Аналитическое продолжение функции и исследование особых интегралов в областях с сингулярными границами

ФИЗИКА-ТЕХНИКА ИНСТИТУТИ, ИОН-ПЛАЗМА ВА ЛАЗЕР

ТЕХНОЛОГИЯЛАРИ ИНСТИТУТИ, САМАРҚАНД ДАВЛАТ

УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР БЕРУВЧИ

DSc.27.06.2017.FM/T.34.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ

ДЖУМАБАЕВ ДАВЛАТБАЙ ХАЛИЛЛАЕВИЧ

ФУНКЦИЯЛАРНИ АНАЛИТИК ДАВОМ ЭТТИРИШ ВА

СИНГУЛЯР ЧЕГАРАЛИ СОҲАЛАРДА МАХСУС

ИНТЕГРАЛЛАРНИНГ ТАДҚИҚИ

01.01.01 – математик анализ

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ДОКТОРЛИК (DSc)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

ТОШКЕНТ – 2017

1

УДК: 517.55

Докторлик (DSc) диссертацияси автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата докторской (DSc) диссертации

Contents of the Doctoral (DSc) Dissertation Abstract

Джумабаев Давлатбай Халиллаевич

Функцияларни аналитик давом эттириш ва сингуляр чегарали
соҳаларда махсус интегралларнинг тадқиқи............... 3

Джумабаев Давлатбай Халиллаевич

Аналитическое продолжение функции и исследование особых
интегралов в областях с сингулярными границами….. 29

Djumabaev Davlatbay Khalillaevich

Analytic continuation of functions and study of special integrals in
domains with singular boundaries…………………………… 55

Эълон қилинган ишлар рўйхати

Список опубликованных работ
List of published works.................................................................... 59

2

ФИЗИКА-ТЕХНИКА ИНСТИТУТИ, ИОН-ПЛАЗМА ВА ЛАЗЕР

ТЕХНОЛОГИЯЛАРИ ИНСТИТУТИ, САМАРҚАНД ДАВЛАТ

УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР БЕРУВЧИ

DSc.27.06.2017.FM/T.34.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ

ДЖУМАБАЕВ ДАВЛАТБАЙ ХАЛИЛЛАЕВИЧ

ФУНКЦИЯЛАРНИ АНАЛИТИК ДАВОМ ЭТТИРИШ ВА СИНГУЛЯР

ЧЕГАРАЛИ СОҲАЛАРДА МАХСУС ИНТЕГРАЛЛАРНИНГ ТАДҚИҚИ

01.01.01 – математик анализ

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ДОКТОРЛИК (DSc)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

ТОШКЕНТ – 2017

3

Докторлик (DSc) диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар

Маҳкамаси ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида В2017.1.DSc./FM1 рақам билан
рўйхатга олинган.

Диссертация Ўзбекистон Миллий университетида бажарилган.
Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз (резюме)) Илмий кенгаш веб

саҳифасида

(http://fti-kengash.uz/)

ҳамда

«Ziyonet»

Ахборот-таълим

порталида

(www.ziyonet.uz) жойлаштирилган.

Илмий маслаҳатчи: Худайберганов Гулмирза

физика-математика фанлари доктори, профессор

Расмий оппонентлар: Кытманов Александр Мечиславович

физика-математика

фанлари доктори, профессор

Сибирь федерал университети (Россия)

Шаимкулов Баходир Аллабердиевич

физика-математика фанлари доктори

Имомкулов Севдиѐр Акромович

физика-математика фанлари доктори

Етакчи ташкилот: Урганч Давлат университети

Диссертация

ҳимояси

Физика-техника

институти,

Ион-плазма

ва

лазер

технологиялари

институти,

Самарқанд

давлат

университети

ҳузуридаги

DSc.27.06.2017.FM/T.34.01 рақамли Илмий кенгашнинг 2017 йил «___»___________ соат____
даги мажлисида бўлиб ўтади. (Манзил: 100084, Тошкент ш., Бодомзор йўликўчаси, 2б-уй.
Тел./факс: (99871) 235-42-91, e-mail: lutp@uzsci.net, Физика-техника институти мажлислар
зали.)

Диссертация билан Физика-техника институтининг Ахборот-ресурс марказида

танишиш мумкин ( ______ рақами билан рўйхатга олинган). Манзил: 100084, Тошкент ш.,
Бодомзор йўли кўчаси, 2б-уй. Тел./факс: (99871) 235-30-41.

Диссертация автореферати 2017 йил «____» _______________ куни тарқатилди.

(2017 йил «____» _______________ даги _______ рақамли реестр баѐнномаси).

С.Л.Лутпуллаев

Илмий даражалар берувчи

илмий кенгаш раиси,

ф.-м.ф.д., профессор

А.В.Каримов

Илмий даражалар берувчи

илмий кенгаш илмий котиби,

ф.-м.ф.д., профессор

А.С.Садуллаев

Илмий даражалар берувчи илмий кенгаш

қошидаги илмий семинар раиси

ф.-м.ф.д., академик

4

КИРИШ (докторлик диссертацияси аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.

Жаҳон миқѐсида

олиб борилаѐтган кўплаб илмий-амалий тадқиқотлар кўп ўлчамли комплекс
фазода функцияни аналитик давом эттириш ва сингуляр интеграл оператор
ларни тадқиқ қилиниши долзарб эканлигини кўрсатмоқда. Дастлаб Германия
ва Италия олимлари кўп комплекс ўзгарувчили голоморф функциялар учун
Бохнер-Мартинелли интеграл ифодасини топишган. Франциялик олимлар
томонидан топилган етарли даражада умумий бўлган Коши-Фонтаппье
интеграл ифодаси эса Бохнер-Мартинеллининг ифодасидан осонгина келиб
чиқади. Кўп ўлчамли комплекс анализда интеграл ифодалаш худди бир
комплекс ўзгарувчили функциялар назариясидаги Кошининг ҳар хил ва
муҳим татбиқларига эга булган интеграл ифодаси каби кучли конструктив
қурол ҳисобланади. Шунинг учун ҳам кўп ўлчамли комплекс анализда
интеграл

ифодалаш

ва

уларнинг

татбиқига

оид

тадқиқотларни

ривожлантириш муҳим вазифаларидан бири бўлиб қолмоқда.

Мустақиллик йилларида мамлакатимизда амалий татбиққа эга бўлган

долзарб йўналишларга эътибор кучайтирилди, хусусан, кўп ўлчамли
комплекс фазода функцияларни аналитик давом эттиришда махсус
интеграллардан фойдаланиш мақсадида уларнинг чегаравий хоссаларини
ўрганишга алоҳида эътибор қаратилди. Силлиқ чегарали соҳалар учун
Бохнер-Мартинелли типидаги интегралнинг чегаравий хусусиятига оид

сезиларли натижаларга эришилди.

Ҳозирги кунда жаҳонда сингуляр чегарали соҳаларда функцияни

аналитик давом эттириш масалаларида Бохнер-Мартинелли, Хенкин Рамирез,
Коши-Сеге каби махсус интегралларнинг чегаравий хусусиятларини ўрганиш
ва уларни татбиқ этиш муҳим аҳамият касб этмоқда. Бу борада мақсадли
илмий тадқиқотларни, жумладан, қуйидаги йўналишлардаги илмий
изланишларни амалга ошириш муҳим вазифалардан бири ҳисобланади: кўп
ўлчамли комплекс фазода берилган сингуляр чегарали соҳалар учун
функцияни аналитик давом эттириш; соҳа чегарасида берилган функциянинг
аналитик давом этиши шартига эга бўлиши; сингуляр интеграл
операторларнинг чегаравий хоссаларини тадқиқ этиш; қатъий псевдоқавариқ
соҳаларда ўрин алмаштириш ва композиция формулаларини ҳосил қилиш.
Юқорида келтирилган илмий-тадқиқотлар йўналишида бажарилаѐтган илмий
изланишлар мазкур диссертация мавзусининг долзарблигини изоҳлайди.

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2008 йил 15 июлдаги

ПҚ-916-сон «Инновацион лойиҳалар ва технологияларни ишлаб чиқаришга
татбиқ этишни рағбатлантириш борасидаги қўшимча чора-тадбирлар
тўғрисида» ҳамда 2017 йил 17 февралдаги ПҚ-2789-сон «Фанлар академияси
фаолияти, илмий-тадқиқот ишларини ташкил этиш, бошқариш ва
молиялаштиришни янада такомиллаштириш чора-тадбирлари тўғрисида»ги
Қарорлари ва мазкур фаолиятга тегишли бошқа норматив-ҳуқуқий
хужжатларда белгиланган вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация
тадқиқоти муайян даражада хизмат қилади.

5

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши

нинг устувор йўналишларига боғлиқлиги.

Мазкур тадқиқот республика

фан ва технологиялар ривожланишининг IV. «Математика, механика ва
информатика» устувор йўналиши доирасида бажарилган.

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий тадқиқотлар шарҳи

1

.

Кўп ўлчамли комплекс фазода функцияни аналитик давом эттириш ва
сингуляр интеграл операторларни тадқиқ қилишга оид тадқиқотлар ва илмий
изланишлар етакчи хорижий давлатларнинг илмий марказлари ва олий
таълим муассасалари, жумладан, Princeton University, The University of North
Carolina, University of Massachusetts Boston, Ohio State University, Stony Brook
University, Baldwin Wallace University (АҚШ), Sapienza University of Rome
(Италия), Bergische Universitat Wuppertal, Potsdam University (Германия),
Сибирь Федерал университети, Россия Фанлар академияси Математика
институти, Москва давлат университети, Новосибирск Давлат университети,
Россия ФА Сибирь бўлими Ҳисоблаш математикаси ва математик геофизика
институти (Россия), Bar-Ilan University (Исроил), Université
Stendhal-Grenoble, Universite Pierre et Marie Curie de Paris VI (Франция) да
олиб борилмоқда.

Кўп ўлчамли комплекс фазода чегараси силлиқ бўлган соҳалар учун

функцияни аналитик давом эттириш ва махсус интегралларнинг чегаравий
хоссаларини ўрганишга оид дунѐда олиб борилган тадқиқотлар натижасида

қатор долзарб масалалар ечилган, жумладан, қуйидаги илмий натижалар
олинган: Бохнер (Princeton University (АҚШ)) ва Мартинелли (Sapienza
University of Rome (Италия)), ўзаро боғлиқсиз ҳолда бир биридан хабарсиз
голоморф функцияларнинг компакт махсус хусусиятларини бартараф этиш
ҳақидаги Гартогс теоремасини исботлашди; Бохнер эса, аслини олганда,
чегараси силлиқ бўлган соҳалар ва соҳа чегарасида узлуксиз бўлган
функциялар учун Гартогс теоремасини исботлаган; Вайнсток (Baldwin
Wallace University (АҚШ)) уни чегараси чексиз марта силлиқ бўлган
соҳаларда узлуксиз бўлган функциялар учун исботлади; Л.А.Айзенберг (Bar
Ilan University (Исроил)) ва А.М.Кытмановнинг (Сибирь Федерал
университети (Россия)) ишларида

C

n

да берилган силлиқ чегарали

чегараланган

D

соҳа чегарасида ва чегара бўйича интеграллашда Бохнер

Мартинелли ядросига ортогонал бўлган функцияни голоморф давом эттириш
исботланган.

Дунѐда бугунги кунда кўп ўлчамли комплекс анализда интеграл

ифодаларни тадқиқ этиш ва уларнинг қўлланилиши бўйича бир қатор,
жумладан: Бохнер-Мартинелли интегралининг чегаравий хоссалари ва унинг
функцияни голоморф давом эттириш масалаларига татбиқлари; Бохнер
Мартинелли интегралининг сакраши ҳақидаги теоремалар; Лере (Коши-

1

Диссертация

мавзуси

бўйича

хорижий

илмий-тадқиқотлар

шарҳи:

www.math.prinston.edu,

www.northcorolina.edu, www.umb.edu, www.osu.edu, www.stonybrook.edu, www.bw.edu, www.unirome1.it,
www.uni-wuppertal.de, www.uni-postdam.de, www.sfu-kras.ru, www.mi.ras.ru, www.msu.ru, www.nsu.ru,
www1.bin.ac.il, www.ac-grenoble.fr/stendhal/, www.upmc.fr, http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v136/i4/p567 ва бошқа
манбалар асосида ишлаб чиқилган.

6
Фонтаппье), Хенкин-Рамерез, Коши-Сеге (Хуа Локен) интеграл формулалари
татбиқлари; махсусликка эга бўлган гиперсиртларда

CR

- функцияларнинг

аналитик ифодаси; Морера теоремасининг кўп ўлчамли

чегаравий

аналоглари; шар ва ярим текисликда Бохнер-Мартинелли оператори;
чегараланган соҳанинг чегарасида берилган функциянинг шу

соҳа

ичкарисига голоморф давом этиши; турли соҳаларда Хенкин-Рамирез махсус
интеграли учун ўрин алмаштириш ва композиция формулаларини ҳосил
қилиш каби устивор йўналишларда илмий тадқиқот ишлари олиб
борилмоқда.

