14
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ВЗАИМОДЕЙСТВА ПРОДОЛЬНЫХ - ВОЛН
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В УПРОГОЙ СРЕДЕ
Эсанов Нуриддин Курбонович
Университет Алфраганус. Узбекистан
https://doi.org/10.5281/zenodo.14924143
В цилиндрической система координатах
, ,
r
z
расматривается распростронение
продольных волн. Линейной уравнение движенине механических систем в векторной
форме при отсутственние обемних сил принимает вид.
(рис 1)
2
2
2
2
u
u
graddi u
t
; (1)
;
(1
)(1
2
)
2(1
)
vE
vE
v
v
v
; (2)
Здесь
)
,
,
(
z
у
x
u
u
u
u
-
вектор перемещения точек среды;
- плотность среды;
v
-
коэффициент Пуассона;
,
- коэффициент Ламе.
Вектор перемешений среды представляем в виде потенциала
, (
,
,
)
r
z
u
grad
rot
(3)
(3) подставляя (1) то получил следующею дифференциал уравнения среды
[1].
15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
0;
0;
;
Z
Z
р
S
c
t
c
t
r
r r
r
z
(4)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
0;
0
r
r
r
r
s
s
r
r
c
t
r
r
c
t
;
p
C
,
s
C
- продольная и поперечная скорость распространение волн среде.
На свободной поверхности полости
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
p
pp
p
pp
p
pp
rr
rr
r
r
rz
rz
G
G
G
G
G
G
; (5)
Решения уравнения (4) ищем в виде
0
0
0
0
0
0
cos
cos
cos
(
)
(
)
(
)
( );
( );
( );
P
P
P
w
w
w
i n
z wt
i n
z wt
i n
z wt
C
C
C
r
z
r
e
r
e
r
e
r
(6)
(6) подставляем в (4), в в результате получим уравнения среды в следующий виде
2
2
2
2
0
2
2
2
( )
1
( )
(1 cos
)
( )
0
p
r
r
n
r
r
r
r
c
r
2
2
2
2
0
2
2
2
( )
( )
1
(1 cos
)
( )
0
z
z
z
s
r
r
n
r
r
r
r
c
r
(7)
2
2
,
,
2
2
0
,
2
2
2
( )
( )
1
1
(1 cos
)
(
1)
( )
0
r
r
r
s
r
r
n
r
r
r
r
c
r
Где
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
2
1
(1 cos
)
;
(1 cos
)
;
(1 cos
)
(
1) ;
p
s
s
n
n
n
c
r
c
r
c
r
(8)
Соответствующие волновые числа продольных и поперечных волн.
Общая решения (7) в потенциалах имеет следующий вид.
0
0
cos
(
)
( )
0
0
0
sin
(
)
p
i n
z
t
c
p
n
n
J
r
;
0
0
cos
(
)
(
)
(2)
0
0
sin
(
)
p
i n
z
t
c
pp
n
n
A
H
r
; (8)
0
0
cos
(2)
(
)
(
)
0
(
)
(2)
0
(
)
cos
(
)
s
ps
i n
z
t
c
n
pz
n
n
H
r
B
C
H
r
;
(
)
p
- падающая волна расширения,
(
)
pp
- отраженная волна расширения,
(
)
(
)
,
ps
pz
- отраженная волна сдвига по оси Z,
;
16
0
- амплитуда продольных падающих волн;
0
,
0
- угол падающей и
отраженных волн;
(
)
n
J
r
,
( 2)
(
)
n
H
r
,
(2)
(
)
n
H
r
,
( 2)
(
)
n
H
r
-
функция Бесселя и Ханкеля второго рода n – го порядка; A,B,C – неизвестные
коэффициенты которое определяется с граничных условий. Когда значение аргумента (7)
увеличивается больше трех тогда для вычислении значении функции Бесселя и Ханкеля
используется асимптотика.
Кольцевое напряжения полости.
2
(2)/ /
2
(2)
2
(
)
0
2
2
(2)/
(2)
0
2
2
2
(2)
(2)/
0
0
1
1
(
)
1 2
1 2
1
sin
2
cos
1
1 2
1 2
1
1
cos
cos
n
n
pp
n
n
so
n
n
so
H
r
n
H
r
r
G
A
H
r
H
r
r
c
i
B
H
r
C
i n
H
r
r c
r
Кольцевое напряжение полости при различных углах
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
И.И.Сафаров – Колебания волны в диссилакативна неоднородных средах и
конструкциях издательство “Фан” Ташкент 1991г.
2.
Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц – Теория упругости М. “ НАУКА” ГРФМЛ 1987
