IQTISODIY MASALALARNI ANIQMAS INTEGRALLAR YORDAMIDA YECHISH.

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241

Volume 7, issue 1, Aprel 2025

https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi

worldly knowledge

OAK Index bazalari :

research gate, research bib.

Qo’shimcha index bazalari:

zenodo, open aire. google scholar.

Original article

906

IQTISODIY MASALALARNI ANIQMAS INTEGRALLAR YORDAMIDA YECHISH.

Axmedov Sherdor Boxodirovich

University of economics and pedagogy

Bekmirzayeva Ruxshona Ravshanbek qizi

University of economics and pedagogy talabasi

Annotatsiya:

Mazkur maqolada iqtisodiy yo‘nalishlarda ta’lim olayotgan talabalarga

“Aniqmas integrallar” mavzusini samarali o‘qitish texnologiyasi yoritilgan. Aniqmas

integrallarni iqtisodiy masalalar bilan bog‘liq holda o‘qitish orqali talabalar nazariy bilimlarni

amaliyotda qo‘llashni o‘rganadilar. Maqolada zamonaviy pedagogik texnologiyalar, shu

jumladan muammoli o‘qitish, interfaol usullar va elektron resurslardan foydalanish orqali

mavzuni chuqur o‘zlashtirishga erishish yo‘llari ko‘rsatib o‘tilgan. Shuningdek, aniqmas

integrallarning iqtisodiy tahlillarda qo‘llanishiga oid misollar orqali mavzuning amaliy ahamiyati

asoslab berilgan. Maqola matematik tahlil, iqtisodiy modellashtirish va kasbiy kompetensiyani

shakllantirish yo‘nalishidagi o‘quv jarayonini takomillashtirishga qaratilgan.

Kalit so‘zlar:

Aniqmas integral, iqtisodiy tahlil, o‘qitish texnologiyasi, interfaol metodlar,

pedagogik yondashuv, matematik modellashtirish, iqtisodiy ta’lim, kasbiy kompetensiya, amaliy

matematika, iqtisodiy masalalar.

Mamlakatimizdagi Oliy o‘quv yurtlarining iqtisodiy yo‘nalishlarida matematika fanini

o‘qitishning bir qancha innovatsion usullari mavjud bo‘lib, ularning aksariyatida dars

jarayonidagi asosiy urg‘u mavzuning faqat matematik jihatlariga qaratiladi. Ko‘proq nazariy

bilimlarga asoslanib, berilgan mavzuning iqtisodiy talqiniga kamroq e’tibor beriladi. Ushbu

qo‘llanma integrallar mavzusi asosida tuzilgan bo‘lib, bunda bakalavriyat bosqichi talabalari

uchun zarur bo‘lgan qisqacha matematik nazariy bilimlar hamda ularning iqtisodiy talqinlari va

ularning tatbiqlari haqida dastlabki tushunchalar, ta’riflar va zarur iqtisodiy teoremalar ham o‘rin

olgan.

� = � �

funksiya

(�; �)

intervalda berilgan bo‘lsin.

1-ta’rif.

Agar

�; �

intervalda differensiallanuvchi

� �

funksiyaning hosilasi berilgan

� �

ga teng bo‘lsa, ya’ni

�

'

� = � �

bo‘lsa, u holda

� �

funksiya

�; �

intervalda

� �

funksiyaning

boshlang‘ich funksiyasi

deyiladi.

Masalan. Ta’rifga ko‘ra

� � =

1
3

���3� +

2
5

���5�

funksiya

�(�) = ���3� − 2���5�

funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi. Chunki F(x) funksiyaning hosilasi f(x) ga teng.

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241

Volume 7, issue 1, Aprel 2025

https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi

worldly knowledge

OAK Index bazalari :

research gate, research bib.

Qo’shimcha index bazalari:

zenodo, open aire. google scholar.

Original article

907

1-lemma

.

Agar

� � �� � �

funksiyalar

�; �

intervalda

� �

ning boshlang‘ich

funksiyalari bo‘lsa, u holda

� � = � � + �

bo‘ladi, ya’ni

� � �� � �

funksiyalar

�; �

intervalda bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi.

Berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish masalasi bir qiymatli hal qilinmaydi.

Haqiqatdan ham agar

� �

funksiya

� �

ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda

� � + � � = �����

funksiya ham

� �

ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi.

Masalan:

� � = 2�

da

� �

funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi

� � = �

2

+ �

ko‘rinishdagi parabolalar to‘lamidan iborat. Bu yerda C ihtiyoriy o‘zgarmas sonligini hisobga

olsak, bunday parabolalardan cheksiz ko‘p yasash mukinligini payqash qiyin emas (1-rasm).

1-rasm

2-ta’rif

.

Agar

� �

funksiya

�; �

intervalda

� �

funksiyaning boshlang‘ich funnktsiyasi

bo‘lsa, u holda

� � + �

funksiyalar to‘plami shu intervalda

� �

funksiyaning aniqmas

integrali deyiladi va

� � �� = � � + � , � = �����.

kabi belgilanadi.

Bunda

−

integral

belgisi,

� � −

integral ostidagi

funksiya

,

� � �� −

integral

ostidagi ifoda

deyiladi.

C

esa o‘zgarmas miqdor bo‘lib, funksiya grafigining joylashish holatini

ifodalaydi.

Aniqmas integralni yoki berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish jarayoni

integrallash

deyiladi.

Segmentda (kesmada) uzluksiz bo‘lgan istalgan funksiya shu oraliqda boshlang‘ich funksiyaga

ega. Demak, aniqmas integralga ham ega.

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241

Volume 7, issue 1, Aprel 2025

https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi

worldly knowledge

OAK Index bazalari :

research gate, research bib.

Qo’shimcha index bazalari:

zenodo, open aire. google scholar.

Original article

908

Boshlang‘ich funksiya ta’rifning iqtisodiy talqiniga nazar soladigan bo‘lsak, iqtisodiyotda

“marjinal xarajat”

yoki

“marjinal daromad”

degan tushunchalar mavjud. Biz shartli ravishda

marjinal xarajat funksiyasini

�

с

(�)

bilan, marjinal daromad funksiyasini esa

�

�

(�)

bilan

belgilab olamiz.

Ishlab chiqarishga ketgan xarajat

�

ni ishlab chiqarilgan mahsulotlar soni

x

ning funksiyasi

sifatida qaraymiz.

3-ta’rif.

Ishlab chiqarish hajmi

∆�

ga ortsin, u holda ishlab chiqarish xarajati

∆�

ga ortadi.

Mahsulot birligiga ko‘ra xarajatning o‘rtacha o‘sishi esa

∆�
∆�

ga teng bo‘ladi. U holda quyidagi

limitga ishlab chiqarishning marjinal xarajati deyiladi:

�

с

(�) = ���

∆�→�

∆�
∆�

Demak, harajat funksiyasidan olingan hosila marjinal xarajat funksiyasini ifodalaydi:

�

'

= �

с

(�)

(Shu o‘rinda talabalarga “Iqtisodiyot nazariyasi” fanining atamalaridan biri bo‘lgan

“Marjinal xarajat va marjinal daromad” tushunchalarining iqtisodiy ta’rifini dars davomida

eslatib o‘tiladi.)

Eslatma: Marjinal xarajatlar

- bu mahsulot ishlab chiqarishning cheklangan (kichik)

o‘zgarishi yoki qo‘shimcha mahsulot birligi natijasida narxning oshishi. Marjinal xarajatlar

kontseptsiyasi-bu korxonalar xarajatlarni minimallashtirish va daromadlarni ko‘paytirish uchun

kam resurslarni qanday taqsimlash to‘g'risida qaror qabul qilishning muhim vositasi hisoblanadi.

Marjinal xarajatlar quyidagicha hisoblanadi:

�������� ���������� =

������ �������������� �‘��������

������ ��������� ������� �'��������

Samarali qarorlar qabul qilish uchun marjinal xarajatlarni marjinal daromad (qo‘shimcha birlik

masulotlardan tushgan daromadning oshishi) bilan solishtirish kerak .

