ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
251
2181-
3187
TRIGONOMETRIK TENGLAMALAR VA ULARNI YECHISH USULLARI.
Esanov Obid Jalolovich
Botirov Zafar Shokirovich
SamISI (Samarqand Iqtisodiyot va servis
Instituti Akademik litseyi), matematika o'qituvchilari
Annotatsiya:
Trigonometrik tenglamalar matematikaning murakkab va qiziqarli
sohalaridan biri bo‘lib, ular ko‘plab ilmiy va amaliy masalalarni yechishda muhim
ahamiyatga ega. Ushbu tenglamalar trigonometriya fanining asosiy elementlari bo‘lib,
burchaklar va ularning trigonometrik funksiyalari o‘rtasidagi munosabat
larni
ifodalaydi. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari esa ularni amaliyotda qo‘llash
imkonini beradi va turli matematik va muhandislik masalalarini hal qilishda keng
qo‘llaniladi.
Kalit so‘zlar
:
noma'lum, trigonometrik tenglamalar, sinus, kosinus, tangens va
kotangens, funksiyalar, tenglama.
Аннотация:
Тригонометрические уравнения являются одним из самых
сложных и интересных разделов математики, которые важны при решении
многих научных и практических задач. Эти уравнения являются основными
элементами науки тригонометрии, выражая связь между углами и их
тригонометрическими функциями. Методы решения тригонометрических
уравнений позволяют применять их на практике и широко используются при
решении различных математических и инженерных задач.
Ключевые слова:
неизвестное, тригонометрические уравнения, синус,
косинус, тангенс и котангенс, функции, уравнение.
Abstract:
Trigonometric equations are one of the most complex and interesting
branches of mathematics, which are important in solving many scientific and practical
problems. These equations are the main elements of the science of trigonometry,
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
252
2181-
3187
expressing the relationship between angles and their trigonometric functions. The
methods for solving trigonometric equations allow them to be applied in practice and
are widely used in solving various mathematical and engineering problems.
Keywords:
unknown, trigonometric equations, sine, cosine, tangent and
cotangent, functions, equation.
KIRISH
Trigonometrik tenglamalar odatda sinus, kosinus, tangens va kotangens kabi
funksiyalarni o‘z ichiga oladi. Bu tenglamalar ko‘pincha burchak qiymatini yoki
trigonometrik funksiyaning o‘zgaruvchisini topish uchun ishlatiladi. Masalan, sinus
tenglamalari burchakning sinus qiymatini ma’lum bir son bilan tenglashtirish orqali
yechiladi. Bunday tenglamalar ko‘pincha burchakning qiymatini topish uchun
ishlatiladi va ular ko‘plab fizik va muhandislik masalalarida qo‘llaniladi.
Trigonometrik
tenglamalarni yechish jarayonida birinchi navbatda tenglamaning shakli va undagi
funksiyalar aniqlanadi. Bu bosqichda tenglamani soddalashtirish, trigonometrik
identifikatsiyalarni qo‘llash va kerakli o‘zgartirishlarni kiritish muhimdir. Masalan,
sinus va kosinus funksiyalarining asosiy identifikatsiyalari yordamida tenglama
soddalashtirilishi mumkin. Bu usul yechimni osonlashtiradi va tenglamaning yechimlar
sonini aniqlashga yordam beradi. Keyingi bosqichda, tenglamaning yechimlarini
topish uchun grafik usullar yoki algebraik usullar qo‘llaniladi. Grafik usullar yordamida
funksiyaning grafigi chizilib, uning tenglama bilan kesishgan nuqtalari aniqlanadi. Bu
usul ayniqsa murakkab tenglamalarda qo‘llaniladi, chunki u yechimlarni ko‘rish va
tahlil qilish imkonini beradi. Algebraik usullar esa tenglamani algebraik ifodalarga
aylantirish va ularni yechish orqali natijaga erishishni nazarda tutadi.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA TADQIQOT METODOLOGIYASI
Trigonometrik tenglamalarni yechishda ko‘plab maxsus usullar mavjud. Masalan,
burchakning qo‘shilishi va ayirilishi formulalari, ikki barobar burchak formulalar
i,
yarim burchak formulalari kabi trigonometrik identifikatsiyalar keng qo‘llaniladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
253
2181-
3187
Ushbu formulalar yordamida tenglamaning murakkab qismi soddalashtiriladi va
yechim topish jarayoni osonlashadi. Shu bilan birga, ba’zi hollarda tenglama ko‘p a’zoli
yoki
murakkab ko‘rinishda bo‘lishi mumkin, bu esa yechim topishni yanada
qiyinlashtiradi. Bundan tashqari, trigonometrik tenglamalarni yechishda analitik
usullar ham muhim ahamiyatga ega. Masalan, parametrik ifodalar, kompleks sonlar
yordamida yechim topish va
boshqa ilg‘or matematik usullar ko‘p hollarda
qo‘llaniladi. Bu usullar murakkab tenglamalarni yechishda yangi imkoniyatlar yaratadi
va yechimlarni yanada aniqroq aniqlashga yordam beradi. Shu tariqa, trigonometrik
tenglamalarni yechish nafaqat oddiy algebraik amallarni bajarish, balki chuqur
matematik bilimlarni talab qiladi.[1]
Trigonometrik tenglamalarning yechimlari ko‘pincha ko‘p qiymatli bo‘ladi,
chunki trigonometrik funksiyalar davriy tabiati bilan ajralib turadi. Bu degani, bitta
yechimdan tashqari,
tenglama ko‘plab boshqa yechimlarga ham ega bo‘lishi mumkin.
