4
ELLIPTIK TENGLAMALARNING MAKSIMAL VA MINIMAL YECHIMLARI
Qobilova Ozoda Erkin qizi
O’zMU magistr talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.14830295
Annotatsiya:
Ushbu maqola parametrik tenglamalarning maksimal va minimal
yechimlarini ko’rib chiqqan. Nuqtalar to’plami, funksiya va elliptic tenglamalar ko’rib
chiqilgan.
Kalit so’zlar:
Fazo, nuqtalar to’plami, funksiya, ikkinchi tartibli differensial,
operator, elliptic tenglamalar.
𝑆
𝑚
− 𝑚
o’lchamli fazo bo’lsin.
𝑆
𝑚
fazoning barcha nuqtalarini
𝑥, 𝑦, …
bilan
belgilaymiz, bu nuqtalarning koordinatalari
(𝑥
1
, 𝑥
2
, … 𝑥
𝑚
), (𝑦
1
, 𝑦
2
, … 𝑦
𝑚
), …
bo’lsin,
𝑟 = 𝑥𝑦
̅̅̅
-
𝑥
va
𝑦
nuqtalar orasidagi masofa,
𝑑𝑥, 𝑑𝑦, … − 𝑆
𝑚
fazodagi hajm elementi,
𝑑
𝑥
𝜎
orqali
yoki, agar noto’g’ri tushinishga olib kelmasa
𝑑𝜎 −
maydon elementi
(𝑚 − 1) − 𝑥
nuqtadagi o’lchovli sirt. Nihoyat,
𝑚 − 1
o’lchamli sharsimon sirt maydonni
𝑤
𝑚
orqali
quidagicha yozamiz:
𝑤
𝑚
=
2𝜋
𝑚
2
Γ (
𝑚
2 )
𝑆
𝑚
fazodagi ixtiyoriy
𝐴
nuqtalar to’plamining chegarasi , to’ldiruvchisi esa
bilan belgilanadi. To’plam orqali
𝐴
ni to’liq qoplaymiz.
𝐴
to’plam ochiq va bog’langan bo’lsa mintaqa, agar u mukammal va ichki
bog’langan bo’lsa yopiq mintaqa [1] deb ataymiz va har bir nuqta uning ichki
nuqtalari uchun to’planish nuqtasidir.
Γ(𝑥, 𝜌) −
markazi
𝑥
va radiusi
𝜌
bo’lgan
𝑚
o’lchamli sharni ya’ni
𝑥𝑦
̅̅̅ ≤ 𝜌
bo’lgan y nuqtalar to’plamini bildirsin.
𝐴
to’plamda
𝑓(𝑥)
funksiya aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.
𝐴
dagi
𝜆
ko’rsatkichli
Gyolder shartini qanoatlantiradi,agar
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)|
𝑥𝑦
̅̅̅
𝜆
𝐴
ga tegishli x va y uchun yuqoridan chegaralangan.
𝐶
sohada aniqlangan
𝑚
2
+ 𝑚 + 1 𝑎
𝑖𝑘
(𝑥), 𝑏
𝑖
(𝑥), 𝑐(𝑥) (𝑖, 𝑘 = 1,2, … 𝑚)
funksiyalarni ko’rib chiqamiz;
keyin ikkinchi tartibli differensial operatorni
𝐷𝑅
bilan belgilaymiz.
𝐷𝑅 = ∑ 𝑎
𝑖𝑘
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑘
+ ∑ 𝑏
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
+ 𝑐 (2.1)
𝑚
𝑖=1
𝑚
𝑖,𝑘=1
Faraz qilaylik (agar bizga boshqacha shart berilmagan bo’lsa, biz buni har doim
bajaramiz
𝑎
𝑖𝑘
= 𝑎
𝑘𝑖
.
U holda
∑ 𝑎
𝑖𝑘(𝑥)𝜆
𝑖
𝜆
𝑘
kvadrat shakl aniqlansa va
𝐶
da barcha
𝑥
uchun bir xil
belgiga ega bo’lsa,
𝐷𝑅
elliptik tipdagi operator deb ataladi.
