Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
19-to’plam 2-son May 2025
278
TO'PLAMLAR NAZARIYASINING ASOSIY TUSHUNCHALARI VA
AMALLARI
Qurbonov Shuhrat Zarifovich
QDTU Shahrisabz oziq-ovqat muhandisligi fakulteti mustaqil izlanuvchisi
Misirova Sojida Azamatovna
QDTU Shahrisabz oziq-ovqat muhandisligi fakulteti 1-kurs talabasi
Annotatsiya.
Ushbu
maqolada
to'plamlar
nazariyasining
asosiy
tushunchalari, turlari hamda ular ustida bajariladigan amallar haqida ilmiy tahlil
keltiriladi. To'plam tushunchasi matematikaning markaziy elementlaridan biri
bo‘lib, uning elementlari va turli turdagi to'plamlar, masalan, chekli, cheksiz va
bo‘sh to'plamlar, shuningdek, to'plamlar ustidagi birlashma, kesishma, ayirma va
simmetrik ayirma kabi amallar tahlil qilinadi. Maqola nazariy asoslarni misollar
bilan mustahkamlab, matematikaning boshqa sohalarida qo‘llanilish
imkoniyatlarini ko‘rsatadi.
Kalit so‘zlar. To'plam, element, birlashma, kesishma, ayirma, simmetrik
ayirma, chekli to'plam, cheksiz to'plam, bo'sh to'plam, mantiqiy iboralar, o’zaro
bir qiymatli moslik, ekvivalent, sanoqli to’plam, sanoqsiz to’plam.
Kirish.
To'plam — matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u
ta’riflanmaydigan, faqat misollar orqali tushuntiriladigan tushuncha sifatida qabul
qilinadi. Masalan, auditoriyadagi talabalar to'plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar
to'plami, kitobdagi ma’lum betdagi so‘zlar to'plami, alifbodagi harflar to'plami va
boshqa shunga o‘xshash ko‘plab real obyektlar to‘plam sifatida qaraladi.
To‘plamni tashkil qiluvchi har bir obyekt uning elementi deb ataladi va odatda
katta lotin harflari bilan (A, B, C, ...) to‘plam, kichik harflar bilan (a, b, c, ...) esa
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
19-to’plam 2-son May 2025
279
elementlar belgilanadi.
Asosiy qism.
To’plam-matematikaning asosiy tushunchilardan biri bo’lib, aniq
belgilanadigan va o’zaro farqlanadigan elementlardir.[1]
To’plamlar nazariyasining asoslariga nemis matematigi Georg Kantor
tomonidan asos solingan.
To'plamlarning asosiy xossalari va turlari
To'plam elementlari soni va ularning tartiblanishi o‘zaro farq qilmasligi —
to'plamlarning hajmlilik aksiomasiga asoslanadi.
To'plamlar ikki asosiy usul bilan beriladi:
1.Elementlarning ro‘yxati orqali (masalan, A = {qizil, sariq, yashil}).
2.Xarakteristik xossa orqali (masalan, A = {svetofor ranglari to‘plami}).[2]
Elementlar soniga qarab to'plamlar:
1.Chekli
to‘plamlar (elementlari soni chegaralangan). Masalan,
auditoriyadagi talabalar to'plami.
2.Cheksiz to‘plamlar (elementlari soni chegaralanmagan). Masalan, barcha
natural sonlar to'plami.
3.Bo‘sh to‘plamlar (elementsiz to‘plamlar). Bo‘sh to‘plam {
∅
} belgisi bilan
ifodalanadi.[3]
To’plamlar nazariyasida ko’plab uchraydigan mantiqiy iboralar
quyidagilar:
x
∈
X – x X
to’plamning elementi;
x
∈
̅̅̅
X- x X
to’plamning elementi emas;
∀
x
∈
X – X
to’plamga tegishli barcha
x
elementlar (uchun);
∃
x
∈
X – X
to’plamga tegishli kamida bitta x element mavjud;
Ushbu
∈, ∉, ∀, ∃
belgilar mos ravishda tegishlilik, tegishli emaslik,
umumiylik, mavjudlik kvantorlari deyiladi. Kvantor so’zi mantiqiy ibora
ma’nosini bildiradi.
Matematikaning ko‘plab sohalarida sonli to'plamlar keng qo‘llaniladi:
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
19-to’plam 2-son May 2025
280
N — barcha natural sonlar to‘plami,
Z — barcha butun sonlar to‘plami,
Q — barcha ratsional sonlar to‘plami,
R — barcha haqiqiy sonlar to‘plami,
C — barcha kompleks sonlar to‘plami.[4]
Matematikada, asosan, sonlar va turli sonli miqdorlar to’plami bilan ish
ko’riladi. Shu sababli, elementlari sonlardan iborat bo’lgan to’plamlarni batafsil
o’rganishga kirishamiz.
