www.sci-p.uz
III SON. 2025
61
ANIQ INTEGRALNING AMALIY TADBIQLARI
PhD
Kayumova Mеxribonu
Toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti
ORCID: 0000-0002-1966-9287
Abdukarimov Qamariddin
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
ORCID: 0009-0004-7802-1554
qamariddinabdukarimov5@gmail.com
Baxtiyorov Maxsudjon
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
ORCID: 0009-0005-7563-8118
Annotatsiya
.
Mazkur maqolada aniq integralning amaliy tatbiqlari chuqur tahlil etilgan.
Dastlab, tekislikdagi geometrik shakllar
yuzasini hisoblashda aniq integralning qo‘llanilishi
tushuntirilgan. Shuningdek, iqtisodiy masalalar, jumladan mahsulot hajmi, mehnat unumdorligi,
Djini koeffitsiyenti orqali daromad notekisligini aniqlash kabi misollar keltirilgan. Talab va taklif
funksiy
alariga asoslangan holda iste’molchi hamda ishlab chiqaruvchining yutuqlari aniq
integral yordamida ifodalangan. Har bir mavzu matematik formulalar, grafiklar va hayotiy
misollar bilan yoritilgan bo‘lib, integral hisoblashning nafaqat nazariy, balki iqtiso
diy va ijtimoiy
amaliyotdagi ahamiyati ko‘rsatib berilgan. Mazkur ish aniq integralni o‘rganayotgan talabalar
va iqtisodiy masalalarda matematik usullarni qo‘llashni istaganlar uchun foydali manba
hisoblanadi.
Kalit so
‘
zlar:
aniq integral, Djini koeffitsiyenti, talab funksiyasi, taklif funksiyasi, Lorens egri
chizig
‘
i, bozor muvozanati, iqtisodiy model, matematik tahlil.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
PhD
Каюмова Мехрибону
Ташкентский государственный экономический университет
Абдукаримов Камариддин
Ташкентский государственный экономический университет
Бахтияров Максуджон
Ташкентский государственный экономический университет
Аннотация
.
В статье дается углубленный анализ практических приложений
определенного интеграла. Вначале объясняется применение определенного интеграла
при вычислении площади поверхности геометрических фигур на плоскости. Приводятся
также
примеры
экономических
проблем,
включая
объем
производства,
производительность труда и неравенство доходов через коэффициент Джини. На основе
функций спроса и предложения выгоды потребителя и производителя выражаются с
помощью
определенного
интеграла.
Каждая
тема
проиллюстрирована
UOʻK:
517.3
61-66
www.sci-p.uz
III SON. 2025
62
математическими формулами, графиками и примерами из реальной жизни,
демонстрирующими важность интегрального исчисления не только в теории, но и в
экономической и социальной практике. Эта работа является полезным источником
информации для студентов, изучающих определенные интегралы, а также для тех, кто
желает применять математические методы к экономическим задачам.
Ключевые слова:
Определенный интеграл, коэффициент Джини, функция спроса,
функция предложения, кривая Лоренца, рыночное равновесие, экономическая модель,
математический анализ.
PRACTICAL APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL
PhD
Kayumova Mehribonu
Tashkent State University of Economics
Abdukarimov Kamariddin
Tashkent State University of Economics
Bakhtiyarov Maksudjon
Tashkent State University of Economics
Abstract
.
This paper provides an in-depth analysis of the practical applications of the
definite integral. It begins by explaining the application of the definite integral to calculating the
surface area of geometric figures in a plane. Examples of economic problems are also given,
including output, labor productivity, and income inequality through the Gini coefficient. Based on
the supply and demand functions, consumer and producer surpluses are expressed using the
definite integral. Each topic is illustrated with mathematical formulas, graphs, and real-life
examples, demonstrating the importance of integral calculus not only in theory but also in
economic and social practice. This work is a useful resource for students of definite integrals, as
well as for those who wish to apply mathematical methods to economic problems.
Keywords:
definite integral, Gini coefficient, demand function, supply function, Lorenz
curve, market equilibrium, economic model, mathematical analysis.
Kirish.
Matematik taxlil oliy matematikaning dastlabki va ayni vaqtda asosiy bo’limi bo’lib
hisoblanadi. Matematika fanining tobora intensiv rivojlanishi, yangi tushunchalar, yangi
g’oyalar bilan boyib borishi bilan uning fan va texnikaning turli sohalariga tadbiq
doirasi
kengayib bormoqda, matematika inson faoliyatining barcha sohalariga kirib bormoqda.
