109
7.1
2
9
SOBOLEV SINFIDA OPERATOR QATNASHGAN TENGLAMALAR
UCHUN BOSHLANGʻICH-CHEGARAVIY MASALALAR
Sarsenbaeva Gozzal Worazbay qızı
QDU assistenti
Annotatsiya.
To‘lqin tenglamasining umumlashgan yechimi va shu tenglamaga mos Koshi
masalasi, to‘lqin tenglamasi uchun boshlangʻich-chegaraviy masalaning Sobolev sinfidagi yechimi
tadqiq etildi va yangi natijalar olindi.
Boshlangʻich-chegaraviy masalaning umumlashgan yechimining silliqligi va shuning
natijasida klassik yechiming mavjudligi va yagonaligi isbot qilindi, hamda natijalar bir nechta
teoremalar shaklida keltirildi.
Kalit so’zlar:
Boshlangʻich-chegaraviy masala, elliptik operatorlar qatnash-gan
masalaning turlari, elliptik tipdagi masalalar, umumlashgan yechimning mavjudligi, Sobolev
fazosi, umumlashgan yechimning silliqligi.
(
)
l
H
G
Sobolеv fazosi.
Avval biz
G
yopiq chеgaralangan sohada
l
marta
uzluksiz differensiallanuvchi boʻlgan
( , , )
u x y z
funksiyalarning
1
2
2
0
( , , )
l
G
u
D u x y z
d xd yd z
norma bilan kiritilgan
(
)
l
H
G
normallangan fazosini qaraymiz.
Bu norma boʻyicha
(
)
l
H
G
normallangan fazoning toʻldirilmasi
(
)
l
H
G
orqali
bеlgilanadi.
( , , )
(
)
l
n
u
x y z
H
G
kеtma–kеtlik
(
)
l
H
G
fazoda fundamеntal kеtma–
kеtlik boʻlsin, ya’ni
,
n m
da
(
)
0
l
n
m
H
G
u
u
boʻlsin. Ma’lumki,
(
)
l
H
G
fazodagi norma
2
2
2
(
)
(
)
0
l
H
G
L
G
l
u
D u
shaklida boʻlganligi uchun
0, 1, ... ,
l
boʻlgan har bir
multiindеks uchun
n
D u
kеtma–kеtlik
2
(
)
L
G
fazoda fundamеntal kеtma–kеtlikdan iborat boʻladi.
2
(
)
L
G
fazoning toʻla ekanligidan bu fazoda biz
, 0
D u
l
orqali
bеlgilaydigan elеmеntlar mavjud boʻlib, bunda
n
da oʻrtacha ma’noda
n
D u
D u
yaqinlashuvchi boʻladi. Agar
0
boʻlsa, u holda
D u
elеmеntga
umumlashgan хususiy hosila
dеb aytiladi.
1
2
3
(
,
,
)
boʻlsin. U holda
110
7.1
2
9
3
1
2
1
2
3
,
(
,
,
)
u
D u
x
y
z
boʻladi. Bu
(
)
l
H
G
fazo
2
(
)
(
)
0
,
,
l
H
G
L
G
l
u
D u D
skalyar koʻpaytmaga nisbatan Gilbеrt fazosidan iborat boʻladi.
S.L. Sobolеvning joylashish haqidagi quyidagi tеorеmasi oʻrinlidir.
1–tеorеma (S.L. Sobolеv tеorеmasi).
3
G
R
bir bogʻlamli chеgara-langan
soha boʻlib, uning chеgarasi
G
esa
l
marta uzluksiz differensiallanuvchi boʻlsin,
bunda
2
l
. U holda
(
)
l
H
G
fazo
2
(
)
l
C
G
fazoda joylashgan boʻladi.
Har bir
s
N
son
2
2
(
)
(
),
(
),
s
H
f
L
D
f
L
s
tеnglik bilan aniqlangan fazo boʻladi, bunda
D
f
taqsimot boʻlib,
f
taqsimotni
differensiallash natijasida hosil qilingan. Bu fazoda
f
va
g
elеmеntlarning skalyar
koʻpaytmasi
(
,
)
( )
( )
s
a
s
f g
D
f x D g x d x
formula orqali aniqlanadi.
Umumlashgan
funksiyalarning
silliqligi.
Umumlashgan
yechimning
silliqligini oʻrganilishida birinchi va ikkinchi ((2.2.5)
0
chegaraviy shartlarda)
aralash masalalar uchun (2.2.1) toʻlqin tenglamasining ((2.2.1) da
1,
0
k
a
)
xususiy tenglama holatini qarash bilan cheklanamiz, tenglama va
funksiyalarining
koeffitsientlarining silliqligi ham umumiy holatda xuddi shunday natijalar ushbu
usul bilan oʻrnatiladi. [10]
Aytaylik,
( , )
u x t
- toʻlqin tenglamasi uchun birinchi va ikkinchi aralash
masalaning umumlashgan yechimi boʻlsin
( , )
tt
u
u
f x t
,
(1)
0
( )
t
u
x
,
0
( )
t t
u
x
,
(2)
va yoki ikkinchi aralash masalada
0
t
u
.
