CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
40
SUYUQLIKNING O‘TKAZUVCHAN QISMLI KANALDAGI OQIMI
MASALASIGA KOMPLEKS O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR
NAZARIYASINI QO‘LLASH.
Yuldashev Sanjarbek Muhammad o‘g‘li.
Jaloliddin Manguberdi nomida harbiy-akademik
litseyi “Aniq fanlar” kafedrasi katta o‘qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.14471503
Masalani yechishga kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasini
usullarini
qo‘llaymiz.Tekislikdagi
masalini
parametrik
ko‘rinishida
qaraymiz,bunda parametrik soha sifatida
𝜁 = 𝜉 + 𝑖𝜂
yuqori yarimtekislikni
olamiz.
Masalani yechishda Jukovskiy usulini qo‘llaymiz:
𝜔 = 𝑙𝑛
𝑉
0
𝑉
̅
= 𝜏 + 𝑖 𝜃,
(1)
Bu yerda
𝑉̅ = 𝑢 − 𝑖𝑣 = |𝑉| ∙ 𝑒
−𝑖𝜃
– kompleks tezlik,
𝜃 −
suyuqlik zarrachasi
tezlik vektorining x o‘qi bilan hosil qilgan burchagi.
𝜔
funksiyaning o‘zgarish
sohasini
(𝜁)
yuqori yarimtekislikka akslantiruvchi
𝜔(𝜁)
uchun chegaraviy
shartlarni yozamiz:
AB bo‘ylab:
𝜂 = 0,
−∞ < 𝜉 < −𝑏,
𝐼𝑚 𝜔(𝜁) = 0,
BC bo‘ylab:
𝜂 = 0,
−𝑏 < 𝜉 < −𝑐,
𝑅𝑒𝜔 = ln (
𝑉
0
𝑉
) = 0
,
CD bo‘ylab:
𝜂 = 0,
−𝑐 < 𝜉 < 0,
𝐼𝑚 𝜔 = −𝛽𝜋
,
DK bo‘ylab:
𝜂 = 0,
0 < 𝜉 < 1,
𝐼𝑚𝜔(𝜁) = 𝜃
1
,
KA bo‘ylab:
= 0,
1 < 𝜉 < ∞
,
𝐼𝑚 𝜔 = 0
.
Bu yerda
𝜃
1
burchak (1) orqali belgilanadi.
Endi
𝜔
1
(𝜁) =
𝜔(𝜁)
√𝜁+𝑏√𝜁+𝑐
analitik funksiyani kiritamiz va ushbu funksiya
uchun
chegaraviy
shartlarga
ega
bo‘lamiz:
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
41
1-rasm
2-rasm
AB:
= 0,
−∞ < 𝜉 < −𝑏, 𝐼𝑚 𝜔
1
= 0
,
BC:
= 0,
−𝑏 < 𝜉 < −𝑐, 𝐼𝑚 𝜔
1
= 0
,
CD:
= 0,
−𝑐 < 𝜉 < 0, 𝐼𝑚 𝜔
1
=
−𝛽𝜋
√𝜉+𝑏 √𝜉+𝑐
,
DK:
= 0,
0 < 𝜉 < 1, 𝐼𝑚𝜔
1
=
𝜃
1
√𝜉+𝑏 √𝜉+𝑐
,
KA:
𝜂 = 0,
1 < 𝜉 < ∞, 𝐼𝑚𝜔
1
= 0.
(𝜁)
yuqori yarimtekislikni haqiqiy o‘q bo‘ylab
𝜔
1
(𝜁)
funksiyaning mavhum
chegaraviy qiymatlari asosida Shvartsning integral formulasidan foydalansak
[1]:
𝜔
1
(𝜁) =
1
π
∫
Imω(t)
dt
t−ζ
∞
−∞
Funksiyani butun sohada qurish mumkin.
U holda
𝜔
1
(𝜁) =
1
𝜋
[−𝛽𝜋 ∫
𝑑𝑡
√𝑡+𝑏∙√𝑡+𝑐∙(𝑡−𝜁)
0
−с
+ 𝜃
1
∫
𝑑𝑡
√𝑡+𝑏∙√𝑡+𝑐∙(𝑡−𝜁)
1
0
]
(2)
∫
𝑑𝑡
√𝑡+𝑏∙√𝑡+𝑐∙(𝑡−𝜁)
integralni hisoblash uchun
1
𝑡−𝜁
= 𝑠
belgilash kiritamiz:
𝑡 =
1
𝑆
+ 𝜁
;
𝑑𝑡 = −
𝑑𝑠
𝑠
2
.
