bo‘luvchisi va
umumiy karralisi tushunchalari matematik nuqtayi nazardan yoritilgan. Unda sonlarning
umumiy bo‘luvchisi va umumiy karralisini aniqlash usullari, ularning xususiyatlari hamda real
hayotdagi amaliy qo‘llanilishi keng tahlil qilingan. Shuningdek, maqolada Evklid algoritmi,
asosiy sonlar va ularning o‘zaro bog‘liqligi kabi mavzular ham qamrab olingan. Ushbu ish
bo‘linish belgilarining nazariy va amaliy ahamiyatini o‘quvchilarga yetkazish, matematik
ko‘nikmalarni rivojlantirishga qaratilgan.
Kalit soʻzlar:
Bo‘linish belgilari, Umumiy bo‘luvchi, Umumiy karrali, Evklid algoritmi,
Sonlar nazariyasi, Bo‘linuvchanlik qoidalari, Asosiy sonlar, Katta va kichik umumiy bo‘luvchi,
Matematik algoritmlar, Natural sonlar, Matematik tahlil, Amaliy matematika.
Annotation
This article explores divisibility rules, the concepts of the greatest common divisor
(GCD), and the least common multiple (LCM) from a mathematical perspective. It examines
methods for determining the GCD and LCM of numbers, their properties, and practical
applications in real-life scenarios. The article also covers topics such as the Euclidean
algorithm, prime numbers, and their interrelations. This work aims to convey the theoretical
and practical significance of divisibility rules to readers and enhance their mathematical skills.
Keywords:
Divisibility rules, Greatest common divisor, Least common multiple,
Euclidean algorithm, Number theory, Divisibility principles, Prime numbers, Greatest and
least common divisor, Mathematical algorithms, Natural numbers, Mathematical analysis,
Applied mathematics.
Аннотация
В данной статье рассматриваются признаки делимости, понятия наибольшего
общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) с математической
точки зрения. Исследуются методы определения НОД и НОК чисел, их свойства, а также
практическое применение в реальных жизненных ситуациях. В статье также
затрагиваются такие темы, как алгоритм Евклида, простые числа и их взаимосвязь.
Данная работа направлена на то, чтобы донести до читателей теоретическое и
практическое значение правил делимости и повысить их математические навыки.
Ключевые слова:
Признаки делимости, Наибольший общий делитель (НОД),
Наименьшее общее кратное (НОК), Алгоритм Евклида, Теория чисел, Принципы
делимости, Простые числа, Наибольший и наименьший общий делитель,
Математические алгоритмы, Натуральные числа, Математический анализ, Прикладная
математика.
Kirish
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
108
Matematikada bo‘linish belgilari tushunchasi haqida qisqacha.Umumiy bo‘luvchi va
umumiy karrali nima ekanligi haqida izoh. Ushbu mavzuning ahamiyati: sonlar nazariyasidagi
roli va kundalik hayotdagi qo‘llanilishi.Maqolaning maqsadi: bo‘linuvchanlik belgilarini va
ular bilan bog‘liq masalalarni tahlil qilish.
Asosiy qism
Bo‘linish belgilari tushunchasi va ularning asosiy qoidalari.
Bo‘linish belgilari tushunchasi: Matematikada bo‘linish belgisi bir sonning boshqa bir
songa qoldiqsiz bo‘linishini aniqlashga imkon beruvchi qoida yoki uslubdir. Bo‘linish
belgilarini bilish sonlarning o‘zaro bog‘liqligini o‘rganish va masalalarni qisqaroq yo‘llar bilan
yechishga yordam beradi. Bu belgilar sonlar nazariyasida muhim ahamiyatga ega bo‘lib,
ayniqsa arifmetik amallarda va algoritmlarni qo‘llashda keng qo‘llaniladi.
Bo‘linish belgilari asosiy qoidalari.
