Page 102
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF ACADEMIC
RESEARCH
IF = 5.441
Volume 3, Issue 06, June 2025
www.in-academy.uz
STOKS KUCHINING NAZARIY ISBOTI VA UNING REYNOLD
SONI BILAN SUYUQLIK OQIMIDAGI BOG`LIQLIGINI
O`RGANISH
Bo`ronov Musobek Orifovich
O`zbekiston Milliy universiteti
Fizika fakulteti 1-kurs talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15656412
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Qabul qilindi: 01-June 2025 yil
Ma’qullandi: 07- June 2025 yil
Nashr qilindi: 13- June 2025 yil
Ushbu maqolada Stoks kuchi tushunchasi, uning Navye-
Stoks tenglamasidan kichik Reynold soni holatida
chiqarilishi ko‘rib chiqiladi. Maqolada laminar va
turbulent oqimlar orasidagi farqlar, Reynold sonining
oqim rejimiga ta’siri va suyuqliklar qovushqoqligini
aniqlashda laboratoriya usullarining qo‘llanilishi
muhokama qilinadi. Shuningdek, Puazeyl va Stoks
formulalari yordamida qovushqoqlik koeffitsientini
topish usullari yoritilgan.
KEYWORDS
Past Reynold soni qiymatlarida
(Re
<
1)
suyuqlikda
harakatlanayotgan
sferaga
ta’sir qiladigan kuch Stoks
kuchi deb ataladi va u
quyidagicha ifodalanadi:
Past Reynold soni qiymatlarida (Re < 1) suyuqlikda harakatlanayotgan sferaga ta’sir qiladigan
kuch
Stoks kuchi
deb ataladi va u quyidagicha ifodalanadi:
𝐹
𝑠
= 6𝜋η𝑟𝑣
Bu yerda:
η
— suyuqlikning qovushqoqlik koeffitsienti
r
— sferaning radiusi
v
— sferaning suyuqlikdagi tezligi
Bu formula kichik Reynolds soni holatlarida o‘rinlidir.
Reynold soni
Re =
ρϑl
η
ρ
suyuqlik yoki gazning zichligi
ϑ
oqimning (nayning kesimi bo`yicha olingan o`rtacha) tezligi
η
suyuqlik (yoki gazning) qovushqoqlik koeffitsienti
l ko`ndalang kesim uchun xarakterli bo`lgan o`lcham. Misol: kesim kvadrat bo`lsa, kvadrat
tomoni, kesim doira bo`lsa, radius yoki diametr.
Re*-reynold soni kritik qiymati
Bu kritik qiymat suv uchun 1200.
Agar
Re < Re
* — oqim
laminar
Agar
Re > Re
* — oqim
turbulent
Stoks kuchi isboti
Page 103
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF ACADEMIC
RESEARCH
IF = 5.441
Volume 3, Issue 06, June 2025
www.in-academy.uz
Navier Stoks tenglamasini, kichik Reynold son qiymatlarida anchagina soddalashtirish
mumkin. Siqilmaydigan uzluksiz oqim uchun bu oqim quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑)𝑣 = − (
1
𝜌
) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑝 + (
η
𝜌
) ∆𝑣
(1)
Bu yerda
(
η
𝜌
) ∆𝑣
,
ηu
𝜌𝑙
2
ning miqdori.
(𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑)𝑣
𝑢
2
𝑙
ning miqdori. Reynold soni kichik bo`lganda,
tenglama quyidagi holatga soddalashadi:
η∆𝑣 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑝 = 0
(2)
qo`shimchasiga 2ta tenglikni ham yozib olamiz:
𝑑𝑖𝑣 𝑣 = 0
.
∆𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑣 = 0
(3) oxirgi tenglik 2 tenglamadan curl olish orqali aniqlanadi.
