62
NOKORREKT VA TESKARI MASALALAR: TA’RIFLARI, XUSUSIYATLARI VA
MISOLLAR
Asqaraliyeva Gulzodaxon Murodjon qizi
Farg'ona davlat universiteti talabasi
asqaraliyevagulzoda01@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15673798
Annotatsiya:
Ushbu maqolada nokorrekt va teskari masalalarning nazariy ta’riflari,
ularning xususiyatlari, shuningdek, amaliy hayotdagi muhim misollar va ularning yechim
usullari keng yoritilgan. Nokorrekt masalalar matematik jihatdan barqarorlik, mavjudlik va
noyoblik shartlarini bajarmaydigan muammolar bo‘lib, teskari masalalar esa berilgan
natijadan sabablarni tiklashga qaratilgan murakkab vazifalar hisoblanadi. Misollar qatoriga
tibbiy tomografiya, geofizik tahlillar va issiqlik tarqalishi masalalari kiradi. Yechimlarda
regulyarizatsiya, iteratsion va ehtimollik yondashuvlari qo‘llaniladi.
Kalit so‘zlar
: nokorrekt masala, teskari masala, regulyarizatsiya, tomografiya, geofizika,
matematik modellash, optimizatsiya, barqarorlik.
Abstract:
This article provides a comprehensive overview of the theoretical definitions
of ill-posed and inverse problems, their properties, as well as important examples from
practical life and their solution methods. Ill-posed problems are problems that do not satisfy
the conditions of mathematical stability, existence and uniqueness, while inverse problems
are complex tasks aimed at restoring causes from a given result. Examples include medical
tomography, geophysical analysis and heat dissipation problems. Regularization, iterative and
probabilistic approaches are used in the solutions.
Keywords
: ill-posed problem, inverse problem, regularization, tomography, geophysics,
mathematical modeling, optimization, stability.
Абстрактный:
В статье подробно рассматриваются теоретические определения
некорректных и обратных задач, их свойства, а также важные примеры из практики и
методы их решения. Некорректно поставленные задачи — это задачи, которые
математически не удовлетворяют условиям устойчивости, существования и
единственности, тогда как обратные задачи — это сложные задачи, направленные на
восстановление причин по заданному результату. Примерами служат медицинская
томография, геофизический анализ и проблемы рассеивания тепла. Решения
используют регуляризацию, итерационный и вероятностный подходы.
Ключевые слова:
некорректная задача, обратная задача, регуляризация,
томография, геофизика, математическое моделирование, оптимизация, устойчивость
Kirish.
Nokorrekt va teskari masalalar hozirgi zamon ilmiy-tadqiqot va amaliyotida
katta o‘rin egallaydi. Ular turli sohalarda — tibbiyotda, geofizikada, injeneriyada,
iqtisodiyotda va boshqalarda yuzaga keladigan murakkab masalalardir. Ushbu masalalar
ko‘pincha ma’lumotlarning to‘liqligi, shovqinlari va o‘lchov xatoliklari bilan birga keladi,
shuning uchun ularni aniq va barqaror yechish qiyin bo‘ladi.
Nokorrekt masalalar matematik jihatdan noaniq, barqaror bo‘lmagan, ba’zan esa noyob
yechimga ega bo‘lmasligi mumkin bo‘lgan muammolar sifatida tasniflanadi. Teskari masalalar
esa, oddiy masalalardan farqli ravishda, natijadan boshlang‘ich sabablarni tiklashga qaratilgan
va ko‘pincha nokorrektlik xususiyatlariga ega.
63
Nokorrekt masalalar ta’rifi va xususiyatlari:
Matematik masala "to‘g‘ri qo‘yilgan"
yoki "korekt" deb ataladi, agar u quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa:
Yechim mavjudligi: Masalaning kamida bitta yechimi bo‘lishi kerak.
Yechimning noyukligi: Masalaning faqat bitta yechimi bo‘lishi zarur.
Barqarorlik: Kirish ma'lumotlaridagi kichik o‘zgarishlar yechimda kichik o‘zgarishlar
keltirib chiqarishi kerak.
Agar ushbu shartlardan birortasi bajarilmasa, masala nokorrekt (ill-posed) deb ataladi.
Ko‘plab amaliy masalalar aynan nokorrekt hisoblanadi, chunki real hayotda o‘lchovlar
shovqinli, noaniq va to‘liq bo‘lmasligi mumkin.