Matematik tahlil metodlarini bilmay turib tabiatda sodir bo’layotgan jarayonlarni, tabiiy fanlar
va texnikaviy adabiyotlarda ko’rilayotgan masalalarni tushunib yet
ish qiyindir. Ammo aniq
integralning amaliy tatbiqlari bu bilan chegaralanib qolmasdan, bulardan tashqari uning
yordamida yana juda ko‘p masalalar o‘z yechimini topadi.
Adabiyotlar sharhi.
Ushbu maqolada foydalanilgan adabiyotlar matematik analiz, xususan aniq integral va
uning amaliy tatbiqlari bo‘yicha ishonchli va asosiy manbalarni tashkil etadi. Jumladan,
Fixtengoltsning (1970)
ikki jilddan iborat “Matematik analiz asoslari” asari bu sohadagi klassik
qo‘llanmalardan biri bo‘lib, integral tushunchasining nazariy asoslari va fundamental
xossalarini chuqur yoritadi. Azlarov va Mansurovning (1986)
ikki qismli “Matematika analiz”
darsliklari o‘zbek tilidagi muhim manba hisoblanib, ayniqsa ta
labalar uchun tushunarli tilda
yozilganligi bilan ajralib turadi.
Qudaybergenovning (2003)
“Matematik analiz kursi” asari ham o‘zbek tilida integral va
uning amaliy tatbiqlari haqida tizimli va batafsil va aniq ma’lumot beradi. Karimov va
To‘laganov
(2015)
tomonidan yozilgan “Matematika va uning amaliy tatbiqlari” kitobi esa
www.sci-p.uz
III SON. 2025
63
matematikaning turli faoliyat yo‘nalishlarida, xususan iqtisodiyotdagi real qo‘llanishlarini
ochib berishga qaratilgan.
Zamonaviy va xalqaro miqyosdagi manba sifatida Larson va Edwardsning (2014) ingliz
tilida yozilgan “Calculus” kitobi keltirilgan bo‘lib, u integral hisoblash bo‘yicha chuqur nazariy
bilimlar va grafik asoslangan yondashuvlarni o‘z ichiga oladi. Bu manba butun dunyo
miqyosdagi talabalar va o‘qituvchilar orasida keng qo‘llaniladi.
Umuman olganda, ushbu adabiyotlar integral tushunchasining nazariy va amaliy
tomonlarini ochib berishda keng qamrovli, turli til va uslubda yozilgan, ilmiy va o‘quv
ahamiyatiga ega bo‘lgan manbalardir.
Tadqiqot metodologiyasi.
Ushbu tadqiqotda aniq integralning amaliy tatbiqlari, xususan geometrik va iqtisodiy
masalalarda qo‘llanilishi o‘rganildi. Tadqiqotda matematik tahlilning asosiy metodlari va aniq
integralning turli sohalariga ta’siri tizimli ravishda ko‘rib chiqildi.
Tahlil va natijalar muhokamasi.
Aniq integralning amaliy
tatbiqlari ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi. Geometrik shakllarning
yuzasini hisoblash orqali grafik asosdagi tahlilga erishiladi. Iqtisodiy masalalarda esa integral
yordamida mahsulot hajmi va ishlab chiqarish samaradorligi baholanadi.
Djini koeffitsiyenti orqali jamiyatdagi daromad notekisligi aniq matematik asosda
hisoblanadi. Bu ijtimoiy tenglikni o‘rganishda muhimdir. Shuningdek, iste’molchi va ishlab
chiqaruvchining yutuqlari talab va taklif grafigi orqali integral yordamida aniqlanadi. Bu bozor
muvozanatini tushunishga yordam beradi.
Umuman, aniq integral real muammolarni matematik modellashtirishda kuchli vosita
bo‘lib, nazariy bilimni amaliyot bilan bog‘laydi.
Tekislikdagi geometrik shakllarning yuzalarini hisoblash. Bizga ma’lumki,
0
)
(
=
x
f
у
funksiya grafigi,
а
=
x
va
b
=
x
vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda
0
=
у
, ya’ni
ОХ
koordinata
o‘qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi aniq integral orqali
( )
b
a
S
f x dx
=
(1)
formula bilan hisoblanadi. Bu formulani umumiyroq hollarda qaraymiz.