Qovushqoq suyuqlikda, sferaning o`zgarmas tezlik bilan harakatlanayotgan holatini ko`rib
chiqaylik. Oqimni uzluksiz deb hisoblasak, shar suyuqlikda u o`zgarmas tezlik bilan
harakatlanganda, vaqt o`tishi bilan oqim tezligi o`zgarib turadi. Shu sababli,
𝑑𝑖𝑣 (𝑣 − 𝑢) =
𝑑𝑖𝑣 𝑣 = 0
,
𝑣 − 𝑢
qandaydir A vektorning curl I deb hisoblash mumkin:
𝑣 − 𝑢 = 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝐴
(
𝑐𝑢𝑟𝑙 𝐴
cheksizlikda nolga teng). Tezlikka o`xshab, A vektorning curl I qutbiy bo`lishi uchun, A
o`q bo`lishi kerak. A vektorda, u parametr chiziqli bo`lishi kerak, chunki harakat tenglamasi
chiziqlidir. Hamma shartlarni qanoatlantiradigan A(r) vektorning umumiy ko`rinishi
A=f`(r)n*u, bu yerda n r vektorga parallel yo`nalgan (r vektor shar markazida yo`nalishida
olingan) bo`lib, f`(r) rning skalyar funksiyasidir. O`z navbatida f`(r) funksiyanin, f(r)
funksiyaning gradienti deb qarashimiz mumkin. Shu sababli biz tezlikni quyidagi ko`rinishda
qidiramiz (bu yerda u=const):
𝑣 = 𝑢 + 𝑐𝑢𝑟𝑙(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 ∗ 𝑢) = 𝑢 + 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑙 (𝑓𝑢)
(4)
f funksiyani aniqlash uchun (3) tenglikdan foydalanamiz:
𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑣 = 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑙 (𝑓𝑢) = (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 − ∆) 𝑐𝑢𝑟𝑙 (𝑓𝑢) = −∆𝑐𝑢𝑟𝑙 (𝑓𝑢)
(3) tenglama quyidagi ko`rinishida yozishimiz mumkin:
∆
2
𝑐𝑢𝑟𝑙 (𝑓𝑢) = ∆
2
(𝑔𝑟𝑎𝑓 𝑓 ∗ 𝑢) = (∆
2
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓) ∗ 𝑢 = 0
. Bundan kelib chiqadiki:
∆
2
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 0
. (5)
Ifodani integrallasak:
∆
2
𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Bu konstanta nol bo`lishi kerakligini ko`rish oson, chunki tezlik farqi
𝑣 − 𝑢
to`laligicha yo`qolishi kerak .
∆
2
𝑓
ifoda 4-tartibli hosilani o`z ichiga oladi , shu paytda tezlik f
ning 2-tartibli hosilasiga teng bo`ladi. Shu sababli bizda quyidagi ifoda bor:
∆
2
𝑓 =
1
𝑟
2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
2 𝛿
𝛿𝑟
) ∆𝑓 = 0
. Keyin:
∆𝑓 =
2𝑎
𝑟
+ 𝑐
𝑣 − 𝑢
farqi to`laligicha yo`qolishi uchun, c o`zgarmas son nolga teng bo`lishi kerak.
