CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
22
IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQNING DIAMETRI VA QO‘SHMA
DIAMETRLAR
Maxmudova Durdona Faxriddin qizi
NamDU Fizika- matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 1-bosqich talabasi
Mahmudova Dilnoza Xaytmirzayeva
Ilmiy rahbar:
https://doi.org/10.5281/zenodo.15515259
Annotatsiya:
Mazkur maqolada ikkinchi tartibli chiziqlarning diametrlari
va qo‘shma diametrlar tushunchasi o‘rganiladi. Diametrlarning geometrik va
algebraik xossalari, shuningdek qo‘shma diametrlarning o‘zaro munosabatlari
nazariy va amaliy misollar asosida ko‘rib chiqiladi.
Kalit so‘zlar:
Ikkinchi tartibli chiziq, diametr, qo‘shma diametr, ellips,
giperbola, analitik geometriya.
Аннотация
: В данной статье изучаются понятия диаметров и
сопряжённых диаметров кривых второго порядка. Рассматриваются
геометрические и алгебраические свойства диаметров, а также
взаимосвязи между сопряжёнными диаметрами на основе теоретического
анализа и практических примеров.
Ключевые слова
: кривая второго порядка, диаметр, сопряжённый
диаметр, эллипс, гипербола, аналитическая геометрия.
Abstract
: This article explores the concepts of diameters and conjugate
diameters of second-order curves. The geometric and algebraic properties of
diameters, as well as the interrelations of conjugate diameters, are analyzed
through theoretical explanations and practical examples.
Keywords
: second-order curve, diameter, conjugate diameter, ellipse,
hyperbola, analytic geometry.
Analitik geometriyada ikkinchi tartibli chiziqlar muhim o‘rin tutadi. Ellips,
giperbola va parabola kabi chiziqlar ko‘plab amaliy va nazariy sohalarda
qo‘llaniladi. Ushbu chiziqlarning simmetriya xossalarini chuqur o‘rganish uchun
diametrlar va qo‘shma diametrlar tushunchasi joriy etiladi Bu tushunchalar
nafaqat chiziqlarning shakl va joylashishini tahlil qilishda, balki fizikadagi
harakat trayektoriyalarini modellashda ham katta ahamiyat kasb etadi
Diametrlar yordamida chiziqning markaziy simmetriya nuqtasi aniqlanadi,
qo‘shma diametrlar esa bu chiziq atrofidagi kuchlanish, bosim yoki harakat
yo‘nalishlarini ifodalashda ishlatiladi Bundan tashqari, muayyan koordinatalar
sistemasi orqali chiziqlarning umumiy tenglamasi berilganda, ularning
diametrlarini aniqlash orqali geometrik interpretatsiyani soddalashtirish
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
23
mumkin bo‘ladi. Diametrlar va qo‘shma diametrlar yordamida chiziqlarning
kanonik ko‘rinishga o‘tish usullari aniqlanadi, bu esa ular ustida olib boriladigan
hisoblashlarni yengillashtiradi Mazkur xossalar mexanika, optika, geodeziya, va
aerokosmik sohalarda qo‘llaniladi, ayniqsa jismlarning harakatini ellips yoki
parabola orqali ifodalash zarur bo‘lgan holatlarda ularning aniqligi va
to‘g‘riligini ta'minlaydi. Diametrlar asosida qurilgan graflar va modellar orqali
chiziqlar simmetriyasini intuitiv tushunish va ularni kompyuter dasturlarida
vizual tarzda ifodalash mumkin bo‘ladi. Shu bois, diametr va qo‘shma diametrlar
tushunchalari analitik geometriyada asosiy tushunchalardan biri bo‘lib, ular
chiziqlarning tabiati, klassifikatsiyasi va amaliy qo‘llanilishida hal qiluvchi rol
o‘ynaydi.
Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
Bu yerda
A, B, C, D, E, F
— haqiqiy sonlar va
(x, y)
— tekislikdagi
o‘zgaruvchilar.
Diametr- bu ikkinchi tartibli chiziqdagi nuqtalarning og‘irlik markazi orqali
o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdir. Diametrlar markaziy simmetriya xossasini ifodalaydi.
Analitik geometriya kursida ikkinchi darajali chiziqning parallel
akkordlarining o'rtalari bitta chiziqda yotishi isbotlangan Ushbu chiziq ikkinchi
tartibli chiziq diametri deb ataladi. Ikki diametr qo‘shma diametrlar deb ataladi,
agar bir diametr bo‘yicha olingan chordlarning o‘rta nuqtalari ikkinchi diametr
bo‘ylab yotsa.
