25
ГЛАДКОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА
𝑮(𝟐, 𝒏)
Рахмонова Шохрух Муйсиновича
Национальный Университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека
Магистрант 2-ого курса
https://doi.org/10.5281/zenodo.15524614
Мы обозначаем через
G
, множество 2-мерных плоскостей пространства
n
,
проходящих через 0. Если
Π
— такая плоскость, то через
𝐺
Π
обозначается совокупность
плоскостей из
𝐺
, проектирующихся на
Π
без вырождения.
Фиксируем в
Π
ортонормированный базис
(𝑒
1
, 𝑒
2
)
и дополняем его репером
(𝑒
3
, … , 𝑒
𝑛
)
до ортонормированного базиса пространства
n
. Если
𝐿 ∈ 𝐺
Π
, то в
𝐿
имеется
единственный репер
(𝑓
1
, 𝑓
2
)
, проектирующийся в
(𝑒
1
, 𝑒
2
)
, и, разлагая его по векторам
(𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
, … , 𝑒
𝑛
)
, мы получаем:
1
1
2
2
3
3
,
.
n
n
k k
k k
k
k
f
e
a e
f
e
b e
Плоскость
𝐿
натянута на векторы
(𝑓
1
, 𝑓
2
)
.
Окрестность
𝑈
Π
определяется как множество всех плоскостей
𝐿 ∈ 𝐺
Π
, натянутых на
векторы
(𝑓
1
, 𝑓
2
)
.
Аналогично определяется окрестность
𝑈
Π
′
для другой плоскости
Π′
с базисом
(𝑒
1
′
, 𝑒
2
′
)
и репером
(𝑒
3
′
, … , 𝑒
𝑛
′
)
.
Рассмотрим отображение:
2(
2)
3
3
:
,
( ,
,
, ,
, ).
n
n
n
U
L
a
a b
b
B
𝑈
Π
∩ 𝑈
Π
′
рассматриваем отображение
1
, то есть:
3
3
3
3
( ,
,
, ,
, )
(
,
,
,
,
,
).
n
n
n
n
a
a b
b
a
a b
b
Соответственно, найдем
𝑓
1
и
𝑓
2
относительно
(𝑒
1
′
, 𝑒
2
′
)
:
1
1
2
2
1
2
3
3
,
.
n
n
k
k
k
k
k
k
f
e
e
a e
f
e
e
b e
Из этого выражения получаем, что:
,
A
где
𝐴
— матрица перехода. Значит, находим соотношение:
3
3
3
3
(
,
,
,
,
,
)
( ,
,
, ,
,
),
n
n
n
n
a
a b
b
F a
a b
b
где
𝐹
— гладкая функция. Аналогично доказываем остальные композиции
1
Лемма о карте гладкого многообразия: Пусть
𝑀
— множество, и предположим, что
нам дано семейство
{𝑈
α
}
подмножеств из
𝑀
вместе с отображениями
:
n
U
,
такими, что выполняются следующие свойства:
1.
Для каждого
α
,
φ
α
— это биекция между
U
α
и открытым подмножеством u
φ
α
(U
α
) ⊆ ℝ
n
.
26
2.
Lля каждого
∀ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐼, 𝜑
𝛽
(𝑈
𝛼
∩ 𝑈
𝛽
)
множества
φ
α
(U
α
∩ U
β
)
открыты в
ℝ
n
.
3.
Всякий
раз,
когда
U
α
∩ U
β
≠ ∅
,
отображение
𝜑
𝛽
∘ 𝜑
𝛼
−1
: 𝜑
𝛼
(𝑈
𝛼
∩ 𝑈
𝛽
) → 𝜑
𝛽
(𝑈
𝛼
∩ 𝑈
𝛽
)
является
гладким.
4.
⋃ U
α
= M
α
5.
Всякий раз, когда
𝑝, 𝑞
являются различными точками в $M$, либо существует
некоторый
,
U
содержащий и
𝑝
, и
𝑞
, или существуют непересекающиеся
множества
.
,
U U p U q U
Тогда
𝑀
имеет единственную гладкую структуру многообразия, так что каждая
пара
(𝑈
α
, φ
α
)
является гладкой картой.
Согласно указанной лемме, $G$ является гладким многообразием размерности
2(𝑛 − 2)
.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А.
Введение в риманову геометрию
. — СПб.: Наука, 1994.
— 318 с.
2.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б.
Начальный курс топологии. Геометрические главы
. — М.:
Наука, 1977. — 488 с.
3.
Хирш М.
Дифференциальная топология
. — М.: Мир.
4.
Рахмонов Ш. М. Геометрия Многообразия Грассмана. Актуальные проблемы
современной геометрии и топологии: Тезисы докладов международной научной
конференции. Ташкент ‘Университет’ 2024г. 225 с.