Shu sababli, yechimlarni to‘liq aniqlash va ularning davriyligini hisobga olish
muhimdir. Bu holatda, yechimlarning umumiy ko‘rinishi va ularning intervaldagi
joylashuvi alohida e’tiborga olinadi
. Trigonometrik tenglamalarni yechishda intervalni
aniqlash va yechimlarni shu intervalga moslashtirish ham muhim ahamiyatga ega.
Masalan, burchak qiymatlari odatda ma’lum bir oraliqda qidiriladi, chunki real
hayotdagi masalalarda burchaklarning qiymatlari
cheklangan bo‘ladi. Shu bois,
yechimlarni topishda intervalni to‘g‘ri belgilash va unga mos keladigan yechimlarni
tanlash zarur. Bu, ayniqsa, amaliy masalalar uchun juda muhimdir.[2]
MUHOKAMA VA NATIJALAR
Trigonometrik tenglamalar ko‘plab fan sohalarida,
jumladan fizika, muhandislik,
astronomiya va boshqa ko‘plab ilmiy sohalarda qo‘llaniladi. Ular yordamida to‘lqinlar,
tebranishlar, aylanishlar va boshqa ko‘plab tabiiy hodisalar tahlil qilinadi. Shu sababli,
trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini
chuqur o‘rganish va ularni amaliyotda
qo‘llash har bir matematik va muhandis uchun zarurdir.
Shuningdek, trigonometrik
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
254
2181-
3187
tenglamalarni yechishda kompyuter dasturlari va kalkulyatorlar keng qo‘llaniladi.
Zamonaviy texnologiyalar yordamida murakkab tenglamalarni tez va aniq yechish
mumkin. Bu esa ilmiy tadqiqotlar va amaliy ishlarni sezilarli darajada yengillashtiradi.
Lekin, kompyuter yordamidan foydalanishdan oldin, trigonometrik tenglamalarning
asosiy yechish usullarini yaxshi bilish va tushunish muhimdir. Trigonometrik
tenglamalarni yechishning yana bir muhim jihati ularning grafik ko‘rinishini tahlil
qilishdir. Grafik yordamida tenglamaning yechimlari ko‘rinadi, ularning soni va
joylashuvi aniqlanadi. Bu usul ayniqsa murakkab yoki ko‘p a’zoli tenglamalarda
samarali hisoblanadi. Grafik tahlil yordamida yechimlarning haqiqiyligini va ularning
matematik xususiyatlarini tushunish mumkin. Trigonometrik tenglamalarni yechishda
ko‘pincha qo‘shimcha shartlar va cheklovlar qo‘yiladi. Masalan, burchaklarning
qiymati m
a’lum oraliqda bo‘lishi yoki yechimlarning haqiqiy sonlar bo‘lishi talab
qilinishi mumkin. Bu shartlar yechimlarni aniqlashda muhim rol o‘ynaydi va ularni
noto‘g‘ri yoki ma’nosiz natijalardan saqlaydi. Shu bois, yechimlarni topishda barcha
shartlarni hisobga olish zarur. Trigonometrik tenglamalar bilan ishlashda muhim
ahamiyatga ega bo‘lgan yana bir jihat –
bu ularning simmetriya va davriy
xususiyatlarini hisobga olishdir. Trigonometrik funksiyalar o‘zining davriyligi va
simmetriya xususiyatlari tufayli ko‘p hollarda bir nechta yechimlarga ega bo‘ladi. Bu
xususiyatlarni bilish va ulardan to‘g‘ri foydalanish yechimlarni tez va samarali topishga
yordam beradi.