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.

Сакраш ҳақидаги масала

Бохнер-Мартинелли

интеграли

учун

кўрилган

масалаларнинг

биринчиларидан ҳисобланади. Унинг учун функция силлиқлиги хоссаси ва
соҳанинг чегаралари худди Коши интеграли кабидир. Сохоцкий-Племел
формуласи ва бундан ташкари,

F

( ) ( )

z F z

+

+

− −

−

айирма соҳа чегарасида

z D

∈∂

нуқтада лимитга эга бўлиши мумкин,

F

( )

z

+

+

ва

F z

( )

− −

функциялар

0

эса алоҳида лимитга эга эмаслигини исботлашдан кўра, одатда сакраш

ҳақидаги теоремани исботлаш осонроқ. Шунинг учун сакраш ҳақидаги
теорема Сохоцкий-Племел формуласидан кўра кенгроқ функциялар синфи
учун ўринлидир. Дастлаб бир ўзгарувчили ҳол учун Коши типидаги интеграл
чегаравий қийматлари формулалари Ю.Сохоцкий, И.Племел, И.Приваловлар
илмий изланишлари бағишланган. Бохнер-Мартинелли (типидаги) интеграл
сакраши ҳақидаги турли теоремалар бўйича Лу Цикен, Чжун Тунде,
В.Какичев, Е.Чирка, Г.Хенкин, Л.Айзенберг, А.Кытманов, Ш.Даутов,
А.Аронов, Р.Харви, Х.Лаусон, Ш.Ярмухамедов, Б.Шоимкулов, Н.Тарханов,
Б.Преновлар илмий изланишлар олиб боришган.

Бохнер-Мартинелли типидаги сингуляр интеграл операторлар ва

потенциалларни тадқиқ этиш давомида А.Кытманов, С.Мысливец,
Н.Тархановлар коник махсус нуқтали чегараланган

D

соҳалар ҳолатини кўриб

чиқишган. Бохнер-Мартинелли типидаги махсус интегралларни алмаштириш
ҳақидаги

масалани

ўрганишда

А.М.Кытманов,

Б.Б.Пренов

ва

Н.Н.Тархановлар Коши типидаги интеграл учун Пуанкаре-Бертраннинг
классик формуласидан фарқ қилувчи формулани ҳосил қилишган.
Кейинчалик А.М.Кытманов ва А.С.Кацунова комплекс текисликдаги
Пункаре-Бертран формуласи билан яхши мосланадиган Коши-Сеге
формуласини ҳосил қилишган. А.Кытманов, С.Мысливец ва Н.Тарханов
ҳамда, А.Кытманов ва С.Мысливецларнинг ишларида бўлакли-силлиқ эмас,
балки сингуляр чегарали соҳаларнинг янада умумийроқ синфлари кўриб
чиқилган. Конормал символни ўрганишда сингуляр қиррали соҳада
Сохоцкий-Племел теоремасининг аналоги бўлган Бохнер-Мартинелли
интегралининг сакраши ҳақидаги теоремани умумлаштириш зарур бўлган.
А.Кытманов, С.Мысливец ва Н.Тархановлар ишида коник махсус нуқтали
соҳаларда Бохнер-Мартинелли операторининг конормал символи эффектив
ҳисобланиши мумкинлиги кўрсатилган.

7

C

n

кўп ўлчамли комплекс фазода, яқинда Бохнер-Мартинеллининг

махсус интеграли учун ўрин алмаштириш формулаларининг аналоглари
олинган ҳамда унда Коши (А.Кытманов, Н.Тарханов ва Б.Пренов) бўйича
махсус интегралнинг бош қиймати, қатъий псевдоқавариқ соҳаларда эса
Керзман-Стейн (А.Кацунова) бўйича бош қиймат учун Бохнер-Мартинелли
интеграли кўриб чиқилган. А.Кацунова ва А.Кытмановнинг ишида шар ҳоли
кўрилган ва Коши-Сегенинг махсус интеграли учун ўрин алмаштириш ҳамда
композиция формулалари келтирилган. Улар кўриниши бўйича Пуанкаре
Бертраннинг классик формуласига ва Коши типидаги интеграл учун
композиция формуласига ўхшайди. Кўп ўлчамли комплекс фазода интеграл
формулалар назарияси ва уларнинг татбиқлари Л.Айзенберг, А.Южаков,
F.Hervey, J.Lowson, N.Kerzman, E.Stein, G.Lupacciolu, E.Stout, B.Weinstock,
Е.Чирка, Ф.Кытманов, Ш.Ярмухамедов, Н.Тарханов, А.Аронов, Ш.Даутов,
Г.Хенкин,

М.Аграновский,

А.Шляпунов,

Б.Шаимкулов,

Б.Пренов,

А.Кацунова, Д.Джумабаевлар изланишларида ривожлантирилди.

Диссертация мавзусининг диссертация бажарилаѐтган олий таълим

муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари билан боғлиқлиги.

Диссертация

тадқиқоти Ўзбекистон Миллий университетининг ОТ-Ф1-116 “Аналитик
давом эттириш ва геометрик функциялар назарияси масалалари” (2007-2011)
ва Ф-4-31 “Плюрипотенциал назарияси ва кўп ўлчамли анализда интеграл
ифодалар” (2012-2016) мавзусидаги илмий тадқиқотлар лойиҳалари
доирасида бажарилган.

Тадқиқотнинг мақсади

бўлакли-силлиқ чегарали соҳаларда ва

сингуляр чегарали соҳаларда Бохнер-Мартинелли интегралининг чегарадаги
ҳолатини тадқиқ этиш ҳамда олинган натижаларни фукцияларни голоморф
давом эттириш масалаларига қўллашдан иборат.

Тадқиқотнинг вазифалари:

C

n

да чегараланган бўлакли-силлиқ чегарали соҳаларда ва сингуляр

чегарали соҳаларда Бохнер-Мартинелли интегралининг сакраши ҳақидаги
теоремаларни исботлаш;

Хенкин-Рамирез такрорий интегралининг ўрин алмашиши ҳақидаги

теоремаларни исботлаш;

функцияларни голоморф давом эттириш (юқорида келтирилган

соҳаларда) ҳақидаги теоремаларни олиш ва натижа сифатида Гартогс-Бохнер,
Айзенберг-Кытманов теоремалари аналогларини топиш;

чегараланган ва чегараси бўлакли-силлиқ бўлган соҳа чегарасида

берилган функциянинг шу соҳа ичкарисига голоморф давом этиши билан
боғлиқ натижалар олиш;

қатъий псевдоқавариқ соҳаларда Хенкин-Рамирез махсус интеграл

оператори учун ўрин алмаштириш формуласи ва композиция формуласини
ҳосил қилиш;

коник қирраларни ўз ичига олувчи чегарали соҳаларда Привалов

теоремаси аналогини исботлаш ва Соходский-Племел формуласини ҳосил
қилиш;

8

коник қиррали ѐпиқ гиперсиртлардан функцияларнинг голоморф давом

этиши масалаларини тадқиқ қилиш;

Бохнер-Мартинелли махсус интеграл операторидан ҳосил бўлган

операторлар алгебрасини ўрганиш. Бу операторнинг конормал символини ва
унинг асимптотик ѐйилмасини топиш.

Тадқиқотнинг объекти

кўп ўлчамли комплекс фазодаги сингуляр

чегарали чегараланган соҳаларда турли хил сингуляр интеграл операторлар
(Бохнер-Мартинелли, Коши-Сеге, Хенкин-Рамирез).

Тадқиқотнинг предмети

сингуляр нуқтали ва сингуляр қиррали соҳа

чегарасида берилган функцияларнинг аналитик давом этиши ҳақидаги
теоремага мос келувчи интеграл операторлардан иборат.

Тадқиқотнинг усуллари.

Тадқиқот ишида кўп ўлчамли комплекс

анализдаги голоморф функцияларнинг интеграл ифодалари ва кўп комплекс
ўзгарувчили функциялар назарияси усулларидан фойдаланилган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат:

бўлакли-силлиқ чегарали ва чегараси коник қирраларни ўз ичига олувчи

чегараланган соҳаларда Бохнер-Мартинелли типидаги интеграл чегаравий
хусусияти билан боғлиқ масалалар ечилган;

шундай соҳаларда Бохнер-Мартинелли типидаги интеграл сакраши

ҳақидаги теоремалар исботланган;

Хенкин-Рамирез такрорий интегралининг ўрин алмашиши ҳақидаги

теоремалари исботланган;

чегараси коник қирраларни ўз ичига олувчи чегараланган соҳаларда

функцияларни голоморф давом эттириш ҳақидаги теоремалар ҳамда Гартогс
Бохнернинг голоморф давом эттириш ҳақидаги теоремасининг аналоглари
исботланган;

Айзенберг-Кытмановнинг

теоремаларини

кучайтирувчи

коник

қирраларни ўз ичига олувчи чегарали соҳаларда Бохнер-Мартинелли
интеграли орқали ифодаланувчи функциялар голоморфлиги ҳақидаги
теоремалар исботланган;

қатъий псевдоқавариқ соҳаларда Хенкин-Рамирез махсус интеграл

оператори учун ўрин алмаштириш формуласи ва композиция формуласи
ҳосил қилинган;

чегараланган ва коник қирраларни ўз ичига олувчи чегарали соҳаларда

Привалов теоремаси аналоги ва Соходский-Племел формуласи топилган;
сингуляр чегарали соҳаларда Бохнер-Мартинелли махсус интеграл
операторидан ҳосил бўлган операторлар алгебраси тадқиқ қилинган ҳамда
унинг конормал символи топилган;

Тадқиқотнинг амалий натижалари

қуйидагилардан иборат

:

Бохнер-Мартинелли типидаги интегралнинг сакраши ҳақидаги исботланган
теоремалар кўп ўлчовли комплекс анализда интеграл ифодалар назарияси
масалаларини тадқиқ қилишда ҳамда математик физиканинг чегаравий
масалаларни ечиш усулларида қўлланилиши мумкинлигидан иборат.

9

Тадқиқот

натижаларининг

ишончлилиги

математик

анализ,

функционал анализ ва комплекс ўзгарувчили функциялар назарияси
усулларидан

фойдаланилганлиги ҳамда математик мулоҳазаларнинг

қатъийлиги билан асосланган.

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Тадқиқот

натижаларининг

илмий

аҳамияти

сингуляр

чегарали

соҳаларда

функцияларни голоморф давом эттириш ва интеграл ифодаларнинг чегаравий
хоссалари билан боғлиқ масалаларни ҳал этишда фойдаланиш мумкинлиги
билан изоҳланади.

Тадқиқот натижаларининг амалий аҳамияти ишда олинган илмий

натижалар сингуляр чегарали чегараланган соҳаларда турли хил сингуляр
интеграл тенгламаларни ечишга хизмат қилади.

Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.

Диссертация тадқиқоти

жараѐнида олинган натижалар қуйидаги йўналишларда амалиѐтга жорий
қилинган:

Гартогс-Бохнернинг классик теоремасини умумлаштирувчи, яъни

узлуксиз функция учун соҳа чегарасидан функцияни голоморф давом
эттириш шартлари “Голоморф ва гармоник функцияларни аналитик давом
эттириш” мавзусидаги 08-01-90250 рақамли хорижий грантда соҳа чегараси
бўлакли-силлиқ бўлган ҳолларда функцияларни голоморф давом эттириш
учун қўлланилган (Сибирь федерал университетининг 2016 йил 8 ноябрдаги
33/11-6981-сонли

маълумотномаси,

Россия).

Илмий

натижанинг

қўлланилиши

Бохнер-Мартинелли

интеграли

билан

ифодаланувчи

функцияларни

голоморф

давом

эттириш

ҳақидаги

теоремаларни

умумлаштириш имконини берган;

соҳа чегарасининг қисмидан функцияларни голоморф давом эттириш

“Мураккаб реологияли икки тезликли муҳитнинг математик модели: тўғри ва
тескари масалалар” мавзусидаги 13-01-00689 рақамли хорижий грантда соҳа
чегарасидаги мураккаброқ махсус ҳолатлар ҳақидаги масалаларни ечишда
қўлланилган (Россия ФА Сибирь бўлими Ҳисоблаш математикаси ва
математик геофизика институтининг 2016 йил 7 ноябрдаги 12-2711-сонли
маълумотномаси, Россия). Илмий натижанинг қўлланилиши суюқлик билан
тўлдирилган ғовак ярим фазода дилатансия соҳаларини қуриш имконини
берган;

коник қиррали гиперсиртларда Бохнер-Мартинелли сингуляр интеграл

оператори “Комплекс анализда кўп ўлчамли чегирмалар, уларнинг статистик
физика ҳамда айирмалар ва дифференциал тенгламалар назарияларида
қўлланилиши” мавзусидаги 11-01-00852-а рақамли хорижий грантда чегараси
коник қиррани ичига олган соҳалардаги сингуляр интеграл операторларга
қўлланилган (Сибирь федерал университетининг 2016 йил 8 ноябрдаги 33/11-
6980-сонли маълумотномаси, Россия). Илмий натижанинг қўлланилиши
коник

қиррали

гиперсиртларда

сингуляр

интеграл

операторлар

алгебраларини таснифлаш имконини берган.