Quyida eng asosiy bo‘linish qoidalari keltirilgan:
1. 2 ga bo‘linish qoidasi
Son oxirgi raqami (birlar xonasidagi son) 0, 2, 4, 6 yoki 8 bo‘lsa, u 2 ga bo‘linadi.Masalan:
24, 36, 48 sonlari 2 ga bo‘linadi, chunki oxirgi raqamlari juftdir.
2. 3 ga bo‘linish qoidasi
Agar sonning barcha raqamlari yig‘indisi 3 ga bo‘linadigan bo‘lsa, son ham 3 ga
bo‘linadi.Masalan: 123 → , 6 soni 3 ga bo‘lingani uchun 123 ham 3 ga bo‘linadi.
3. 5 ga bo‘linish qoidasi
Son oxirgi raqami 0 yoki 5 bo‘lsa, u 5 ga bo‘linadi.Masalan: 25, 40, 105 sonlari 5 ga
bo‘linadi.
4. 9 ga bo‘linish qoidasi
Agar sonning barcha raqamlari yig‘indisi 9 ga bo‘linadigan bo‘lsa, son ham 9 ga
bo‘linadi.Masalan: 81 → , 9 soni 9 ga bo‘lingani uchun 81 ham 9 ga bo‘linadi.
5. 10 ga bo‘linish qoidasi
Agar sonning oxirgi raqami 0 bo‘lsa, u 10 ga bo‘linadi.Masalan: 70, 120, 1000 sonlari 10
ga bo‘linadi.
6. 4 ga bo‘linish qoidasi
Agar sonning oxirgi ikkita raqami 4 ga bo‘linadigan bo‘lsa, butun son 4 ga
bo‘linadi.Masalan: 316 → Oxirgi ikki raqami 16. 16 soni 4 ga bo‘linadi, demak 316 ham 4 ga
bo‘linadi.
7. 6 ga bo‘linish qoidasi
Agar son 2 ga ham, 3 ga ham bo‘linadigan bo‘lsa, u 6 ga bo‘linadi.
Masalan: 18 → 2 ga bo‘linadi (juft son), 3 ga bo‘linadi (). Shunday qilib, 18 soni 6 ga ham
bo‘linadi.
8. 8 ga bo‘linish qoidasi
Agar sonning oxirgi uchta raqami 8 ga bo‘linadigan bo‘lsa, butun son 8 ga
bo‘linadi.Masalan: 1000 → Oxirgi uchta raqami 000. 000 soni 8 ga bo‘linadi, demak 1000 ham
8 ga bo‘linadi.
9. 11 ga bo‘linish qoidasi
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
109
Agar sonning juft indeksdagi raqamlar yig‘indisi bilan toq indeksdagi raqamlar yig‘indisi
orasidagi farq 11 ga bo‘linadigan bo‘lsa, son 11 ga bo‘linadi.Masalan: 121 → , farq 0, shuning
uchun 121 soni 11 ga bo‘linadi.
Bo‘linish belgilarining ahamiyati
Ushbu belgilar turli matematik masalalarni yechishda vaqtni tejash imkonini beradi.
Bo‘linish qoidalarini bilish nafaqat nazariy bilim uchun, balki amaliy masalalarda, masalan,
hisob-kitob ishlarida, algoritmlar yaratishda va kodlashda ham foydali.Misollarni tahlil qilish
va masalalar yechish orqali ushbu qoidalar tushunchasini mustahkamlash mumkin. Maqolada
ushbu qoidalarni chuqurroq tahlil qilish va qo‘llash usullari keng yoritiladi.
Umumiy bo‘luvchi (GCD) tushunchasi
Umumiy bo‘luvchi (GCD).Umumiy bo‘luvchi ikki sonning eng katta bo‘luvchisi
hisoblanadi. Bu tushuncha sonlar nazariyasida juda muhim ahamiyatga ega, chunki u
sonlarning o‘zaro bo‘linishini va ular orasidagi eng katta umumiy bo‘luvchining mavjudligini
aniqlashga yordam beradi.
Umumiy bo‘luvchisini topish usullari
1. Oddiy bo‘luvchilarni solishtirish: Ikki sonni oddiy bo‘luvchilariga ajratib, ularning
umumiy bo‘luvchisini aniqlash.
