102
MODULLI TENGLAMALAR VA ULARNING YECHIM USULLARI
Mamaraimov Bekzod Qodirovich
Terdu akademik litseyi matematika fani o‘qituvchisi.
Maxmudov A’zam Qudratovich
Terdu akademik litseyi matematika fani o‘qituvchisi.
Musurmonov Ma’ruf Akrom o‘g‘li
Terdu akademik litseyi matematika fani o‘qituvchisi.
https://doi.org/10.5281/zenodo.15589910
Tenglamalar maktab matematika kursining asosiy va mazmunan boy yo‘nalishlaridan biri
sanaladi. Ayni paytda, ularning o‘rganilishi ilk bosqich — birinchi sinfdan boshlab boshlanadi
va bu davomiylik orqali o‘quvchilarda matematik tafakkur bosqichma-bosqich shakllantiriladi.
Tenglama deganda ko‘pincha real hayotdagi turli amaliy masalalarning matematik ifodasi
tushuniladi. Shu sababli ham umumiy o‘rta ta’lim maktablari, shuningdek, akademik litseylarda
tenglamalarga oid bilimlar chuqur o‘rganiladi va ularga alohida e’tibor qaratiladi.
Zamonaviy ta’lim tizimida tenglamalarning bir nechta turlari bilan tanishish va ularni
yechish usullarini o‘rganish alohida ahamiyatga ega. Jumladan, chiziqli va kvadrat tenglamalar
— eng ko‘p uchraydigan va oson tahlil qilinadigan turlari bo‘lsa, kasr-chiziqli, bikvadrat,
irratsional, ko‘rsatkichli, logarifmik hamda trigonometrik tenglamalar murakkabroq bo‘lishi
bilan ajralib turadi. Bu tenglamalarni to‘g‘ri yechish uchun nafaqat formulalarni bilish, balki
ularning mantiqiy asoslarini, grafik ko‘rinishlarini va yechim uslublarini to‘g‘ri anglab olish
zarur.
Shuni ta’kidlash joizki, ayrim hollarda tenglamalarda o‘zgaruvchi bilan bir qatorda
parametrlar ham ishtirok etishi mumkin. Parametrli tenglamalar deganda, yechimlar soni yoki
turi berilgan parametr qiymatlariga bog‘liq bo‘lgan tenglamalar tushuniladi. Bundan tashqari,
modulli tenglamalar ham keng o‘rganiladi. Modul belgisi o‘ziga xos xususiyatga ega bo‘lib,
tenglamaning yechimini aniqlashda alohida yondashuvni talab qiladi. Parametrli va modulli
tenglamalar o‘quvchilarni mustaqil fikrlashga, yechim variantlarini tahlil qilishga va chuqur
tahlil qilishga o‘rgatadi.
Umuman olganda, tenglamalar matematik mantiqni rivojlantirish, muammoli vaziyatlarni
hal qilish ko‘nikmalarini shakllantirishda beqiyos ahamiyat kasb etadi. Shu boisdan ularni
chuqur o‘rganish va o‘quvchilarga sodda, tushunarli tilda yetkazish har bir matematika
o‘qituvchisining muhim vazifalaridan biridir.
Matematikada modul tushunchasi, ya’ni sonning absolyut qiymati, tenglama va
tengsizliklarni tahlil qilishda muhim rol o‘ynaydi. Modulga ega tenglamalar, ya’ni modulli
tenglamalar, ko‘plab amaliy va nazariy masalalarda uchraydi. Bu maqolada modulli
tenglamalarni yechish usullari, ularning xossalari va grafik ko‘rinishlari haqida tahliliy
ma’lumotlar beriladi.
Modul – bu sonning manfiy yoki musbatligidan qat’i nazar, uning absolyut qiymatini
bildiradi. Ya’ni:
|a| = a, agar a ≥ 0
|a| = -a, agar a < 0
Modulli tenglama – bu modul ichida noma’lum o‘zgaruvchi qatnashadigan tenglamadir.
Masalan:
|x - 3| = 5
Analitik usul-Modul ta’rifi asosida tenglama ikki holatda tahlil qilinadi:
103
|x - a| = b
tenglama ikki holatda tahlil qilinadi:
x - a = b yoki x - a = -b
Grafik usul- Tenglamaning har ikki tomonini grafik ko‘rinishda ifodalab, ularning
kesishish nuqtalari orqali yechim topiladi.
Ko‘proq modullar ishtirok etganda, har bir modulning aniqlanish sohasiga asoslangan
holda oraliqlarga ajratib, har bir oraliqda tenglamani yechish zarur.
Misol 1: |x + 2| = 5
Yechim: x + 2 = 5 → x = 3 yoki x + 2 = -5 → x = -7
Misol 2: |2x - 1| = |x + 4|
Yechish uchun har bir modul ochilib, tenglama oraliqlarda tahlil qilinadi.