Тадқиқот натижаларининг апробацияси.

Мазкур тадқиқот

натижалари, жумладан 4 та халқаро ва 6 та республика илмий-амалий

10

анжуманларида муҳокамадан ўтказилган.

Тадқиқот натижаларининг эълон қилиниши.

Диссертация мавзуси

бўйича жами 27 та илмий иш чоп этилган, шулардан, Ўзбекистон Респуб
ликаси Олий аттестатция комиссиясининг докторлик диссертациялари
асосий илмий натижаларини чоп этиш тавсия этилган илмий нашрларда 12 та
мақола, жумладан, 6 таси хорижий ва 6 таси республика журналларида нашр
этилган.

Диссертациянинг ҳажми ва тузилиши.

Диссертация кириш кисми,

бешта боб, хулоса ва фойдаланилган адабиѐтлар рўйхатидан ташкил топган.
Диссертациянинг ҳажми 161 бетни ташкил этган.

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш

қисмида диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

асосланган,

тадқиқотнинг

республика

фан

ва

технологиялари

ривожланишининг устивор йўналишларига мослиги кўрсатилган, мавзу
бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи, муаммонинг ўрганилганлик
даражаси келтирилган, тадқиқот мақсади, вазифалари, объекти ва предмети
тавсифланган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баѐн
қилинган, олинган натижаларнинг назарий ва амалий моҳияти очиб берилган,
тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши, нашр этилган ишлар ва
диссертация тузилиши бўйича маълумотлар келтирилган.

Диссертациянинг

«Бошланғич маълумотлар»

деб номланувчи

биринчи бобида асосий натижаларни олишда зарур бўлган муҳим
тушунчалар,

Бохнер-Мартинелли

ва

Хенкин-Рамирез

интеграллари

хоссалари ва улар билан ифодаланувчи функцияларнинг чегараси силлиқ
бўлган соҳаларда голоморф давом эттирилишига оид теоремалар
келтирилган.

Диссертациянинг

«Чегараси бўлакли-силлиқ бўлган соҳаларда

Бохнер-Мартинелли интегралининг сакраши ҳақидаги теоремалар»

деб

номланувчи иккинчи боби бўлакли-силлиқ чегарали соҳаларда Бохнер
Мартинелли интегралининг сакраши ҳақидаги теоремаларга бағишланган.
Шунингдек, Хенкин-Рамирез такрорий махсус интегралининг ўрин
алмаштириш ҳақидаги теоремалари бўш махсусликка эга бўлган ҳол учун
исботланган.

Иккинчи бобнинг биринчи параграфида бўлакли-силлиқ чегарали соҳада

узлуксиз функциянинг Бохнер-Мартинелли интеграли сакраши ҳақида
қуйидаги теорема исботланган.

Теорема 1.

Айтайлик,

D

- бўлакли-силлиқ чегарали

n

да чегараланган соҳа

бўлсин. Агар

f D

∈ ∂

( )

бўлса, унда ушбу

+

+

− −

0

lim( ( ) ( )) ( )

F z F z f z

±

z z

→

−

=

0

z D

∈∂

нуқтада мавжуд ҳамда

z

±

нуқталар учи

0

z

лимит ихтиѐрий

0

нуқтада бўлган ўзгармас ўлчамли тайин конусда ѐтса,

z D

+

∈

,

z D

−

∉

,

лимит қийматига текис эришади.

11

Бу ерда

F

+

ва

F

−

лар

f

функциянинг Бохнер-Мартинелли (типидаги) интеграли

бўлиб,

F

интеграл

D

соҳанинг ичкарисида ѐки

D

нинг ташқарисида олинишига

қараб

±

ишораларида қаралади.

z D

+

∈

ва

z D

∈∂

нуқтада бўлган доиравий, икки

паллали

z D

−

∈

нуқталар учи

0

n

конус ичида ѐтиб, конуснинг ўқи

билан ясовчиси орасидаги

β

бурчак

етарлича кичик ва

0 0 0

a z z z z b z z a b

| | | | | |, 0 .

+

−

+

− ≤ − ≤ −

<

≤

<

+

∞

Бу

теорема Ш.А.Даутов ва А.М.Кытмановларнинг силлиқ чегарали соҳа бўйича
Бохнер Мартинелли интегралининг сакраши ҳақидаги натижасини
умумлаштиради. Шундай қилиб, узлуксиз функцияларнинг
Бохнера-Мартинелли инреграли чегаравий нуқталарда силлиқлик бузилган
ҳолда ҳам силлиқлик бўлган ҳолдаги каби бўлиши исботланади.

Теорема 1 дан қуйидаги натижа келиб чиқади:

Натижа 1.

Агар теорема 1 шартларида

F

+

функция

Dга узлуксиз давом

эттирилса, у ҳолда

F

−

ҳам

n

Dга узлуксиз давом эттирилади ва аксинча

.

Иккинчи бобнинг иккинчи параграфида қуйидаги теорема
исботланган:

Теорема 2.

Айтайлик,

( ), 1

p

f D p

∈ ∂ ≤

<

∞

. АгарF z

( )

функция

f

функциянинг Бохнер-Мартинелли интеграли бўлса, у ҳолда

s

0

lim | ( ( )) ( ( )) ( ) | 0,

∑ ∫

− −

+

−

=

F z z F z z f z d

εν

εν

σ

ε

→

+=

Γ

0

1

j

p
j j

j

шунингдек

s

0

∑ ∫ ∫

− −

+

≤

| ( ( )) ( ( )) | | | ,

F z z F z z d C f d

εν

εν

σ

σ

j j

p p

j

D

=

Γ

∂

1

j

бунда

C

ўзгармас ҳамда у

fва

ε

га боғлиқ эмас (

ε

етарли даражада

z z D

− ∈

εν

( ) ( )).

n

кичик бўлганда

( ) ,

j

Бу

ерда

z z D

+

∈

εν

j

{ : ( ) 0,..., ( ) 0},

n

D z z z

=

∈

<

<

ρ

ρ

s

0

1

s

0

Γ

=

∈∂

=

∂

=

Γ

{ : ( ) 0}, .

z D z D

ρ

j j j

j

=

1

Γ

j

- чегараси бўлакли-силлиқ бўлган силлиқ сиртлар,

( )

ν

ζ

j

-

Γ

j

сиртнинг

ζ

нуқтасига ўтказилган ташқи

нормалнинг бирлик вектори,

d

σ

-

∂

D

даги Лебег ўлчови.

Теорема 2 А.М.Кытмановнинг мос натижаларини умумлаштиради.

Иккинчи бобнинг учинчи параграфида бўлакли икки марта силлиқ чегарали
соҳа бўйича Бохнер-Мартинелли интеграли

∂

-нормал ҳосиласининг сакраши

ҳақидаги қуйидаги теорема исботланган.

Теорема 3.

Агар

f D

∈ ∂

( )

бўлса, у ҳолда

F

Бохнер-Мартинелли

интеграли учун

+

+

− −

lim( ( ) ( )) 0.

∂ − ∂

=

F z F z

±

z z

→

n n

0

12

бўлади. Бу лимитга, агар

β

бурчак тайинланган бўлса,

0

z D

∈∂

нуқтага

нисбатан текис эришилади. Агар

( )

n

F z

+

+

∂

Dда узлуксиз давом эттирилса,

унда

( )

n

F z

− −

∂

ҳам

n

Dда узлуксиз давом эттирилади ва аксинча.

z D

∈∂

нуқтада

бўлган

z D

−

∈

нуқталар учи

0

Бу ерда

z D

+

∈

ва

n

тўғри доиравий конус ичида ѐтиб, конуснинг ўқи билан ясовчиси орасидаги

β

бурчак етарлича кичик.

z

+

ва

z

−

нуқталар

0

z

дан ўтувчи бир тўғри

чизиқда ѐтиб, қуйидаги шарт бажарилади:

0 0

| | | |.

z z z z

−

=

−

+

−

∂

-нормал ҳосила

n

F

±

∂

соҳанинг чегарасида ушбу

n

∂

F

±

* 2 ( 1) [ ]

∂

=

− ∧

F i dz k dz

±

− −

1 1

n n k

∑

∂

=

1

z

k

k

(бунда * - Ходжа оператори) форманинг қисқаришини ифодалайди, яъни

±

±

n

∑

∂

F

ρ

∂

=

∂

F

z

( ) ,

n j k

=

1

k

k

ρ

∂

бунда

( ) / | |

j

ρ

ρ

=

∂

.

grad

j k j

z

k

Теорема 3 А.М.Кытманов ва Л.А.Айзенбергларнинг икки марта силлиқ

чегарали соҳалар учун исботланган теоремасини умумлаштиради.
Шунингдек, теорема 3 Ляпуновнинг иккиланган потенциалда нормал
ҳосиласининг сакраши ҳақидаги теоремасининг аналоги бўлади.

Иккинчи бобнинг тўртинчи параграфида Хенкин-Рамирез такрорий

махсус интегралининг ўрин алмаштириш ҳақидаги теоремалари бўш
махсусликка эга бўлган ҳол учун исботланган.

Диссертациянинг

«Бохнер-Мартинелли интеграли билан

ифодаланувчи функцияларнинг голоморфлиги ҳақидаги теоремалар»

деб

номланувчи учинчи боби чегараси бўлакли-силлиқ бўлган соҳаларда
функцияларнинг голоморф давом эттирилиши ҳақидаги турли теоремаларга,
шунингдек, қатъий псевдоқавариқ соҳаларда Хенкин-Рамирез махсус
интеграл операторларига бағишланган.

Учинчи бобнинг биринчи параграфида Гартогс-Бохнернинг давом

эттириш ҳақидаги теоремаларни аналоглари келтирилган.

Теорема 4.

Айтайлик,

D

-

n

( 1)

n

>

да чегараланган соҳа ва

n

D -

боғламли,

∂

D

- бўлакли силлиқ. Агар

f D

∈ ∂

( )

функция коэффициентлари

ω

∞

синфда бўлган

n

даги барча

( , 2)

n n

−

типдаги дифференциал форма

учун ушбу

f

ω

∫

∂

=

∂

D

0

шартни бажарса, у ҳолда

fфункция

D

га голоморф давом эттирилади.

Ушбу параграфда Вайнсток теоремасининг аналоги исботланган бўлиб,

у Вайнстокнинг мос натижасини кучайтиради.

13

Теорема 5.

Айтайлик,

D

- соҳа

n

да бўлакли силлиқ

1

классдаги чегарага

эга,

fфункция эса

f D

∈ ∂

( )

ва

∂

D

да ушбу шартни қаноатлантиради

f

α

∫

=

0

∂

D

α

бунда коэффициентлари

( )

D

∞

бўлган ҳар қандай

( , 1)

n n

−

типдаги

форма учун ва

Dда

∂

=

α

0

. У ҳолда

fфункция

D

га голоморф давом

эттирилади.

fнинг голоморф давом эттирилиши Бохнер-Мартинелли

интеграли орқали ифодаланади.

Учинчи бобнинг иккинчи параграфида Бохнер-Мартинелли интеграли

орқали ифодаланадиган функцияларнинг голоморфлиги ҳақида қуйидаги
теоремалар исботланган.

Теорема 6.

Айтайлик,

fфункция бўлакли-силлиқ чегарали

D

соҳада

гармоник функция бўлиб,

f D

∈

( )

ва

( )

∂ ∈

f Dбўлсин. У ҳолда қуйидаги

n

шартлар эквивалент:

∂

=

f ,

∂

D

да;

1.

0

n

2.

F f

+

=

,

D

да;

3.

F

0

−

=

,

Dдан ташқарида.

Теорема 7.

Айтайлик,

D

чегараланган соҳа

n

даги бўлакли икки марта

силлиқ чегарали соҳа бўлсин.

f D

∈

( )

функциянинг

D

да голоморф бўлиши учун

D

да

F f

+

=

бўлиши зарур ва етарли.

Теорема 7 чегараси икки марта силлиқ бўлган соҳалар учун

А.Кытманов ва Л.Айзенберглар томонидан исботланган.

Натижа 2.

Агар

f D D

∈ ∂ ∂

( ),

- бўлакли икки марта силлиқ, у ҳолда

қуйидаги шартлар эквивалент бўлади:

1.

fфункция

D

да

( )

Dсинфдаги функциягача давом эттирилади; 2.

F

0

−

=

,

Dдан ташқарида;

3.

F

+

fнинг

D

га гармоник давом эттирилишини беради;

∂

Dга узлуксиз давом эттирилади ва

0.

n D

F

+

∂

4.

n

F

+

∂

=

∣

Теорема 8.

Айтайлик,

n

( 1)

n

>

даги

D

соҳанинг чегараси

2

синфда

бўлакли-силлиқ ва

n

D боғламли бўлсин. Агар f D

∈ ∂

( )

ва

F

+

эса

D

голоморф

бўлса, у ҳолда

F

+

нинг чегаравий қиймати

fбилан устма-уст тушади.