Ikkinchi tartibli chiziqlar uchun umumiy tenglama quyidagicha ifodalanadi:
γ: a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
+ 2a
10
x + 2a
20
y + a
00
= 0 (1)
Bu tenglama orqali chiziqning harakteristik xossalarini aniqlash mumkin.
Noasimptotik yo'nalishni quyidagi vektor orqali ifodalash mumkin:
a⃗ {a
1
, a
2
}
Ta'rif: Ikkinchi tartibli chiziqning noasimptotik yo'nalishiga ga parallel
barcha vatarlar o'rtasidagi nuqtalar geometrik o'rin bo'lib, u "qo'shma diametr"
deb ataladi. Bunday nuqtalarning to'plami bilan belgilanadi.
Bu fikr asosida nuqtasidan vektoriga parallel to'g'ri chiziq o'tkaziladi:
{
X = x + a
1
t
Y = y + a
2
t
(2)
Bu chiziq ikkinchi tartibli chiziq bilan va nuqtalarda kesishadi. Bu
nuqtalarning
t
parametrlari va deb belgilanadi. Kesishish sharti asosida
quyidagi tenglamalar tuziladi:
{
X
1
= x + a
1
t
1
Y
1
= y + a
2
t
1
{
X
2
= x + a
1
t
2
Y
2
= y + a
2
t
2
(3)
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
24
t −
sonlarni ushbu kvadrat tenglamani hisoblash orqali topiladi:
Pt² + 2Qt + R = 0. (4)
[M
1
; M
2
]
kesmaning o'rtasi
M(x, y)
nuqta bo'lgani uchun:
x =
x
1
+ x
2
2
; y =
y
1
+ y
2
2
Kesishish sharti asosida tuzilgan tenglamalalardan
(5)
formuladan
bu
ushbu
holat
bo'lgani uchun, quyidagi formula
kelib
chiqadi:
(6)
(4) va (6)
dan viet teoremasiga ko'ra quyidagi hosil bo'ladi:
(7)
Shunday qilib, istalgan nuqtaning koordinatalari (7) tenglamani
qanoatlantiradi:
Bu tenglama quyidagi ko'rinishga keltiriladi :
Mazkur tenglamaning koeffitsiyentlaridan hech bo‘lmaganda biri nolga teng
emas, aks holda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi:
Bu holatda
Bu esa faqat vektorining yo‘nalishi asimptotik bo‘lgan holda mumkin.
Demak, quyidagicha yozilgan tenglama:
(8)
to‘g‘ri chiziq tenglamasi bo‘ladi.
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
25
Ikkinchi tartibli chiziqning markazi esa quyidagi tenglamalar sistemasidan
aniqlanadi:
(9)
Ushbu sistemadan sharti kelib chiqadi, ya’ni chiziqning diametri
markazidan o‘tadi.
(8)-tenglamaning koeffitsiyentlari asosida quyidagi vektorni aniqlaymiz:
(10)
Bu vektor yo‘nalishi bilan parallel bo‘lgan barcha vatarlar markazlarining
to‘plamini deb belgilaymiz. Bu to‘plam chiziqning yo‘nalishidagi qo‘shma
diametri bo‘ladi va diametrlari o‘zaro qo‘shma diametrlar deb ataladi.
Har biri bir-biriga parallel bo'lgan vatarlar o`rtalaridan o`tuvchi ikkita
diamеtrlarni qo`shma diamеtrlar dеyiladi.
k va k' qo`shma diamеtrlarning burchak koeffisiеntlari :
Qo'shma diametrlarning burchak koeffisienti ushbu formula orqali
munosabatdadir:
(6)
Diametrlar
va
qo‘shma
diametrlar geometrik simmetriyani
aniqlashda, ellips va giperbola kabi
chiziqlarni parametrik ifodalashda,
hamda
fizikadagi
harakat
qonuniyatlarini o‘rganishda qo‘llaniladi.
Quyida ellips va giperbolalar uchun diametrlar va konjugat diametrlarni
ko'rsatadigan diagrammalar keltirilgan:
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
26
1-rasm. Ellips va uning diametrlari.
2-rasm. Giperbola va uning asimptotalari (qo‘shma diametrlar).
Qo‘shimcha amaliy misollar
Misol 1: Ellips:
(
x
2
9
) + (
y
2
4
) = 1
. Markaz:
(0,0).
