ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
301
IKKI KARRALI INTEGRALNING TATBIQLARI HAQIDA
Djanizoqov Ulug’bek Abdug’oniyevich,
katta o’qituvchi (JizPI), (+99893- 293-59-70.
Annotatsiya:
Ushbu maqolada ikki karralli integrallarning qurilish va arxitektura sohasiga
amaliy tatbiqiga doir ba’zi amaliy masalalar ko’rib chiqilgan va ularni yechish usullari qulay
shaklda tushuntirilgan.
Kalit so’zlar:
maydon, hajm, massa, yuza, integral, zichlik.
Аннотация:
В данной статье рассмотрены практические вопросы, связанные с
практическим применением двойных интегралов в области строительства и архитектуры,
и в удобной форме объяснены методы их решения.
Ключевые слова:
площадь, объем, масса, поверхность, интеграл, плотность.
Abstract:
This article discusses practical issues related to the practical application of double
integrals in the field of construction and architecture, and explains in a convenient form methods
for solving them.
Key words:
area, volume, mass, surface, integral, density.
Ikki karrali integrallar qurilish va arxitektura sohasida juda muhimdir. Bu sohasida ikki karrali
integralning bir nechta muhim qo’llanmalarini ko’rsatish mumkin:
1.
Hajmni hisoblash
: Qurilishda, binoning yoki strukturaning hajmini topish uchun ikki
karrali integraldan foydalaniladi. Masalan, binoning hajmini hisoblash uchun, hajmni ifodalovchi
funksiyani integrallashtirish mumkin.
2.
Maydonni hisoblash
: Ikki karrali integral yordamida, biror maydonning yuzasini
hisoblash mumkin. Bu, masalan, bino yoki yer maydonini hisoblashda foydali bo’ladi.
3.
Massa va massa markazini hisoblash
: Ikki karrali integral yordamida, lamina (yoki
qalinlikka ega bo’lmagan plita) ning massasi va massasi markazini topish mumkin. Bu, lamina
yuzasida massaning tarqalishi bilan bog’liq bo’lishi mumkin.
4.
Integral hisoblash
: Integral hisob yordamida me’mor grafiklar uzunliklarini, geometrik
shakllarning maydonlarini va hajmlarini hisoblab qurishga tayyor bo`ladi.
Bu usullar, qurilish va arxitektura sohasida muhim vazifalarni bajarishda juda muhim
ahamiyatga ega. Ular yordamida, binolar, ko’pruklar va boshqa strukturalar qurilishida kerak
bo’ladigan ma’lumotlarni aniq va samarali ravishda hisoblash mumkin. Bu, qurilish jarayonini
tezlashtiradi va uning samaradorligini oshiradi. Quyida ularni hisoblashga doir ba’zi amaliy
masalalarni qarab o’tamiz.
Jism hajmini hisoblash
.
Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra yuqoridan
)
,
(
y
x
f
z
=
sirt bilan va quyidan
Oxy
tekislikning yopiq
D
sohasi bilan
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
302
chegaralangan silindrik jismning hajmi
dxdy
y
x
f
V
D
)
,
(
=
integral bilan aniqlanadi.
1-misol.
Koordinata tekisliklari va
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
tekislik bilan chegaralangan jismning hajmi topilsin.
0
,
0
,
0
>
>
>
c
b
a
.
Yechish.
Berilgan tenglamadan z ni topamiz.
-
-
=
=
b
y
a
x
c
y
x
f
z
1
)
,
(
1-rasmda ko’rsatilgan
D
soha quyidagicha bo’ladi:
-
=
a
x
b
y
a
x
y
x
D
1
0
,
0
,
Jism hajmini hisoblash formulasiga ko’ra
=
-
-
=
-
-
=
=
-
-
D
a
a
x
b
a
x
b
a
dx
b
y
a
xy
y
c
dy
b
y
a
x
c
dx
dxdy
y
x
f
V
0
)
1
(
0
1
0
2
0
2
1
)
,
(
6
3
2
3
2
2
1
2
0
2
3
2
0
2
2
abc
a
bc
a
x
a
x
x
bc
dx
a
x
a
x
bc
a
a
=
=
+
-
=
+
-
=
.
Maydon ya’ni yassi shakl yuzasini hisoblash
.