(3)
111
7.1
2
9
(1)–(3) va (1), (2), (4) masalalari umumlashgan (yagona) yechimga ega, agar
2
(
)
L
D
,
2
(
)
T
f
L
Q
boʻlsa,
funksiya boʻlsa, birinchi masalada
0
1
(
)
t
H
D
fazoga
yoki ikkinchi masalada
1
(
)
H
D
fazoga tegishli. Bundan
( , )
u x t
umumlashgan
yechimlarning har biri
1
(
)
T
H
Q
da quyidagi qatorga keltiriladi
1
( , )
( )
( )
k
k
k
u x t
U
t v
x
(5)
bunda
( )
cos
sin
k
k
k
k
k
k
U
t
t
t
0
1
( ) sin
(
)
,
1, 2,...
t
k
k
k
f
t
d
k
(6)
(ikkinchi aralash masalada
1
1
1
1
0
( )
(
)
( )
t
U
t
t
t
f
d
1
1
1
0
0
1
lim
cos
sin
( ) sin
(
)
t
t
t
f
t
),
2
2
(
)
(
)
( ,
)
,
(
,
)
k
k
L
D
k
k
L
D
v
v
,
( )
( , )
( )
,
1, 2,....,
t
k
k
D
f
t
f x t v
x dx
k
(7)
1
2
,
,...
v v
va
1
2
,
,...
lar umumlashgan oʻziga funksiyalar va mos oʻziga xos birinchi
((1) – (3) masalalarga qaralsa) yoki ikkinchi ((1), (2), (4) masalalarga qaralsa)
qiymatlar ketma-ketligi
D
da Laplas operatori uchun chegaraviy masala ( birinchi
chegaraviy masalada barcha
1, 2, ...
k
larda
0
k
, ikkinchi chegaraviy masalalarda
2, 3,...
k
da
0
k
va
1
0
, chunki,
1
1 /
v
const
D
).
Aytaylik, ba’zi
1
s
da
D
sohasining
D
chegarasi
s
C
sinfiga tegishli. U
holda, Laplas operator uchun birinchi va ikkinchi chegaraviy masalaning
( )
k
v
x
,
1, 2, ...
k
oʻziga xos funksiyalari mos
(
)
s
D
H
D
va
(
)
s
N
H
D
fazolariga tegishli, ya’ni
(
)
s
H
D
ga tegishli va
D
da birinchi chegaraviy masala uchun quyidagi chegaraviy
shartlarni qanoatlantiradi
112
7.1
2
9
1
2
...
0,
1, 2,...,
s
k
k
D
D
v
v
k
ikkinchi chegaraviy masalada
1
s
da quyidagi chegaraviy shartlar bilan
1
2
...
0,
1, 2, ...,
s
k
k
D
D
v
v
k
n
n
Eslatib oʻtamiz
1
1
(
)
(
)
N
H
D
H
D
.
Aytaylik, (1)-(3) birinchi aralash masalalarda
(
)
s
D
H
D
,
1
(
)
s
D
H
D
,
f
boʻlsa
1
(
)
s
T
H
Q
fazoning
1
(
)
s
D
T
H
Q
qismfazosiga tegishli
1
s
da barcha
1
(
)
s
T
f
H
Q
funksiyalardan tashkil topgan, ba’zi
1
2
...
0.
T
T
s
f
f
Bunda
1
s
,
1
0
2
(
)
(
)
(
)
s
D
T
D
T
T
H
Q
H
Q
L
Q
.
(1), (2), (4) ikkinchi aralash masalada
(
)
s
N
H
D
,
1
(
)
s
N
H
D
deb,
f
boʻlsa
1
(
)
s
T
H
Q
fazoning
1
(
)
s
N
T
H
Q
qismfazosiga tegishli
2
s
da barcha
1
(
)
s
T
f
H
Q
funksiyalardan tashkil topgan, ba’zi
1
1
2
...
0 .
T
T
s
f
f
n
n
bunda
2
s
da
1
1
1
(
)
(
)
(
)
s
N
T
N
T
T
H
Q
H
Q
H
Q
,
1
s
da
1
0
2
(
)
(
)
(
)
s
N
T
N
T
T
H
Q
H
Q
L
Q
.
2-teorema.