Marjinal xarajatlar korxonalarga qo‘shimcha birlik ishlab chiqarish foydali yoki

yo‘qligini aniqlashga yordam beradi. Agar sotish narxini ushlab turishning iloji bo‘lmasa, ishlab

chiqarish hajmini ko‘paytirish foyda keltirmaydi. Shunday qilib, marjinal xarajatlar korxonani

ishlab chiqarishning maqbul darajasini aniqlashga yordam beradi.

1-natija.

Matematikada funksiyani integrallash amali differensiallash amaliga teskari amal

ekanligidan, marjinal xarajat (marjinal daromad) funksiyasidan olingan boshlang‘ich funksiya

ishlab chiqarishning xarajat funksiyasini (daromad funksiyasini) ifodalashi kelib chiqadi, ya’ni:

� � = �

�

(�) ��

yoki

� � = �

с

(�)��

.

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241

Volume 7, issue 1, Aprel 2025

https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi

worldly knowledge

OAK Index bazalari :

research gate, research bib.

Qo’shimcha index bazalari:

zenodo, open aire. google scholar.

Original article

909

Bu yerda

� �

– daromad funksiyasi,

� �

– xarajat funksiyasi.

Yuqorida olingan formulaga oid bir qancha masalalrni ko‘rib chiqamiz:

1-masala.

Andijon viloyatida joylashgan Supermarket q bosh tirik baliq sotib olishi va

sotishi bilan bog‘liq bo‘lgan bir yillik marjinal foyda funksiyasi quyidagicha berilgan bo‘lsin:

�

�

� = 0,0004� − 25

Talab etilgan qat’iy xarajat narxi yillik 250 000 000 so‘m bo‘lsa, daromad funksiyasini

toping.

Yechish.

� � = �

�

(�) ��

Demak,

� � =

0,0004� − 25 �� = 0,0002�

2

− 25� + �

Qat’iy xarajat bizda 25 000 000 so‘m ekanligini hisobga olsak,

� =− ��� ��� ���

ya’ni mahsulot sotilmasa ham u uchun yillik 25 000 000 so‘m

xarajat mavjud. Demak xarajat funksiyasining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

� � = 0,0002�

2

− 25� − 250 000 000

.

Iqtisodiy yo‘nalishlarga matematika fanidan dars mashg‘ulotlarini olib borilayotganda

asosiy matematik tushunchalarni eslatma sifatida aytib o‘tish va urg‘uni masalaning iqtisodiy

jixatiga qaratish maqsadga muvofiq.

2-masala.

Andijon viloyati Andijon tumani Oq yor QFY da yashovchi aksariyat aholi

mebel ishlab chiqarish xunarmandchiligi bilan shug‘ullanadi. Bunda mos ravishda divan, kreslo,

shkaf va 12 kishilik stol va stullardan asosiy daromadlar kelib tushadi. Aholining faqat shkaf

ishlab chiqarishdagi marjinal daromad funksiyasi quyidagicha berilgan:

� � = 400 ∙ 3

−08�

− 12

Quyidagilarni aniqlang:

a)

Daromad funksiyasini aniqlang.

b)

Ushbu mahsulotning talab funksiyasini toping.

Eslatma: Iqtisodiyotda marjinal

foyda sof foyda funksiyasidan

olingan hosilaga teng bo‘ladi

.

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241

Volume 7, issue 1, Aprel 2025

https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi

worldly knowledge

OAK Index bazalari :

research gate, research bib.

Qo’shimcha index bazalari:

zenodo, open aire. google scholar.

Original article

910

Yechish.

a)

Marjinal daromad deb, ishlab chiqarish

jarayonini kengaytirishda chegaralangan xizmatlarning

bajarilishi va chegaralangan xarajatlar o‘rtasidagi

birlik farqqa aytiladi.