Теорема 8 ни чегараси

2

синфда силлиқ соҳалар учун А.Кытманов

исботлаган.

Натижа 3.

Айтайлик,

∂

D

-

2

синфда бўлакли-силлиқ ва боғламли,

f

функция эса

f D

∈ ∂

( )

.

fфункция

D

га

f D D

∈

( ) ( )

функциягача давом этиши

учун барча

s t k

, ,

ларда ушбу

14

∫ ∫

∂

=

∂

=

f P f P d

σ

(* ) 0

s t k n s t k

, , , ,

∂ ∂

D D

тенгликнинг бажарилиши зарур ва етарли.

{ }

P

s t k

-

2

( (0,1))

S

даги ортонормалланган базис бўлиб, у бир

Бунда

, ,

жинсли гармоник полиномлардан иборат, бунда

z

полином

s

даражали,

z

полином

t

даражали:

s t k

, 0,1,..., 1

=

≥

,

S

(0,1) - маркази

0нуқтада радиуси

1

бўлган сфера.

Маълумки, Пуанкаре-Бертран ўрин алмаштириш формуласи ва Коши

типидаги интеграллар учун композиция формулалари комплекс текислигида
катта рол ўйнайди. Улар сингуляр интеграл тенгламаларни ечишда
фойдаланилади. Кўп ўзгарувчили функцияда ҳам бу масалаларнинг
қўйилиши (масалан, Риманнинг аддитив масаласи) анча мураккаб
ҳисобланади. Бунда қийинчилик чегараланган соҳанинг ташқарисидан
ичкарисига мажбурий голоморф давом эттириш ҳақидаги (Гартогс
теоремаси) теореманинг мавжудлиги ва мос келувчи ўрин алмаштириш
формуласи ҳамда композиция формуласининг йўқлиги билан боғлиқдир.

Бинобарин, табиий равишда голоморф ядро интегралларни қараш

зарурияти юзага келади. Шунинг учун ҳам голоморф ядроли интеграл
ифодаларни кўриб чиқиш табиий. Қатъий псевдоқавариқ соҳалар учун
Хенкин-Рамирез интеграл ифодаси шундай стандарт ифода ҳисобланади.
Кацунова ва Кытманов ишида Хенкин-Рамирез ядросининг хусусий ҳоли
учун яъни шарда Коши-Сеге интеграли учун ўрин алмаштириш ва
композиция формулалари олинган, Коши интеграли учун олинган аналогик
формулаларга ўхшаш.

Учинчи бобнинг учинчи параграфида қатъий псевдоқавариқ соҳаларда

Коши бўйича ва Керзман-Стейн бўйича иккита стандарт бош қийматлар учун
Хенкин-Рамирез махсус интеграли учун ўрин алмаштириш ва композиция
формулалари исботланган. Бу формулалар ҳар хил бош қийматлар учун
турлича бўлиб, аммо Коши интеграли учун формулаларга ўхшаш. Шунинг
учун ҳам олинган формулалардан соҳа чегарасида сингуляр интеграл
тенгламаларни ечишда фойдаланилади. Хенкин-Рамирез махсус интеграли

учун, Коши бўйича бош қиймат ҳоли учун, Пуанкаре-Бертран ўрин
алмаштириш формуласи аналоги келтирилган.

Айтайлик,

D

- қатъий псевдоқавариқ соҳа,

S

эса

D

нинг чегараси бўлсин.

Теорема 9

.

n

>

1

бўлганда барча

0 0

ζ

, ,

z w S

∈

,

0 0

ζ

≠

zнуқталар учун

ушбу

∫

H w z H w d w H z

ζ

σ

ζ

=

0 0 0 0

( , ) ( , ) ( ) ( , ),

S

w

тенглик ўринли, бунда

H z

( , )

ζ

- чегарага қисқарадиган ва сирт

элементига бўлинган Хенкин-Рамирез ядроси.

Теорема 10.

Айтайлик,

n

>

1

бўлсин. Агар

f S S

( )

α

∈

×

бўлса, у ҳолда

15

∫ ∫

σ

ζ

ζ

σ

ζ

=

H w z d w f w H w d

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )

S S

w

ζ

=

∈

∫ ∫

σ

ζ

ζ

ζ

σ

d f w H w z H w d w z S

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ),

S S

ζ

w

бўлади.

Хенкин-Рамирез интегралида Керзман-Стейн маъносидаги бош

қийматлар бўйича формулалар қаралган.

Теорема 11.

Ушбу

0 0

z w S

, ,

ζ

∈

нуқталар учун

∫

H w z H w d w z

ζ

σ

ζ

=

≠

0 0 0 0

( , ) ( , ) ( ) 0,

S

w

тенглик ўринли.

Теорема 12

.

( )

KS

f S S

α

∈

×

бўлсин, у ҳолда

∫ ∫

σ

ζ

ζ

σ

ζ

=

H w z d w f w H w d

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )

S S

w

ζ

=

+

∈

∫ ∫

σ

ζ

ζ

ζ

σ

1

d f w H w z H w d w f z z z S

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ),

S S

w

4

ζ

бўлади

.

Формаси бўйича бу формула Коши типидаги интеграл учун

Пуанкаре-Бертраннинг классик формуласи кўринишига эга. Шунингдек,
Хенкин-Рамирезнинг махсус интеграли учун композиция формуласи
келтирилган қуйидаги натижа олинган:

ζ

ζ

=

∈

бўлса, унда

Натижа 4.

n

≥

1

бўлсин. Агар

( , ) ( ) ( )

KS

f w f S

α

2

1

H f f z z S

sh

=

∈

[ ] ( ),

4

бўлади.

Бу ерда

[ ]

H f

sh

-

f

функцияга Керзман-Стейн бўйича бош қиймат учун

Хенкин-Рамирез махсус интегралининг қиймати.

Диссертациянинг

«Коник қиррали соҳаларда Бохнер-Мартинелли

интеграл оператори»

деб номланувчи тўртинчи бобида чегараси коник

қиррага

эга

бўлган

чегараланган

соҳаларда

Бохнер-Мартинелли

интегралининг характери (хусусияти) тадқиқ қилинган.

Қуйидаги белгилашларни киритамиз.

n

билан

2

n

ни қуйидагича тенглаштирамиз

j j n j

z x ıx

=

+

+

бунда

j n

=

…

1,

,. Яьни

2

1 1 1 2

( ,..., ) ( ,..., , ,..., ) .

n

z z x x x x

=

∈

+

Шунингдек,

n n n n

x x x

=

+

3 2

'' ( ,..., ),

x x x

=

1 1

' ( ,..., ),

1 2

( ,..., ),

n

x x x

=

+

2

x x x x

=

+

p

p n

( ', , '').

p

Силлиқ сирт

Σ

ни

2

{0}

p

+

да қараймиз, сингуляр нуқта координата бошида

бўлиб, сирт қуйидагича бўлсин

Σ

=

∈ ∈ ∈

′

′

′

{( , ) : , [0, )}.

p

rx r x X r R

+

2

′=

…

нуқталар

p

+

1

даги компакт силлиқ гиперсирт

X

' Бунда

1 1

( , , )

x x x

+

p

да ўзгаради,

X

' - ўз ичига координата бошини олмайди.

Масалан,

X

′

ρ

-ўлчовли, маркази нолда бўлган сфера.

16

′

′

′

=

∈

=

деб қараймиз, бунда

{ : ( ) 1}

p

X x x

ρ

Кейинчалик

1

+

классга тегишли

1

{0}

p

+

даги ҳақиқий

қийматли функция, барча

ρ

-

1

C

λ

>

0

ва

бирор ўзгармас

h

>

0учун қуйида шартларни, яъни

X

′

да

∇ ≠

ρ

0

ва

′

′

ρ

λ

λ

ρ

x x

( ) ( )

h

=

бажаради.

Координата боши

Σ

нинг махсус коник нуқтаси ҳисобланади.

Σ

нинг

силлиқ қисмида аниқловчи функцияни топиш қийин эмас. Ҳақиқатан ҳам,

( ',

) {0}

p

x x

+

∈

Σ

учун

2

x

′

=

ρ

( )

1,

x

p

+

2

бўлиб,

ρ

функциянинг бир

жинслилигини

2 2 2

{( ', ) : ( , ) 0, [0, )},

p

+

2

+

+

+

Σ

=

∈

=

∈

′

x x x x x R

ψ

p p p

тенглик ифодалайди, бунда

′

p p

ψ

ρ

x x x x

+

+

2 2

( ', ) ( ) ( ) .

h

=

−

Айтайлик,

S X

=

Σ×

′′

,

бунда

X

'' -

q

да очиқ чегараланган тўплам,

p q n

+

+

=

−

1 2 1. Шундай

' (0,

,0)

p

O

+

=

…

∈

) коник қиррали гиперсирт

қилиб,

S

n

да

F O X

=

×

' ''

(

2

бўлади.

Айтайлик,

D

n

даги чегараланган соҳа бўлсин.

D

соҳанинг чегарасини

қуйидаги

∂

=

∪ ∪

…

∪

( ),

D Y S S

N

1

кўринишга эга бўлсин деб қараймиз. Бунда

Y

силлиқ гиперсирт бўлиб,

ν

лардан ҳар бири бирор коник гиперсирт

S

да диффеоморф (турли

p

ва

q

S

). Шундай қилиб,

∂

D

- чекли сондаги коник қиррали силлиқ гиперсирт.

Шуни таъкидлаш керакки, бундай соҳаларда Стокс формуласи ўринли
бўлади.

Махсус нуқта яқинидаги қилинган анализ локал хусусиятга эга бўлиб,

умумийликка зиѐн етказмасдан,

N

=

1

, яъни

∂

=

∪

D Y S

, дейиш мумкин,

бунда

S z z rx r x x X x X r R

=

∈

=

∈ ∈ ∈

′

′′

′

′

′′

′′

{ : ( , , ), , , [0, )}.

n

Тўртинчи бобнинг биринчи параграфида Привалов теоремасининг

аналоги келтирилган бўлиб, у S коник қирра яқинида Бохнер-Мартинелли
интегралининг хусусияти билан боғланган. Бу тасдиқ А.М.Кытманов
томонидан силлиқ гиперсиртлар

∂

D

бўлган ҳол учун исботланган.

Шунингдек, чегарасида коник махсус нуқталари бўлган соҳалар учун
юқоридаги масалалар А.Кытманов ва С.Мысливецларнинг ишларида
қаралган.

17

f D

∈ ∂

( )

функциянинг Лебег нуқтаси дейилади, агар

z D

∈∂

нуқта

1

0

1

lim | ( ) ( ) | 0,

→

−

∂ ∩

∫

−

=

f f z dS

2 1 0

( , )

ζ

0

ε

ε

n
D B z

0

ε

бўлса. Бунда

0

B z

( , )

ε

- маркази

0

z

ва радиуси

ε

бўлган шар,

dS D

−∂

z

нуқта

∂

D

учун

нинг силлиқ қисмидаги Лебегнинг сирт ўлчови. Агар

0

силлиқлик нуқтаси

бўлса, бу одатдаги Лебег нуқтасининг таърифи бўлади. Агар нуқта коник
қиррада ѐтган бўлса, бу янги таьриф ҳисобланади. Агар

f

z

нуқтада узлуксиз

бўлса, у

f

функциянинг Лебег нуқтаси бўлади.

функция

0

f L D

∈ ∂

( )

функциянинг Лебег нуқтаси

zнуқта

1

Теорема 13.

Агар

0

бўлса, у ҳолда конуснинг ўқида ѐтувчи

z D

∈

қуйидаги тенглик ўринли бўлади:

lim ( ( ) ( )) ( , ) ( ( ) ( )) ( , ) 0.

( )

∫ ∫

− − −

=

f f z U z f f z U z

ζ

ζ

ζ

ζ

0 0 0

0

→ ∂ ∂ −

0 0

z z

D D B z z z

( ,| |)

Берилган

z D

∈∂

нуқта учун

z

ни

D

соҳанинг

z

нуқтасидаги уринма конус

деймиз. Чегаранинг сингуляр кўринишидан, унинг қиймати

z

учун

τ

( ) [0,1]

z

∈

жисмли бурчакка тенг бўлади. Агар

∂

D

z

нуқтада силлиқ бўлса, унда 1

τ

z

=

бўлади. Коник қиррада ѐтувчи

z

нуқта учун

0 ( ) 1

<

<

τ

z

( )

2

бўлади.

z D

∈∂

нуқта учун

f

нинг Бохнер-Мартинелли махсус интеграли

=

=

∫ ∫

F z f U z f U z

( ) ( ) ( , ) lim ( ) , pv ( )

ζ

ζ

ζ

ζ

s

ε

→

+

0

( , )

∂ ∂

D D B z

ε

бўлади.

δ

орқали

f

функциянинг

z D

∈∂

нуқтасидаги узлуксизлик

( )( )

m f

z

модулини белгилаймиз, яъни,

m f f f z

( )( ) sup | ( ) ( ) |.

