Page 68
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MULTIDISCIPLINARY
RESEARCH AND MANAGEMENT STUDIES
Volume 2, Issue 6, Part 2 June 2025
www.in-academy.uz
ELEMENTAR FUNKSIYALARNING EGILISH NUQTALARINI
ANIQLASH BOSQICHLARI
To‘rayev Jo‘rabek Nurbek o‘g‘li
Iqtisodiyot va pedagogika universiteti “Matematika” kafedrasi
stajyor-assistenti. Email: 0511jurabek@gmail.com, tel:
(+99891)-2224318
https://doi.org/
10.5281/zenodo.15720115
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Received: 11
th
June 2025
Accepted:15th June 2025
Published: 23
rd
June 2025
Ushbu maqolada funksiyaning egilish nuqtalari
tushunchasi, ularni aniqlash mezonlari hamda bu
nuqtalarning
funksiyalar
grafigidagi
ahamiyati
yoritilgan. Maqolada ikkinchi tartibli hosila yordamida
egilish nuqtasini topish usuli, qavariqlik va botiqlik
atamalari bilan bog‘liq nazariy asoslar va misollar orqali
mavzuning amaliy tomoni ko‘rsatib berilgan. Mazkur ish
o‘quvchilarga va talabalar uchun funksiyalar grafigini
tahlil qilish ko‘nikmalarini rivojlantirishga yordam
beradi.
KEYWORDS
Funktsiyaning
egilish
nuqtasi, funksiyaning qavariq
va botiqligi, ikkinchi tartibli
hosila, grafik tahlili.
Kirish.
Matematik tahlilning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan funksiyalar nazariyasida
funksiyaning grafigini tahlil qilish orqali u haqda chuqur tasavvur hosil qilish mumkin. Bu
jarayonda funksiyaning ekstremum nuqtalari, o‘sish va kamayish oraliqlari, qavariqlik (egilish)
va botiqlik (bukilish) sohalari muhim o‘rin tutadi. Ayniqsa, funksiyaning
egilish nuqtalari
uning grafigining shaklini aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi. Ushbu maqolada egilish nuqtasi
tushunchasi, uni aniqlash usullari va amaliy misollar yordamida tahlil qilish ko‘rib chiqiladi.
Bu mavzu nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham muhim bo‘lib, iqtisodiyot, fizika va
muhandislik kabi fan sohalarida keng qo‘llaniladi.
Egilish nuqtasi — bu nuqta funksiyaning grafigi botiq holatdan qavariq holatga yoki aksincha
o‘tadigan nuqtadir.
Boshqacha aytganda
( )
f x
funksiyaning grafigi
x c
=
nuqtada egilish nuqtasiga ega bo‘ladi,
agar:
-
( )
f x
ikkinchi tartibli hosila mavjud bo‘lib,
-
( ) 0
f c
=
yoki aniqlanmagan bo‘lsa,
- va
( )
f x
belgisi
0
x
=
atrofida o‘zgaradigan bo‘lsa.
Egilish nuqtasini topish:
1. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toping:
( )
f x
2. Nolga tenglashtiring:
( ) 0
f x
=
3. Chiqqan yechimlarni sinov nuqtalari yordamida tahlil qiling:
- Agar
( )
f x
belgisi o‘sha nuqta atrofida o‘zgarsa, demak bu nuqta egilish nuqtasidir.
Teorema: Egilish nuqtasi uchun zaruriy sharti
Agar
( )
f x
funksiyaning
x c
=
nuqtada egilish nuqtasi mavjud bo‘lsa, u holda:
-
( ) 0
f c
=
yoki
( )
f c
mavjud emas.
Izoh: Bu zaruriy shartdir, yetarli emas. Ya’ni, f''(c) = 0 bo‘lishi egilish nuqtasi bor degani emas.
Belgining o‘zgarishi ham talab etiladi.
Page 69
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MULTIDISCIPLINARY
RESEARCH AND MANAGEMENT STUDIES
Volume 2, Issue 6, Part 2 June 2025
www.in-academy.uz
Misol 1:
3
( )
f x
x
=
1.
2
( ) 3
f x
x
=
2.
( ) 6
f x
x
=
3.
( ) 0
f x
=
⇒
0
x
=
4.
0
x
<
uchun
( ) 0
f x
<
;
0
x
>
uchun
( ) 0
f x
>
⇒
0
x
=
nuqta egilish nuqtasidir.
Misol 2:
4
( )
f x
x
=
1.
3
( ) 4
f x
x
=
2.
2
( ) 12
f x
x
=
3.
