ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
24
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ДРОБНОГО
ПОРЯДКА
Ахметов Куанишбек Низамаддинович
преподаватель математики, Ташкентский институт текстильной
и легкой промышленности Рес.УЗ. г. Ташкент: don10061992@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.14414194
В настоящей дается определения и свойств специальных функции, а
также решаются задачи Коши, Коши-Гурса и Неймана(
N
) для уравнения
гиперболического и эллиптического типов второго рода с сингулярным
коэффициентом.
Ключевые слова:
Интегро-дифференциальный оператор дробного
порядка.
Пусть
0
l
const
,
h
- целая часть
(
0)
c c
,
a
b
,
( )
f x
,
( )
1
( )
,
h
f
x
L a b
,
,
x
a b
.
Определение 1.1.
Оператором интегро-дифференцирования
дробного порядка
c
от функции
( )
f x
называется выражение
1
1
1
1
sgn(
)
( )
,
0
(
) (
)
( )
( ),
0,
sgn(
)
( ),
0,
l
l
x
c
l
l
l
k
c
kx
h
h
c
h
l
kx
x
k
f t x
t
dt
c
c
c
D
f x
f x
c
d
x
k
D
f x
c
dx
(1.9)
где
l
l
c
c
kx
kx
D
D
при
x
k
и
l
l
c
c
kx
x k
D
D
при
x
k
.
l
c
kx
D
и
l
c
x k
D
- операторы,
введенные в [32],[34].
Приведём
некоторые
свойства
интегро-дифференциальных
операторов дробного порядка [32],[34]:
0
1
. Если
1
( )
( , )
f x
L a b
, то при любом
0
( )
( )
ax
ax
D D
f x
f x
,
( , )
x
a b
. (1.10)
0
2
. Если
1
( )
...
0
n
f a
f
a
f
a
,
1
n
n
,
1
n
- целое число,
то
( )
( )
ax
ax
D D f x
f x
,
( , )
x
a b
(1.11)
0
3
. Пусть
1
( )
( , )
f x
L a b
. Тогда: если
0
, то
(
)
( )
( )
ax
ax
ax
D D
f x
D
f x
,
( , )
x
a b
,
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
25
если
0
и функция
( )
f x
на
( , )
a b
имеет производную
( )
ax
D
f x
,
то
( )
( )
ax
ax
ax
D D
f x
D
f x
,
( , )
x
a b
. (1.12)
4
0
.
Теорема 1.1.
[34] Пусть
0
2
1
и
1
1
( ),
( )
(0, )
x
f x
b x
f x
L
b
.
Тогда на
(0, )
b
выполняются соотношения
2
1
1
1
2
1
0
0
0
( )
( )
x
x
x
D x
D
x
f x
x
D
f x
, (1.13)
2
1
1
1
2
1
(
)
(
)
( )
(
)
( )
xb
xb
xb
D
b
x
D
b
x
f x
b
x
D
f x
.
Теорема 1.2.
[34] Пусть
0
2
1
и
1
1
1
( ),
( )
(0, )
x
f x
b
x
f x
L
b
.
Тогда на
(0, )
b
выполняются соотношения
1
1 2
1
1 2
0
0
0
( )
( )
x
x
x
D
x
D
x
f x
x
D
f x
, (1.14)
1
1 2
1
1 2
(
)
(
)
( )
(
)
( )
xb
xb
xb
D
b
x
D
b
x
f x
b
x
D
f x
.
0
5
.
Операторы
,
n
mx
A
и
,
n
mx
B
[29]. Пусть
, ,
a b m
- некоторые
действительные число, причем
a b
,
,
m
a b
,
0, 1
n
, а
f x
-функция,
определения в
,
a b
.
Определение 1.2.