Trigonometrik tenglamalarni yechishda qo‘llaniladigan yana bir
muhim usul
–
bu almashinish usuli bo‘lib, unda trigonometrik funksiyalar o‘zaro
almashtiriladi yoki yangi o‘zgaruvchilar kiritiladi. Bu usul tenglamaning murakkabligini
kamaytiradi va uni oddiy algebraik tenglama shakliga keltirish imkonini beradi.
Natijada, yechim topish jarayoni ancha osonlashadi. Bundan tashqari, trigonometrik
tenglamalarni yechishda ko‘plab maxsus holatlar va misollar mavjud bo‘lib, ularni
o‘rganish va tahlil qilish yechim usullarini yaxshilashga yordam beradi. Har bir yangi
misol yangi strategiyalarni o‘rganish va amaliyotda qo‘llash imkonini beradi. Shu bois,
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
255
2181-
3187
matematiklar va talabalar uchun trigonometrik tenglamalar bilan ishlash doimiy
ravishda mashq qilish va tajriba orttirishni talab qiladi. Trigonometrik tenglamalarni
yechish
usullarini
o‘rganish
nafaqat
matematikaning
nazariy
asoslarini
mustahkamlash, balki amaliy masalalarni hal qilishda ham katta yordam beradi. Ular
yordamida texnik va ilmiy muammolarni yechish, yangi texnologiyalar yaratish va
ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish mumkin. Shu sababli, trigonometrik tenglamalar va
ularni yechish usullari matematik ta’limning ajralmas qismi hisoblanadi.
[3]
Trigonometrik tenglamalar matematikada burchaklar va ularning trigonometrik
funksiyalari o‘rtasidagi munosabatlarni ifodalovchi tenglamalardir. Ularni yechish turli
usullar yordamida amalga oshiriladi. Quyida trigonometrik tenglamalar va ularni
yechish usullari misollar bilan birga keltiriladi.[4]
Sinus tenglamalari.
Sinus tenglamalari ko‘pincha sinus funksiyasining qiymatini ma’lum bir son bilan
tenglashtirishdan iborat
bo‘ladi. Masalan, tenglama shaklida bo‘lishi mumkin:
sin x = a
Bu yerda a son berilgan va x burchakni topish kerak.
Misol: sin x = 0,5
Yechish: Sinus funksiyasining qiymati 0,5 ga teng bo‘lganda, burchaklar 30° va
150° ga teng bo‘ladi (yoki radianlarda π
/6 va 5
π
/6). Shuningdek, sinus funksiyasi
davriy bo‘lgani uchun, umumiy yechim quyidagicha ifodalanadi:
x = 30° + 360°k yoki x = 150° + 360°k, bu yerda k butun son.
Kosinus tenglamalari.
Kosinus tenglamalari ham xuddi shunday yechiladi. Tenglama ko‘rinishi:
cos x = b
Misol: cos x = -0,5
Yechish: Kosinus -
0,5 ga teng bo‘lganda, burchaklar 120° va 240° ga teng bo‘ladi
(yoki radianlarda 2
π
/3 va 4
π
/3). Umumiy yechim:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
256
2181-
3187
x = 120° + 360°k yoki x = 240° + 360°k, k butun son.
Tangens tenglamalari.
Tangens tenglamalari
quyidagicha ko‘rinadi:
tan x = c
Misol: tan x = 1
Yechish: Tangens 1 ga teng bo‘lganda, burchak 45° ga teng (π
/4 radian). Tangens
funksiyasi davriyligi 180° (π
radian) bo‘lgani uchun, umumiy yechim:
x = 45° + 180°k, k butun son.
Trigonometrik tenglamalarni soddalashtirish va yechish usullari.
1. Identifikatsiyalar yordamida soddalashtirish.
Trigonometrik identifikatsiyalar yordamida tenglamani soddalashtirish mumkin.