Bundan
𝐼(𝑡) = −
2
√𝜁 + 𝑏√𝜁 + 𝑐
𝑙𝑛
√(𝜁 + 𝑐)(𝑡 + 𝑏) + √(𝜁 + 𝑏)(𝑡 + 𝑐)
√𝑡 − 𝜁
.
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
42
𝐼
1
(−𝑐, 0) = −
2
√𝜁+𝑏√𝜁+𝑐
{𝑙𝑛
√(𝜁+𝑐)𝑏+√𝑐(𝑏+𝜁)
√−𝜁
√−𝑐−𝜁
√𝑏−𝑐√𝑐+𝜁
} =
−
2
√𝜁+𝑏√𝜁+𝑐
𝑙𝑛
√(𝜁+𝑐)𝑏+√𝑐(𝑏+𝜁)
√𝑏−𝑐√𝜁
,
𝐼
1
(0,1) = −
2
√𝜁+𝑏√𝜁+𝑐
{𝑙𝑛
√(𝑏+1)(𝑐+𝜁)+√(𝑏+𝜁)(𝑐+1)
√1−𝜁
∙
√−𝜁
√𝑏√𝑐+𝜁+√𝑐√𝑏+𝜁
}
.
𝐼
1
(−𝑐, 0),
𝐼
1
(0,1)
integrallarni (A) ifodaga qo‘ysak,
𝜔
1
(𝜁) = −
2𝛽
√𝜁 + 𝑏√𝜁 + 𝑐
𝑙𝑛
√(𝜁 + 𝑐)𝑏 + √𝑐(𝑏 + 𝜁)
√𝑏 − 𝑐√𝜁
−
2𝜃
1
𝜋√𝜁 + 𝑏√𝜁 + 𝑐
𝑙𝑛
√(𝑏 + 1)(𝑐 + 𝜁) + √(𝑏 + 𝜁)(𝑐 + 1)
√𝑏√𝑐 + 𝜁 + √𝑐√𝑏 + 𝜁
∙
√𝜁
√𝜁 − 1
.
Bundan
𝜔(𝜁)
ni topamiz
𝜔(𝜁) = 𝑙𝑛 [
√(𝜁+𝑐)𝑏+√𝑐(𝑏+𝜁)
√𝑏−𝑐√𝜁
]
2𝛽
[
√𝑏√𝑐+𝜁+√𝑐√𝑏+𝜁
√(𝑏+1)(𝑐+𝜁)+√(𝑏+𝜁)(𝑐+1)
√𝜁−1
√𝜁
]
2𝜃1
𝜋
(3)
(3.4) ifodadan foydalanib, kompleks tezlikni aniqlaymiz:
𝑉̅ = 𝑉
0
[
√𝑏 − 𝑐√𝜁
√(𝜁 + 𝑐)𝑏 + √𝑐(𝑏 + 𝜁)
]
2𝛽
[
√(𝑏+1)(𝑐+𝜁)+√(𝑏+𝜁)(𝑐+1)
√𝜁−1
√𝜁
√𝑏√𝑐+𝜁+√𝑐√𝑏+𝜁
]
2𝜃1
𝜋
(4)
(3.7) дан каналнинг ўтказувчан қисми бўйлаб суюқлик зарралари
тезликларининг тақсимотини аниқлаш мумкин:
DK бўйлаб,
𝜂 = 0,
0 < 𝜉 < 1:
𝑉̅ = 𝑉
0
[
√𝑏 − 𝑐√𝜉
√(𝜉 + 𝑐)𝑏 + √𝑐(𝑏 + 𝜉)
]
2𝛽
[
√(𝑏 + 1)(𝑐 + 𝜉) + √(𝑏 + 𝜉)(𝑐 + 1)
𝑖√1 − 𝜉
√𝜉
√𝑏√𝑐 + 𝜉 + √𝑐√𝑏 + 𝜉
]
2𝛼
.