Оператором интегро-дифференцирования с
функциями Бесселя в ядрах называется выражения
,
0
n
x
n
mx
m
t
m
A
f x
f x
f t
J
x
m
x
t
dt
x
m
t
, (1.15)
1
,
0
n
x
n
mx
m
x
m
B
f x
f x
f t
I
x
t t
m
dt
t
m
t
, (1.16)
где
1
,
,
f x
C a b
L a b
, а
J
z
и
I
z
- функция Бесселя порядка
[3],[9]:
2
0
1
/ 2
1
1
k
k
k
z
J
z
k
, (1.17)
2
0
/ 2
1
1
k
k
z
I
z
k
, (1.17)
причем
J
iz
i I
z
.
Операторы
,
n
mx
A
,
,
n
mx
B
и их свойства изучены в книгах[29], [31]:
,0
n
mx
A
E
,
,0
n
mx
B
E
,
0, 1
n
(1.19)
где
E
- единичный оператор.
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
26
Теорема 1.3.
[31] Если
,
f x
C a b
, то для любых
,
m
a b
и
,
x
a b
справедливы следующие равенства:
,
,
n
n
mx
mx
A
B
f x
f x
, (1.20)
,
,
n
n
mx
mx
B
A
f x
f x
, (1.21)
т.е. в классе непрерывных на
,
a b
функций
,
n
mx
A
и
,
n
mx
B
0, 1
n
,
является взаимно обратными оператором.
Замечание 1.1.
Утверждение теоремы 1.3 верна и в том случае, когда
f x
имеет особенность порядка меньше единицы при
x
a
и
x
b
.
0
5
Формула Гаусса-Остраградского [41]:
1
1
cos
,
n
n
i
i
i
i
i
i
S
P x
d
P x
x dS
x
(1.22)
где
1
2
,
,...,
i
i
n
P x
P x x
x
,
S
- границы области
, причем поверхность
S
- кусочно-гладкая, а
cos
,
i
i
x
- направляющие косинусы внешней
нормали
1
,...,
n
к поверхность.
Формула (1.22) при
2
i
принимает вид
,
,
,
,
P x y
Q x y
dxdy
P x y dy
Q x y dx
x
y
(1.23)
и называется формула Грина.
Список использованной литературы:
1.
Gellerstedt S. Sur un probleme aux limitespour equation // Arkiv for
matematik, astronomiochfysik. 1935. 25А. № 10. Р. 1-12.
2.
Urinov A.K., Okboev A.B. Nonlocal Boundary-Value Problem for a
Parabolic-Hyperbolic Equation of the Second Kind. // Lobachevskii Journal of
Mathematics. Vol.41. no. 9. 2020. Pp. 1886–1897 .
3.
Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука,
1965. Т.2. 296 с.
4.
Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука,
1965. Т.1. 296 с.
5.
Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа. //
Некоторые проблемы математики и механики: Сб. науч. тр. Ленинград,
1970. С. 112-119.
6.
Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго
порядка. М.: «Наука». 1966. 204 с.
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
27
7.
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.
Москва: Наука, 1981. 448 с.
8.
Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959.
165 с.
9.
Sindarova,
Shoxista
Maxammatovna
(2021).
OʻYINLI
TEХNOLOGIYALARDAN FOYDALANISH ORQALI O‘QUVCHILARNING BILIM,
KO‘NIKMA VA MALAKALARINI SHAKLLANTIRISH ( CHIZMACHILIK FANI
MISOLIDA). Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social
sciences, 1 (11), 686-691.
10.
10. Maxammatovna, S. S. (2022). Methods of Solving Some Problems of
Teaching Engineering Graphics. Spanish Journal of Innovation and Integrity, 7,
97-102.
11.
11. Рихсибоев, У. Т., Халилова, Х. Э., & Синдарова, Ш. М. (2022).
АutoCAD дастуридан фойдаланиб деталлардаги ўтиш чизиқларини
қуришни автоматлаштириш. Science and Education, 3(4), 534-541.
12.
12. Bobomurotov, T. G., & Rikhsiboev, U. Т. (2022). Fundamentals Of
Designing Triangles Into Sections Equal 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 And 19. Central
Asian Journal of Theoretical and Applied Science, 3(2), 96-101.
13.