Modul ichidagi ifoda chiziqli bo‘lsa, grafik V-shaklga ega bo‘ladi. Tenglama grafiklarini
chizish orqali ham yechimlar aniqlanishi mumkin.
Modulli tenglamalar fizika, iqtisod, informatika va muhandislik fanlarida keng
qo‘llaniladi. Ular orqali absolyut xatolik, uzoqlik, normativlar farqi kabi ko‘plab real hayotiy
masalalar ifodalanadi.
1
Xulosa qilib aytganda, matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodning intellektual va
axloqiy kamolotida muhim o‘rin egallaydi. U nafaqat o‘quv fanlari tizimidagi asosiy fanlardan
biri, balki tafakkurni rivojlantiruvchi, aqlni charxlovchi va tartibga soluvchi kuchli vosita
sifatida xizmat qiladi. Matematikani o‘rganish jarayonida o‘quvchilarda mantiqiy fikrlash,
kuzatuvchanlik, aniqlik, topqirlik, mustaqil fikr yuritish va muammoni hal etishga yo‘naltirilgan
yondashuv shakllanadi. Bundan tashqari, matematik ifodalar orqali mulohazalarni izchil va
chiroyli shakllantirish ko‘nikmalari ham rivojlanadi. Bu esa o‘z navbatida o‘quvchilarning
estetik didini, go‘zallikka bo‘lgan ehtiyojini ham orttiradi.
Zamonaviy texnika va texnologiyalar jadal rivojlanayotgan hozirgi davrda insoniyat
taraqqiyoti bevosita ilm-fanning yuksalishiga bog‘liq bo‘lib, maktab ta’limi aynan shu asosiy
ehtiyojlarni qondirishga xizmat qilishi kerak. Shu bois, matematika fanini o‘qitishda zamonaviy
talablar va texnologik yutuqlarni hisobga olish, o‘quv dasturlarini yangilash, uslubiy
yondashuvlarni takomillashtirish alohida ahamiyat kasb etadi. Maktab matematika kursini
zamonaviy ilmiy yutuqlar bilan uyg‘unlashtirish – o‘quvchilarni hayotiy muammolarni
matematik asosda hal etishga tayyorlashning muhim yo‘nalishidir.
Matematika darslari orqali o‘quvchilarda diqqatni jamlash, iroda kuchi, faollik,
mas’uliyatlilik, mustaqil fikrlash va o‘z nuqtai nazarini asosli dalillar bilan himoya qilish kabi
muhim shaxsiy fazilatlar shakllanadi. Shu boisdan, matematika o‘qituvchilari va ushbu
yo‘nalishda tahsil olayotgan talabalar uchun ushbu fan orqali nafaqat bilim, balki tarbiyaviy
maqsadlarga ham erishish imkoniyati mavjud.
Xususan, parametrli va modulli tenglamalarni o‘rganish — o‘quvchilarning mavzuga
qiziqishini oshirish, ularning tafakkurini chuqurlashtirish hamda fanlararo bog‘liqlikni
anglashlarida muhim omil hisoblanadi. Bunday tenglamalar nafaqat matematik bilimlarni
mustahkamlash, balki o‘quvchilar va talabalarni murakkab masalalarni hal qilishga o‘rgatish,
1
Musayev A.M. – “Matematikaning nazariy asoslari”, Toshkent, 2019.
104
turli holatlarni tahlil qilish, yechimlarni taqqoslab baholash kabi ko‘nikmalarni rivojlantirishda
ham katta ahamiyat kasb etadi.
Shunday ekan, parametrli va modulli tenglamalarni o‘rganishga e’tibor qaratish nafaqat
o‘quvchilarning fanga bo‘lgan qiziqishini kuchaytiradi, balki ularda zamonaviy matematik
tafakkurni shakllantiradi. Bu esa bugungi kunda matematika fani oldiga qo‘yilayotgan yuksak
maqsad va vazifalarni amalga oshirishda muhim ahamiyatga ega.Shuningdek, modulli
tenglamalar algebraik tahlilning muhim qismi bo‘lib, ularni yechishda modulning aniqlanish
sohasiga alohida e’tibor berish zarur. Har bir tenglama tahlil etilib, turli usullar orqali yechim
topiladi. Mazkur maqola modulli tenglamalarni o‘rganishda mustahkam nazariy va amaliy asos
bo‘la oladi.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Shabdolov A.S. – “Algebra va analiz asoslari”, Toshkent, 2021.
2.
Сканави М.И. – “Сборник задач по элементарной математике”, Москва, 2018.
3.
Brown R., Churchill J. – “Complex Variables and Applications”, McGraw-Hill, 2009.
4.
Musayev A.M. – “Matematikaning nazariy asoslari”, Toshkent, 2019.