δ

ζ

=

−

z

D B z

ζ

δ

Агар

∈∂ ∩

( , )

pv m f

δ

1

δ

d

∫

<

∞

z

0

( )( )

δ

бўлса,

f

функция

∂

D

сиртнинг

z D

∈∂

нуқтасида Дини шартини бажаради

дейилади.

f D

∈ ∂

( )

функция

z D

∈∂

нуқтада Дини шартини

Теорема 14.

Агар

1

бажарса, у ҳолда Бохнер-Мартинелли махсус интеграли

( )

F z

s

мавжуд ва

қуйидаги Сохоцкий-Племел формуласи ўринли

+

F z z f z F z

( ) (1 ( )) ( ) ( ),

=

−

+

τ

s

−

F z z f z F z

( ) ( ) ( ) ( ),

=

−

+

τ

s

бўлади. Бунда

F z

( )

+

- Бохнер-Мартинелли интеграли

F

нинг

D

соҳанинг

ичидаги чегаравий қиймати,

F z

( )

−

эса

F

нинг

D

соҳа ташқарисидаги чегаравий

қиймати.

18

Қуйидаги теорема Бохнер-Мартинеллининг сакраш ҳақидаги

теоремасини умумлаштиради.

f D

∈ ∂

( )

ва

0

Теорема 15.

Айтайлик,

1

z - fфункциянинг Лебег

нуқтаси бўлсин. У ҳолда қуйидаги формула ўринли

(

)

0

0

+

+

− −

lim ( ) ( ) ( )

F z F z f z

±

z z

→

−

=

z

+

ва

z

−

, мос равишда

D

ва

n

Dдаги конуснинг ўқларида ѐтувчи нуқталар

бўлиб,

| | | |

z z

=

бўлади.

+

−

Тўртинчи бобнинг иккинчи параграфида коник қиррали соҳаларда

функцияларни голоморф давом эттириш ҳақидаги теоремалар исботланган.
Айтайлик,

Ω

-

n

даги очиқ чегараланган тўплам бўлиб,

S

бу тўпламни иккита

очиқ тўпламлар

S

+

−

Ω

=

Ω

∪

Ω

га ажратсин, бунда

+

Ω

x

+

координатаси

2

0

тўпламда

p

2

x

+

>

бўлсин.

p

f S

∈

( )деб қараймиз. Бу эса

f

M

тўпламда

Бундан ташқари

1

интегралланувчи функция эканини

билдиради.

M

белгилаймиз

=

Σ

×

′′

M X

,

ε

ε

ε

тўпламни қуйидагича

бунда

+

+

+

+

Σ

=

∈

=

…

=

=

′

ε

ϕ

ϕ

+

2 1 1 1 1 2

{( , ) : ( ) , , ( ) ,

\

,

x x x t y x t y x t

p

2

p p p p

y y y X t

ε

ε

+

=

…

∈

<

≤ ≤

′

1 1 0

( , , ) , 0 }.

p

∂

=

∂

Σ

×

′′

бўлиб,

У ҳолда

M X

ε

ε

+

+

+

+

∂

Σ

=

∈

=

…

=

=

∈

′

′

p p p p

ε

x x x y x y x y X

ϕ

ε

ϕ

ε

ε

+

2 1 1 1 1 2

{( , ) :

( ) , , ( ) , , ,}

p

2

бўлади.

∂

да

dM

нинг

Унда А.Кытманов ва С.Мысливецларнинг ишларида

M

ε

Лебег ўлчови

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ,

p p

c d y dx dM c d y dx

ϕ

ε

σ

ϕ

ε

σ

′′

′′

≤ ≤

бунда

d y

σ

( ) -

X

′

даги Лебег ўлчови,

3 2

′′=

…

эса

X

''даги

dx dx dx

+

· ·

p n

Лебег ўлчови (А.Кытманов ва С.Мысливец ишида сингуляр нуқтали сиртлар
учун исботланган, аммо у бизнинг сингуляр қиррали ҳол учун осон
ўтказилади).

f S

∈

( )бўлсин. Қуйидаги ифодани қараймиз

Айтайлик,

1

s f d y dx x

ε

σ

ε

+

( ) | | ( ) ,

f p

=

=

′′

∫

2

′

′′

×

X X

тайинланган, бунда

f f y x

=

( ( ) , , )

ϕ

ε

ε

′′

. Берилган интеграл деярли

барча

ε

ε

∈

[0, ]учун Фубини теоремаси бўйича аниқланган.

0

Қуйидаги белгилашни бажарамиз:

( )

( ) ( ) , ,

ζ

dS

P x f x S

=

∈

Ω

∫

ζ

| |

m

m

бунда

S

ζ

−

x

′

′′

,

m

>

0

.

2 1 2

( , , ) ( , , )

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

p n

+

=

=

…

19

f S

∈

( )

ва бирор

N

(

N p

≥ −

) учун

Теорема 16.

1

s O

ε

ϕ

ε

=

бўлсин, у ҳолда

ε

→

+

0

да

( ) ( ( ))

N

f

1. Агар

N m p

≤ − −

2

бўлса, у ҳолда

| | 0,

x x

→ ∈

Ω

±

да

(

) ( (| |))

( )

N p m

P x O x

m

ϕ

+

+

−

=

1

бўлади;

2. Агар

m p N m p

− −

<

≤ − −

2 1

бўлса, у ҳолда

| | 0,

x x

→

∈

Ω

±

да

| |

⎛ ⎞

ln (| |) ( )

(| |)

ϕ

P x O

x

x

=

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

m

m N p

ϕ

− − −

1

бўлади;

3. Агар

N m p

>

− −

1

, бўлса, у ҳолда

| | 0,

x x

→ ∈

Ω

±

да

(

) (1).

P x O

m

=

бўлади. Теоремада келтирилган баҳолар текис равишда

эришилади.

Бохнер-Мартинелли ядросини кўринишини эслатамиз

n z

U z d k d

( 1)!

( , ) ( 1) [ ] ,

− −

ζ

ζ

ζ

ζ

=

− ∧

nk

k k

∑

−

1

(2 ) | |

π

ζ

i z

n n

k

=

1

−

2

d d d

ζ

ζ

ζ

=

∧ ∧

,

1 1 1

[ ]

d k d d d d

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

=

∧ ∧ ∧ ∧ ∧

k k n

−

+

.

бунда

1

n

Агар

f

функциянинг Бохнер-Мартинелли интеграли:

F

z f U x x S

=

∉

ζ

ζ

∫

( ) ( ) ( , )

S

бўлса, унда қуйидаги тасдиқлар ўринли бўлади.

Натижа 5.

Юқоридаги теорема шартлари бажарилганда:

1. Агар

N n p

≤ − −

2 3

,

| | 0

x

→

,

x

±

∈

Ω

да

2 2

( ) ( (| |))

( )

N p n

F x O x

ϕ

+

+

−

=

бўлади.

2. Агар

2 3 2 2

n p N n p

− −

<

≤ − −

, бўлса, у ҳолда

| | 0

x

→

,

x

±

∈

Ω

да

| |

⎛ ⎞

ln (| |) ( )

(| |)

ϕ

F x O

x

x

=

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

N p n

ϕ

+

+

−

2 2

бўлади.

3. Агар

N n p

>

− −

2 2

, бўлса, у ҳолда

| | 0

x

→

,

x

±

∈

Ω

да

F x O

( ) (1)

=

бўлади. Натижада келтирилган баҳолар текис эришади.

Кейин, Гартогс-Бохнер теоремасининг

n

даги чегараланган коник

қиррали

D

соҳадаги умумлашмаси келтирилган.

20

Айтайлик,

D

-

n

даги чегараланган соҳа бўлиб,

n

>

1бўлсин.

D

соҳанинг

чегараси

∂

=

∪ ∪ ∪

…

∪

1 2

,

D Y S S S

m

кўринишида бўлсин деб фараз қилайлик, бунда

Y

1

синфга тегишли

ν

да

S

-

диффеоморф сингуляр гиперсирт

силлиқ гиперсирт, ҳар бир

S

ν

′′

кўпѐқликлар).

ν

′

,

X

(юқорида кўрилган) (турли

p

ν

ва турли

X

Ҳар бир сингуляр сирт

S

ν

қуйидаги кўринишда

S M F

=

∪

ν

ν

ν

ν

′′

лар билан аниқланадиган кўпѐқликларнинг

ифодаланиб,
бунда

M

ν

′

,

X

силлиқ қисми,

ν

;

X

ϕ

ν

(юқорида қаралган функция),

F

ν

сингуляр қирра.

Теорема 17.

А

йтайлик,

n

D - тўплам боғламли бўлсин. Агар

f D

∈ ∂

(

)

функция

1

∂ ∪

…

∪

да узлуксиз ва ушбу

( )

D F F

m

1

f

ω

∫

∂

=

0

∂

D

шартни қаноатлантирса, бунда

ω

-

n

да

( , 2)

n n

−

типдаги

коэффициентлари

∞

синфли ихтиѐрий дифференциал форма, бундан

s f O

=

ϕ

ε

ν

,

ε

→

0

шарт

ташқари ҳар бир сингуляр қирра атрофида

( ) ( ( ))

N

бажарилади,

N n p

2 2

>

− −

ν

барча

ν

=

…

1, ,

m

учун, у ҳолда

( )

D

∞

синфга

мансуб бўлган

Fфункция мавжуд бўлиб, бу

F

функция ҳар бир

z D F F

∈∂

∪

…

∪

да узлуксиз ва у бу тўпламда

fфункция билан устма

( )

m

1

уст тушади.

Шуни таъкидлаш керакки, барча

эслатамизки,

( )

D

ν

лар учун

2 2 0

n p

− − ≥

ν

. Яна шуни

∞

фазо голоморф ҳамда

D

да чегараланган функциялардан

ташкил топган.

Қуйидаги теоремада

∂

D

чегара худди олдинги пунктдагидай, фақат

1

силлиқлик ўрнига чегаранинг силлиқ қисмлари

2

силлиқликка эга деб фараз

қиламиз.

f D

∈ ∂

( )

функция

1

∂ ∪

…

∪

да

Теорема 18.

Айтайлик,

1

узлуксиз ва ҳар бир сингуляр қирра
атрофида да) ушбу

s f O

=

ϕ

ε

ν

( ) ( ( ))

N

( )

D F F

m

ε

→

0

(ҳар бир

N n p

2 1

>

− −

ν

шарт бажарилсин. Агар Бохнер-Мартинелли интеграли

F

0

−

=

(

Dдан

∞

ташқарида), унда Бохнер-Мартинелли интеграли

F

+

D

соҳада

( )

D

z D F F

∈∂

∪

…

∪

гача узлуксиз

( )

m

синфнинг функцияси бўлади. У ҳар бир

1

ва бу тўпламда

fфункция билан устма-уст тушади.

Диссертациянинг «Сингуляр қиррали соҳаларда Бохнер

Мартинелли махсус интегралидан ҳосил бўлган операторлар алгебраси»

деб номланувчи бешинчи бобида чегараси коник ҳамда каспидал (острия)
қиррага эга бўлган чегараланган соҳаларда Бохнер-Мартинелли махсус
интегралидан ҳосил бўлган операторлар алгебрасига бағишланган.

21

Қуйидаги гиперситрлар синфини қараймиз.

n

билан

2

n

ни қуйидагича

тенглаштирамиз

j j n j

z x ıx

=

+

+

,

j n

=

…

1, ,. Яьни

1 1 1 2

( ,..., ) ( ,..., , ,..., ) ,

n

2

z z x x x x

=

∈

+

1 2

( ,..., ),

n

x x x

=

1

′

=

∈

x x x

+

n n n n

1 1

( ,..., ) ,

p

p

+

′′=

2

x x x

+

3 2

( ,..., ),

p n

аниқлаймиз:

=′

′′

p

+

1

да скаляр кўпайтмани қуйидагича

x x x x

+

( , , ).

p

x y x y x y

+

+

〈 〉

=

+…+

′

′

1 1 1 1

, .

p p

Энди

2

{0}

p

+

да координата бошида сингуляр бўлган силлиқ

∑

сиртни

{( ( ) , ) : , [0, )},

p

ϕ

r x r x X r R

+

∑

=

∈

′

′

′

∈ ∈

2

қараймиз. Бунда

1

ϕ

∈

C R

[0, )қуйидаги шартларни қаноатлантиради:

′=

…

нуқталар

p

+

1

даги

ϕ

(0) 0

=

ва

ϕ

( ) 0

r

>

,

ϕ′

( ) 0,

r

>

r R

∈

(0, ).

1 1

( , , )

x x x

+

p

компакт, силлиқ гиперсирт

X

'га ўзгаради (бунда координата боши0

кирмайди).

' { ' : ( ') 1}

p

X x x

ρ

=

∈

=

деб қараймиз, бунда

Кейинчалик

X

'ни

1

+

ρ

1

синфдаги

1

{0}

p

+

тўпламда берилган ҳақиқий қийматли функция бўлиб, у

′

′

∇ ≠

ρ

0

(

X

'да) ва

( ) ( )

h

λ

>

0

,

h

>

0ўгармас) шартларни

қаноатлантиради.

