ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
139
ENG SODDA FUNKSIONAL TENGLAMALAR VA ULARNI YECHISH
Toshpulatov Bobur Rasul o‘g‘li
G‘affarov Husayn Aliyar o‘g‘li
Ismoilov Davronbek Ilxomjon o'g'li
Termiz davlat pedagogika instituti, Matematika
va informatika kafedrasi o‘qituvchisi.
https://orcid.org/0009-0009-9077-917X
https://orcid.org/0009-0004-4775-0391
https://orcid.org/0009-0005-5013-1927
https://doi.org/10.5281/zenodo.15314148
Annotatsiya:
ushbu maqolada eng sodda funksional tenglamalar va ularga
doir masalalarni yechish ko‘zda tutilgan.
Kalit so‘zlar:
to‘plam, monoton funksiya,
uzluksiz yechimlar.
Аннотация:
в данной статье рассматривается решение простейших
функциональных уравнений и связанных с ними задач.
Ключевые слова:
множество, монотонная функция, множество
непрерывных решений
Annotation:
this article deals with the solution of the simplest functional
equations and problems related to them.
Keywords:
set, monotone function, set of continuous solutions
R
E
to`plamda
E
E
x
:
)
(
funksiya berilgan bo`lsin ,
x
x
)
(
va
E
x
0
boshlang`ich nuqta.
0
0
)
(
x
x
x
x
sistemaning
x
x
)
(
E
x
bo`lgandagi, yoki
0
0
)
(
x
x
x
x
sistemaning
x
x
)
(
E
x
bo`lgandagi yechimlar to`plamini
1
E
bilan
belgilaylik.
0
E
deb
1
0
:
)
(
E
x
x
E
0
1
1
)
(
;
E
x
x
E
k
k
.....
2
,
1
,
2
k
bu yerda
x
x
0
)
(
,
))
(
(
)
(
),....
(
)
(
1
x
x
x
x
m
m
deb olaylik,
....
2
,
1
,
0
m
x
x
m
)
(
funksiya
x
x
m
)
(
funksiyaga teskari funksiya, bu
yerda
)
(
x
-qatiy monoton funksiya. Ko`rinib turibdiki
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
140
k
k
E
E
E
~
,
j
i
E
E
j
i
va
1
k
E
x
dan
k
E
x
)
(
,
k
E
x
dan esa
0
)
(
E
x
k
,
1
1
)
(
E
x
k
kelib
chiqadi.
Misol:
1
)
(
x
x
,
R
E
x
0
bo`lsin. U vaqtda
]
),
1
(
(
0
0
k
x
k
x
E
k
quyidagi
)
(
))
(
(
x
x
E
x
)
)
(
(
x
x
(1,1)
faraz qilaylik
k
E
to`plamlardan birida , masalan
0
E
da
)
(
x
-ixtiyoriy
funksiya berilgan bo`lsin. Quyidagi tengliklardan, ya`ni
)
(
))
(
(
x
x
,
k
E
x
0
k
)
(
))
(
(
x
x
k
,
k
k
E
x
)
(
0
k
tengliklardan aniqlangan funksiya
E
to`plamda (1,1) tenglamani
qanoatlantiradi. Shuning uchun bu tenglama bitta ixtiyoriy funksiyaga bog`liq
bo`lgan cheksiz ko`p yechimga ega. [1]
Agar
)
(
x
qat`iy manoton bo`lsa, u vaqtda (1) tenglamaning umumiy
yechimi
))
(
(
)
(
x
x
k
k
E
x
......
2
,
1
,
0
k
(1,2)
ko`rinishida yozishimiz mumkin.
Bunday yechimlarni berilgan tenglamaning ikki tomonlama yechimi
deyiladi.
(1,1) Tenglamaning yechimlar to`plamini
to`plam bilan belgilaylik.
Ma`lumki [], agar uzluksiz , qat`iy monoton , boshlang`ich funksiya
)
(
x
esa
uzluksiz va
)
(
))
0
(
(
0
0
x
x
chegaraviy shartni
x
x
)
(
bo`lganda
qanoatlantirsin yoki
x
x
)
(
bo`lgan vaqtda (1,1) funksional tenglamaning
barcha yechimlari
E
to`plamda uzluksiz bo`ladi.
Yechimlarning (1,1) tenglamani qanoatlantiradigan bunday yechimlar
to`plamini (
)
(
x
ga mos)
1
deb belgilaylik. Ko`rinib turibdiki,
1
to`plam
(1,1) tenglamaning uzluksiz yechimlar to`plamini beradi. [2]
Faraz qilaylik,
)
(
x
funksiya
0
E
to`plamda differensiallanuvchi va
)
0
(
))
0
((
0
0
x
x
shartni qanoatlantirsin. (1,1) tenglamaning
)
(
x
boshlang`ich funksiyaga
mos bunday echimlar to`plamini
2
to`plam bilan belgilaylik. Ko`rinib
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
141
turibdiki bu to`plam (1,1) tenglamani barcha differensiallanuvchi yechimlar
to`plamini beradi. Yuqoridagi tahlillarga asosan
2
<
1
<
munosabatni
y
o
z
i
s
h
i
m
i
z
m
u
m
k
i
n
.
Misollar:
1)
)
(
)
(
x
p
x
tenglama yechimlari to`plamlaridan biri
=
......}
2
cos
,
2
{sin
p
x
p
x
bu yechim barcha
0
P
ga teng bo`lgan davriy, differensiallanuvchi
funksiyalardan iborat yechimlar to`plamini beradi.