Agar A to’plam chekli sondagi elementlardan tashkil topgan bo’lsa
“chekli to’plam”, aks holda “cheksiz to’plam” deyiladi. Masalan,
A={2,4,6,8,10}- chekli to’plam, bir nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami-
cheksiz to’plam.
Barcha 1,2,3, … ,n, … natural sonlardan iborat to’plam natural sonlar
to’plami deyiladi va N harfi bilan belgilanadi: N={1,2,3, … ,n, …}
Barcha … -2,-1,0,1,2 … butun sonlardan iborat to’plam butun sonlar
to’plami deyiladi va Z harfi bilan belgilanadi: Z={…,-2,-1,0,1,2,…}. Ravshanki,
N
⊂
Z
Agar A to’plamning har bir a elemntiga B to’plamning bitta b elementi
mos qo’yilgan bo’lib, bunda B to’plamning har bir elementi uchun A to’plamdan
unga mos keladigan bittagina element bor bo’lsa, A va B to’plam elementlari
orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan deyiladi.
Misol
A={3,4,5}, B={8,15,16} o’zaro bir qiymatli moslik 3
→
8, 4
→
15,
5
→
16
Agar A va B to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish
mumkin bo’lsa, ular bir-biriga ekvivalent to’plamlar deyiladi va A
~
B kabi
belgilanadi.
Misol
A={1,2,3,4,5}, B={1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
} to’plamlar ekvivalent to’plam
bo’ladi:
1
⇔
1, 2
⇔
1
2
, 3
⇔
1
3
, 4
⇔
1
4
, 5
⇔
1
5
o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
19-to’plam 2-son May 2025
281
orqali A
~
B ekani kelib chiqadi.
Natural sonlar to’plami N ga ekvivalent bo’lgan har qanday to’plam
sanoqli to’plam, aks holda, sanoqsiz to’plam deyiladi.
Misol
A={2,4,6, … ,2n, …} B={1,3,5, … ,2n-1, …}
C={1,
1
2
,
1
3
, … ,
1
𝑛
, …} to’plamlar sanoqlidir, chunki A
~
N (2n
⇔
n,
n=1,2,3,…) B
~
N (2n-1
⇔
n, n=1,2,3,…) C
~
N (
1
𝑛
⇔
n,
n=1,2,3,…)
To'plamlar ustidagi amallar
To‘plamlar nazariyasida asosan quyidagi amallar bajariladi: birlashma,
kesishma, ayirma va simmetrik ayirma.[5]
1.Birlashma (yig‘indi) A va B to‘plamlarining birlashmasi A
∪
B deb
belgilanib, A yoki B to‘plamlaridagi barcha elementlardan tashkil topgan
to‘plamdir. Masalan, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9} bo‘lsa, A
∪
B = {1, 2, 3,
4, 5, 7, 9}.[6]
2.Kesishma (ko‘paytma) A va B to‘plamlarining kesishmasi A∩B deb
belgilanib, faqat A va B to‘plamlarida mavjud bo‘lgan elementlardan tashkil
topadi: Masalan, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {4, 6, 7, 8, 9} bo‘lsa, A∩B = {7, 9}.[7]
3.Ayirma A to‘plamidan B to‘plamiga tegishli bo‘lmagan elementlardan
tashkil topgan to‘plam A\B deb belgilanadi: Masalan, A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2}
bo‘lsa, A\B = {3, 4}. A = {1, 2, 5}, B = {3, 4} bo‘lsa, A\B = {1, 2, 5}.
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} bo‘lsa, A\B =
∅
(bo‘sh to‘plam).[8]
4.Simmetrik ayirma A va B to‘plamlarining simmetrik ayirmasi AΔB yoki
(A
⊕
B) deb belgilanadi va u A\B va B\A to‘plamlarining birlashmasidan iborat:
Masalan, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {4, 6, 7, 8, 9} bo‘lsa, AΔB = {1, 3, 4, 5, 6, 8}.[8]
To‘plamlar ustidagi amallarning xossalari
To‘plamlar ustidagi amallar matematikada mavjud sonlar operatsiyalariga
o‘xshash xossalarga ega:
Birlashma kommutativ: A
∪
B = B
∪
A.
Kesishma kommutativ: A∩B = B∩A.
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
19-to’plam 2-son May 2025
282
Birlashma assotsiativ: (A
∪
B)
∪
C = A
∪
(B
∪
C).