13. Makhammatovna, S. S. (2023). Pedagogical and Psychological Aspects
of Improving the Methods of Developing Students' Creative Research. Web of
Semantic: Universal Journal on Innovative Education, 2(3), 37-41.
14.
14. Abdurahimova, F. A., Ibrohimova, D. N. Q., Sindarova, S. M., & Pardayev,
M. S. O. G. L. (2022). Trikotaj mahsulotlar ishlab chiqarish uchun paxta va ipak
ipini tayyorlash va foydalanish texnologiyasi. Science and Education, 3(4), 448-
452.
15.
15. Sindarova, S. (2023). TALABALARDA IJODIY IZLANUVCHANLIKKA XOS
SIFATLARNI SHAKILLANTIRISH USULLARI. Академические исследования в
современной науке, 2(11), 23-29.
16.
16. Sindarova Shoxista Maxammatovna, & Mаxmudov Аbdunаbi
Аbdugʻаfforovich (2022). MUHANDISLIK GRAFIKASI FANLARINI OʻQITISHDA
IJODIY IZLANISH TALAB QILINADIGAN MASALALAR. Ta’lim fidoyilari, 24 (17),
2-275-284.
17.
Rixsiboyev, U. T., & Maxammatovna, S. S. (2023). TEXNOLOGIK
VOSITALAR ORQALI INNOVATSION DARS TASHKIL QILISH. ОБРАЗОВАНИЕ
НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ, 20(8), 168-175.
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
28
18.
Shoxista, S. Abdug’aforovich, MA (2022). METHODOLOGY OF STUDENT
CAPACITY DEVELOPMENT IN TEACHING ENGINEERING GRAPHICS. Gospodarka
i Innowacje, 22, 557-560.
19.
Sindarova, S. M. (2021). IQTIDORLI TALABALAR BILAN SHUG’ULLANISH
METODIKASI.(MUHANDISLIK FANLARI MISOLIDA). Oriental renaissance:
Innovative, educational, natural and social sciences, 1(8), 32-39.
20.
Shoxista, S. (2023). MUHANDISLIK GRAFIKASI FANINI OʻZLASHTIRISHDA
ZAMONAVIY DASTURDAN FOYDALANISH ORQALI TALABALAR IJODKORLIGINI
RIVOJLANTIRISH. Innovations in Technology and Science Education, 2(9), 780-
790.
21.
Синдарова, Ш. (2023). Yosh ijodkorlarni qoʻllab quvvatlash va ular bilan
ishlashni tashkil qilish. Общество и инновации, 4(2), 177-181.
22.
Makhammatovna, S. S. (2023). DEVELOPMENT OF ENGINEERING
GRAPHICS STUDENTS TO CREATIVITY THROUGH IMAGINATION VIEWS.
Лучшие интеллектуальные исследования, 3(1), 22-26.
23.
Takhirovich, A. U., & Makhammatovna, S. S. (2023). Forming Creativity
through the Use of Modern Educational Tools. International Journal of Formal
Education, 2(6), 404-409.
24.
Sindarova,
S.
(2023).
AUTOCAD
DASTURIDAN
FOYDALANIB
TALABALARNING IJODIY IZLANISHLARINI RIVOJLANTIRISH. Наука и
технология в современном мире, 2(14), 38-41.
25.
Mirzaliyev, Z. E., Sindarova, S., & Eraliyeva, S. Z. (2021). Develop students'
knowledge, skills and competencies through the use of game technology in the
teaching of school drawing. American Journal of Social and Humanitarian
Research, 2(1), 58-62.
26.
Sindarova, S. M., Rikhsibaev, U. T., & Khalilova, H. E. (2022). THE NEED TO
RESEARCH AND USE ADVANCED PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN THE
DEVELOPMENT OF STUDENTS'CREATIVE RESEARCH. Academic research in
modern science, 1(12), 34-40.
27.
Mirzaliev, Z., Sindarova, S., & Eraliyeva, S. (2019). Organization of
Independent Work of Students on Drawing for Implementation of the Practice-
Oriented Approach in Training. International Journal of Progressive Sciences
and Technologies, 17(1), 297-298.