∆𝑓 =
2𝑎
𝑟
dan keyin, niz quyidagi natijaga erishamiz:
𝑓 = 𝑎𝑟 +
𝑏
𝑟
(6)
O`zgarmas qo`shimcha sonlar tashlab yuboriladi, chunki ular biz uchun ahamiyatsiz (f ning
hosilasi v tezlik bo`ladi). (4) tenglikni o`rniga keltirib qo`ysak:
𝑣 = 𝑢 − 𝑎
𝑢+𝑛(𝑢∗𝑛)
𝑟
+ 𝑏
3𝑛(𝑢∗𝑛)−𝑢
𝑟
3
. (7) shu ishni
Chegara holatlaridan, a va b o`zgarmas sonlar aniqlanadi. Shar sirtida (r=R), v=0:
−𝑢 (
𝑎
𝑅
+
𝑏
𝑅
3
− 1) + 𝑛(𝑢 ∗ 𝑛) (−
𝑎
𝑅
+
3𝑏
𝑅
3
) = 0
Page 104
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF ACADEMIC
RESEARCH
IF = 5.441
Volume 3, Issue 06, June 2025
www.in-academy.uz
Bu tenglik hamma n uchun o`rinli bo`lishi uchun, u va
𝑛(𝑢 ∗ 𝑛)
larning koeffitsientlari
yo`qolishi kerak. Shunda
𝑎 =
3
4
𝑅
𝑏 =
1
4
𝑅
3
. Vanihoyat:
𝒇 =
3
4
𝑅 +
1
4
𝑅
3
𝑟
(8)
𝒗 = −
3
4
𝑅
𝑢+𝑛(𝑢∗𝑛)
𝑟
−
1
4
𝑅
3 𝑢−3𝑛(𝑢∗𝑛)
𝑟
3
+ 𝑢
(9)
Sferik qutbda, komponentlar u o`qiga parallel,
𝒗
𝒓
= 𝒖𝒄𝒐𝒔𝜽 [𝟏 −
𝟑𝑹
𝟐𝒓
+
𝑹
𝟑
𝟐𝒓
𝟑
]
𝒗
𝜽
= −𝒖𝒔𝒊𝒏𝜽 [𝟏 −
𝟑𝑹
𝟒𝒓
−
𝑹
𝟑
𝟒𝒓
𝟑
]
(10)
Bu harakatlanayotgan sferaning tezliklar bo`yicha taqsimotini beradi. Bosimni aniqlash
uchun, (4) ni (1) tenglikka keltirib qo`ysak:
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 η∆𝑣 = η∆𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑙 (𝑓𝑢) = η∆(𝑔𝑟𝑎𝑑 div (fu) − u∆𝑓)
∆
2
𝑓 = 0
va
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 [η∆ 𝑑𝑖𝑣(𝑓𝑢)] = 𝑔𝑟𝑎𝑑(η𝑢 ∗ 𝑔𝑟𝑎𝑑∆𝑓)
.
𝒑 = ηu ∗ grad∆𝑓 + 𝑝
0
(11)
Bu yerda
𝑝
0
cheksizlikdagi suyuqlik bosimi. f ni o`rniga qo`yish orqali oxirgi natijaga yetib
kelamiz:
𝒑 = 𝑝
0
−
3
2
η
𝑢∗𝑛
𝑟
2
𝑅
(12)
Tepadagi formulani ishlatish orqali, biz jismga ta`sir qilayotgan F kuchni hisoblay
olamiz. Shu ishni bajarish uchun, biz u ga parallel bo`lgan o`q bilan sferik qutbiy
koordinatalarni olamiz; simmetriklik xossasi tufayli, hamma miqdorlar r va qutb burchagi
𝜃
ning
funksiyalari bo`ladi. F kuch u tezlikka parallel yo`nalgan.
(15.14) tenglikka ko`ra bu
kuchni hisoblay olamiz.
Bu formuladan, komponentalar bo`yicha yuzaga normal va
tangensial yo`nalgan, sfera yuzasidagi har bir elementga ta`sir qiladigan kuchlarni olib va bu
komponentalarni u tezlik yo`nalishi bo`yicha olsak, biz quyidagini topamiz:
𝐹 = ∮(−𝑝 cos 𝜃 + 𝜎
𝑟𝑟
`
cos 𝜃 − 𝜎
𝑟𝜃
`
sin 𝜃)𝑑𝑓,
(13)
Bu yerda integral sferaning butun yuzasi bo`yicha olinadi. (10) tenglamani, formulaga qo`yish
orqali
𝜎
𝑟𝑟
`
= 2η
∂𝑣
𝑟
∂r
,
𝜎
𝑟𝜃
`
= η (
1
𝑟
∂𝑣
𝑟
∂θ
+
∂𝑣
θ
∂r
−
𝑣
θ
r
)
Sfera yuzasini topadigan bo`lsak:
𝜎
𝑟𝑟
`
= 0
𝜎
𝑟𝜃
`
= − (
3η
2𝑟
) 𝑢 sin 𝜃,
shu paytda bosim (12) ga
ko`ra
𝑝 = 𝑝
0
− (
3η
2𝑅
) 𝑢 cos 𝜃
. Shu sababli (13) tenglikdagi integral
𝐹 = (
3ηu
2𝑅
) ∮ 𝑑𝑓
.