ρ

λ

λ

ρ

x x

=

(барча

Координата боши

∑

нинг махсус

нуқтаси бўлсин. Агар

ϕ

′

(0) 0

≠

бўлса, унда

0

∑

нинг коник нуқтаси

бўлади. каспидал (острия) бўлади.

ϕ

′

(0) 0

=

бўлган ҳолда

0

Сирт таърифидан фойдаланиб

∑

нинг силлиқ қисмини аниқлаб

( ', ) {0}

p

x x

+

∈

Σ

учун

берувчи фунцияни топиш мумкин. Ҳақиқатан ҳам,

2

x

X

'

',

ϕ

x

+

∈

( )

p

2

яъни,

x

′

=

ρ

( )

ϕ

+

( )
1,

x

p

2

бўлади,

ρ

нинг бир жинсли функция

бўлишидан

+

∑

=

∈

=

∈

+

+

+

2 2 2

{( ', ) : ( ', ) 0, [0, )},

p

2

x x x x x R

ψ

p p p

келиб чиқади, бунда

′

p p

ψ

ρ

ϕ

x x x x

+

+

2 2

( ', ) ( ) ( ( )) .

h

=

−

Айтайлик,

S X

=

∑

×

′′

,бунда

X

''

q

даги очиқ чегараланган тўплам,

p q n

+

=

−

2 2. Унда

{0}

×

X

′′

сингуляр қирра бўлиб, унинг ташқарисида

S

- силлиқ

сирт.

Бешинчи бобнинг биринчи параграфида ушбу теорема исботланган.

Теорема 19.

p

+

2

даги Лебег ўлчовидан индуцирланган

∑

даги

d

∑

сирт ўлчови

22

2 2

( )

( ) 1 ( ),

( )

p

′

d s h dsd y

ϕ

s

=

+

′

∑

ϕ

σ

| |

∇

y

′

ρ

кўринишга эга, бунда -

X

′

даги Лебег ўлчови,

1 1

( ,..., )

′=

.

y y y

+

p

S

сиртда натижа сифатида қуйидаги тасдиқ ўринли.

Теорема 20.

n

даги Лебег ўлчовидан индуцирланган

S

даги

dS

сирт

ўлчови

2 2

( )

· '' ( ) 1 ( ) '',

( )

p

′

dS d dy s h dsd y dy

ϕ

s

=

Σ

=

+

′

ϕ

σ

| |

′

ρ

∇

y

кўринишга эга, бунда

3 2

'' .

dy dy dy

=

+

p n

Бешинчи бобнинг иккинчи параграфида Бохнер-Мартинелли

ядросининг

S

сингуляр сиртда қисқариши кўрсатилган.

x y r s y x y x

μ

ϕ

=

− −

…

−

+

+

+

+

; агар

Агар

p n

+

<

1бўлса

1 1 2 2

( , , , ) ( , , )

n n p p

p n

+

=

1бўлса,

1 1 1 1 1 1

( , , , ) ( , , , , ( ) ( ) ),

x y r s s r y x y x r x s y

μ

ϕ

ϕ

ϕ

=

− − −

…

− −

+

+

+

+

+

+

n n n p n p

агар

p n

+

>

1бўлса,

x y r s s y r x s y r x s r

μ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

− −

…

− −

+

+

+

+

1 1 1 1

( , , , ) ( ( ) ( ) , , ( ) ( ) , ,

n n p p

y x y x r x s y r x s y

+

+

+

−

+

−

−

…

− −

…

−

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

3 3 2 2 1 1 2 2

, , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ).

p p n n p n p n

Теорема 21.

S

гиперсиртда Бохнер-Мартинелли ядросининг

қисқариши ушбу кўринишга эга

〈 − − 〉

′

′

′

′

1 ( ( ), ( , )),( ( ) ( ) , )

ν

ν

ϕ

ϕ

y y s s y r x s r

=

+

′

′′

U z s dsd y dy

( , ) ( ( )) ( )

( )

| ( ) ( ) | ( ) | |

ζ

ϕ

σ

p p

+

2

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

σ

ϕ

ϕ

s y r x s r y x

S n

2
2 2 2

n

〈 〉

′

′

1

( ( ), ( , )), ( , , , )( ( )) ( ) .

( )

| ( ) ( ) | ( ) | |

ν

ν

μ

ϕ

ϕ

σ

y y s x y r s

+

′

′′

ı s dsd y dy

σ

ϕ

ϕ

+

p p

2

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

s y r x s r y x

2
2 2 2

n
n

Коник нуқталар учун бу теорема А.Кытманов ва С.Мысливец

ишларида исботланган.
Хусусан, теорема 21 ни

ϕ

( )

r r

=

ва

ϕ

′

( ) 1

r

=

бўлган

S

⊂

гиперсиртга татбиқ этиш мумкин. Яъни ушбу тасдиқ

коник қиррали

n

ўринли.

Натижа 6.

Бохнер-Мартинелли ядросининг

S

гиперсиртдаги қисқариши

қуйидаги кўринишга эга

〈 − − 〉

′

′

′

′

1 ( ( ), ( , )),( , )

ν

ν

y y s sy rx s r

=

+

′

′′

U z s dsd y dy

( , ) · ( )

( )

| | ( ) | |

ζ

σ

p p

+

2

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

sy rx s r y x

S n

σ

2

2 2 2

n

〈 〉

′

′

1

( ( ), ( , )), ( , , , )· ( ) ,

( )

| | ( ) | |

ν

ν

μ

y y s x y r s

+

′

′′

ı s dsd y dy

p p

+

2

σ

σ

2

бу ерда:

n
n

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

sy rx s r y x

2 2 2

n n p p

μ

x y r s y x y x

=

− −

…

−

+

+

+

+

;

агар

p n

+

<

1

бўлса,

1 1 2 2

( , , , ) ( , , )

агар

p n

+

=

1

бўлса,

n n n p n p

μ

x y r s s r y x y x rx sy

=

− − −

…

− −

+

+

+

+

+

+

;

1 1 1 1 1 1

( , , , ) ( , , , , )

агар

p n

+

>

1

бўлса,

23

n n p p p p n

μ

x y r s sy rx sy rx s r y x y

=

− −

…

− − −

…

−

+

+

+

+

+

+

1 1 1

1 3 3 2

( , , , ) ( , , , , , ,

x rx sy rx sy

− −

…

−

+

−

+

−

.

2 1 1 2 2

, , , )

n p n p n

S

⊂

гиперсирт коник

Бешинчи бобнинг учинчи параграфида

2

n

қиррага эга бўлган ҳол қаралган.

Айтайлик,

D

-

n

даги чегараланган соҳа бўлсин,

n

>

1.

D

нинг чегараси

ушбу

∂

=

∪ ∪

…

∪

( ),

D Y S S

N

1

кўринишга эга, бунда

Y

- силлиқ гиперсирт, ҳар бир

S

ν

коник гиперсирт

S

да диффеоморф.

Шундай қилиб,

∂

D

- чекли сондаги коник қиррали силлиқ гиперсирт

бўлади.

Махсус нуқта атрофидаги таҳлил локал характерга эга эканлигидан,

умумийликни истисно этмаган ҳолда

N

=

1

, яъни

∂

=

∪

D Y S

, деб қараш

мумкин, бунда

S z z rx r x x X x X r R

=

∈

=

∈ ∈ ∈

′

′′

′

′

′′

′′

{ : ( , , ), , , [0, )}.

n

f C D X

∈ ∂

×

( {0} )

′′

функция учун нормани қуйидагича аниқлаймиз

comp

1

ǁ ǁ

( )

: |( , ) | | | ,

( )

f rx r f dS

γ

−

γ

бунда

γ

∈

.

2 ,

L D

∂

=′

∫

∂

D

2 2

2

C D X

( {0} )

∂

×

′′

нинг тўлдирувчиси

2,

L D

( )

γ

∂

каби

Бу норма бўйича

comp

белгилаймиз.

′

вазн кўпайтувчи

2,

L D

( )

γ

∂

даги функциянинг

| ( , ) |

rx r

−

γ

Маълумки

2

хусусиятини коник қирра

{0}

×

X

′′

атрофида характерлайди. Модомики,

∂

=

∪

D Y S

экан, бу нормани иккита ярим нормага ажратиш мумкин бўлади.

Улардан бири

∂

D S

бўйича интеграллашга мос келиб, у чегаранинг силлиқ

қисмида функциянинг ҳолатини назорат қилади. Иккинчи ярим норма

S

бўйича

интеграллашга мос келиб, у махсус қирра яқинида функциянинг ҳолатига
жавоб беради.

S

гиперсиртни параметрлаштириш учун

X R X

′

′′

×

×

[0,

]цилиндр билан тенглаштириш мумкин. Шунинг учун иккинчи яримнорма
ҳақиқаттан ҳам ушбу

ǁ ǁ =

f

−

+

′

′′

×

×

2

( [0, ] )

amma p

L X R X

2? ( 1)/2

R

dr r f

r

− −

+

2(? ( 1)/2) 2

amma p

=

∫

ǁ ǁ

2

′

′′

×

L X X

( )

0

f C X R X

∈

×

×

( (0, ) )

′

′′

, (теорема 20 дан яққол

нормадан келиб чиқади

comp

кўринади.)

Ушбу

k x y x y r s

( , , , , , )

′

′

′′

′′

, киритамиз. У

( , ),( , )

x x y y X X

′

′′

′

′′

′

′′

∈

×

ва

r s

, 0

>

лар учун аниқланган бўлиб, қуйидаги кўринишга эга

24

〈 − − 〉

′

′

′

′

y y sy rx s r k x y x y r s

sy rx s r y x

1 ( ( ), ( )),( , ) ( , , ,

, , )

( )

| | ( ) | |

ν

ν

′

′

′′

′′

=

+

2

n

σ

2

n

n

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

2 2 2

〈 〉

′

′

ı y y s x y r s

ν

ν

μ

( ) ( , ), ( , , , )

.

2

n

+

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

( )

| | ( ) | |

sy rx s r

y x

σ

2

n
n

2 2 2

Бу ядродан фойдаланиб, Бохнер-Мартинеллининг махсус интегралини

қуйидагича ифодалаш мумкин

( , , ) , , , , , ( , , ) ( ) ,

( )

p

∞

=

∫ ∫

′

′′

′

′

′′

′′

′

′′

′

′′

ds

M f x x r s k x y x y r s f y y s d y dy

S

1
0

+

′

′′

×

X X

s

σ

′

′′

лар мос равишда

z rx r x

=

( , , )

′

′′

ва

′

′′

ва

( , , )

y y s

бунда

( , , )

x x r

′

′′

ларга тенглаштирилади.

ζ

=

( , , )

sy s y

Шуни таъкидлаш керакки,

X X

′

′′

×

бўйича интеграл махсус интеграл

бўлади, чунки

k x y x y r s

( , , , , , )

′

′

′′

′′

y x

′

′

′′

′′

=

ва

s r

=

да

махсусликка эга.

=

,

x y

Теорема 22.

Агар

− −

<

<

p

1 0

γ

бўлса, Бохнер-Мартинеллининг махсус

интеграли

2,

L X R X

( [0, ) )

γ

′

′′

×

×

даги чегараланган чизиқли операторни

аниқлайди.

Бешинчи бобнинг тўртинчи параграфида Бохнер-Мартинелли махсус

интеграл оператори

M

S

дан юзага келган операторлар алгебраси қаралади.

Теорема 23.

Агар

D

- чегараси боғламли соҳа бўлса, у ҳолда

C

*

- алгебра

келтирилмайдиган бўлади.

Энди алгебра учун Калкиннинг

=

/

алгебрасини қараймиз, бунда -

2

( )

∂

D

Гильберт фазосидаги компакт операторларнинг идеали.

Теорема 24.

Калкин алгебраси

=

/

коррект аниқланган, яъни

⊂

.

Кейинги параграф

M

S

операторнинг конормал символини топишга

бағишланган. Кейинчалик, қулайлик учун

S

гиперсиртнинг кўринишини

қуйидагича ўзгартириб

S z z rx r rx x X x X r R

′′

=

∈

=

∈ ∈ ∈

′

′′

′

′

′′

{ : ( , , ), , , (0, )},

n

r

қараймиз, бунда

1

.

