RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
180
IKKI TEZLIKLI MUHITNING HARAKAT TENGLAMALAR SISTEMASI
TURDIYEV ULUGBEK QAYUMOVICH
f –m.
f. f.d (PhD).
ATMU “Matematika” kafedrasi dotsent v.b.
YO'LDOSHEV ILHOM G'AYRAT O'G'LI
magistrant.
ATMU.
Annotatsiya.
Ushbu maqolada olingan matematik modellarning ikki tezlikli muhit harakati
modelining tenglamalar sistemasi energiya dissipatsiyasini hisobga olmagan holda to‘liq keltirib
chiqarilgan.
Kalit so’zlar.
tenzor, geterofazoviy, kvazichiziqli, impuls, kontinum argument, orttirma,
ekvivalent, invariant.
Ikki tezlikli muhitning termodinamik mutanosib qaytar harakat tenglamalarida saqlanish
qonunlari va termodinamika prinsiplari yordamida ishda tadqiq etiluvchi ikki tezlikli muhit harakati
modelining tenglamalar sistemasi energiya dissipatsiyasini hisobga olmagan holda to‘liq keltirib
chiqarilgan.
Qaralayotgan muhitlar uchun holat tenglamalari olingan. Bundan tashqari, harakat
tenglamalari elastik g‘ovak karkas va to‘ldiruvchi suyuqlik tezliklariga nisbatan chiziqlashtirilgan
[1], [2].
Quyidagi belgilashlarni kiritaylik:
s
l
r r r
= + -
muhit zichligi, bu yerda
s
r
va
l
r
-
mos ravishda asos (karkas) va suyuqlik
qismiy zichliklari;
( )
i
u
u
va
( )
i
v
-
v
mos ravishda asos (karkas) va suyuqlik tezliklari;
= - -
w u v
nisbiy tezlik;
p
-
suyuqlik bosimi;
,
i
ik
j
d d
-
Kroneker belgilari;
i
-
e
asosning deformatsiyasi reperi;
j
-
e
qo‘shma reper,
( , )
i
i
j
j
d
=
e e
;
g
( , )
ij
i
j
=
-
e e
asosning metrik tenzor deformatsiyasi;
s
-
solishtirma entropiya;
m
-
ximik potensial;
0
0
( )
E e
-
muhit (g‘ovak asos+g‘ovakdagi suyuqlik) ning bir hajm birligidagi (bir massa
birligidagi) energiyasi;
ij
h
-
energiyadan
ij
g
metrik tenzor bo‘yicha olingan hosila;
T
-
temperatura.
Massa, entropiya va impuls saqlanish qonunlarining o‘rinli bo‘lishini talab qilamiz:
div
0,
div
0,
0.
i
k
ik
t
S
t
j
t
r
¶
+
=
¶
¶
+
=
¶
¶
+ ¶ P =
¶
j
F
(1)
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
181
Bu tenglamalarda:
-
j
hajm birligidagi impuls,
-
F
entropiyaning qaytar oqimi,
ik
P -
impuls oqimi zichligining tenzori – hozircha aniqlanmagan.
G‘ovak muhit deformatsiyasi ushbu
( , ) 0,
( , ).
g
t
a
a
ab
a
b
¶
+
=
=
¶
e
u e
e e
(2)
tenglamalar bilan tavsiflanadi.
Faraz qilamizki, g‘ovak muhitdagi suyuqlik harakati tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lsin:
(
)
,
d
dt
t
r
r
r
a m b T
¶
=
+
=
+
¶
v
v
v
v
.
(3)
Bu yerda
a
va
b
lar ushbu
, ,
S
g
ab
r
o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘lib, ular aniqlanishi
kerak.
(1)-(3) tenglamalardagi
, ,
ik
P
j F
qaytar oqimlar tezliklar va termodinamik miqdorlarning
funksiyasi bo‘lishi mumkin xolos. Bu
, ,
ik
P
j F
qaytar oqimlarni aniqlash uchun ularning
qiymatlarini suyuqlik zarrachasi qo‘zg‘almas bo‘lgan koordinatalar sistemasidagi mos qiymatlari
bilan bog‘lovchi Galiley almashtirishlaridan foydalanamiz. Quyidagi munosabatlar saqlanish
qonunlarini Galiley almashtirishiga nisbatan invariantligini ta’minlaydi:
(
)
2
0
0
0
0
0,
0,
0,
, ,
,
,
2
;
ik
ik
i k
i
k
k
i
E E
S
v v
v j
v j
r
r
r
=
+
+
= +
=
+
P = P
+
+
+
v
v j
j j
v F F
v
(4)
bu yerda nol-indeks
miqdorlarning suyuqlik zarrachasi qo‘zg‘almas bo‘lgan koordinatalar
sistemasidagi qiymatlariga mos keladi.
Hisoblashlar
,
S
a r b
=-
=-
ekanligini ko‘rsatadi.
Saqlanish qonunlari (1) va (2), (3) tenglamalar natija sifatida ushbu
div
0,
E
t
¶
+
=
¶
Q
(5)
energiyaning saqlanish qonunining bajarilishini ta’minlaydi. Bu yerda
-
Q
qaytar energiya oqimi
bo‘lib, (4) formulalarga asosan quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
(
)
(
)
2
2
0
0
0
0
0
,
,
2
2
E
r
=
+
+
+
+
+ P
v
v
Q Q
j v
v
j
v
yoki
(
)
(
)
2
0
,
,
2
TS
h
a
b
ab
m
r
=
+
+
+
+
v
Q
j
j u u j
e u e
.