У ҳолда тезликнинг ташкил этувчилари
𝑢 = 𝑉
0
[
√𝑏 − 𝑐√𝜉
√(𝜉 + 𝑐)𝑏 + √𝑐(𝑏 + 𝜉)
]
2𝛽
[
√(𝑏+1)(𝑐+𝜉)+√(𝑏+𝜉)(𝑐+1)
√1−𝜉
√𝜉
√𝑏√𝑐+𝜉+√𝑐√𝑏+𝜉
]
2𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼𝜋
,
𝑣 = 𝑉
0
[
√𝑏 − 𝑐√𝜉
√(𝜉 + 𝑐)𝑏 + √𝑐(𝑏 + 𝜉)
]
2𝛽
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
43
[
√(𝑏+1)(𝑐+𝜉)+√(𝑏+𝜉)(𝑐+1)
√1−𝜉
√𝜉
√𝑏√𝑐+𝜉+√𝑐√𝑏+𝜉
]
2𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼𝜋
.
Endi
𝑊(𝜁)
kompleks potensialni
(𝜁)
yuqori yarimtekislikda aniqlaymiz.
Oqim sohasiga mos keluvchi parametrik
(𝜁)
sohaning haqiqiy o‘qida (kanalning
o‘tkazmaydigan qismida) tok(oqish) funksiyasi o‘zgarmas
𝜓 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
, ya’ni
𝐼𝑚
𝑑𝑊
𝑑𝜁
= 0
. Kanalning o‘tkazuvchan qismida esa
[0; 1]
oraliqda
𝐼𝑚
𝑑𝑊
𝑑𝜉
=
𝑑𝜓
𝑑𝜉
.
Yuqori yarimtekislik uchun Shvartsning integral formulasi yordamida
𝑑𝑊
𝑑𝜁
hosilani aniqlaymiz:
𝑑𝑊
𝑑𝜁
=
𝑑𝑊
0
𝑑𝜁
+
1
𝜋
∫
𝑑𝜓
𝑑𝑡
1
0
∙
𝑑𝑡
𝑡−𝜁
.
(5)
𝜂 = 0
,
𝜉 ∈ [0; 1]
oraliqda Saxotskiy formulasidan foydalanib, quyidagini olish
mumkin:
𝜑
𝜉
= 𝜑
0𝜉
+
1
𝜋
∫
𝑑𝜓
𝑑𝑡
1
0
∙
𝑑𝑡
𝑡−𝜉
(6)
Bunda
𝜑
0𝜉
=
𝑞
𝐴
𝜋
∙
1
𝜉+𝑏
– devorlari o‘tkazmaydigan kanal uchun tezlik
potensialidan
𝜉
bo‘yicha olingan hosila.
𝜓
𝜉
noma’lum funksiyani aniqlash uchun kanalning o‘tkazuvchan chegarasi
DK bo‘ylab oqim sohasi
(𝑧)
va parametrik
(𝜁)
sohaning chegaralaring moslik
shartidan foydalanamiz[2]:
𝑥
𝜉
=
𝑢𝜑
𝜉
−𝑣𝜓
𝜉
𝑉
2
,
𝑦
𝜉
=
𝑣𝜑
𝜉
+𝑢𝜓
𝜉
𝑉
2
,
Qaralayotgan kanalning o‘tkazuvchan chegarasida quyidagi o‘rinli:
𝜂 = 0
,
𝜉 ∈ [0; 1]
da
𝑦
𝜉
= 0,
𝜑
𝜉
= −
cos 𝜃
1
sin 𝜃
1
𝜓
𝜉
𝜑
𝜉
ni (4) tenglamaga qo‘yib,
𝜓
𝜉
noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli
singulyar integral tenglama (SIU) olamiz:
𝜓
𝜉
cos 𝜃
1
+
sin 𝜃
1
𝜋
∫ 𝜓
𝑡
1
0
𝑑𝑡
𝑡−𝜉
= −𝜑
0𝜉
sin 𝜃
1
(7)
Kanalning DK qismi uchun bir tekis o‘tkazuvchanlik o‘rinli bo‘lsa, ya’ni
tezlik vektorining qiyalik burchagi
𝜃
1
o‘zgarmas bo‘lsa, u holda (7) SIUning
yechimini Rimanning chegaraviy masalasiga keltirish mumkin:
𝜓
𝜉
= 𝑓(𝜉) cos 𝜃
1
−
sin 𝜃
1
𝜋
𝑓(𝜉)𝑍(𝜉) ∫
1
𝑍(𝑡)
1
0
∙
𝑑𝑡
𝑡−𝜉
(8)
bu yerda:
𝑓(𝜉) = −𝜑
0𝜉
sin 𝜃
1
;
𝑍(𝜉) = exp Г(𝜉)
.