X X

′′

=′′

r

r

′

′′

′

′

′′

′

∈

×

∈

×

( , ) , ( , )

x x X X y y X X

′′

′′

r s

ва

t

>

0лар учун аниқланган

k x y x y t

( , , , , )

′

′

′′

′′

функцияни қуйидагича

киритамиз

〈 − − 〉

′

′

′

′

1 ( ( ), ( )),( ,1 )

ν

ν

y y y tx t

′

′

′′

′′

=

+

k x y x y t

y tx t y tx

( , , , ,

)

( )

| | (1 ) | |

p

+

2

σ

2

n

n

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

2 2 2

〈 〉

′

′

′

′

′′

′

′′

ı y y x x y y t

ν

ν

μ

( ), ( ), ( , , , , )

,

p

+

2

+

′

′

′′

′′

−

+

−

+

−

( )

| | (1 ) | |

y tx t y

tx

σ

2

n
n

2 2 2

25

′

′′

′

′′=

− −

…

−

бунда агар

p n

+

<

1бўлса;

1 1 2 2

( , , , , ) ( , , ),

n n p p

μ

x x y y t y tx y tx

+

+

+

+

′

′′

′

′′=

− − −

…

− −

,

агар

p n

+

=

1бўлса;

1 1 1 1 1 1

( , , , , ) (1 , , , , )

n n n p n p

μ

x x y y t t y tx y tx tx y

+

+

+

+

+

+

агар

p n

+

>

1бўлса

μ

( , , , , )

x x y y t

′

′′

′

′′=

y tx y tx t y tx y tx tx y tx y

=

− −

…

− − −

…

− −

…

−

+

+

+

+

+

+

+

−

+

−

1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 2 2

( , , ,1 , , , , , , ).

n n p p p p n n p n p n

Бу ядродан фойдаланиб Бохнер-Мартинеллининг махсус интегралини

қуйидагича ѐзиш мумкин

ds r

M f x x r s k x y x y f y y s d y dy

( , , ) , , , , ( , , ) ( ) ,

( )

∞

=

∫ ∫

′

′′

′

′

′′

′′

′

′′

′

′′

S

s s

0

X X

σ

′×

s

′′

′

′′

лар мос равишда

z rx r rx

=

( , , )

′

′′

ва

′

′′

ва

( , , )

y y s

бунда

( , , )

x x r

′

′′

.

ζ

=

( , , )

sy s sy

′×

бўйича интеграл махсус бўлади, чунки( , , , , )

r

X X

s

′′

′

′

функция

y x

′′

′′

=

ва

s r

=

да махсусликка

эга.

′

′

′′

′′

k x y x y

s

=

,

x y

r

λ

орқали ярим ўқда аниқланган

f r

( )функциянинг Меллин

алмаштиришини қуйидагича белгилаймиз

dr f r f r

r

( ) ,

ı

λ

r

λ

∞

=

∫

−

бунда

λ

∈

.

0

Бохнер-Мартинеллининг махсус оператори ва Меллин

алмаштиришининг композицияси қуйидагича бўлади:

dr ds r

M f x x r r k x x y y f y y s d y dy

( , , ) , , , , ( , , ) ( )

( )

∞ ∞

=

=

∫ ∫ ∫

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

−

ı

λ

λ

σ

r S

r s s

0 0

X X

′×

s

′′

ds r dr

r k x x y y f y y s d y dy

( ( ) )

, , , , ( , , ) ( ) .

∞ ∞

=

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

∫ ∫ ∫

−

ı

λ

σ

s s r

′

′′

×

0 0

X X

s

r

∈ ∞

(0, )бўйича интегралда

r st

=

, алмаштиришни бажарамиз, бунда

t

(0,

)

∞

да ўзгаради. Натижада

( , , )

r S

M f x x r

λ

′

′′=

ds dt

s t k x x y y t f y y s d y dy

( )

( , , , ; ) ( , , ) ( )

∞ ∞

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

∫ ∫ ∫

=

=

− −

ı ı

λ

λ

σ

s t

0 0

X X

′×

s

′′

=

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

∫

k x x y y t f y y s d y dy

λ

λ

σ

( , , , ; ) (

, , ) ( )

X X

′×

s

t s

′′

x X

′′

′′

∈

ва

бўлади, бунда

x X

′

′

∈

,

s

λ

∈

.

Бунда

a

( )

λ

ушбу интеграл билан аниқланади:

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

a f x x t k x x y y t f y y t d y dy

λ

σ

λ

( ) ( , , ) ( ,

, , ; ) ( , , ) ( ) .

=

∫

′

′′

×

t
X X

t

a

( )

λ

- Меллин алмаштиришига асосан псевдодифференциал оператор

конормал символи дейилади. Уни аниқ ҳисоблаш учун

26

〈 − − 〉

+

〈 − − 〉

+

−

=

y tx y tx y tx y tx t

′

′

′

′

′′

′′

′′

′′

, , (1 ) 0,

2

тенгламанинг юқори ярим текисликда ягона ечимини

Z

деймиз, яъни

+

〈 〉

+

〈 〉〉

′

′

′′

′′

x y x y Z

x x

1 , ,

=

+

+

+

′

′′

2 2

1 | | | |

′

′

′′

′′

′

′′

′

′′

′

′

′′

′′

−

+

−

+

+

+

− 〈 〉

+

〈 〉

ı y x x y x x y y x y x y

| | | | (| | | | )(|

| | | ) ( , , )

.

2 2 2 2 2 2 2

+

+

+

′

′′

1 | | | |

x x

2 2

Теорема 25.

1

γ

<

−

nучун Бохнер-Мартинеллининг махсус интеграли

| |

2

қуйидагича ифодаланади

1

M f r r a f r d

λ

( ) ( ) ( ) .

λ

λ

ı

=′

∫

π

′

S r

λ

2

{Im ( 1/2) }

λ

γ

=

− −

n

Коник махсус нуқталарга эга бўлган соҳа учун юқоридаги тасдиқ

А.Кытманов ва С.Мысливец ишларида исботлаган.

Бешинчи бобнинг олтинчи параграфида конормал символнинг

асимптотик ѐйилмалари келтирилган. Айтайлик,

+

+

=

〈 〉

+

〈 〉

′

′

′

′

′

′

′′

′

′′

A y y y y y x x y y

ν

ν

ν

ν

μ

1

( ( ), ( )),( ,1) ( ( ),

( )),( ( , , , ,0) ,

ı

σ

σ

p p

2 2

2 2

n n

+

+

=

− 〈 〉

+

〈 〉

′

′

′

′

′

′

′

′′

′

′′

B y y x y y x x y y

ν

ν

ν

ν

μ

1

( ( ), ( )),( ,1) ( (

), ( )), ( , , , ,0)

p p t

ı

σ

σ

2 2

2 2

n n

бўлсин.

Теорема 26.

( , , , ; )

t

k x x y y t

λ

′

′′

′

′′

функция

Im 0

Z

→

да қуйидаги

асимптотик ѐйилмага эга.

( , , , ; )

t

k x x y y t

λ

′

′′

′

′′=

( 1) ( 2 2) exp (( 2 1) )

i i n i n A i Z B Z

λ

λ

πλ

λ

λ

− −

+

…

+

−

+

− ℑ − ℜ ℑ

+

i n

λ

2

π

(2 1)! sinh (1 | | )

n x

−

+

2

n

πλ

+

O Z

(Im ).

Бундан ташқари,

π

πλ

exp ( , , , ; )

2(2 1)! (1 | | ) sinh

t

n

i

′

′′

′

′′

=

×

k x x y y t

n x

λ

−

+

2

πλ

( 1) ( 2 2)( )

i i n s Z Z

λ

λ

+

+

+

− −

s

∞

×

×

∑

s s n s n

!( ) ( 2

1)

s

=

+

+

−

0

1 2 2

( 1) ( ( 2 1)) ( ( 2 1)) .

s i n s i n s

Z i BZ A i n s Z i BZ A i n s

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

− − − − − −

×

−

+

+

+

− −

+

+

+

−

(

)

ХУЛОСА

Диссертация иши кўп ўлчамли комплекс фазода функцияларни аналитик

давом эттириш ва махсус интегралларни тадқиқ этишга бағишланган. 1.
Чегараси бўлакли-силлиқ чегараланган соҳаларда Бохнер-Мартинелли
типидаги интеграл тадқиқ қилинган.

27

2. Бохнер-Мартинелли типидаги интегралнинг сакраши ҳақидаги

теоремалар

исботланган,

бундай

интеграл

орқали

ифодаланувчи

функцияларнинг голоморфлиги кўрсатилган.

3. Хенкин-Рамирез такрорий интегралининг ўрин алмашиши ҳақидаги

теоремалар исботланган.

4. Бохнер-Мартинелли типидаги интегралнинг сакраши ҳақидаги

теоремалар функцияларнинг голоморф давом этиши ҳақидаги масалаларга
татбиқ этилган.

5. Қатъий псевдоқавариқ соҳаларда Хенкин-Рамирез махсус такрорий

интегралининг Коши ва Керзман-Стейн бош қийматлари учун ўрин
алмаштириш формулалари топилган.

6. Чегараси коник қирраларга эга бўлган чегараланган соҳада Бохнер

Мартинелли типидаги интегралларнинг чегаравий ҳолатлари тўла тадқиқ
этилган.

7. Чегараси коник қирраларга эга бўлган чегараланган соҳаларда

функцияларни голоморф давом эттириш ҳақидаги теоремалар ҳамда Гартогс
Бохнернинг голоморф давом эттириш ҳақидаги теоремасининг аналоглари
исботланган.

8. Чегараланган ва коник қирраларни ўз ичига олувчи чегарали соҳаларда

Привалов теоремаси аналоги ва Сохоцский-Племел формуласи топилган.

9. Гартогс-Бохнер ва Айзенберг-Кытмановнинг бўлакли-силлиқ

чегарали ва коник қирраларни ўз ичига олувчи чегарали соҳаларда Бохнер
Мартинелли типидаги интеграл орқали ифодаланувчи функциялар
голоморфлиги кўрсатилган.

10.

Сингуляр

қиррали соҳаларда Бохнер-Мартинелли махсус

интегралидан ҳосил бўлган операторлар алгебрасида Бохнер-Мартинелли
операторининг конормал символи ҳисобланганлигини ва унинг асимптотик
ѐйилмаси қурилган.

Тадқиқод жараѐнида олинган натижаларни кўп ўлчовли комплекс

анализда интеграл ифодалар назарияси масалаларини тадқиқ қилишда,
хусусан, Бохнер-Мартинелли интеграли билан ифодаланувчи функцияларни
голоморф давом эттириш ҳақидаги теоремаларни умумлаштиришда, суюқлик
билан тўлдирилган ғовак ярим фазода дилатансия соҳаларини қуришда,
коник

қиррали

гиперсиртларда

сингуляр

интеграл

операторлар

алгебраларини таснифлашда, математик физиканинг чегаравий масалаларини
ечишда кўллаш тавсия этилади.

28

НАУЧНЫЙ СОВЕТ DSc.27.06.2017.FM/T.34.01 ПО ПРИСУЖДЕНИЮ

УЧЕНЫХ СТЕПЕНЕЙ ПРИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ,

ИНСТИТУТЕ ИОННО-ПЛАЗМЕННЫХ И ЛАЗЕРНЫХ ТЕХНОЛО

ГИЙ, САМАРКАНДСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА

ДЖУМАБАЕВ ДАВЛАТБАЙ ХАЛИЛЛАЕВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ОБЛАСТЯХ С

СИНГУЛЯРНЫМИ ГРАНИЦАМИ

01.01.01 – математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ

ДОКТОРА (DSc) ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ТАШКЕНТ – 2017

29

Тема докторской (DSc) диссертации зарегистрирована в Высшей аттестационной

комиссии при Кабинете Министров Республики Узбекистан за № В2017.1.DSc./FM1

Диссертация выполнена в Национальном университете Узбекистана.
Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский (резюме))

размещѐн на веб-странице Научного совета (http://fti-kengash.uz/) и на Информационно
образовательном портале «ZiyoNet» (www.ziyonet.uz).

Научный консультант: Худайберганов Гулмирза

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Кытманов Александр Мечиславович

доктор

физико-математических наук, профессор

Сибирский федеральный университет (Россия)

Шаимкулов Баходир Аллабердиевич

доктор физико-математических наук

Имомкулов Севдиѐр Акромович

доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Ургенчский государственный университет

Защита диссертации состоится «___» _________ 2017 г. в _______ часов на заседании

Научного совета DSc.27.06.2017.FM/T.34.01 при Физико-техническом институте, Иинституте
ионно-плазменных и лазерных технологий, Самаркандском государственном университете.
(Адрес: 100084, г.Ташкент, ул. Бодомзор йули 2б. Тел./факс: (99871) 235-42-91, e-mail:
lutp@uzsci.net, зал заседаний физико-технического института).

С диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре Физико

технического института (регистрационный номер ______ ). Адрес: 100084, г.Ташкент, ул.
Бодомзор йули 2б.

Автореферат диссертации разослан «___» _________ 2017 г.

(протокол реестра № ___ от «___» _________ 2017 г.).

С.Л.Лутпуллаев

Председатель научного совета по

присуждению ученых степеней,

д.ф.-м.н., профессор

А.В.Каримов

Ученый секретарь научного совета по

присуждению ученых степеней,

д.ф.-м.н., профессор

А.С.Садуллаев

Председатель научного семинара при научном

совете по присуждению ученых степеней,

д.ф.-м.н., профессор, академик

30

ВВЕДЕНИЕ (аннотация докторской диссертации)

Актуальность и востребованность темы диссертации.