Diametrlar:
x
-o‘qi bo‘yicha
uzunlik
6,
y-o‘qi bo‘yicha
4.
Misol 2: Giperbola
: (
x
2
4
) – (
y
2
9
) = 1
. Markaz
: (0,0).
Asimptotalar:
y = ±1.5x.
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
27
Misol 3
: 3x² − 2xy + 3y² + 4x + 4y = 0
chiziq va uning
2x − 3y − 3 = 0
diamеtri bеrilgan. Qo`shma diamеtrining tеnglamasini
aniqlang.
Yechish: Bеrilgan diamеtrning burchak koeffisiеnti
k = ⅔
sonni
tеnglamaga qo`yamiz.
(6x + 2y + 3) + ⅔(2x + 4y − 4) = 0 — > 22x + 14y + 1 = 0
Javob: 22x + 14y + 1 = 0
XULOSA
Ikkinchi tartibli chiziqlarning diametrlari va qo‘shma diametrlar
chiziqlarning ichki tuzilishini va simmetriya xossalarini chuqur tahlil qilish
imkonini beradi Ushbu tushunchalar nazariy matematika bilan birga amaliy
sohalarda - fizika, muhandislik va optikada keng qo‘llaniladi.Ayniqsa, ellips va
giperbola kabi ikkinchi tartibli chiziqlarni o‘rganishda diametrlarning yo‘nalishi
orqali ularning asosiy o‘qlarini aniqlash, ularni simmetrik transformatsiyalarga
nisbatan qanday tutishini tushunish imkonini beradi. Qo‘shma diametrlar esa
chiziqning geometriyasida o‘zaro perpendikulyar yo‘nalishdagi simmetrik
xususiyatlarni ifodalaydi. Bu, ayniqsa, inersiya momentlari, geometrik markazlar
va aylana simmetriyasi mavjud bo‘lgan tizimlarni o‘rganishda muhim ahamiyat
kasb etadi. Masalan, muhandislikda yassi kesimlarning mustahkamligini
baholashda, optikada esa yorug‘lik nurlari sinishi yoki fokuslanishiga ta'sir
etuvchi obyekt shakllarini tahlil qilishda ushbu chiziqlarning xossalari asos
bo‘lib xizmat qiladi. Shuningdek, bu tushunchalar matematik modellashtirishda
koordinata o‘qlarini almashtirish, egri chiziqlarni diagonal ko‘rinishga keltirish
va analitik ifodalarni soddalashtirishda ham qo‘llaniladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Anvarova, M., & Mahmudova, D. (2025). THE APPLICATION OF ECOND-
ORDER CURVES. В THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 4, Выпуск 5, сс. 188–191). Zenodo.
https://doi.org/10.5281/zenodo.15104205
2.
Abdulhayeva, G., & Mahmudova, D. (2025). TEKISLIKDA TO'G'RI CHIZIQ
TENGLAMALARI VA ULARNI AMALIYOTGA TADBIQI. В THEORETICAL ASPECTS
IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 4, Выпуск 7, сс. 35–40).
Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15167776
3.
Karimberdiyeva, D., & Mahmudova, D. (2025). TEKISLIKDAGI
PERSPEKTIV-AFFIN
MOSLIKNING
O'ZIGA
XOS
XUSUSIYATLARI.
В
CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
28
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN MODERN SCIENCES (Т. 4,
Выпуск 3, сс. 114–117). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15123521
4.
Abduraxmonova, R., & Mahmudova, D. (2025). NUQTADAN TO'G'RI
CHIZIQQACHA BO'LGAN MASOFA. IKKI TO'G'RI CHIZIQ ORASIDAGI BURCHAK. В
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 4,
Выпуск 7, сс. 74–78). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15186643
5.
Ismoilova D., & Mahmudova, D. (2025). KO‘P O‘LCHOVLI YEVKLID FAZOSI:
O‘QITISH TEXNOLOGIYASI ASOSIDA YONDASHUV. Innov. Conf. Published online
April 17, 2025:1-7. Accessed April 18, 2025.
6.
Mamatkadirova Zebo Tohirjon qizi, & Dilnoza Xaytmirzayevna
Maxmudova. (2025). CONSTRUCTING AN ELLIPSE USING CONJUGATE
DIAMETERS AND ITS APPLICATIONS. International Scientific and Current
Research
Conferences,
1(01),
48–55.
Retrieved
from
https://orientalpublication.com/index.php/iscrc/article/view/1840