Vanihoyat biz, suyuqlikda sekin harakatlanayotgan sferaga ta`sir qiladigan Stoks kuchi
formulasiga kelamiz:
𝐹 = 6𝜋ηRu
(14)
Ushbu formula laminar oqimda sekin harakatlanayotgan jism uchun qo‘llaniladi.
Laboratoriya
Odatda laboratoriya mashg`ulotlarida, Stoks kuchi formulasidan, tekshirilayotgan
suyuqlikning qovushqoqlik koeffitsientini topishda foydalaniladi.
𝐹
𝐴
+ 𝐹
𝑆
= 𝑚𝑔
𝐹
𝐴
=
4
3
𝜋𝑅
3
𝜌
𝑠
𝑔
va
𝐹
𝑆
= 6𝜋𝑅ηϑ
𝑚𝑔 =
4
3
𝜋𝑅
3
𝜌
𝑗
𝑔
Page 105
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF ACADEMIC
RESEARCH
IF = 5.441
Volume 3, Issue 06, June 2025
www.in-academy.uz
6𝜋𝑅ηϑ =
4
3
𝜋𝑅
3
𝑔(𝜌
𝑗
− 𝜌
𝑠
)
η =
2𝑅
2
𝑔(𝜌
𝑗
−𝜌
𝑠
)
9ϑ
Qovushqoqlik koeffitsientini,
Puazeyl formulasi
orqali ham hisoblab topish mumkin:
𝑽 =
𝝅𝑹
𝟒
(𝒑
𝟏
−𝒑
𝟐
)
𝟖𝛈𝐥
𝒕
𝛈 =
𝝅𝑹
𝟒
(𝒑
𝟏
−𝒑
𝟐
)
𝟖𝑽𝐥
𝒕
𝑉
-t vaqt ichida naydan oqib o`tgan suyuqlik hajmi, R-kapilyar nayning radiusi,
∆𝑃
-bosimlar
farqi, l-kapilyar nayning uzunligi,
η
-tekshirilayotgan suyuqlikning qovushqoqlik koeffitsienti
Xulosa
Ushbu maqolada Stoks kuchining fizik mohiyati, uning Navye-Stoks tenglamalaridan hosil
qilinishi va past Reynolds soni sharoitida qo‘llanishi tushuntiriladi. Laminar va turbulent
oqimlarning farqlari, oqim rejimining Reynold soniga bog‘liqligi, hamda suyuqliklarning
qovushqoqligini aniqlashda laboratoriya metodlarining ahamiyati ko‘rsatiladi. Mexanikaning
bu sohalarida soddalashtirilgan matematik yondashuvlar asosida aniqlik bilan natijalarga
erishish mumkinligi isbotlashimiz mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati:
1. MIT OCW. Flow Past a Sphere II: Stokes’ Law…
2. SpringerLink. “Basic Concepts of Stokes Flows,” chapter in Stokes Flows (2019).
3. Stokes, G. G. (1851). On the effect of internal friction… Transactions of the Cambridge
Philosophical Society.
4. MDPI. “The Universal Presence of the Reynolds Number” (2023).
5. MDPI. “The Reynolds number: A journey from its origin…” (2022).
6. Wikipedia. “Reynolds number,” “Navier–Stokes equations,” “Stokes' law.”
7. Lautrup, B. “Creeping flow,” in Theoretical Fluid Mechanics (2004).
8. Geo LibreTexts. “Flow Past a Sphere at High Reynolds Numbers.”
9. AGU/Wiley. “Assessment of the validity of Stokes and Reynolds equations ...” (2014).
10. Royal Society A. “Terminal fall velocity: the legacy of Stokes…” (2019).
11. J. Fluid Mech. “Effects of Reynolds number and Stokes number in turbulence” (2018).