Oxy
tekislik yopiq
D
sohasining, ya’ni yassi
figuraning yuzi
xdy
d
S
D
=
formula bilan hisoblanadi,
yoki qutb koordinatalarda
=
D
rdrd
S
j
integral bilan hisoblanadi.
2-масала.
2
2 2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
y
a x
y
+
=
-
lemniskata bilan chegaralangan soha
yuzasi topilsin.
Yechish.
Qulaylik uchun qutb koordinatalariga o’tamiz. Bunda
=
=
j
r
j
r
sin
cos
y
x
. Bularni berilgan
tenglamadagi
х
,
у
lar o’rniga qo’ysak,
j
r
j
r
2
cos
2
2
cos
2
2
2
a
a
=
®
=
kelib chiqadi. Bu yerda
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
303
-
4
5
,
4
3
4
,
4
,
2
cos
2
0
p
p
p
p
j
j
r
a
Lemniskataning hamma choraklardagi yuzalari bir xil bo’lgani uchun 2-rasmda ko’rsatilgan D
sohaning yuzasini hisoblab natijani 4 ga ko’paytiramiz..
2cos2
4
4
4
2
2
2
0
0
0
0
4
4
2 2 cos 2
2 sin 2
2
a
D
D
S
dxdy
rdrd
d
d
a
d
a
a
p
p
p
f
f
f
r r
f f
f
=
=
=
=
=
=
Massa va massa markazini topish
:
Oxy
tekislikda sirtiy zichligi
)
,
(
y
x
g
ga teng boʻlgan bir
jinsli
D
plastinka berilgan bolsin. Bu plastinkaning ba’zi mexanik parametrlari ikki
karrali integralning mexanik ma’nosiga koʻra quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
1)
plastinkaning massasi
;
)
,
(
dxdy
y
x
m
D
=
g
2) plastinka
ogʻirlik markazining koordinatalari
,
)
,
(
)
,
(
dxdy
y
x
dxdy
y
x
x
x
D
D
c
=
g
g
;
)
,
(
)
,
(
dxdy
y
x
dxdy
y
x
y
y
D
D
c
=
r
g
3-misol.
Zichligi
y
x
+
=
g
ga teng
D
plastinka ogʻirlik markazining koordinatalarini toping,
bu yerda
:
D
2
,
0
,
2
,
0
=
=
=
=
y
y
x
x
chiziqlar bilan chegaralangan kvadrat.
Yechish:
Avval plastinkaning massasini topamiz:
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
( , )
(
)
(2
2)
2
8.
2
D
y
m
x y dxdy
dx x y dy
xy
dx
x
dx
x
x
g
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
Plastinka ogʻirlik markazining koordinatalarini aniqlaymiz:
=
+
=
+
=
=
dx
y
x
y
x
dy
xy
x
dx
dxdy
y
x
x
x
D
c
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
8
1
)
(
8
1
)
,
(
8
1
g
;
6
7
2
3
4
1
)
(
4
1
2
0
2
0
2
3
2
=
+
=
+
=
x
x
dx
x
x
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
304
=
+
=
+
=
=
dy
x
y
x
y
dx
xy
y
dy
dxdy
y
x
y
y
D
c
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
8
1
)
(
8
1
)
,
(
8
1
g
.
6
7
2
3
4
1
)
(
4
1
2
0
2
0
2
3
2
=
+
=
+
=
y
y
dy
y
y
Integral hisoblash
:
4-misol.
dxdy
y
x
+
2
2
integralni hisoblang, bu yerda
:
D
x
y
x
=
+
2
2
va
x
y
x
2
2
2
=
+
aylanalar bilan chegaralangan soha.
Yechish
.
Integralni qutb koordinatalarida hisoblaymiz.
x
y
x
=
+
2
2
,
x
y
x
2
2
2
=
+
aylanalar qutb koordinatalarida
j
cos
=
r
,
j
cos
2
=
r
formulalar bilan ifodalanadi, bu yerda
2
2
p
q
p
-
(3-rasm).
U holda
2cos
2cos
3
2
2
2
2
2
2
3
2
cos
cos
2
2
2
2
7
7
cos
cos cos
3
3
3
D
r
x y dxdy
d
r rdr
d
d
d
p
p
p
p
j
f
p
p
p
p
f
j
j
j
j j
j
j j
-
-
-
-
+
=
=
=
=
=
2
2
2
2
2
7
7
cos
sin cos
3
3
d
d
p
p
p
p
j j
j
j j
-
-
=
- -
=
.
