198
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
OʻZ-OʻZIGA QOʻSHMA BOʻLMAGAN OPERATORLAR UCHUN SPEKTRAL
MASALALARNI SONLI YECHISH
Yoqubjonov Dilshod
Mirzo Ulugʻbek nomidagi Oʻzbekiston Milliy universiteti, Toshkent shahri, Universitet
koʻchasi, 2-uy. a) dillshodyoqubjonov@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.14435911
Annotatsiya.
Mazkur maqolada oʻz-oʻziga qoʻshma operatorlar uchun spektral
masalalarni sonli tadqiq qilish usullari tahlil qilinadi. Tadqiqotning asosiy qismi sifatida
operatorlarning spektral xususiyatlarini aniqlashda qo‘llaniladigan matematik
yondashuvlar va algoritmlar bayon etilgan. Mualliflar spektral masalalarning yechimlarini
hisoblashda uchraydigan murakkabliklarni yengib o‘tish uchun taklif qilingan sonli
usullarni misollar yordamida ko‘rsatib, ularning samaradorligini baholaydilar. Tadqiqot
natijalari turli fan sohalarida qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan spektral tahlil jarayonlarini
optimallashtirish imkoniyatini yaratadi. Maqola oʻz-oʻziga qoʻshma operatorlar bilan
ishlashda qiziqish bildiruvchi olimlar va mutaxassislar uchun muhim manba hisoblanadi.
Kalit so’zlar:
spektral masalalar; sonli tadqiq qilish; spektral xususiyatlar; matematik
yondashuvlar; algoritmlar; sonli usullar; tahlil jarayonlarini optimallashtirish.
Аннотация.
В инженерных приложениях по определению собственных частот
при колебаниях и критических сил в задачах устойчивости важное место занимает
численная реализация спектральных задач. В данной работе предлагается численный
подход разрешения дифференциальной проблемы в спектральных задачах для
несамосопряженных операторов. В качестве примера рассмотрена задача об
определении критических сжимающих сил и крутящих моментов в стержнях.
Ключевые слова:
численная реализация; спектральных задач; численный
подход; разрешения дифференциальной проблемы; несамосопряженные операторы;
критические сжимающие силы; крутящие моменты в стержнях.
Annotation.
Numerical realization of spectral problems occupies an important place in
engineering applications for determining natural frequencies during oscillations and critical
forces in stability problems. In this paper, we propose a numerical approach to solving the
differential problem in spectral problems for non-self-adjoint operators. As an example, the
problem of determining the critical compressive forces and torques in the rods is considered.
Keywords:
numerical implementation; spectral problems; numerical approach;
solutions to the differential problem; non-self-adjoint operators; critical compressive forces;
torques in rods.
Ko‘plab muhandislik masalalari spektral tenglamalar tizimini ko‘rib chiqishga olib
keladi, bu tizim faqat undagi ayrim parametrning qiymati ma'lum bo‘lganda yagona yechimga
ega bo‘ladi. Ushbu parametr tizimning xususiy yoki xarakteristik qiymati deb ataladi.
Spektral masalalarni koordinata funksiyalari berilgan holda yechish, xarakteristik
tenglamalar yordamida xususiy sonlarni aniqlashga qaratilgan algebraik masalaga olib keladi.
Ushbu algebraik masala Uilkinsonning [1] fundamental ishida batafsil o‘rganilgan.
Kelib chiqadigan qiyinchiliklarni yengib o‘tish maqsadida, xususiy sonlarni aniqlashga
oid algebraik masala o‘rniga spektral masalalarda unga o‘xshash differensial masalani yechish
taklif qilinadi. Kollattsning [2] fundamental ishida qo‘shma operatorlar uchun differensial
masalalarni yechish yondashuvlari, qo‘llanma mexanikasining dinamik masalalaridagi
199
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
tenglamalarni yechishda ko‘rib chiqilgan. Lekin bu yondashuv o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan
operatorlarga tatbiq etilmaydi [3].
O‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan operatorlar nazariyasi konservativ bo‘lmagan tizimlarda
yuzaga keladigan jarayonlarni matematik o‘rganish uchun zarur bo‘lib, zamonaviy fizika va
mexanikada muhim rol o‘ynaydi. Bu nazariya so‘nggi paytlarda matematiklar, fiziklar va
ba'zan muhandislar tomonidan katta qiziqish uyg‘otmoqda [4].
