326
Bu xildagi masalalar
da qaralgan.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
1.
Vallee Poussin Ch., de la. Lecons sur l‘approximation des functions d‘une variable
reelie. Paris, 1919.
2.
Бари Н.К., О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами
двух сопряженных функции, Изв. АН СССР, сер. Математическая, 19(1955), 285-302 стр;
3.
Мусаев А.О., Ўзаро қўшма функцияларнинг локал модул узлуксизлиги ва
кўпҳадлар билан яқинлашиш орасидаги мунособатлар. Халқ хўжалиги тармоқлари ва
жамиятни ислоҳат даврида ривожлантириш муоммалари Тошкент,1998 ,№3,64-65 б.
BOZOR IQTISODIYOTIDA FUNKSIYA YORDAMIDA ISTE‘MOLCHI UCHUN
TANLOV MASALASINING YECHIMI VA XOSSALARI
Tagayev Odil Nurmuminovich
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ kafedrasi assistenti
Annotatsiya:
Iste‘mol tanlovi masalasi yoki Iste‘molchining bozordagi ratsional xatti-
harakati masalasi iste‘molchining foydalilik funksiyasiga berilgan byudjet cheklovida maksimal
qiymat beruvchi
)
,
(
0
2
0
1
x
x
iste‘mol to‘plamini tanlashdan iborat. Har bir tovarga sarf-harajat
iste‘molchi umumiy daromadining yarmini tashkil etadi va har bir tovarning zaruriy miqdorini
topish uchun shu tovarga sarflanadigan mablag‗ni uning narxiga bo‗lish lozimligini o‗rganish
to‗g‗risida yuritilgan.
Kalit soʻzlar:
Iste‘molchi tanlovi, budjet cheklovi, talab funksiyasi, iste‘molchi, Lagranj
funksiyasi.
Iste‘mol tanlovi masalasi
yoki Iste‘molchining bozordagi ratsional xatti-harakati masalasi
iste‘molchining foydalilik funksiyasiga berilgan byudjet cheklovida maksimal qiymat beruvchi
)
,
(
0
2
0
1
x
x
iste‘mol to‘plamini tanlashdan iborat.
Byudjet cheklovi mahsulotlarga pul xarajatlari pul daromadidan oshmasligini, ya‘ni
I
x
p
x
p
2
2
1
1
ekanligini anglatadi, bu yerda
1
p
va
2
p
lar mos ravishda birinchi va
ikkinchi mahsulotlar bir birligining bozor narxlari,
I
esa iste‘molchining birinchi va ikkinchi
mahsulotlarni sotib olish uchun sarflashga tayyor bo‘lgan daromadi.
1
p
,
2
p
va
I
kattaliklar
berilgan bo‘ladi.
Formal ravishda iste‘mol tanlovi masalasi quyidagi ko‘rinishga ega:
I
x
p
x
p
2
2
1
1
,
0
1
x
,
0
2
x
shartlarda
)
,
(
2
1
x
x
u
(max).
Iste‘mol tanlovi masalasining yechimi bo‘luvchi
)
,
(
0
2
0
1
x
x
to‘plamni iste‘molchi uchun
optimal yechim
yoki iste‘molchining
lokal bozor muvozanati
deb atash qabul qilingan.
Ushbu qo‘yilishda iste‘mol tanlovi masalasi chiziqli bo‘lmagan programmalash masalasi
bo‘ladi. Biroq, agar biror-bir
)
,
(
2
1
x
x
iste‘mol to‘plamida
I
x
p
x
p
2
2
1
1
byudjet
cheklovi qat‘iy tengsizlik ko‘rinishda bajarilsa, u holda biz mahsulotlardan birining iste‘molini va
shu tariqa foydalilik funksiyasini ko‘paytirishimiz mumkin. Demak, foydalilik funksiyasiga
327
maksimal qiymat beruvchi
)
,
(
0
2
0
1
x
x
to‘plam byudjet cheklovini tenglikka aylantirishi, ya‘ni
I
x
p
x
p
0
2
2
0
1
1
bo‘lishi kerak.
Biz, shuningdek,
)
,
(
0
2
0
1
x
x
optimal nuqtada
0
1
x
,
0
2
x
shartlar
)
,
(
2
1
x
x
u
funksiyaning xossalaridan kelib chiqib avtomatik ravishda bajariladi deb hisoblaymiz. Odatda, bu
haqiqatan ham shunday. Ayni bir paytda, agar o‘zgaruvchilarning nomanfiyligi shartlari masala
shartiga oshkor holda qo‘shilmasa, u holda ushbu masala matematik jihatdan ancha sodda holga
keladi.
Demak, iste‘mol tanlovi masalasini
I
x
p
x
p
2
2
1
1
shartda
)
,
(
2
1
x
x
u
(max)
ko‘rinishdagi shartli ekstremumni topish masalasi bilan almashtirish mumkin (chunki bu ikki
masalaning
)
,
(
0
2
0
1
x
x
yechimi bir xil).
Bu shartli ekstremumni topish masalasini yechish uchun Lagranj usulidan foydalanamiz.
)
(
)
,
(
)
,
,
(
2
2
1
1
2
1
2
1
I
x
p
x
p
x
x
u
x
x
L
Lagranj funksiyasini yozib, uning
1
x
,
2
x
,
o‘zgaruvchilar bo‘yicha birinchi tartibli
xususiy hosilalarini topamiz va ularni nolga tenglaymiz:
0
1
1
1
p
u
x
L
,
0
2
2
2
p
u
x
L
,
0
2
2
1
1
I
x
p
x
p
L
.