Bundan ko‘rinib turibdiki, daromad funksiyasidan olingan hosila

marjinal (limit)

daromad

ni ifodalaydi. Masala shartiga ko‘ra daromad funksiyasini topish uchun marjinal

daromad funksiyasini integrallaymiz:

�

'

� = 400 ∙ 3

−08�

− 12

.

� � = 400 (3

−08�

− 12 )�� = 400 ∙

3

−0,8�

−0,8∙��3

− 12� + �

.

� � =−

500

��3 ∙ 3

−0,8�

− 12� + �.

Bu yerda

C

ni o‘zgarmas son ekanligini inobatga olsak, istalgancha

D(t)

funksiya hosil

qilishimiz mumkin. Shuning uchun dastlabki daromad funksiyasini aniqlashda birorta ham

mahsulot sotilmagan ya’ni

� = 0

deb olamiz. Demak, daromadning qiymati ham 0 ga teng

bo‘ladi ya’ni

� � = 0

. Topilgan qiymatlarni daromad funksiyasiga qo‘yib

C

ning dastlabki

qiymatini aniqlaymiz:

−

500

��3 ∙

3

−0,8∙0

− 12 ∙ 0 + � = 0

� =

1500

��3 .

Demak daromad funksiyasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

� � =−

500

��3 ∙

3

−0,8�

− 12� +

1500

��3 .

b)

Mebel firmasidan olinadigan daromad mahsulot narxining unga qo‘yiladigan talab

funksiyasiga ko‘paytmasiga teng.

Ya’ni:

�(�) = �(�) ∙ �

.

D

ning o‘rniga topilgan funksiyani qo‘ysak

� � ∙ � =−

500

��3 ∙ 3

−0,8�

− 12� +

1500

��3

Bundan

Eslatma! Integralni hisoblashda

�

��+�

�� =

�

�

��� + �

formuladan foydalanilgan

.

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241

Volume 7, issue 1, Aprel 2025

https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi

worldly knowledge

OAK Index bazalari :

research gate, research bib.

Qo’shimcha index bazalari:

zenodo, open aire. google scholar.

Original article

911

�(�) =−

500

���3 ∙ 3

−0,8�

− 12 +

1500

���3 .

3-masala.

Andijon shahridagi “Usta Bilol” nomli firma x ming poyafzal ishlab

chiqarishi darajasidagi marjinal xarajati quyidagicha berilgan bo‘lsin:

�

'

� =

10

�

4�

va belgilangan xarajat, ya’ni birinchi poyafzal ishlab chiqarilishidan oldingi xarajat 50000000

so‘mni tashkil etadi. Firmaning xarajat funksiyasini toping.

Yechish.

Iqtisodiyotda marjinal xarajat deganda

mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun qilingan

qo‘shimcha xarajatlar tushuniladi

.

Xarajat funksiyasini topish uchun berilgan

marjinal xararajat funksiyasidan integral olamiz:

� � =

10��

�

4�

= 10�

−4�

�� =−

10

4 �

−4�

+ � =− 2,5�

−4�

+ �

Bu yerda ishlab chiqarish

x

har doim nomanfiy qiymatni qabul qilishini hisobga olsak,

� ≥ 0

shart doimo o‘rinli bo‘ladi. Endi ishlab chiqarishdagi dastlabki minimum xarajat

� = 0

da

aniqlanadi.

(Bu yerda mahsulot ishlab chiqarilishidan oldingi boshlangich xarajat

� = 0

da aniqlanishi

nazarda tutilgan.) Demak, masala shartiga ko‘ra

� 0 = 50000000

. Bundan

� � =− 2,5�

−4�

+ �

,

50000000 =− 2,5 + �

,

� =

100000005

2

� � =− 2,5�

−4�

+

100000005

2

Javob:

Xarajat funksiyasi

� � =− 2,5�

−4�

+

100000005

2

ko‘rinishida bo‘ladi.

XULOSA.