Aytaylik, ba’zi
1
s
da
s
D
C
va (1)-(3) birinchi aralash
masalalarda
(
)
s
D
H
D
,
1
(
)
s
D
H
D
,
1
(
)
s
D
T
f
H
Q
,
(1), (2), (4) ikkinchi aralash
masalalarda boʻlsa
(
)
s
N
H
D
,
1
(
)
s
N
H
D
,
1
(
)
s
N
T
f
H
Q
boʻlsin. U holda (5)
qator
(
)
s
t
H
D
da
( , )
u x t
umumlashgan yechimga
0,
t
T
boʻyicha tegis
yaqinlashadi. Bundan tashqari, ixtiyoriy
1,...,
p
s
uchun (5) qatordan
t
boʻyicha
p
-marta hadlarida differensiallanuvchi,
(
)
s
p
t
H
D
da
0,
t
T
boʻyicha tegis
yaqinlashuvchi qator hosil boʻladi va barcha
0,
t
T
uchun quyidagi tenglik oʻrinli
113
7.1
2
9
2
0
1
(
)
(
( )
( ))
s
p
t
p
s
k
k
p
p
k
H
D
U
t v
t
t
1
1
2
2
(
)
(
)
(
)
s
s
s
T
H
D
H
D
H
Q
C
f
.
(8)
1-xulosa.
Aytaylik ba’zi
1
s
da
s
D
C
va (1)-(3) birinchi aralash
masalalarda
(
)
s
D
H
D
,
1
(
)
s
D
H
D
,
1
(
)
s
D
T
f
H
Q
, (1), (2), (4) ikkinchi aralash
masalalarda boʻlsa
(
)
s
N
H
D
,
1
(
)
s
N
H
D
,
1
(
)
s
N
T
f
H
Q
.
U holda bu
masalalardan har birining umumlashgan yechimi
(
)
s
T
H
Q
ga tegishli va (5) qator
(
)
s
T
H
Q
da unga yaqinlashadi
.
1-lemma.
Agar
(
)
q
T
f
H
Q
,
0
q
va
2
(
)
g
L
D
boʻlsa, u holda funksiya
( )
( , ) ( )
t
D
h t
f x t g x dx
(0, )
q
H
T
ga tegishli va quyidagi tenglik oʻrinli
( )
( , )
( )
,
0
t
p
p
p
p
D
h t
f x t
g x d x
p
q
t
t
.
2-lemma.
Agar ba’zi
1
s
da (1)-(3) birinchi aralash masalalarda
s
D
C
va
(
)
s
D
H
D
,
1
(
)
s
D
H
D
,
1
(
)
s
D
T
f
H
Q
yoki (1), (2), (4) ikkinchi aralash
masalalarda
(
)
s
N
H
D
,
1
(
)
s
N
H
D
,
1
(
)
s
N
T
f
H
Q
boʻlsa, u holda ixtiyoriy
p
s
da
2
1
( )
p
s
p
k
k
p
k
U
t
t
qator
0,
t
T
boʻyicha tekis yaqinlashuvchi, va
1
1
2
2
2
(
)
(
)
(
)
1
( )
s
s
s
T
p
s
p
k
k
p
H
D
H
D
H
Q
k
U
t
C
f
t
,
(9)
bunda
0
C
faqat
T
Q
ga bogʻliq oʻzgarmas.
2-xulosa.
Aytaylik,
2
D
C
va
1
(
)
T
f
H
Q
boʻlsin, (1)-(3) masalalarda
2
(
)
D
H
D
,
1
(
)
D
H
D
va, (1), (2), (4) masalalarda boʻlsa
2
(
)
N
H
D
,
1
(
)
N
H
D
boʻlsin. U holda
0,1, 2
p
uchun
p
-marta
t
boʻyicha hadlarida
differensiallanuvchi (5) qatordan
2
(
)
p
t
H
D
da
0,
t
T
boʻyicha tekis
yaqinlashuvchi qator olinadi va (5) qatordagi
( , )
u x t
yigʻindi (1)-(3) yoki (1), (2), (4)
114
7.1
2
9
masalalarning mos deyarli hamma joydagi yechimi boʻladi. Bundan barcha
0,
t
T
uchun
2
s
da (8) tengsizlik oʻrinli.
3-teorema.