Nokorrekt masalalarning asosiy turlari:
Yechim yo‘q bo‘lishi (masala bajarilmasligi).
Yechim ko‘p bo‘lishi (noaniqlik).
Yechim barqaror bo‘lmasligi (kichik xatoliklar katta o‘zgarishlarga olib kelishi).
Teskari masalalar ta’rifi va xususiyatlari:
Teskari masalalar — berilgan natijalar
asosida sistemaning sabablarini aniqlash vazifasi. Agar oldingi masalada biz sababdan natijani
aniqlasak (to‘g‘ri masala), teskari masalada esa natijadan sababni tiklash kerak bo‘ladi.
Misol uchun, tibbiyotda tomografiyada tanadan o‘tgan nurlarning o‘lchovlari (natija)
asosida organ ichidagi struktura (sabab) aniqlanadi. Yoki geofizikada yer qatlamlari haqida
ma’lumotlarni faqat yuzadagi o‘lchovlar orqali aniqlash.
Teskari masalalar ko‘pincha nokorrekt bo‘ladi, ya’ni ular noyob emas, yechim barqaror
emas, yoki yechim mavjud emas. Shu sababdan ularni yechishda maxsus matematik
metodlardan foydalaniladi: regulyarizatsiya, iteratsion usullar, optimizatsion yondashuvlar va
boshqalar.
Nokorrekt va teskari masalalarga misollar va ularning yechimlari
Meditsina tomografiyasi (Radon transformatsiyasi):
Tomografiyada maqsad —
tananing ichki zichlik funksiyasini tiklash. Bu Radon transformatsiyasi yordamida amalga
oshiriladi:
Rf(θ,s) = ∫_{l(θ,s)} f(x,y) dl,
bu yerda Rf – o‘lchangan proyeksiyalar, f — qidirilayotgan zichlik funksiyasi.
Yechim usullari:
Filterlangan orqaga proyeksiya (Filtered Back Projection).
Tixonov regulyarizatsiyasi.
Iteratsion algoritmlar (ART, SIRT).
Geofizik teskari masalalar:
Yer ostidagi qatlamlar tuzilishini aniqlash uchun seysmik
to‘lqinlarning o‘lchovlari ishlatiladi.
Matematik model:
A(u) = f,
bu yerda u — aniqlanishi kerak bo‘lgan parametrlar (zichlik, elastiklik), f — o‘lchov
signallari.
Yechim usullari:
Gradient va Newton usullariga asoslangan optimizatsion metodlar.
Tixonov regulyarizatsiyasi.
Bayes yondashuvi.
To‘lqin tenglamasi:
64
∂²u(x,t)/∂t² = c(x)²
∇
²u(x,t)
Teskari masala umumiy ko‘rinishi:
A(u) = f
Tixonov regulyarizatsiyasi:
J(u) = ||A(u) - f||² + α ||Lu||²
u* = argmin J(u)
Gradient yondashuvi:
uₖ₊₁ = uₖ - η
∇
J(uₖ)
Bayes yondashuvi:
P(u | f)
∝
P(f | u)
⋅
P(u)
To‘lqin signallari uchun tenglama (manba bilan):
∂²u(x,t)/∂t² -
∇
⋅
(c(x)²
∇
u(x,t)) = s(x,t)
Termal teskari masala:
Issiqlik tarqalish tenglamasida oxirgi vaqtdagi harorat
taqsimotidan boshlang‘ich shartlarni tiklash:
∂u/∂t = k ∂²u/∂x², u(x,T) = f(x).
Bu masala “backward heat equation” deb ataladi va noaniqlik xususiyatiga ega.
Yechim usullari:
Regulyarizatsiya metodlari.
Iteratsion algoritmlar.
Masala: Issiqlik tarqalish tenglamasi:
∂u/∂t = k ∂²u/∂x²,
yakuniy shart: u(x,T) = f(x)
Maqsad: Boshlang‘ich shartni tiklash: u(x,0) ni aniqlash.
Noaniqlik xususiyati:Masala noaniq (ill-posed), ya’ni kichik xatolik boshlang‘ich holatda
juda katta xatoga olib kelishi mumkin.