O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar nazariyasidan farqli o‘laroq, 1950-yilgacha o‘z-o‘ziga
qo‘shma bo‘lmagan operatorlar nazariyasida hech qanday spektral taqsimotlar yoki ildiz
vektorlarining to‘liqligi haqidagi teoremalar keltirilmagan edi.
O‘sha yili M.V. Keldishning [5] ishi paydo bo‘ldi, unda u keng sinfdagi polinomial
operatorlar to‘plami uchun ildiz vektorlarining to‘liqligi va xususiy sonlarning asimptotik
xususiyatlari haqidagi teoremalarni aniqladi.
Ishlarda [6-9] spektral masalalarda differensial muammolarni sonli yechishga qaratilgan
yondashuvlar taklif qilingan.
ECHISH USULI
O'lchamsizlashtirilgan bir o'lchovli spektral masala differensial tenglamalar tizimini
vektor-matrisa shaklida quyidagicha ifodalash mumkin [6]:
[C(x) '+ Q(x) ]'+ A(x) '- pB(x)
= 0
V
V
V
V
(1)
x
'+ b
0
0,
x
a
at x
l
V
V
(2)
bu yerda,
C(x), Q(x), A(x), B(x)
– matrisa-funksiyalar,
,
x
x
a
b
–
konstanta-matrisalar bo‘lib,
ularning ko‘rinishi qaralayotgan masalaning xususiyatlariga bog‘liq. Bu yerda xususiy qiymat
p gomogen chegaraviy masala (1)–(2) yechimi notrivial bo‘lishi shartidan aniqlanadi.
Mazkur chegaraviy masala matrisa differensial usuli yordamida yechiladi [9]. Buning
uchun quyidagi gomogen oddiy differensial tenglamalar tizimi kiritiladi:
[C(x) '+ Q(x) ] + b
0
V
V
V
(3)
Bu yerda
,
-
matrisa-funksiyalari quyidagi Koshining no-gomogen masalasi yechimi
sifatida aniqlanadi:
1
-1
0
-1
0
0
' [ A(x)
]C (x)
(0)
a C (0)
'
B(x) Q(x)
(0)
b - a C (0) Q(0)
(4)
Chegaraviy shartlar (2) va (3)ni hisobga olgan holda,
х = l
nuqtadagi noma'lumlar
U
(
l
),
U
′
(
l
)
uchun quyidagi
2×n o‘lchamli chiziqli algebraik tenglamalar tizimi hosil bo‘ladi:
(l) C(l)
(l)
(l) Q(l)
0
a
b
0
l
l
U'
U
(5)
Bu tizim xususiy qiymat
р
dan noaniq tarzda bog‘liq. Xususiy qiymatlar shartdan
aniqlanadi:
(l) C(l)
(l)
(l) Q(l)
( )
det
0
a
b
l
l
S p
(6)
Hosil bo‘lgan ildiz qiymatlari
р
к
(6) tenglamasidan (5), ga qo‘yiladi va baza funksiyalari
U
′
к
(
l
),
U
к
(
l
) hisoblab chiqiladi. Keyin bu qiymatlar matrisa differensial usulining orqaga
yurish sxemasi yordamida [9]
хЄ
[
l
,0] oralig‘ida baza funksiyalarini aniqlashda ishlatiladi.
Yuqoridagi sxema spektral masalani analitik yechishda qo‘llanilishi mumkin. Sonli
200
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
realizatsiyada esa xususiy qiymatlarni aniqlash uchun Vegshteynning iteratsion jarayoni [10]
tuziladi:
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
(
),
(
),
(
)(
)
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
S p
p
S
p
p
p
p
p
p
(7)
Iteratsion jarayonni to‘xtatish sharti quyidagicha belgilanadi:
(
)
n
S
(8)
Bu yondashuv spektral masalalarni samarali va aniq yechish imkonini beradi. Ma’lumki,
amaliy mexanika chegaraviy masalalarining yechimiga oid tenglamalarning operatorlari
musbat aniqlik va qo‘shma xususiyatlarga ega bo‘lishi matematik fizikaning juft tartibli
differensial tenglamalari asosiy yoki tabiiy chegaraviy shartlar bilan berilgan holda
ta’minlanadi. Bunday holatlarda spektral masalalarda xususiy sonlarning musbat aniqligi va
baza funksiyalarining ortonormalligi qat’iy isbotlanadi.