Aytaylik
3
2
n
D
C
boʻlsin, va (1)-(3) masalalarda
3
2
(
)
n
D
H
D
,
2
2
(
)
n
D
H
D
,
2
2
(
)
n
D
T
f
H
Q
va (1), (2), (4) masalalarda boʻlsa
3
2
(
)
n
N
H
D
,
2
2
(
)
n
N
H
D
,
2
2
(
)
n
N
T
f
H
Q
boʻlsin. U holda (5) qator
2
(
)
T
C
Q
da yaqinlashuvchi va uning
( , )
u x t
yigʻindisi mos qoyilgan masalaning klassik
yechimi boʻladi. Bunda quyidagi tengsizlik oʻrinli
1
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
,
0,1, 2.
n
n
n
p
p
p
p
T
T
C
Q
H
D
H
D
H
Q
u
C
f
p
(10)
Sobolev sinfida juft tartibli elliptik tenglamalar uchun chegaraviy
masalaning umumlashgan yechimining silliqligi.
n
G
R
n
– oʻlchovli chegaralangan sohada
=
( )
=
( ) ,
m
L u
u
a x u
f x
x
G
(11)
juft tartibli elliptik tenglama berilgan, bunda koeffitsientlari haqiyqiy qiymatga ega
va barcha
x
G
uchun
( )
(
)
a x
C G
,
( )
0
a x
shartini qanoatlantiradi. Umuman
olganda tenglamaning
( )
u x
yechimi va
( )
f x
ozod hadi kompleks qiymatga ega
boʻlishi mumkin.
Agar
2
1
2
2
(
)
(
)
m
m
C
G
C
G
sinfdagi
( )
u x
funksiya
G
da (11) tenglamani va
G
chegarasida
2
1
2
2
1
2
= 0,
= 0,...,
= 0.
m
x
G
m
x
G
x
G
u
u
u
n
n
(12)
shartlarini qanaotlantirsa, u holda bu
( )
u x
funksiya (11) tenglama uchun Dirixle
masalasining klassik yechimi deyiladi. Agar
2
2
2
(
)
(
)
m
m
C
G
C
G
sinfdagi
( )
u x
funksiya
G
da (11) tenglamani va
G
chegarasida
2
1
2
2
1
2
= 0,
= 0,...,
= 0.
m
x
G
m
x
G
x
G
u
u
u
n
n
(13)
115
7.1
2
9
chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi
( )
u x
funksiya
G
sohada (11) tenglama
uchun Rike masalalarining klassik yechimi deyiladi.
1
k
uchun
(
)
k
H
G
fazoning
1
2
1
2
= 0,
= 0,...,
= 0.
k
x
G
k
x
G
x
G
u
u
u
n
n
(14)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi barcha
f
funksaiyalaridan tuzilgan
qismfazosini
0
(
)
k
G
H
deb belgilaymiz.
1
k
uchun
(
)
k
H
G
fazoning
1
2
= 0 ,
= 0 ,...,
= 0 .
k
x
G
x
G
x
G
u
u
u
(15)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi barcha
f
funksaiyalaridan tuzilgan
qismfazosini
(
)
k
D
H
G
deb belgilaymiz.
2
(
)
f
L
G
boʻlsin.
0
(
)
m
G
H
fazoga tegishli va barcha
0
(
)
m
v
G
H
da
1
1
1
1
...
=
1
1
1
!
...
=
! ...
!
...
...
m
m
n
m
m
m
m
G
n
n
n
m
m
m
n
n
n
m
u
v
d x
d x
m
m
x
x
x
x
1
=
...
n
G
f vd x
d x
(16)
integral aniyatini qanoatlantiruvchi
u
funksiyani (11), (12) Dirixle masalasining
umumlashgan yechimi deb ataymiz.
(
)
m
D
H
G
ga tegishli, barcha
(
)
m
D
v
H
G
da
(3.3.16) integral aniyatini qanoatlantiruvchi
u
funksiyasini (11), (13) Rike
masalasining umumlashgan yechimi deb ataymiz.
Quyidagi teorema oʻrinli.
4-teorema.
m
G
C
boʻlsin. Agar
2
(
)
m
C
G
sinfga tegishli
( )
u x
(11), (12)
masalaning (mos ravishda (11), (13) masalaning) klassik yechimi boʻlsa, u holda bu
( )
u x
funksiya ushbu masalalarning umumlashgan yechimi boʻladi.
(12) shartli va (mos ravishda (13) shartli)
=
( ) ,
m
L u
u
a x u x
G
(17)
operator uchun umumlashgan xos funksiyalarini aniqlash mumkin.
116
7.1
2
9
5-teorema.
m
G
C
boʻlsin. Agar
( )
s
u x
H
boʻlib,
> 2
2
n
s
m
boʻlganida
(12) shartli (mos ravishda (13) shartli)
=
( ) ,
m
L u
u
a x u x
G
(18)
operator uchun umumlashgan xos funksiyasi klassik xos funksiya boʻladi.
Adabiyotlar:
1.
Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.//
М.: Наука, 1983 год. 424 стр.
2.
Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука, 1969.
528 стр.
3.
Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.
Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы.
М.: Наука, 1970. 672 стр.
4.
Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. М.:
Наука, 1988. 432 стр.
5.
Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений.
Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы.
М.: Наука, 1979. 400 стр.
6.
Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физики. М.:
Наука, 1979. 280 стр.
7.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука,
1965. 328 стр.
8.
Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука,
1973. 408 стр.