Множество

научно-практических исследований, проводимые в мировом масштабе,
показывают актуальность исследования аналитического продолжения
функций в многомерном комплексном пространстве и сингулярных
интегральных операторов. Сначала ученые Германии и Италии нашли
интегральное представление Бохнера-Мартинелли для голоморфных
функций многих комплексных переменных. А интегральное представление
Коши-Фантапье, найденное французскими учеными и являющееся
достаточно общим легко получается из представления Бохнера-Мартинелли.
Интегральное представление в многомерном комплексном анализе является
мощным конструктивным инструментом, как и интегральное представление
Коши в теории функций одного комплексного переменного, имеющее
различные и важные приложения. Поэтому развитие исследований по
интегральным представлениям в многомерном комплексном анализе и их
приложений является одной из важных задач.

В годы независимости в нашей стране усилено внимание актуальным

направлениям, имеющим прикладное значение, в частности, с целью
использования особых интегралов для аналитического продолжения функций
в многомерном комплексном анализе, отдельное внимание уделено изучению
их граничных свойств. Достигнуты серьезные результаты в изучении
граничных свойств интеграла типа Бохнера-Мартинелли для областей с
гладкой границей.

В настоящее время изучение и исследование граничных свойств особых

интегралов таких, как Бохнера-Мартинелли, Хенкина-Рамиреза, Коши-Сеге в

задачах аналитического продолжения функций в областях с сингулярными
границами играют важную роль. В связи с этим, осуществление целевых
научных исследований является одной из важных задач, в том числе, научные
исследования по следующим направлениям: аналитическое продолжение
функций для данных областей с сингулярными границами в многомерном
комплексном анализе, получение условий аналитического продолжения
функции, заданной на границе; исследование граничных

свойств

сингулярных интегральных операторов; получение формул перестановки и
композиции в строго псевдовыпуклых областях. Проводимые научные
исследования по вышеуказанному направлению научных исследований,
обосновывает актуальность темы данной диссертации.

Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач,

обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан
№-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения
инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008 года
и №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности
Академии

наук,

организации,

управления

и

финансирования

научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года, а также
других нормативно-правовых актах по данной деятельности.

31

Связь исследования с приоритетными направлениями развития

науки и технологий республики.

Данное исследование выполнено в

соответствии с приоритетным направлением развития науки и технологий
Республики Узбекистан IV. «Математика, механика и информатика».

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации

2

.

Научные исследования, направленные на изучение аналитического
продолжения функций в многомерном комплексном анализе и сингулярных
интегральных операторов осуществляются в ведущих научных центрах и
высших образовательных учреждениях мира, в том числе, в Princeton
University, The University of North Carolina, University of Massachusetts Boston,
Ohio State University, Stony Brook University, Baldwin Wallace University
(США), Sapienza University of Rome (Италия), Bergische Universitat Wuppertal,
Potsdam University (Германия), Сибирском Федеральном университете,
Институте математики Российской Академии наук, Московском
государственном университете, Новосибирском государственном
университете, Институте вычислительной математики и математической
геофизики Сибирского отделения Российской АН (Россия), Bar-Ilan University
(Израиль), Université Stendhal-Grenoble, Universite Pierre et Marie Curie de
Paris VI (Франция).

В результате исследований в мире по изучению аналитического

продолжения функций для областей с гладкой границей и граничных свойств
особых интегралов в многомерном комплексного анализе решены ряд
актуальных задач, в том числе, получены следующие научные результаты:
Бохнер (Princeton University (США)) и Мартинелли (Sapienza University of
Rome (Италия)), не связанно друг с другом, не имея вестей друг о друге,

нашли строгое доказательство теоремы Гартогса о стирании компактных
особенностей голоморфных функций; а Бохнер, на самом деле, доказал
теорему Гартогса для областей с гладкой границей и функций, непрерывных
на границе; Вайнсток (Baldwin Wallace University (США)) доказал ее для
непрерывных функций в областях с бесконечно гладкой границей; в работах
Л. А. Айзенберга (Bar-Ilan University (Израиль)) и А. М. Кытманова
(Сибирский федеральный университет (Россия)) доказано голоморфное
продолжение функции, по границе области

D

из

n

с гладкой границей и

ортогональной ядру Бохнера-Мартинелли при интегрировании на границе.

В мире, в настоящее время, осуществляется ряд научных исследований

по

приоритетным

направлениям,

как

исследование интегральных

представлений в многомерном комплексном анализе, в том числе: граничные
свойства интеграла Бохнера-Мартинелли и их приложение к задачам
аналитического продолжения функций, теоремы о скачке интеграла Бохнера

Мартинелли, приложения интегральных формул Лере (Каши-Фантапье),

2

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации разработан на основе:

www.math.prinston.edu, www.northcorolina.edu, www.umb.edu, www.osu.edu, www.stonybrook.edu, www.bw.edu,
www.unirome1.it, www.uni-wuppertal.de, www.uni-postdam.de, www.sfu-kras.ru, www.mi.ras.ru, www.msu.ru,
www.nsu.ru,

www1.bin.ac.il,

www.ac-grenoble.fr/stendhal/,

www.upmc.fr,

Матем.

Сборник

http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v136/i4/p567 и других источников.

32
Хенкина-Рамиреза, Коши-Сеге (Хуа Локена), аналитическое выражение

CR

-

функций на гиперповерхностях с особенностями, многомерные граничные
аналоги теоремы Морера, оператор Бохнера-Мартинелли в шаре и на
полуплоскости, голоморфное продолжение функции, заданной на границе
ограниченной области, во внутрь этой области, получение формул
перестановки и композиции для особого интеграла Хенкина-Рамиреза.

Степень изученности проблемы.

Задача о скачке является одной из

первых задач, рассмотренных для интеграла Бохнера-Мартинелли. Для этого,
оказывается, свойства гладкости функции и границы области будут такими
же как для интеграла Коши. Формула Сохоцкого-Племеля и, кроме того,
разность

F z F z

( ) ( )

+

+

− −

−

может иметь предел на границе

0

z D

∈∂

, а вместо

доказательства того, что функции

F z

( )

+

+

и

F z

( )

− −

не имеют предела, легче

доказать теорему о скачке. Поэтому теорема о скачке справедлива для более
широкого класса функций, чем формула Сохоцкого-Племеля. Сначала,
формулам граничных значений интеграла типа Коши для случая одной
переменной посвящены научные исследования Ю.Сохоцкого, И.Племеля,
И.Привалова. По различным теоремам о скачке интеграла (типа) Бохнера
Мартинелли вели научные исследования Лу Цикен, Чжун Тунде, В.Какичев,
Е.Чирка, Г.Хенкин, Л.Айзенберг, А.Кытманов, Ш.Даутов, А.Аронов, Р.Харви,
Х.Лаусон, Ш.Ярмухамедов, Б.Шоимкулов, Н.Тарханов, Б.Пренов.

В процессе исследования сингулярных интегральных операторов типа

Бохнера-Мартинелли и потенциалов, А.Кытманов, С.Мысливец, Н.Тарханов

рассмотрели случай ограниченных областей

D

с конической особой точкой.

При изучении задачи перестановки особого интеграла типа Бохнера
Мартинелли, А.М.Кытманов, Б.Б.Пренов и Н.Н.Тарханов получили формулу
для интеграла типа Коши, отличающуюся от классической формулы
Пуанкаре-Бертрана. Позднее А.М.Кытманов и А.С.Кацунова получили
формулу Коши-Сеге, хорошо согласующуюся с формулой Пуанкаре
Бертрана на комплексной плоскости. В работе А.Кытманова, С.Мысливец и
Н.Тарханова, а также и в других работах А.Кытманова и С.Мыслевиц
рассмотрены не кусочно-гладкие, а более общие классы областей с
сингулярными границами. При изучении конормального символа необходимо
было обобщение теоремы о скачке интеграла Бохнера
Мартинелли в области с сингулярным ребром, являющимся аналогом
теоремы Сохоцкого-Племеля. В работе А.Кытманова, С.Мысливец и
Н.Тарханова

показана

возможность

эффективного

вычисления

конормального символа оператора Бохнера-Мартинелли в областях с
коническими особыми точками.

В многомерном комплексном пространстве

n

недавно получены аналоги

формул перестановки для особого интеграла Бохнера-Мартинелли, в них
рассмотрено главное значение по Коши особого интеграла (А.Кытманов,
Н.Тарханов и Б.Пренов), а в строго псевдовыпуклых областях рассмотрен
интеграл Бохнера-Мартинелли для главного значения по Керзману-Стену
(А.Кацунова). В работе А.Кацунова и А.Кытманова рассмотрен случай шара

33

и приведены формулы перестановки и композиции для особого интеграла
Коши-Сеге. Они по форме похожи на классические формулы Пуанкаре
Бертрана и композиции для интеграла типа Коши. Теория интегральных
формул в многомерном комплексном пространстве и их приложения развиты
в исследованиях Л.Айзенберга, А.Южакова, F.Hervey, J.Lowson, N.Kerzman,
E.Stein, G.Lupacciolu, E.Stout, B.Weinstock, Е.Чирки, А.Кытманова,
Ш.Ярмухамедова,

Н.Тарханова,

А.Аронова,

Ш.Даутова,

Г.Хенкина,

М.Аграновского, А.Шляпунова, Б.Шаимкулова, Б.Пренова, А.Кацуновой,
Д.Джумабаева.

Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами

высшего учебного заведения, в котором выполняется диссертация.

Исследование диссертации выполнены в рамках проектов научных
исследований Национального университета Узбекистана по темам ОТ-Ф1-
116 «Задачи аналитического продолжения и вопросы геометрической теории
функции» (2007-2011) и Ф-4-31 «Теория плюрипотенциала и интегральные
представления в многомерном анализе» (2012-2016).

Целью исследования

является исследование состояния на границе

интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с кусочно-гладкой границей и в
областях с сингулярной границей, а также применение полученных
результатов к задачам голоморфного продолжения функций.

Задачи исследования:

доказательство теорем о скачке интеграла Бохнера-Мартинелли в

областях с кусочно-гладкой границей и в областях с сингулярной границей в

n

;

доказательство теорем о перестановке повторного интеграла Хенкина

Рамиреза;

получение теоремы о голоморфном продолжение функций (в таких

областях), ортогональных ядрам Бохнера-Мартинелли, и как следствие
нахождение аналога теорем Гартогса-Бохнера, Айзенберга-Кытманова;

получение результатов, связанных с голоморфным продолжением

функции с границы ограниченной области с кусочно-гладкой границей во
внутрь этой области;

получение формул перестановки и формул композиции для особого

интегрального оператора Хенкина-Рамиреза в строго псевдовыпуклых
областях;

доказательство аналога теоремы Привалова и получение формулы

Сохоцкого-Племеля в областях с границей, содержащей конические ребра;
исследование задачи голоморфного продолжения функций с замкнутых
гиперповерхностей с коническими ребрами;

изучение алгебры операторов, порожденной особым интегральным

оператором Бохнера-Мартинелли. Нахождение конормального символа этого
оператора и его асимптотического разложения.

Объект исследования:

различные сингулярные интегральные

операторы (Бохнера-Мартинелли, Коши-Сеге, Хенкина-Рамиреза) в

34
многомерном комплексном пространстве в ограниченных областях с
сингулярными границами.

Предмет исследования

состоит из интегральных операторов,

соответствующих теореме об аналитическом продолжении функций,
заданных на границе области с сингулярной точкой и сингулярным ребром.

Методы исследования.

В исследовательской работе использованы

методы интегральных представлений голоморфных функций в многомерном
комплексном анализе и теории функций многих комплексных переменных.

Научная новизна исследования

заключается в следующем: решены

задачи, связанные с граничными свойствами интеграла типа
Бохнера-Мартинелли в ограниченных областях с кусочно-гладкими
границами и границами с коническими ребрами;

доказаны теоремы о скачке интеграла типа Бохнера-Мартинелли в таких

областях;

получены теоремы о перестановке повторного интеграла Хенкина

Рамиреза;

доказаны теоремы о голоморфном продолжении, а также аналоги теорем

Гартогса-Бохнера о голоморфном продолжении функций ограниченных
областях с границей, содержащей конические ребра;

получены теоремы о голоморфности функций, представимых

интегралом Бохнера-Мартинелли в ограниченных областях с границей,

содержащей конические ребра, усиливающие ранее известные теоремы
Айзенберга-Кытманова;

получены формулы перестановки и формулы композиции для особого

интегрального оператора Хенкина-Рамиреза в строго псевдовыпуклых
областях;

получены аналог теоремы Привалова в ограниченных областях с

границей, содержащей конические ребра и формула Сохоцкого-Племеля;
изучена алгебра операторов, порожденная особым интегральным оператором
Бохнера-Мартинелли в областях с сингулярными границами. Найден его
конормальный символ.

Практические результаты исследования

заключаются в возможности

применения доказанных теорем о скачке интеграла типа Бохнера Мартинелли
к исследованию задач теории интегральных представлений в многомерном
комплексном анализе, а также в методах решения граничных задач
математической физики.

Достоверность результатов исследования

обоснована применением

методов математического анализа, функционального анализа и теории
функций комплексного переменного, а также строгостью математических
рассуждений.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Научную

значимость

результатов

исследования можно объяснить

использованием при голоморфном продолжении функций в областях с
сингулярной границей и при решении задач, связанных с граничными
свойствами интегральных представлений.