Aniqroq bo’lishi uchun , shakl aniqlangan deb faraz qilaylik. U holda, agar
𝐴(𝑥)
uning diskriminanti bo’lsa,
𝑥 ∈ 𝐶
uchun
𝐴(𝑥) > 0
𝑓(𝑥)
ham
𝐶
da aniqlangan funksiya bo’lsin. Biz o’z oldimizga differensial
o’rganishni qo’yamiz:
𝐷𝑅𝑢 = 𝑓 (2.2)
5
Ushbu funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari doim
𝜌
𝑖
,
𝜌
𝑖𝑘
kabi
belgilaymiz. Ular yordamida
(2.2)
tenglamani quidagicha yozishimiz mumkin
∑ 𝑎
𝑖𝑘 𝜌
𝑖𝑘
+ ∑ 𝑏
𝑖
𝜌
𝑖
+ 𝑐𝑢 = 𝑓 (2.3)
𝑚
𝑖=1
𝑚
𝑖,𝑘=1
𝐶
sohada
𝑢(𝑥)
funksiyani
(2.2)
tenglamaning regulyar yechimi deb ataymiz, agar
𝑢
𝐶
ning
𝐶
(2)
sinfiga tegishli bo’lsa va
𝐶
ning barcha nuqtalarida
(2.2)
tenglamani
qanoatlantirsa.
(2.2)
tenglamaning regulyar yechimlari uchun ushbu tenglama chegaraviy
masalalarni shakllantirish va o’rganishda asosiy rol o’ynaydigan ma’lum maksimal va
minimal xususiyatlar mavjud.
Agar C mintaqasida
→ (1
0
) 𝑐 ≤ 0, 𝑓 < 0, [𝑓 > 0] 𝑣𝑎 𝑐 < 0, 𝑓 ≤ 0, [𝑓 ≥ 0] ,
shartlar
bajarilsa
(2.2)
tenglamalar regulyar yechimi bajarilmaydi.
[ musbat nisbiy maksimal]
Misol uchun, nisbiy minimal nuqtani ko`rib chqamiz:unda
𝑃
𝑖
= 0
bo`lmasligi kerak,
∑ 𝑝
𝑖𝑘
𝛼
𝑖
𝛼
𝑘
≥ 𝑜
va shuning uchun
𝐷𝑅𝑢 − 𝐶𝑢 = ∑ 𝑎
𝑖𝑘
𝑝
𝑖𝑘
≥ 𝑜
Haqiqatan ham kvadratik shakl
∑ 𝑎 𝛼
𝑖
𝛼
𝑘
har doim m chiziqli shakllar kvadratli yig`indisi
sifatida ifodalanishi mumkinligini hisobga olsak.
∑ a
ik
m
i,k=1
𝛼
𝑖
𝛼
𝑘
= ∑[∑ 𝑔
𝑟𝑠
𝛼
𝑠
]
𝑚
𝑠=1
𝑚
𝑟=1
Olamiz
𝐷𝑅𝑢 − 𝐶𝑢 = ∑ ∑ 𝑝
𝑖𝑘
𝑔
𝑟𝑖
𝑔
𝑟𝑘
≥ 𝑜
𝑚
𝑖,𝑘=1
𝑚
𝑟=1
Boshqa tomondan agar bu nuqtada u
< 0
bo`lsa, u holda teorema farazlari tufayli
𝐷𝑅𝑢 −
𝐶𝑢 = 𝑓 − 𝑐𝑢 < 0
Teorema yuzaga kelgan qarama-qarshilikdan kelib chiqadi Hopf
[1]
yanada umumiy
bayonotni isbotladi.
References:
1.
Sadullayev A.S. Ko’p argumentli golomorf funksiyalar. 2004-y.
2.
Хейман У.,Кеннеди П., Субгармонические функции. М., МИР, 1980.