Г(𝜉)
funksiya quyidagicha aniqlanadi:
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
44
Г(𝜉) =
1
2𝜋𝑖
∫ 𝑙𝑛 [
cos 𝜃
1
−𝑖 sin 𝜃
1
cos 𝜃
1
+𝑖 sin 𝜃
1
]
1
0
∙
𝑑𝑡
𝑡−𝜉
=
1
2𝜋𝑖
∙ (−2𝑖𝜃
1
)𝑙𝑛 |
1−𝜉
−𝜉
| = 𝑙𝑛 (
𝜉
1−𝜉
)
𝜃1
𝜋
.
U holda
𝑧(𝜉) = (
𝜉
1−𝜉
)
𝜃1
𝜋
,
bu yerda
𝜃
1
= 𝛼𝜋
,
0 < 𝛼 <
1
2
.
𝐼(𝜉) = ∫ (
1 − 𝜉
𝜉
)
𝛼
1
0
∙
𝑑𝑡
𝑡 − 𝜉
Natijada xisoblashlardan keyin
𝜓
𝜉
funksiyasi uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
𝜓
𝜉
= −
𝑞
𝐴
𝜋
∙
sin 𝜃
1
𝜉+𝑏
(9)
(3.9) tenglamadan
𝜑
𝜉
ni aniqlash mumkin:
𝜑
𝜉
=
𝑞
𝐴
𝜋
∙
cos 𝜃
1
𝜉+𝑏
(
𝜉
1−𝜉
)
𝜃1
𝜋
(10)
Endi (8) va (9) ifodalardan foydalanib,
𝑊(𝜁)
kompleks potensialdan
(𝜁)
bo‘yicha
olingan hosilani aniqlaymiz:
𝑑𝑊
𝑑𝜁
=
𝑞
𝐴
𝜋
∙
1
𝜁+𝑏
(
𝜁
1−𝜁
)
𝜃1
𝜋
(11)
Kanalning o‘tkazuvchan DK qismidan o‘tuvchi suyuqlik miqdorini aniqlaymiz:
𝑄 = ∫
𝑑𝜓
𝑑𝜉
1
0
𝑑𝜉 = −
𝑞
𝐴
sin 𝜃
1
𝜋
∫ (
𝑡
1−𝑡
)
𝜃1
𝜋
1
0
𝑑𝑡
𝑡+𝑏
.
∫ (
𝑡
1−𝑡
)
𝜃1
𝜋
1
0
𝑑𝑡
𝑡+𝑏
= −
𝑞
𝐴
𝜋
sin 𝜃
1
[(
𝑏
1−𝑏
)
𝜃1
𝜋
− 1]
ekanligini e’tiborga olsak,
𝑄 = 𝑞
𝐴
[1 − (
𝑏
1−𝑏
)
𝜃1
𝜋
]
(12)
(12) formula asosida kanalning o‘tkazuvchan qismidan o‘tuvchi suyuqlik
miqdori tezlik vektorlarining x o‘qi bilan hosil qilgan
𝜃
1
burchakning har xil
qiymatlari uchun grafik ko‘rinishda aniqlandi.
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
45
Foydalanilgan Adabiyotlar:
1.
Рахматулин Х.А. Обтекание проницаемого тела. Вестник Моск.ун-та.-
1950.-№3.-С.41-55.
2.
Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. -М.:
Машиностроение,1975.
3.
Payne P.R. The theory of fabric porosity as applied to parachutes in
incompressible flof. - Aeronaut .Quartely,1978, № 8.
4.
Галанин А.В., Гусев В.А. К задачам Обтекания в каналах с
проницаемыми границами. Взаимодействие тел в жидкости со
свободными границами.-Чебоксары: Изд. ЧГУ,1987. -144с.