Agar
b
а;
kesmada f(x)
0 bo‘lsa, unda tegishli egri chiziqli trapetsiya OX o‘qidan pastda
joylashgan va aniq integral qiymati manfiy son bo‘ladi. Shu sababli bu holda egri chiziqli
trapetsiya yuzasi
=
−
=
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
S
)
(
)
(
(2)
formula orqali topiladi.
Aniq integralning ayrim iqtisodiy tatbiqlari. Aniq integral tushunchasi kiritilayotganda ,
o‘zgaruvchan mehnat unumdorligi bo‘yicha mahsulot hajmini aniqlash masalasini ko‘rgan edik.
Masalan, korxonada mehnat unumdorligi har bir ish kuni davomida
96
,
20
089
,
0
0033
,
0
)
(
2
+
−
−
=
=
t
t
t
f
z
funksiya bilan berilgan bo‘lsin. Bunda 0≤t≤8 bo‘lib, t vaqtni soatda ifodalaydi. Bu
korxonaning yil (258 ish kuni) davomida ishlab chiqargan mahsulot hajmini topamiz:
=
+
−
−
=
+
−
−
=
8
0
2
3
8
0
2
)
96
,
20
0445
,
0
0011
,
0
(
258
)
96
,
20
089
,
0
0033
,
0
(
258
t
t
t
dt
t
t
Q
3504
,
42381
2688
,
164
258
)
68
,
167
848
,
2
5632
,
0
(
258
=
=
+
−
−
=
.
www.sci-p.uz
III SON. 2025
64
Demak, bu korxona bir yilda 42381 dona mahsulot ishlab chiqaradi. Biz bu yerda yana bir
qator iqtisodiy masalalarni aniq integral yordamida yechilishi bilan tanishamiz.
Djini koeffitsiyentini hisoblash masalasi. Aholi o‘rtasida daromadni qanchalik darajada
notekis taqsimlanganligini ifodalovchi y=f(x), x
[0,1], funksiyani qaraymiz (keyingi betdagi 1-
rasmga qarang). Bunda y
–
daromad ulushini, x
–
aholi ulushini belgilaydi.
Bu funksiya grafigini ifodalovchi OBA egri
chiziq Lorents egri chizig‘i deyiladi.
Daromad
aholi
o‘rtasida
tekis
taqsimlangan holda y=x bo‘ladi va bunda
Lorents egri chizig‘i bissektrisadagi OA
kesmaga aylanadi. Shu sababli har qanday
x
[0,1] uchun 0≤f(x)≤x qo‘sh tengsizlik
bajariladi. Bunda OABO geometrik shakl yuzasi
qanchalik katta bo‘lsa, daromadni notekis
taqsimlanish darajasi ham shunchalik katta
bo‘ladi. Shu sababli aholi o‘rtasida daromadni
notekis taqsimotini o‘lchovi sifatida OA
BO shakl
yuzasini OAC uchburchak yuzasiga nisbati olinadi. Bu nisbat Djini koeffitsiyenti deb ataladi va
k orqali belgilanadi. Bu yerda yuzalarni aniq integral orqali ifodalab, Djini koeffitsiyenti uchun
quyidagi formulani hosil etamiz:
−
=
−
=
=
1
0
1
0
1
0
)]
(
[
2
)]
(
[
dx
x
f
x
xdx
dx
x
f
x
S
S
k
OAC
OABO
Masalan, Lorents
egri chizig‘i y=x/(3–
2x), x
[0,1], funksiya bilan berilgan holda Djini koeffitsiyentini (11)
formula bo‘yicha hisoblaymiz:
=
−
+
+
=
−
+
−
+
=
−
−
=
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
k
1
0
1
0
1
0
)
3
2
1
2
3
2
1
(
2
)
3
2
5
,
1
5
,
1
(
2
)
2
3
(
2
352
,
0
)
3
ln
4
3
1
(
2
)
3
2
ln
4
3
2
2
(
2
1
0
2
−
=
−
+
+
=
x
x
x
.
Iste’molchi va ishlab
chiqaruvchining yutuqlari masalasi. Dastlab talab va taklif
funksiyalari tushunchalarini kiritamiz.
Mahsulot birligining narxi
p
va shu mahsulotni iste’molchi tomonidan xarid qilinish halmi
q
orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi p=f(q) funksiya talab funksiyasi deb ataladi. Iqtisodiyotda
narx p, hajm (miqdor) q harfi bilan
belgilanadi va shu sababli talab funksiyasi
an’anaviy
y=f(x)
ko‘rinishda yozilmasdan,
p=f(q)
ko‘rinishda yozildi (2
-rasmga qarang).
