ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
112
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА
ТЕПЛОПЕРЕНОСА
Kong Wenwen
магистрант кафедры программный инжиниринг и искусственный
интеллект Национального университета Узбекистана имени
Мирзо Улугбека
https://doi.org/10.5281/zenodo.15220391
Рассматривается процесс теплопроводности в однородном твёрдом
теле, занимающем двумерную область
.
Уравнение краевой задачи
нестационарной теплопроводности для такого тела в прямоугольной
декартовой системе координат
,
x y
имеет вид [1-4]:
2
2
2
2
0
xx
yy
T
T
K
K
w
x
y
,
(1)
где
( , )
T
T x y
-
поле температур в области
;
,
xx
yy
K
K
- коэффициенты
теплопроводности в направлении
,
x y
соответственно;
( , )
w
w x y
-
мощность теплоисточников внутри тела.
Для частного решения задачи (1) должны быть заданы граничные
условия.
- на части поверхности
1
S
области
задана температура
1
s
T
:
1
1
( , ),
,
s
T
T x y
x y
S
(2)
- на части поверхности
2
S
области
задан тепловой поток
плотностью
q
:
xx
x
yy
y
T
T
K
K
q
x
y
,
(3)
где
,
x
y
-направляющие косинусы внешней нормали к поверхности
2
S
, тепловой поток положителен, если тепло отводится от тела.
Если поверхность
2
S
изолирована, то
q = 0.
- на части поверхности
3
S
тела
происходит конвективный
теплообмен:
(
),
xx
x
yy
y
s
b
T
T
K
K
h T
T
x
y
(4)
где
s
T
- температура поверхности
3
,
b
S
T
- температура внешней среды.
h
- коэффициент теплоотдачи,
(
)
h
s
b
q
h T
T
-плотность теплового потока,
отводимого с поверхности тела из-за конвекции.
Задача (1) - (4) имеет вариационную формулировку: решение
уравнения (1) с граничными условиями (3), (4) эквивалентно нахождению
минимума функционала.
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
113
2
3
2
2
2
1
2
(
)
.
2
2
xx
yy
b
V
S
S
T
T
h
K
K
wT dV
qTdS
T
T
dS
x
y
(5)
Функционал (5) применяется для решения двумерной задаче
теплопроводности методом конечных элементов.
Рассмотренная постановка, демонстрирует важность комплексного
подхода к решению стационарных теплопроводных задач. Уравнение (1)
описывает тепловое поле в теле, а граничные условия (2), (3) и (4)
учитывают различные физические эффекты, такие как постоянная
температура на части поверхности, тепловой поток, и конвективный
теплообмен. Метод вариационной формулировки, представленной через
функционал (5), предоставляет эффективный способ нахождения решения
задачи, при этом функционал используется для численного решения
задачи методом конечных элементов. Это позволяет исследовать сложные
теплопроводные процессы в реальных телах с различными условиями на
границах, что является основой для дальнейших исследований и
приложений в области теплотехники и материаловедения.
Литература:
1.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир,
1979. - 392 с.
2.
O.C. Zienkiewicz, Finite element method in engineering science (MCGRAW-
HILL, LONDON, 1971), pp. 452-460.
3.
S. Bard, F. Schönl, M. Demleitner, and A. Volker, “Influence of Fiber Volume
Content on Thermal Conductivity in Transverse and Fiber Direction of Carbon
Fiber-Reinforced Epoxy Laminates,” Materials 12(17), pp.1-10 (2019).
https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00004653
4.
B. Karakashov, M'Barek Taghite, R. Kouitat, V. Fierro, and A., “Celzard
Mechanical and Thermal Behavior of Fibrous Carbon Materials,” Materials
(Basel), 14(7), pp. 1-26 (2021). https://doi.org/10.3390/ma14071796.