Hosil qilingan uch noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasidan
noma‘lumni
yo‘qotib, ikki
1
x
,
2
x
noma‘lumli
2
1
2
1
p
p
u
u
,
I
x
p
x
p
2
2
1
1
,
ikkita tenglamalar sistemasini hosil qilamiz va undan iste‘mol tanlovi masalasining
)
,
(
0
2
0
1
x
x
yechimini topamiz.
Iste‘mol tanlovi masalasi
)
,
(
0
2
0
1
x
x
yechimining
0
1
x
va
0
2
x
koordinatalari
1
p
,
2
p
va
I
parametrlarning funksiyalaridir:
)
,
,
(
2
1
0
1
0
1
I
p
p
x
x
,
)
,
,
(
2
1
0
2
0
2
I
p
p
x
x
.
Hosil qilingan funksiyalar birinchi va ikkinchi mahsulotga
talab funksiyalari
deb ataladi.
Тalab funksiyalarining muhim xossasi narxlar va daromadga nisbatan ularning nolinchi darajadagi
bir jinsliligidir, ya‘ni talab funksiyalarining qiymatlari narxlar va daromadning proporsional
o‘zgarishiga nisbatan invariantdir: ixtiyoriy
0
son uchun
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
0
1
2
1
0
1
I
p
p
x
I
p
p
x
,
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
0
2
2
1
0
2
I
p
p
x
I
p
p
x
o‘rinlidir. Bu barcha narxlar va daromad ayni bir xil martaga o‘zgarsa ham, (birinchi yoki ikkinchi
— farqi yo‘q) mahsulotga talab kattaligi o‘zgarmasligini anglatadi.
Ikkita tovarli bitta sodda iste‘mol tanlovi masalasini yechaylik. Bu tovarlarning noma‘lum
miqdorlari
1
x
va
2
x
ga, ularning bozor narxlari esa mos ravishda
1
p
va
2
p
ga teng bo‘lsin.
Qaralayotgan masala
2
1
2
1
)
,
(
x
x
x
x
u
(max) (1)
328
I
x
p
x
p
2
2
1
1
, (2)
0
1
x
,
0
2
x
(3)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Biz aniqlaganimizdek, optimal nuqtada byudjet cheklovi tenglik ko‘rinishida
bajarilishi kerak, binobarin, ikkala tovar o‘ta zarur bo‘lgani uchun (agar ulardan biri yo‘q
bo‘lsa, foydalilik nolga teng bo‘ladi) o‘zgaruvchilarning nomanfiyligi shartlari avtomatik
ravishda bajariladi. Demak, yechilayotgan matematik programmalash masalasi shartli
ekstremumni topishning klassik masalasiga aylanadi. Ekstremumning zaruriy shartlarini
yozib (ularga asosan tovarlar limit foydaliliklarining nisbatlari ularning bozor narxlari
nisbatlariga teng bo‘lishi kerak, byudjet cheklovi esa tenglik ko‘rinishida bajariladi),
2
1
1
2
p
p
x
x
,
I
x
p
x
p
2
2
1
1
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bundagi birinchi shart qaralayotgan masalada ikkala tovarga sarflanadigan pul miqdorlari
bir xil, ya‘ni
1
1
2
2
p
x
p
x
bo‘lishi kerakligini anglatadi.
Bu foydalilik funksiyasida
1
x
va
2
x
o‘zgaruvchilarning «vaznlari» yoki daraja ko‘rsatkichlari tengligidan kelib chiqadi. Demak,
2
1
1
2
2
I
p
x
p
x
va talab funksiyalari
1
1
2
p
I
x
;
2
2
2
p
I
x
ko‘rinishni oladi.
Shunday qilib, har bir tovarga sarf-xarajat iste‘molchi umumiy daromadining yarmini
tashkil etadi va har bir tovarning zaruriy miqdorini topish uchun shu tovarga sarflanadigan
mablag‘ni uning narxiga bo‘lish lozim.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
1.Шодиев Т.Ш. ва бошқалар. Иқтисодий-математик усуллар ва моделлар. Ўқув
қўлланма. –Т.: ТДИУ, 2010. – 297 б.
2.Фомин Г.П.Математические методи и модели в коммерческой деятелности.
Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2009. – 395 с.
3.Шапкин А.С. Математические методи и модели исследования операций.
Учебное пособие. –М.: Дашков и К., 2009. – 361 с.
4. Turakulov O. K., Halimov U. H. TENDENCIES FOR THE DEVELOPMENT OF
TECHNICAL EDUCATION FOR FUTURE ENGINEERS //Mental Enlightenment Scientific-
Methodological Journal. – 2022. – Т. 2022. – №. 2. – С. 307-316.
OPTIMAL BOSHQARUV MASALASINING UMUMIY QO‘YILISHI
Hamdamov Foziljon Rustamjon oʻgʻli
O‗zbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ mutaxassisligi magistranti
Annotatsiya:
Ishda optimal boshqaruv masalasining umumiy ko‘rinishida qo‘yilishi:
obyektning harakat dinamikasi, joiz boshqaruvlar sinfi, obyektning boshlang‘ich va so‘ngi
holati,sifat kriteyasi, tezkorlikni chiziqli masalasi o‘rganilgan.