Har qanday iqtisodiyot yo‘nalishdagi zamonaviy fanlarni o‘qitishda

matematik usullar keng qo‘llaniladi. Boshqacha qilib aytganda, matematik usullar har

qanday iqtisodiy fanning, shu jumladan iqtisodiy nazariyaning tarkibiy qismiga

aylangan. Masalan, ma’lum bir iqtisodiy ko‘rsatkichlarni hisoblash matematik

formulalar yordamida amalga oshiriladi; turli iqtisodiy faktorlar orasidagi bog‘liqlik

darajasi grafiklar yordamida tahlil qilinadi; statistik ma’lumotlar matematik usullar

bilan qayta ishlanib, muhim iqtisodiy yechimlar topiladi. Iqtisodiy fanlarni o‘qitishda

matematika apparatidan keng foydlanish yo‘li bilan qabul qilinadigan iqtisodiy

Eslatma!integralni hisoblashda

�

��+�

�� =

�

��+�

� + �

formuladan foydalanilgan

.

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241

Volume 7, issue 1, Aprel 2025

https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi

worldly knowledge

OAK Index bazalari :

research gate, research bib.

Qo’shimcha index bazalari:

zenodo, open aire. google scholar.

Original article

912

yechimlarni oydinlashtirish va asoslash mumkin bo‘ladi. Boshqa tomondan,

matematika fanlarini iqtisodiy amaliyotga bog‘lab o‘qitish jarayonida matematik

tushunchalar va qonuniyatlar amaliy iqtisodiyotga daxldor ekanligi isbotlanadi,

matematik apparat ham ma’lum ma’noda takomillashadi

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1.

Xamdamov, A.A. (2016). Iqtisodiy tahlil asoslari. Toshkent: Iqtisodiyot nashriyoti. 256

bet.

2.

Salomov, A.S., va Turg‘unov, O.T. (2019). Oliy matematika bo‘yicha masalalar to‘plami.

Toshkent: Fan va texnologiya nashriyoti. 312 bet.

3.

Abdurashidov, A.X., va Qodirov, O.T. (2021). Matematika va uning iqtisodiyotdagi

qo‘llanilishi. Toshkent: Universitet nashriyoti. 220 bet.

4.

Murodov, H.A. (2015). Oliy matematika. Toshkent: O‘zbekiston Milliy Ensiklopediyasi

nashriyoti. 540 bet.

5.

Chiang, A.C. (2005).

Fundamental Methods of Mathematical Economics

. New York:

McGraw-Hill Education. 576 pages.

6.

Sydsaeter, K., & Hammond, P. (2012).

Mathematics for Economic Analysis

. Harlow:

Pearson Education. 832 pages.

7.

Nicholson, W., & Snyder, C. (2017).

Microeconomic Theory: Basic Principles and

Extensions

. Boston: Cengage Learning. 800 pages.

8.

AHMEDOV, S. Effective Forms Of Students Knowledge And Skills Development In

Harmony.

JournalNX

,

6

(05), 186-189.

9.

Шердoр А., Шукруллoев Б. Mнoгoфактoрный экoнomетрический анализ в

рынoчнoй экoнomикеmнoгoфактoрный экoнomетрический анализ в рынoчнoй экoнomике

//Science and Society. – 2024. – Т. 1. – №. 7. – С. 19-26.

10.

Jamolova F. et al. ISSUES OF STRENGTHENING THE PRACTICAL DIRECTION OF

THE HIGHER MATHEMATICS COURSE TAUGHT IN TECHNICAL HIGHER

EDUCATION COUNTRIES //ILMIY XABARNOMA. – 2024. – С. 37.

11.

Sherdor A. TEACHING APPLIED MATHEMATICS WITH PRACTICAL ECONOMIC

PROBLEMS TO ECONOMICS STUDENTS //Universum: психология и образование. – 2024.

– №. 5 (119). – С. 62-64.

12.

Axmedov S. B. HOSILANING TADBIQLARI MAVZUSINI O ‘QITISHDA

INNOVATSION PEDAGOGIK YONDOSHUV //Academic research in educational sciences. –

2021. – Т. 2. – №. CSPI conference 3. – С. 37-41.