ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1359
FUNKSIYANING EGILISH NUQTALARI
To‘rayev Jo‘rabek Nurbek o‘g‘li
Iqtisodiyot va pedagogika universiteti “Matematika” kafedrasi
stajyor-assistenti.
Email:
tel: (+99891)-222-43-18
Temirova Zilola Bobur qizi
Iqtisodiyot va pedagogika universiteti matematika yo‘nalishi 1-kurs talabasi.
Email:
https://doi.org/10.5281/zenodo.15280711
Annotatsiya.
Ushbu maqolada funksiyaning egilish nuqtalari tushunchasi, ularni
aniqlash mezonlari hamda bu nuqtalarning funksiyalar grafigidagi ahamiyati yoritilgan.
Maqolada ikkinchi tartibli hosila yordamida egilish nuqtasini topish usuli, qavariqlik va
botiqlik atamalari bilan bog‘liq nazariy asoslar va misollar orqali mavzuning amaliy tomoni
ko‘rsatib berilgan. Mazkur ish o‘quvchilarga va talabalar uchun funksiyalar grafigini tahlil
qilish ko‘nikmalarini rivojlantirishga yordam beradi.
Kalit so‘zlar
. Funktsiyaning egilish nuqtasi, funksiyaning qavariq va botiqligi, ikkinchi
tartibli hosila, grafik tahlili.
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ
Аннотация.
В статье рассматривается понятие точек перегиба функции,
критерии их определения и значимость этих точек на графике функции. В статье
представлен метод нахождения точки перегиба с использованием второй производной,
теоретические основы, связанные с терминами «выпуклость» и «вогнутость», а также
практическая сторона темы на примерах. Данная работа поможет студентам и
преподавателям развить навыки анализа графиков функций.
Ключевые слова.
Точка перегиба функции, выпуклость и вогнутость функции,
производная второго порядка, графический анализ.
BENDING POINTS OF THE FUNCTION
Abstract.
This article discusses the concept of inflection points of a function, the criteria
for determining them, and the importance of these points in the graph of functions. The article
shows the practical side of the topic through the method of finding the inflection point using the
second derivative, the theoretical foundations associated with the terms convexity and concavity,
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1360
and examples. This work will help students and teachers develop their skills in analyzing the
graph of functions.
Keywords:
Inflection point of a function, convexity and concavity of a function, second-
order derivative, graphic analysis.
Kirish.
Matematik tahlilning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan funksiyalar nazariyasida
funksiyaning grafigini tahlil qilish orqali u haqda chuqur tasavvur hosil qilish mumkin. Bu
jarayonda funksiyaning ekstremum nuqtalari, o‘sish va kamayish oraliqlari, qavariqlik (egilish)
va botiqlik (bukilish) sohalari muhim o‘rin tutadi. Ayniqsa, funksiyaning
egilish nuqtalari
uning
grafigining shaklini aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi. Ushbu maqolada egilish nuqtasi tushunchasi,
uni aniqlash usullari va amaliy misollar yordamida tahlil qilish ko‘rib chiqiladi. Bu mavzu
nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham muhim bo‘lib, iqtisodiyot, fizika va muhandislik kabi
fan sohalarida keng qo‘llaniladi.
Egilish nuqtasi — bu nuqta funksiyaning grafigi botiq holatdan qavariq holatga yoki
aksincha o‘tadigan nuqtadir.
Boshqacha aytganda
( )
f x
funksiyaning grafigi
x
c
nuqtada egilish nuqtasiga ega
bo‘ladi, agar:
-
( )
f x
ikkinchi tartibli hosila mavjud bo‘lib,
-
( )
0
f
c
yoki aniqlanmagan bo‘lsa,
- va
( )
f
x
belgisi
0
x
atrofida o‘zgaradigan bo‘lsa.
Egilish nuqtasini topish:
1. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toping:
( )
f
x
2. Nolga tenglashtiring:
( )
0
f
x
3. Chiqqan yechimlarni sinov nuqtalari yordamida tahlil qiling:
- Agar
( )
f
x
belgisi o‘sha nuqta atrofida o‘zgarsa, demak bu nuqta egilish nuqtasidir.
Teorema: Egilish nuqtasi uchun zaruriy sharti
Agar
( )
f x
funksiyaning
x
c
nuqtada egilish nuqtasi mavjud bo‘lsa, u holda:
-
( )
0
f
c
yoki
( )
f
c
mavjud emas.