Masalan, qo‘shilish va ayirish formulalari, ikki barobar burchak formulalari va
boshqalar.
Misol: sin 2x = √3/2
Yechish: sin 2x qiymati √3/2 ga teng bo‘lganda, 2x burchaklari 60° va 120° (π
/3
va 2
π/3) bo‘ladi.
Shunday qilib,
2x = 60° + 360°k yoki 2x = 120° + 360°k
x = 30° + 180°k yoki x = 60° + 180°k
2. Grafik usul.
Grafik yordamida tenglamaning
yechimlari aniqlanadi. Masalan, sin x va ma’lum
bir sonning grafigi chizilib, kesishgan nuqtalar topiladi.
3. Algebraik usullar.
Tenglamani algebraik shaklga keltirib, yechim topish. Masalan, trigonometrik
funksiyalarni algebraik ifodalarga aylantirish.
M
isol: cos² x
-
sin² x = 0
Yechish: Identifikatsiya yordamida cos 2x = 0 deb yozish mumkin.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
257
2181-
3187
cos 2x = 0 bo‘lsa, 2x = 90° + 180°k
x = 45° + 90°k
4. Almashinish usuli.
Ba’zan yangi o‘zgaruvchi kiritish orqali tenglama soddalashtiriladi.
Misol: 2 sin² x
- 3 sin x + 1 = 0
Yechish: sin x = t deb olamiz.
Tenglama: 2t²
- 3t + 1 = 0
Kvadrat tenglama yechiladi:
t = 1 yoki t = 1/2
sin x = 1 bo‘lsa, x = 90° + 360°k
sin x = 1/2 bo‘lsa, x = 30° + 360°k yoki x = 150° + 360°k
5. Maxsus formulalar
Yarim burchak yoki ikki barobar burchak formulalari yordamida yechim topish.
Misol: sin x = cos x
Yechish: sin x - cos x = 0
sin x = cos x bo‘lsa, tan x = 1
x = 45° + 180°k
Trigonometrik tenglamalarni yechishda yechimlarning davriyligi, intervaldagi
yechimlarni aniqlash va shartlarni hisobga olish muhimdir. Har bir misolda umumiy
yechimlar butun son k ga bog‘liq holda ifodalanadi.
Ushbu usullar va misollar
trigonometrik tenglamalarni yechishda asosiy yo‘nalishlarni ko‘rsatadi va amaliyotda
keng qo‘llaniladi. Agar kerak bo‘lsa, yanada
murakkab tenglamalar va ularning
yechimlari bilan yordam berishga tayyorman.[5]
XULOSA
Umuman olganda, trigonometrik tenglamalar va ularni yechish usullari
matematikaning muhim va keng qamrovli sohasidir. Ularning chuqur o‘rganilishi va
amaliyotda qo‘llanilishi turli fan va texnologiyalar rivojiga katta hissa qo‘shadi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
258
2181-
3187
Shuning uchun, bu mavzuni mukammal egallash har bir matematik, muhandis va ilmiy
xodim uchun zarurdir. Trigonometrik tenglamalar bilan ishlash bilim va ko‘nikmalarni
doimiy ravishda rivojlantirishni talab qiladi, bu esa ularning murakkabligi va qiziqarli
tomonlarini yanada oshiradi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Abdullayev, S., & Qodirov, M. (2022). "Trigonometrik tenglamalar va ularning
yechimlari". Toshkent: Fan va Texnologiya nashriyoti.
2
. Rasulov, J. (2023). "Matematika: Trigonometriya asoslari". Toshkent: O‘zbekiston
Milliy Universiteti nashriyoti.
3. Mirzaev, A., & Karimova, D. (2021). "Trigonometrik funksiyalar va tenglamalar".
Toshkent: Ilmiy nashr.
4. Tursunov, B. (2020). "Ilmiy mate
matika: Trigonometriya bo‘limi". Samarqand:
Samarqand Davlat Universiteti nashriyoti.
5. Xolmatov, R. (2023). "Matematika fanidan o‘quv qo‘llanma: Trigonometriya".
Toshkent: O‘qituvchi nashriyoti.
6. Yusupova, N. (2022). "Trigonometriya va uning amaliy qo‘
llanilishi". Toshkent: Ilm-
fan nashriyoti.
7. Islomov, F. (2021). "O‘rta maktab uchun matematika darsligi: Trigonometriya".
Toshkent: Ta’lim nashriyoti.