2)
)
(
)
2
(
x
x
tenglama yechimlaridan tuzilgan to`plamlardan biri
......}
2
ln
ln
2
cos
,
2
ln
ln
2
{sin
x
x
bu yechim barcha davri
2
ln
ga eng bo`lgan differensiallanuvchi
funksiyalardan iborat yechimlar to`plamini beradi.
3)
)
(
)
1
(
x
x
0
x
bu tenglamaning yechimlaridan tuzilgan to`plamlardan biri
,.....}
)
(ln
,
ln
{cos
2
x
x
bu to`plam funksiyadan tuzilgan barcha juft funksiyalardan tuzilgan
to`plamga ega.
Endi quyidagi funksional tenglamalarni qisqacha tekshirishni qaraylik:
1)
,
)
(
)
)
1
(
(
2
2
t
x
t
x
i
0
funksional tenglamani qaraylik. Bu funksional tenglamalarga mos
differensial tenglamalar trayektoriyalari
x
y
y
x
oddiy differensial tenglamalar sistemasidan iborat bo`lib
2
2
)
(
y
x
ni beradi. Bundagi
ning har bir qiymati bitta
2
L
trayektoriyani beradi
.
Bu quyidagi chizmada aks ettirilgan
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
142
2)
2
)
1
)
(
(
)
1
(
(
t
x
t
x
R
bu funksional tenglamalar oilasiga mos trayektoriyalarning oddiy
differensial tenglamalar sistemasi
2
1
y
y
x
x
bo`ladi. Bunda
1
x
,
;
2
y
,
1
x
;
2
y
,
1
x
;
2
y
),
1
(
2
x
y
1
x
,
R
),
1
(
2
x
y
1
x
,
R
fazoviy tekislikdagi
)
9
,
10
(
))
1
(
),
0
(
(
x
x
nuqta boshlang`ich shartlarni
aniqlaydi. Bu trayektoriyalar oilasidan yagona
}
1
,
1
{
x
x
y
trayektoriya aniqlanadi.
to`g`ri chiziq
1
:
x
x
)
1
,
(
x
akslantirishlar bilan beriladi va boshlang`ich masala
1
)
(
)
1
(
t
x
t
x
10
)
(
t
t
x
,
agar
]
1
,
0
[
t
bo`lsa , masalaga keltiriladi.
Misol.
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
x
y
p
x
y
p
x
y
(1.3)
Differensial tenglamani differensiallab quyidagi funksional tenglamaga
kelamiz va ushbu funksional tenglamani tekshiraylik:
x
ce
x
y
p
x
y
)
(
)
(
(1.4)
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
143
bu yerda
c
ixtiyoriy o`zgarmas son
const
(1.4) fuksional tenglama(yoki
funksional tenglamalar oilasi)ni qaraymiz:
x
p
e
e
c
x
x
y
1
)
(
)
(
(1.5)
bu yerda
)
(
x
- ixtiyoriy differensiallanuvchi
P
davrga ega davriy funksiya
bo`lsin, ya`ni (1.4) tenglamani quyidagi boshlang`ich shartlarda qaraylik
0
),
2
)(
(
)
(
2
)
0
(
x
p
agar
x
p
x
x
y
p
y
(1.6)
0
:
0
x
p
E
da (1.6) ga asosan quyidagiga ega bo`lamiz
)
2
)(
(
1
)
(
x
p
x
e
e
c
x
x
p
bu yerdan
)
2
)(
(
1
)
(
x
p
x
e
e
c
x
x
p
0
x
p
faraz qilaylik
np
x
p
n
)
1
(
bo`lsin, u vaqtda
)
(
x
funksiyaning
davriyligiga asosan
)
2
)
(
)(
(
1
)
(
)
(
)
(
np
x
p
np
x
e
e
c
np
x
x
np
x
p
munosabatni yoza olamiz [3]. U vaqtda
]
,
)
1
[(
np
p
n
x
da quyidagiga ega
bo`lamiz
)
2
)
(
)(
(
)
1
(
1
)
(
np
x
p
np
x
e
e
e
c
x
y
np
x
p
birinchi qadamda ya`ni n=1 da
)
(
)
2
)
(
(
1
1
)
2
)
(
(
)
1
(
1
)
2
)
(
(
)
(
p
x
p
p
p
x
p
p
x
ce
p
x
x
e
e
e
ce
p
x
x
e
e
ce
p
x
x
x
y
ya`ni
)
2
)
(
(
)
(
)
(
p
x
x
ce
x
y
p
x
(1.7)
bu yerdan
p
ce
y
)
0
(
va (1.6) shartga asosan
p
ce
p
2
,
p
pe
c
2
buni (1.7) ga qo`yib birinchi qadamda quyidagiga ega bo`lamiz
x
pe
p
x
x
x
y
2
)
2
)
(
(
)
(
np
x
p
n
)
1
(
ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
144
da esa quyidagiga ega bo`lamiz:
)
(
1
2
)
2
)
(
)(
(
)
(
)
1
(
n
p
p
p
x
e
e
e
pe
np
x
p
np
x
x
y
Xulosa va takliflar (Conclusion/Recommendations).
Eng sodda
funksional tenglamalar va ularning yechimlarini ekspotensial funksiya sifatida
izlash va ularni to`liq misollar ustida ko`rsatib berildi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati (References)::
1.
Bellman R. , Kuk.K.L “Differensial-ayirmali tenglamalar” (M. “MIR”, 1967),
2.
Pinni.E “Обыкновенные дифференциально разностные”, (“IL”,1961),
3.
Mishkis.A.D
“Линейные
дифференциальные
уравнения
запаздывающим аргументом” (M. “Nauka”,1972)