Shu bilan birga, amaliy mexanika masalalarini yechishda ayrim hollarda
tenglamalarning differensial operatorlari o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmasligi mumkin. Bunday
hollarda spektral masalalarni yechishning murakkabligi shundan iboratki, ba’zi hollarda
xususiy sonlar chegaraviy shartlarda ham qatnashishi mumkin. Misol uchun, sterjenning
siqilishi va burilishining bir vaqtda yuzaga kelishi quyidagi spektral masalani keltirib
chiqaradi [2]:
2
2
[D(DU ) ] + Р[(DU ) + DU ] + M U + Р U
0
(9)
Chegaraviy shartlar bilan:
2
U = (DU ) + РU + M
x
U / D =
= 0,
0
l
(10)
Bu yerda D — sterjenning buralish qattiqligi, P — uzunligi bo‘ylab siqilish kuchi, M —
tashqi buralish momenti, U — konstruksiyaning siljishi. Bunday holda xususiy sonlar sifatida
siqilish kuchining kritik qiymati P ham, burilish momentining kritik qiymati M ham qabul
qilinishi mumkin. Ushbu masalada siqilish kuchi P uchun parabolik bog‘lanish mavjud. Bu
yerda yechim tenglamasi konvektiv hadni -
2
M U '
o‘z ichiga oladi va xususiy sonlar chegaraviy
shartlarda ham ishtirok etadi. Shuning uchun, ushbu masala uchun yechim tenglamasining
operatori o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan hisoblanadi.
Belgilarni soddalashtirish uchun
W
DU''
deb belgilasak, to‘rtinchi tartibli oddiy
differensial tenglama uchun spektral masala o‘rniga ekvivalent bo‘lgan ikkinchi tartibli oddiy
differensial tenglamalar tizimini olamiz:
2
2
(DW ') ' P(2W
D ' U ') M U ' P U
0
W
U ''
0
D
(11)
2
M
W '
P
U '
0
D
U
0
(12)
Agar (1) va (2)-spektral masalasida funksiyalar matritsalari va konstanta matritsalari
sifatida quyidagilarni qabul qilsak:
201
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
2
2
2
0
1
0
1
M
D
0
0
0
0
2 P
PD'+ M
C =
, Q =
, A =
, B =
,
1
0
1
0
0
0
0
0
-
D
M
1
0
0
W
P+
=
=
,
=
=
, V =
D
0
0
1
U
0
a
a
b
b
Shunda u (11) va (12)-masalalarga ekvivalent bo‘ladi.
Birlashtirilgan spektral masalani yechish uchun chegaraviy va spektral masalalarni
yechishga mo‘ljallangan amaliy dasturlar to‘plami ishlab chiqilgan. Ushbu dasturlar paketi
matritsali differensial usuli asosida, Windows-10 integratsiyalangan muhitida Turbo-Pascal
tilida yozilgan.
NATIJALAR TAHLILI
Ma'lumki, spektral masalalar (11) va (12) neft va gaz sohasi burg‘ilash quduqlarida
uchraydi. Quduqlarda burg‘ilash uskunasi siqilish yuklari va burilish momentlarining
birgalikdagi ta’siriga duch keladi. Ushbu yuk va momentlarning kritik qiymatlariga yetganda,
burg‘ilash uskunalarida avariya holatlari yuzaga keladi. Shu sababli siqilish kuchining kritik
qiymati
−𝑃
𝑘
va burilish momentining kritik qiymati
−М
𝑘
ni aniqlash amaliy ahamiyat kasb
etadi.