Yechim usullari: Regulyarizatsiya metodlari (Tikhonov, Fourier filtratsiya)
Iteratsion algoritmlar (Landweber, Quasi-Newton)
Sinus shaklidagi yechim
Shartlar: u(x,T) = sin(πx), 0 < x < 1
T = 1, k = 1
u(0,t) = u(1,t) = 0
Yechim:
u(x,t) = sin(πx)·exp(−π²(T − t))
Boshlang‘ich holat:
u(x,0) = sin(πx)·exp(−π²)
Gauss funksiyasi bilan regulyarizatsiya
Shartlar: u(x,T) = exp(−(x − 0.5)² / σ²), σ = 0.1
T = 0.5, 0 < x < 1
Regulyarizatsiya (Tikhonov):
min‖A·u₀ − f‖² + α‖L·u₀‖²
A — issiqlik operatori
L — identifikatsion yoki hosila operatori
α — regulyarizatsiya parametri
65
Iteratsion yondashuv (Landweber)
Iteratsion formula:
u₀⁽ⁿ⁺¹⁾ = u₀⁽ⁿ⁾ + ω·Aᵀ(f − A·u₀⁽ⁿ⁾)
Amaliy sohalar: Termografiya
Nondestructive testing (NDT)
Biotibbiyot skanerlash
Xatolik ta’siri (noaniqlik)
Shartlar: f(x) = sin(πx) + ε(x), ε(x) — kichik xatolik
Yechimdagi xatolik: ε_{u₀}(x) ≈ ε(x)·exp(π²·T)
Eksponensial ko‘rinishda kuchayadi.
Spektral (Fourier) regulyarizatsiya
Yechim formasi: u(x,t) = Σ [aₙ·exp(−k·(nπ/L)²·(T−t))·sin(nπx/L)]
Regulyarizatsiya uchun:
u_N(x,t) = Σ_{n=1}^{N} [aₙ·exp(−k·(nπ/L)²·(T−t))·sin(nπx/L)]
Yuqori chastotalar olib tashlanadi
Nokorrekt va teskari masalalarni yechish usullari.
Regulyarizatsiya:
Nokorrekt masalalarning barqaror yechimini olish uchun
regulyarizatsiya qo‘llaniladi. Eng mashhur usullardan biri – Tixonov regulyarizatsiyasi:
min_u { ||A u - f||² + α ||L u||² },
bu yerda L — regulyarizator operatori, α > 0 — regulyarizatsiya parametri.
Iteratsion Metodlar
Ko‘pincha iteratsion yondashuvlar (masalan, Gradient pasayishi, Newton usuli) teskari
masalalarning yechimini yaxshilash uchun qo‘llanadi.
Ehtimollik Yondashuvi
Bayes yondashuvi orqali yechim ehtimollik taqsimotlari ko‘rinishida olinadi, bu
noaniqliklarni aniqroq ifodalash imkonini beradi.
Xulosa:
Nokorrekt va teskari masalalar ilm-fan va texnologiyada muhim o‘rin tutadi.
Ularning yechimlari matematik va amaliy jihatdan murakkab, chunki ular ko‘pincha noyob
emas, barqaror bo‘lmagan va ma’lumotlarda xatoliklar mavjud. Shuning uchun ular uchun
regulyarizatsiya, iteratsion va ehtimollik yondashuvlari kabi ilg‘or usullar talab qilinadi.
Kelajakda ushbu masalalarga yangi algoritmlar, yuqori samarali kompyuter
texnologiyalari va chuqur o‘rganish usullarining tatbiqi ushbu sohani yanada rivojlantirishga
xizmat qiladi. Bu esa tibbiyot, geofizika, injeneriya va boshqa ko‘plab sohalarda aniq va
barqaror natijalarga erishishga yordam beradi.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin, Solutions of Ill-Posed Problems, Winston, Washington,
1977.
2.
M. Bertero, P. Boccacci, Introduction to Inverse Problems in Imaging, Institute of Physics
Publishing, Bristol, 1998.
3.
To‘xtasinov M. "Jarayonlar tadqiqoti", Toshkent, 2017.
4.
Engl H. W., Hanke M., Neubauer A. "Regularization of Inverse Problems", Kluwer
66
Academic, 2000.
5.
Groetsch C.W. "The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the
First Kind".
6.
Kabanikhin S.I. "Inverse and Ill-posed Problems: Theory and Applications".