2. Evklid algoritmi: Bu algoritm ikki sonning umumiy bo‘luvchisini topishda ishlatiladi.
Evklid algoritmi.Evklid algoritmi orqali ikki sonning GCD sini quyidagi tarzda topish
mumkin:
Agar, unda GCD(a, b) = b.
Agar, unda. Bu jarayon sonlarning bo‘linishini ketma-ket amalga oshirib, oxirgi qoldiqsiz
bo‘linadigan sonni topish orqali GCD aniqlanadi.
Umumiy karrali (LCM) tushunchasi
Umumiy karrali (LCM) Umumiy karrali ikki sonning eng kichik umumiy bo‘linadigan
karrali soni hisoblanadi. Bu tushuncha sonlar nazariyasida muhim ahamiyatga ega, chunki u
ko‘p hollarda turli tizimlar va arifmetik amallarda qo‘llaniladi.
Umumiy karralining xususiyatlari LCM orqali ikki yoki undan ortiq sonlarning o‘zaro
bog‘liqligini va ularning birgalikda ishlash imkoniyatlarini aniqlash mumkin.
LCM formula:
\text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCD}(a, b)}
Evklid algoritmi va uning amaliy qo‘llanilishi
Evklid algoritmi. Evklid algoritmi ikkita sonning GCD sini topishning eng samarali
usulidir. Bu algoritm sonlar bo‘linishini ketma-ket hisoblash orqali ishlaydi.
Amaliy qo‘llanilishi.Evklid algoritmi, ayniqsa kompyuter fanlari va kriptografiya
sohasida keng qo‘llaniladi. Masalan, RSA shifrlash tizimida, ikki katta sonning GCD sini
hisoblash orqali kalitlar yaratish mumkin.
Bo‘linish belgilari va ular bilan bog‘liq masalalar
Bo‘linish belgilari va amaliy masalalar.Bo‘linish belgilarining amaliy hayotda keng
qo‘llanilishi mavjud. Masalan, kalendar tizimlarida, vaqt davrlarini hisoblashda va iqtisodiy
masalalarda bo‘linish qoidalari ishlatiladi.
Hayotiy misollar:
Kalendar tizimi: Yilni 4 ga bo‘lish orqali to‘g‘ri yil va kabisa yilni aniqlash mumkin.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
110
Vaqt hisoblash: 24 soatni va 60 daqiqani hisoblashda umumiy bo‘luvchilar va karrallar
ishlatiladi.
Xulosa va takliflar
Xulosa
Bo‘linish belgilari sonlar nazariyasining muhim qismini tashkil etadi. Umumiy bo‘luvchi
va umumiy karrali tushunchalari matematikada keng qo‘llaniladi. Ularning amaliy ahamiyati
esa kundalik hayotdagi turli masalalarni yechishda namoyon bo‘ladi.
Takliflar
Kelgusida, bo‘linish belgilariga asoslangan algoritmlarni o‘rganish va ularni yanada
chuqurroq tahlil qilish foydalidir. Matematik algoritmlar va ularning zamonaviy dasturlarda
qo‘llanilishi ham o‘rganish uchun qiziqarli yo‘nalish bo‘lishi mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Poletika, A. (2015). Sonlar nazariyasi. Tashkent: Universitet nashriyoti.
2.
Klimov, V. M. (2013). Matematik tahlilning asoslari. Moskva: Yusupov nashriyoti.
3.
Vinogradov, I. M. (2017). Sonlar nazariyasiga oid masalalar. Moskva: Oliy maktab
nashriyoti.
4.
Evklid, (300 y. avval). Evklidning elementlari.
5.
Andreev, A. L. (2018). Bo‘linish belgilari va ular bilan bog‘liq masalalar. Tashkent: Fizmat
nashriyoti.
6.
Romanov, A. P. (2020). Matematik algoritmlar va Evklid algoritmining amaliy
qo‘llanilishi. Moskva: Buxoro universiteti nashriyoti.