Kesishma distributiv: (A
∪
B)∩C = (A∩C)
∪
(B∩C).
Lekin ayrim xossalar barcha holatlarda to‘g‘ri emas, masalan,
(A
∪
B) ∩ (B
∪
C)≠(C∩B)
∪
A.[8]
Faraz qilaylik, E={x} biror haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. Agar
∃
M= const,
∀
x
∈
E uchun x
≤
M tengsizlik bajarilsa, E to’plam yuqoridan chegaralangan
to’plam deyiladi, M son esa E to’plamning yuqori chegarasi deyiladi.Masalan
E=[0,1] bo’lsin. Bu to’plamning har bir elementi 1 dan katta emas. Demak, E=[0,1]
to’plam yuqoridan chegaralangan. Agar to’plam yuqoridan chegaralangan bo’lsa,
uning yuqori chegaralari cheksiz ko’p bo’ladi. Masalan, E=[0,1] to’plam uchun 1
va undan katta har bir haqiqiy son uning yuqori chegarasidir.
Yuqoridan chegaralangan E={x} to’plamning yuqori chegaralarining eng
kichigi E ning aniq yuqori chegarasi deyiladi va sup E kabi belgilanadi.
Masalan, E=[0,1] to’plam uchun sup E=1
Agar shunday
∃𝑚
=const,
∀
x
∈
E uchun x
≥
m tengsizlik bajarilsa, E to’plam
quyidan chegaralangan deyiladi, m son esa E to’plamning quyi chegarasi deyiladi
Masalan, E=(0,2) to’plamning har bir elementi 0 dan katta, demak E quyidan
chegaralangan. Agar to’plam quyidan chegaralangan bo’lsa, u cheksiz ko’p quyi
chegaralarga ega bo’ladi. Masalan, E=(0,2) to’plam uchun 0 va undan kichik har
bir haqiqiy son uning quyi chegarasi bo’ladi.
Quyidan chegaralangan E={x} to’plamning quyi chegaralarining eng
kattasiga E ning aniq quyi chegarasi deyiladi va inf E kabi belgilanadi.
Masalan, E=(0,2) to’plamning aniq quyi chegarasi inf E=0
Xulosa.
To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari va amallari matematikani
chuqurroq anglash uchun muhim poydevor hisoblanadi. Birlashma, kesishma,
ayirma va simmetrik ayirma kabi amallar nafaqat nazariyada, balki amaliy
hayotdagi murakkab muammolarni hal qilishda ham keng qo‘llaniladi. Shunga
qaramay, to‘plamlar ustidagi ba’zi xossalar sonlar operatsiyalaridagi kabi oson va
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
19-to’plam 2-son May 2025
283
aniq emas, bu esa yanada ehtiyotkorlik va chuqur tahlil talab qiladi. To‘plamlar
nazariyasining mohiyatini puxta anglash ilmiy izlanishlarda va kundalik hayotda
yuzaga keladigan ko‘plab vazifalarni samarali hal qilishda yo‘l ko‘rsatadi. Shu
bois, to‘plamlarni va ularning amallarini yanada chuqurroq o‘rganish, ularga
nisbatan sezgirlikni oshirish har bir matematik va mutaxassis uchun zarur.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.Halmos, P. R. (1960). Naive Set Theory. Springer. DOI:
2.Enderton, H. B. (1977). Elements of Set Theory. Academic Press. DOI:
10.1016/B978-0-12-238440-6.50006-7
3.Jech, T. (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer. DOI:
4.Suppes, P. (1972). Axiomatic Set Theory. Dover Publications. DOI:
5.Kuratowski, K., & Mostowski, A. (1968). Set Theory with Applications.
10.1016/B978-0-12-434050-0.50001-5
6. Sh.Z. Kurbanov (2023) STEAM EDUCATIONAL PROGRAMS IN
IMPLEMENTATION OF INDEPENDENT EDUCATION OF STUDENTS IN
THE MODULE CREDIT SYSTEM //American Journal of Technology and
Applied Sciences Volume 10, March, 2023, 7-10.
7. STEAM ЁНДАШУВИ АНИҚ ФАНЛАР ТАЪЛИМИНИНГ АМАЛИЙ
ҲАЁТДА ҚЎЛЛАНИШИНИ ТАЪМИНЛОВЧИ ТАЪЛИМ}, volume={2},
url={https://scholar-journal.org/index.php/s/article/view/71}
8. Primov T.I., Qurbonov S.Z. Matematik modellarni tuzishda variatsion
tamoillar. “Academic Research in Educational Sciences”. 2021, Volume 2,
Issue