( ) 0
f x
=
⇒
0
x
=
4. Har ikki tomonda
( ) 0
f x
>
⇒
( )
f x
belgisi o‘zgarmaydi
⇒
0
x
=
egilish nuqtasi emas.
Misol 3:
5
( )
5
f x
x
x
=
-
1.
4
( ) 5
5
f x
x
=
-
2.
3
( ) 20
f x
x
=
3.
( ) 0
f x
=
⇒
3
20
0
x
=
⇒
0
x
=
4. Belgilarni tekshiramiz:
-
0
x
<
uchun
( ) 0
f x
<
(masalan,
1
( 1)
20
x
f
= - ®
- = -
)
Page 70
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MULTIDISCIPLINARY
RESEARCH AND MANAGEMENT STUDIES
Volume 2, Issue 6, Part 2 June 2025
www.in-academy.uz
-
0
x
>
uchun
( ) 0
f x
>
(masalan,
1
(1) 20
x
f
= ®
=
)
⇒
0
x
=
nuqta egilish nuqtasidir.
Egilish nuqtalari matematik analiz va uning amaliy sohalarida keng qo‘llaniladi. Quyidagi
sohalarda bu tushuncha muhim rol o‘ynaydi:
Fizika
– harakat traektoriyalarini tahlil qilishda.
Injeneriya
– egilish momentlari, struktura kuchlanishlarini aniqlashda.
Iqtisodiyot
– xarajat va daromad funksiyalarining o‘sish/tejam holatlarini tahlil
qilishda.
Kompyuter grafikasi
– silliq egri chiziqlarni yaratishda va geometriya asoslarini
tuzishda.
Statistika va ma’lumotlar tahlili
– regressiya grafigining burilish nuqtalarini
aniqlashda.
Xulosa
Funksiyaning egilish nuqtalari grafigining geometriyasini aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi.
Egilish nuqtalarini topishda ikkinchi tartibli hosilaning nolga tenglashgan nuqtalarini aniqlab,
belgining o‘zgarishini tekshirish zarur. Bu metod yordamida grafiga asoslangan analizlar,
chizmalar, va optimallashtirish ishlari ancha qulay bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Fikrat Muxamedov – "Matematik analiz asoslari", Toshkent, 2010.
2.
Sergey L. Sobolev – "Calculus and its Applications", Springer, 2003.
3.
Larson & Edwards – "Calculus: Early Transcendental Functions", Cengage Learning,
2018.
4.
Toʻrayev, J. ., Z. Temirova. “FUNKSIYANING EGILISH NUQTALARI”.
Zamonaviy fan va
tadqiqotlar
, jild. 4, yo'q. 4, aprel 2025 yil, 1359-63-betlar,
https://inlibrary.uz/index.php/science-research/article/view/82740
.
5.
To‘rayev , J. ., and U. . Shonazarov. “TIBBIY TASHXIS QILISH MASALALARINI
YECHISHDA INTELLEKTUAL TAHLIL USULLARI ANSAMBLLARIDAN FOYDALANISH”.
Modern
Science
and
Research
,
vol.
4,
no.
5,
May
2025,
pp.
1318-21,
https://inlibrary.uz/index.php/science-research/article/view/92750
.
6.
Bozarov, D. (2023). Bo ‘lajak iqtisodchi talabalarning iqtisodiy kompetensiyasini
rivojlantirishning matematik tahlili.
Академические исследования в современной
науке
,
2
(27), 84-90.
7.
Allamova, M., & Bozarov, D. (2023). Trigonometrik tengsizliklar yechimlarining
innovatsion qo‘llanilishi.
Евразийский журнал математической теории и компьютерных
наук
,
3
(1), 75-78.
8.
Dilmurod, B., & Islom, A. (2023). Parallel ikkita to’g’ri chiziq orasidagi
masofa.
Innovations in Technology and Science Education
,
2
(8), 465-478.
Page 71
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MULTIDISCIPLINARY
RESEARCH AND MANAGEMENT STUDIES
Volume 2, Issue 6, Part 2 June 2025
www.in-academy.uz
9.
Bozarov, D. (2022). CHIZIQLI VA KVADRATIK MODELLASHTIRISH MAVZUSINI
MUSTAQIL O‘RGANISHGA DOIR MISOLLAR.
Евразийский журнал математической теории
и компьютерных наук
,
2
(6), 24-28.
10.
Asqar, M. ., & Jo`rabek, T. . (2024). KOSHI MASALASI YECHIMINING TURG’UNLIGI.
JOURNAL OF THEORY, MATHEMATICS AND PHYSICS, 3(10), 3–5. Retrieved from
https://jtmp.innovascience.uz/index.php/journal/article/view/193