Olingan natijalardan kelib chiqadiki, burilish momentining ta’siri oshishi bilan siqilish
kuchining kritik qiymati kamayadi, biroq boshqa tomondan, siqilish kuchini kamaytirish
orqali burilish momentining kritik qiymatini oshirish mumkin. Ushbu holatlarni murakkab
tog‘-geologik tuzilmalarga ega neft va gaz konlarini o‘zlashtirish jarayonida hisobga olish
zarur. Masalan, lyoss tuproqli konlarda burg‘ilash uskunasini past aylanish tezligida yuqori
siqilish yuklamasi bilan ishlatish mumkin.
Spektral masalalarning differensial muammosini sonli yechishda shunday xususiyat
aniqlanganki, hatto simmetrik chegaraviy shartlarda (ushbu masalada kuzatiladigan holat)
ham baza funksiyalarining shakli koordinata bo‘yicha nosimmetrik bo‘ladi (1-rasm).
а)
b)
Эпюра базисных функций при совместном
сжатии Р=1.474 и кручении М=2.5
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
progib
ygol
ygol
usilie
Эпюра базисных функций при совместном
сжатии Р=2.443 и кручении М=0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
прогиб
угол
момент
усилие
202
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
c)
d)
а) Р= 1,474, М=2,5. b) Р= 2,443, М=0. c) Р= 2,306, М=1. d) Р= 1,045, М=2,9.
1-Rasm.
Siqilish kuchi - P va burilish momenti - Mning baza funksiyalarining
taqsimlanish xarakteriga ta'siri
Grafiklardan ko‘rinib turibdiki, burilish momenti va siqilish kuchining kritik qiymatlari
turli kombinatsiyalarida sterjenlar uchun muvozanat shakllarida sifat o‘zgarishlari sodir
bo‘ladi. Shu tariqa, o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan operatorlar uchun spektral masalalarni
yechishda simmetrik baza funksiyalarni tanlash har doim ham maqsadga muvofiq emas. Bu
holatlar xususiy sonlarni belgilangan baza funksiyalari asosida aniqlashga oid algebraik
masalalarni hal qilishda kuzatiladi. Shu nuqtai nazardan, o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan
operatorlar uchun spektral masalalarda differensial masalalarni sonli yechish istiqbolli
yo‘nalish hisoblanadi.
ASOSIY XULOSALAR
1. Differensial supurishning raqamli usuli differensial masalani spektral masalalarda,
shu jumladan o'ziga qo'shilmagan operatorlar uchun echishda ancha samarali yondashuv
bo'lib chiqdi.
2. Taklif etilayotgan yondashuv o'ziga xos qiymatlar mavjudligida va chegara sharoitida
spektral muammolarni ham muvaffaqiyatli hal qiladi.
3. Bosim kuchlari va momentlarning birgalikdagi ta'sirida novdalarning barqarorligi
muammolari ko'rib chiqiladi.
Adabiyotlar
1. Дж.Уилкинсон, Алгебраическая проблема собственных значений (Наука, Москва,
1970), 584 с.
2. Л.Коллатц, Задачи на собственные значения (Наука, Москва, 1968), 503 с.
3. И.Ц.Гохберги М.Г.Крейн, Введение в теорию несамосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве (Наука, Москва, 1965), 448с.
4. В.А. Ильин, Спектральная теория дифференциальных операторов (Наука, Москва,
1991), 368 с.
5. М.В.Келдыш, О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов
несамосопряженных уравнений (ДАН №1, Москва, 1951), 11-14 с.
6. А.Б. Ахмедов, Численное решение спектральных задач (ФАН, Ташкент, 2012), 118 с.
7. A.B.Akhmedov, Numerical solution of differential problems in the spectral tasks (ISJ
Theoretical & Applied Science №2 (32), Scranton, USA, 2015), рр. 87–91.
8. A. B. Akhmedov, Numerical solution of spectral problem for self-ad joint operators
(European applied sciences №1, Stuttgart, Germany, 2016) 17-21с.
Эпюра базисных функций при совместном
сжатии Р=2.306 и кручении М=1
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
progib
uqol
moment
usilie
эпюра базисных функций при совместном
сжатии Р=1.045 кручении М=2.9
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
progib
ygol
moment
usilie
203
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
9. А.Б. Ахмедов Численный аналог метода Фурье при решении спектральных задач
(ДАН РУзN4, Ташкент, 2006), 47-50с.
10. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики (Наука, Москва, 1973),
237 с.