Izoh: Bu zaruriy shartdir, yetarli emas. Ya’ni, f''(c) = 0 bo‘lishi egilish nuqtasi bor degani
emas. Belgining o‘zgarishi ham talab etiladi.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1361
Misol 1:
3
( )
f x
x
1.
2
( )
3
f x
x
2.
( )
6
f
x
x
3.
( )
0
f
x
⇒
0
x
4.
0
x
uchun
( )
0
f
x
;
0
x
uchun
( )
0
f
x
⇒
0
x
nuqta egilish nuqtasidir.
Misol 2:
4
( )
f x
x
1.
3
( )
4
f x
x
2.
2
( ) 12
f
x
x
3.
( )
0
f
x
⇒
0
x
4. Har ikki tomonda
( )
0
f
x
⇒
( )
f
x
belgisi o‘zgarmaydi
⇒
0
x
egilish nuqtasi emas.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1362
Misol 3:
5
( )
5
f x
x
x
1.
4
( )
5
5
f x
x
2.
3
( )
20
f
x
x
3.
( )
0
f
x
⇒
3
20
0
x
⇒
0
x
4. Belgilarni tekshiramiz:
-
0
x
uchun
( )
0
f
x
(masalan,
1
( 1)
20
x
f
)
-
0
x
uchun
( )
0
f
x
(masalan,
1
(1)
20
x
f
)
⇒
0
x
nuqta egilish nuqtasidir.
Egilish nuqtalari matematik analiz va uning amaliy sohalarida keng qo‘llaniladi.
Quyidagi sohalarda bu tushuncha muhim rol o‘ynaydi:
Fizika
– harakat traektoriyalarini tahlil qilishda.
Injeneriya
– egilish momentlari, struktura kuchlanishlarini aniqlashda.
Iqtisodiyot
– xarajat va daromad funksiyalarining o‘sish/tejam holatlarini tahlil qilishda.
Kompyuter grafikasi
– silliq egri chiziqlarni yaratishda va geometriya asoslarini
tuzishda.
Statistika va ma’lumotlar tahlili
– regressiya grafigining burilish nuqtalarini
aniqlashda.
Xulosa
Funksiyaning egilish nuqtalari grafigining geometriyasini aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1363
Egilish nuqtalarini topishda ikkinchi tartibli hosilaning nolga tenglashgan nuqtalarini
aniqlab, belgining o‘zgarishini tekshirish zarur. Bu metod yordamida grafiga asoslangan
analizlar, chizmalar, va optimallashtirish ishlari ancha qulay bo‘ladi.
REFERENCES
1.
Fikrat Muxamedov – "Matematik analiz asoslari", Toshkent, 2010.
2.
Sergey L. Sobolev – "Calculus and its Applications", Springer, 2003.
3.
Larson & Edwards – "Calculus: Early Transcendental Functions", Cengage Learning,
2018.
4.
Bozarov, D. (2023). Methods of developing economic competence on the basis of
interdisciplinary relationship.
Modern Science and Research
,
2
(12), 131-137.
5.
Bozarov, D. (2022). PROBLEMS OF SYSTEMS OF LINEAR ALGEBRAIC
EQUATIONS.
Science and Innovation
,
1
(2), 163-171.
6.
Bozarov, D. (2023). Bo ‘lajak iqtisodchi talabalarning iqtisodiy kompetensiyasini
rivojlantirishning matematik tahlili.
Академические исследования в современной
науке
,
2
(27), 84-90.
7.
Allamova, M., & Bozarov, D. (2023). Trigonometrik tengsizliklar yechimlarining
innovatsion qo ‘llanilishi.
Евразийский журнал математической теории и
компьютерных наук
,
3
(1), 75-78.
8.
Dilmurod, B., & Islom, A. (2023). Parallel ikkita to’g’ri chiziq orasidagi
masofa.
Innovations in Technology and Science Education
,
2
(8), 465-478.
9.
Bozarov, D. (2022). CHIZIQLI VA KVADRATIK MODELLASHTIRISH MAVZUSINI
MUSTAQIL
O‘RGANISHGA
DOIR
MISOLLAR.
Евразийский
журнал
математической теории и компьютерных наук
,
2
(6), 24-28.
10.
Asqar, M. & Jo`rabek, T. (2024). KOSHI MASALASI YECHIMINING TURG’UNLIGI.
JOURNAL OF THEORY, MATHEMATICS AND PHYSICS, 3(10), 3–5. Retrieved
from
https://jtmp.innovascience.uz/index.php/journal/article/view/193