Mazmuniga asosan bu funksiya kamayuvchi
bo‘ladi, chunki mahsulot narxi p oshishi bilan
bu mahsulotni xarid qilish hajmi q kamayadi
(yuqoridagi chizmaga qarang).
Mahsulot birligining narxi p va shu
mahsulotni ishlab chiqarilish hajmi q
orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi p=g(q)
funksiya taklif funksiyasi deb ataladi.
Mazmuniga asosan bu funksiya o‘suvchi
X
Y
O
A
B
C
y
=
f
(
x
)
Q
P
O
E
0
q
p
0
p=f
(
q
)
p=g
(
q
)
C
P
CS
PS
2-rasm
1-rasm
www.sci-p.uz
III SON. 2025
65
bo‘ladi, chunki mahsulot narxi p oshishi bilan bu mahsulotni ishlab chiqarish hajmi q oshadi
(yuqoridagi chizmaga qarang).
Talab va taklif funksiyalarning grafiklari qandaydir bir E0(q0,p0) nuqtada kesishadi. Bu
nuqtada iste’molchining talabi hajmi va ishlab chiqaruvchining taklif hajmi o‘zaro teng bo‘ladi.
Bunday holat bozor muvozanati deb ataladi. Bozor muvozanatini keltirib chiqaruvchi mahsulot
hajmi q0 va narxi p0 qiymatlari berilgan talab va taklif funksiyalari bo‘yicha
=
=
p
q
g
p
q
f
)
(
)
(
(4)tenglamalar sistemasidan topiladi.
Bozor muvozanati shartida iste’molchilar o‘zlarining q
0
hajmdagi talablarini qondirishlari
uchun mahsulot birligining p
0
narxda xarid qilib, jami p
0
q
0
miqdorda xarajat qilishlari mumkin.
Ammo bir qism iste’molchilar u yoki bu sabablar bo‘yicha mahsulot xarid qilishni bozor
muvozanati erishiladigan vaqtgacha kutib o‘tira olmaydilar. Bundan tashqari ishlab
chiqaruvchi ham o‘z mahsulotini iloji boricha p
0
narxdan yuqoriroq bahoda sotishga harakat
qiladi. Shu sababli iste’molchi talab etgan q
0
hajmdagi mahsulotni ishlab chiqaruvchi bozorga
birdaniga chiqarmasdan va uning hammasini birdaniga p
0
narxda sotmasdan, u o‘z mahsulotini
Δq
i
(i=1,2,3,∙∙∙, n ) hajmdagi kichik
-kichik partiyalarda bozorga chiqarib, uni f(q
i
)> p
0
narxda
sotadi. Natijada iste’molchi o‘ziga kerak bo‘lgan q
0
hajmdagi mahsulotni xarid qilish uchun p
0
q
0
miqdorda xarajat qilish o‘rniga
=
=
n
i
i
i
n
q
q
f
f
S
1
)
(
)
(
miqdor xarajat qiladi. Mahsulot ishlab chiqarish va uni xarid qilish jarayonlari uzluksiz
ravishda ro‘y berib turadi. Shu sababli
f(x)
talab funksiyasini uzluksiz va mahsulotni kichik-
kichik Δqi hajmli partiyalar soni n→∞ deb olish mumkin. Bu holda , aniq integral ta’rifiga
asosan, iste’molchining q
0
hajmdagi mahsulotni xarid qilish uchun qilgan xarajatining asl
qiymati quyidagi formula bilan aniqlanadi:
=
=
=
=
→
→
0
0
1
)
(
)
(
lim
)
(
lim
q
n
i
i
i
n
n
n
dq
q
f
q
q
f
f
S
S
Bu yerdan ko‘rinadiki, agar iste’molchi o‘zi talab etgan q
0
hajmdagi mahsulotni p
0
bozor
muvozanati narxida xarid qilganda, uning xarajatlari
−
=
−
=
−
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
]
)
(
[
)
(
q
q
dq
p
q
f
q
p
dq
q
f
q
p
S
CS
miqdorda kam bo‘lar edi. Shu sababli CS iste’molchining yutug‘i , ba’zan esa
iste’molchining ortiqcha xarajati deb yuritiladi. Yuqoridagi 2
-
rasmda bu ko‘rsatkich p
0
E0C egri
chiziqli trapetsiya yuzasi kabi ifodalanadi.