Hajm birligidagi impuls
j
, entropiyaning qaytar oqimi
F
va impuls oqimi zichligining
tenzori
ik
P
lar uchun quyidagi formulalarni olamiz: [3], [4]
,
,
,
.
s
l
i k
s i k
l i k
ik
k i
S
u u
v v
p
h e e
a b
ab
r
r
r
r
r
d
=
+
=
P =
+
+
+
j
u
v F
j
Shunday qilib, ikki tezlikli kontinium uchun elastik deformatsiyani hisobga olib, energiya
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
182
dissipatsiyasini esa hisobga olmay to‘la tenglamalar sistemasi (qaytar gidrodinamik yaqinlashish)
keltirib chiqarildi:
( )
div
0,
,
( ) div
0,
s
l
t
s
s
t
r
r
r
r
¶
+
=
=
¶
¶
+
=
¶
j
j
u + v
j
(
)
0 ( ,
1,2,3),
i
k
s i k
l i k
ik
ij jk
j
u u
v v
p
h g
i k
t
r
r
d
¶
+ ¶
+
+
+
=
=
¶
(6)
(
)
2
,
,
2
2
0,
det( ),
s
ik
ik
ik
kj i j
ij k j
j j ik
s
ik
p
h
g
t
g
g u
g u u g
t
const
g
r
r
r
r
r
¶
+
= -
+
-
¶
¶
+
¶
+ ¶
+ ¶
=
¶
=
v
v
v
w
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
2
, , ,
,
,
,
( ,
)
.
2
ik
s
ik
ik
e e
s
g
p
h
de
d
Tds
d
dg
r
r
r
r
r
r
=
=
=
=
+
+
+
i
j
w i j
w i
Bu yerda
(
)
0
0
0
, , ,
ik
e e
s g
r
=
-
i
muhitning holat tenglamasi (u berilgan deb hisoblanadi),
s
-
entropiya,
0
e
,
e
-
energiyalar va
0
-
i
impuls massa birligiga keltirilgan:
0
0
0
0
0
,
,
,
.
s S
e E
e E
r
r
r
r
=
=
=
=
i j
Fenomenologik nazariyada
(
)
0
0
, , ,
ik
e
s g
r
i
holat tenglamasi keltirib chiqarilmaydi, u
muhitning tuzilishiga bog‘liq bo‘ladi va, ma’lum darajada, tajribalarda aniqlanadi. Lekin,
(
)
0
0
, , ,
ik
e
s g
r
i
funksional munosabatga nisbatan ba’zi farazlar qilib birinchi yaqinlashish
formulasini topish mumkin. Ko‘p hollarda, masalan, tovush to‘lqinlari tarqalishi nazariyasida,
yaxshi natijalar beruvchi Guk yaqinlashishidan foydalanib, quyidagi birinchi yaqinlashish formulasi
topilgan: [5], [6]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
0
0
1
2
1
0
0
0
2
0
0
0
2
2
2
2
3
0
0
1
0
0
3
0
, , ,
const
4
2
1
2
2
2
ik
s
K
e
s
g
I
I
I
T s s
K
s s
s s
l
m
r
r r
dr
r
r
a
r
a
r r
a r r
r
r
=
+
+
-
-
+
-
+
+
+
-
+
-
+
-
-
+
i
w
bu yerda
(
)
(
)
(
)
1
2
,
,
2
3
ik
ik
ik
ik jm
im
im
ik
jk
I
g
I
g
g
K
d
d
d d
d
d
l
m
=
-
=
-
-
= +
boshqa koeffitsiyentlar esa tajribalar orqali topilishi mumkin.
1. Куликовский А.Г., Свешников Е.И., Чугайнова А.П. Математические методы
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
183
изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнении,
Москва -2010, 122с.
2. Турдиев У. К., Кодиров Ф. Э. Задача Коши Для Одномерной Системы Уравнений
Типа Бюргерса Возникающей В Двухскоростной Гидродинамике //Инновации в
технологиях и образовании: сб. ст. участников XI Между. – 2018. – С. 349.
3. Turdiyev U., Imomnazarov K. A system of equations of the two-velocity hydrodynamics
without pressure //AIP Conference Proceedings. – AIP Publishing, 2021. – Т. 2365. – №. 1.
4. Турдиев У. К. Система уравнений типа Римана, возникающая в двухжидкостной
среде: Система уравнений типа Римана, возникающая в двухжидкостной среде
//MODERN PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLIED MATHEMATICS. – 2024. –
Т. 1. – №. 01.
5. Turdiev U. K., Kh I. K. Riemann-type system of equations arising in a two-fluid medium
//Abstr. Int. Conf. Inverse and Ill-Posed Problems (Oct. 2–4, 2019, Samarkand, Uzbekistan).
– 2019. – С. 119-120.
6. Turdiev U. K. Imomnazarov Kh. Kh. A system of equations of the Riemann type arising in
a two-fluid medium //Int. Conf.“Inverse and ill-posed problems. – 2019. – С. 119-120.