9
28
sin
9
7
sin
3
7
2
2
3
2
2
=
-
-
-
p
p
p
p
j
j
Xulosa o’rnida aytish mumkinki, ikki karrali integral kundalik hayotimizda juda ko‘p sohalarda
ishlatiladi. Masalan, u geometriyada shakllarning yuzasini va hajmini hisoblashda yordam beradi.
Fizikada esa issiqlik tarqalishi, elektromagnit maydon taqsimoti kabi muhim jarayonlarni
tushunishga xizmat qiladi. Iqtisodiyot va muhandislikda resurslarni optimal taqsimlash, ishlab
chiqarish jarayonlarini yaxshilashda qo‘llaniladi. Statistikada katta ma’lumotlarni tahlil qilishda,
ehtimollikni hisoblashda asosiy vosita hisoblanadi.
Umuman olganda, ikki karrali integral murakkab masalalarni yechishga yordam beruvchi kuchli
matematik vosita bo‘lib, texnologiyadan tabiiy fanlargacha, muhandislikdan iqtisodiyotgacha
bo‘lgan keng sohalarda muhim rol o‘ynaydi. Hayotimizni osonlashtirish va yaxshilash uchun biz
bilmasdan ham uning natijalaridan foydalanamiz!
Foydalanilgan adabiyotlar.
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
305
1.
Абдукадирович, С. У., и Абдуганиевич, Д. У. (2021). О НЕКОТОРЫХ
ПРОБЛЕМАХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ И ПРИМЕНЕНИИ
ПРОИЗВОДНЫХ И МЕТОДАХ ИХ РЕШЕНИЯ. В
Архиве конференций
(стр. 113-117).
2.
Abdukadirovich, S. U., & Abduganievich, D. U. (2023). Using Real World Problems in
Developing Students' Mathematical Skills.
Eurasian Journal of Physics, Chemistry and
Mathematics
,
14
, 10-15.
3.
Djanizoqov
U.A.,
Axmatov
J.J.
ELEKTROTEXNIKA
MASALALARIDA
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNINGQO’LLANILISHI // Экономика и социум. 2024.
№3-1 (118). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/elektrotexnika-masalalarida-differensial-
tenglamalarningqo-llanilishi (дата обращения: 04.04.2025).
4.
Джанизоков У. А. О ПРИЛОЖЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
//Экономика и социум. – 2024. – №. 4-1 (119). – С. 851-854.
5.
Соатов У. А., Джонизаков У. А. О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ //Экономика и социум. – 2024. – №. 2-2 (117). – С. 660-664.
6.
Соатов У. А., Джонизаков У. А. О СОСТАВЛЕНИИ И МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
//Экономика и социум. – 2024. – №. 2-2 (117). – С. 656-659.
7.
Джонизаков, У. А., & Буриев, Ф. А. (2024). ПРИЛОЖЕНИЕ ДЛЯ
ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ.
Uzbek Scholar Journal
,
28
, 68-71.
8.
Abdug’oniyevich, D. U. B., & Sanjarovich, A. J. (2024). QATОRLARNI ANIQ
INTЕGRALLARNI HISОBLASHGA TADBIQI.
Uzbek Scholar Journal
,
28
, 76-79.
9.
Abdug’oniyevich, D. U. B., & Suyunboyevich, A. J. (2024). JISMNING
UZOQLASHISH
TEZLIGINI
HISOBLASHDA
ANIQ
INTEGRALDAN
FOYDALANISH.
Uzbek Scholar Journal
,
28
, 72-75.
10.
Джанизоков Улугбек Абдугониевич и Ахматов Шахбоз Ширинкул о'г'ли. (2024).
SUYUQLIKNING
BOSIM
KUCHINI
HISOBLASHDA
ANIQ
INTEGRALNI
QO'LLANILISHI.
Узбекский научный журнал
,
37
, 12–17.
11.
Djanizoqov Ulug’bek Abdug’oniyevich, & Amrullayev Quvonchbek Xayit o‘g‘li. (2025).
ANIQ
INTEGRAL
YORDAMIDA
JISMNING
BOSIB
O’TGAN
YO’LINI
HISOBLASH.
Uzbek Scholar Journal
,
36
, 31–35.