Xuddi shundek, ishlab chiqaruvchi bozor muvozanatida o‘zi taklif etgan q
0
hajmdagi
mahsulotni p
0
narxda sotganda p
0
q
0
miqdordagi pul mablag‘iga ega bo‘lar edi. Ammo u bozor
muvozanati bo‘lishini kutib o‘tirmasdan, Δqi hajmda (i=1,2,3,∙∙∙, n ) ishlab chiqargan
mahsulotini darhol bozorga chiqarib, uning har birligini g(q
i
)<p
0
narxda sotadi. Natijada ishlab
chiqaruvchining q
0
hajmdagi mahsulotni sotish orqali erishgan asl pul mablag‘i quyidagicha
bo‘ladi:
0
0
0
1
0
)
(
)
(
lim
)
(
lim
q
p
dq
q
g
q
q
g
g
S
S
q
n
i
i
i
n
n
n
=
=
=
=
→
→
.
Shunday qilib, ishlab chiqaruvchi o‘z mahsulotini bozor muvozanati shartida sotganda
−
=
−
=
0
0
0
0
0
0
0
)]
(
[
)
(
q
q
dq
q
g
p
dq
q
g
q
p
PS
qoshimcha pul mablag‘iga ega bo‘lar edi. Shu
www.sci-p.uz
III SON. 2025
66
sababli PS ishlab chiqaruvchining yutug‘i deb ataladi. Yuqoridagi 2
-
rasmda bu ko‘rsatkich P
p
0
E
0
egri chiziqli trapetsiya yuzasi kabi ifodalanadi.
Masalan,talab funksiya p=f(q)=240
–
q
2
, taklif funksiya esa p=g(q)=q
2
+2q+20 ko‘rinishda
bo‘lganda iste’molchi va ishlab chiqaruvchi yutuqlarini
aniqlaymiz. Buning uchun dastlab
ushbu tenglamalar sistemasini yechamiz:
=
=
=
−
+
−
=
+
+
=
−
−
=
+
+
=
−
=
10
140
0
110
240
20
2
240
240
20
2
240
0
0
2
2
2
2
2
2
2
q
p
q
q
q
p
q
q
q
q
p
q
q
p
q
p
Demak, bozor muvozanati narxi p
0
=140, hajmi esa q
0
=10 bo‘ladi. Unda, (
6) formulaga asosan,
iste’molchining yutug‘i
667
)
6
(
,
666
)
3
100
(
]
140
240
[
]
)
(
[
10
0
3
10
0
2
0
0
0
=
−
=
−
−
=
−
=
q
q
dq
q
dq
p
q
f
CS
q
,
ishlab
chiqaruvchining yutug‘i esa, (
7) formulaga asosan,
=
−
−
=
−
−
=
−
=
10
0
10
0
2
3
2
0
0
767
)
6
(
,
766
)
3
120
(
]
2
120
[
)]
(
[
0
q
q
q
dq
q
q
dq
q
g
p
PS
q
Xulosa va takliflar.
Xulosa Aniq integral tushunchasi nafaqat matematik tahlilning muhim qismi, balki uning
amaliy tatbiqlari orqali ham turli sohalarda muhim rol o‘ynaydi. Ushbu ishda aniq integral
yordamida: Geometrik shakllarning yuzasini hisoblash, Iqtisodiy jarayonlarda mahsulot hajmi
va daromad taqsimotini tahlil qilish, Djini koeffitsiyenti orqali jamiyatdagi daromad
notekisligini baholash, Iste’molchi va ishlab chiqaruvchining yutuqlarini aniqlash kabi
masalalar ko‘rib chiqildi.
Har bir mavzu aniq misollar bilan yoritilgan va integralning iqtisodiy
hamda geometrik sohalarda qanday qo‘llanishi batafsil tahlil qilingan.
Adabiyotlar /
Литература
/Reference:
Azlarov T.A., Mansurov X. (1986) “Matematika analiz”. 1
-qism.
–T., O’qituvchi.
Azlarov
T.A., Mansurov X. (1989) “Matematika analiz”. 2 –
qism. T., O’qituvchi.
Fixtengolts G. (1970) “Matematik analiz asoslari”. I, II tom –
Toshkent O’qituvchi.
Karimov R., To
‘laganov S. (2015) Matematika va uning amaliy tatbiqlari. –
Toshkent,
Universitet.
Kudaybergenov S. (2003) Matematik analiz kursi.
–
Toshkent, Fan.
Larson, R., Edwards, B.H. (2014) Calculus.
–
Cengage Learning, 2014.
