RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
193
О КРИВИЗНЕ ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ В ТРЕХМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
ТУРСУНОВ БАЙРАМАЛИ АКБАРОВИЧ
УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И МЕНЕЖМЕНТА
БУРОНОВА САХИДА АБРОРЖОН КИЗИ
УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И И МЕНЕЖМЕНТА,
МАГИСТРАНТ
РАХИМОВА ДИЛНОЗА СУЮНОВНА
УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И МЕНЕЖМЕНТА,
МАГИСТРАНТ
АННОТАЦИЯ.
В ЭТОЙ РАБОТЕ ПОКАЗАН ДРУГОЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ В ТРЕХМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ.
КЛЮЧЕВОЙ СЛОВА.
СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИТА, ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС,
ГАУССОВА КРИВИЗНА, СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНА
ПУСТЬ
M
-ГЛАДКОЕ РИМАНОВО МНОГООБРАЗИЕ РАЗМЕРНОСТИ
n
,
g
-
РИМАНОВА МЕТРИКА,
p
T M
-КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО В ТОЧКЕ
p M
,
-
СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИТА, ОПРЕДЕЛЕННАЯ РИМАНОВОЙ МЕТРИКОЙ
g
.
ОБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ
( )
V M
МНОЖЕСТВО ВСЕХ ГЛАДКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ,
ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА
M
. ВСЮДУ В РАБОТЕ ГЛАДКОСТЬ ОЗНАЧАЕТ ГЛАДКОСТЬ
КЛАССА
C
.
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
R
СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТА
D
ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КАК
ОТОБРАЖЕНИЕ
: ( )
( )
( )
( ),
R V M V M V M
V M
®
ПО ФОРМУЛЕ
[ , ]
( , )
X
Y
Y
X
X Y
R X Y Z
Z
Z
Z
=
-
-
ГДЕ
[ , ]
X Y
-СКОБКА ЛИ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
,
X Y
. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
R
ЯВЛЯЕТСЯ ТЕНЗОРОМ ТИПА (3,1).
ПУСТЬ
X
,
Y
-ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ,
s
-ДВУМЕРНАЯ
ПЛОСКОСТЬ, ПОРОЖДЕННАЯ ПАРОЙ
X
,
Y
. ПЛОСКОСТИ
s
СОПОСТАВИМ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
K
s
.
(
)
2
2
2
,
,
,
,
R X Y Y X
K
X Y
X Y
s
=
-
ГДЕ
,
X Y
-СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЕННОЕ РИМАНОВОЙ
МЕТРИКОЙ
g
. ВЕЛИЧИНА
K
s
НАЗЫВАЕТСЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНОЙ ПО
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
194
ОТНОШЕНИЮ К ПЛОСКОСТИ ИЛИ КРИВИЗНОЙ В ДВУМЕРНОМ НАПРАВЛЕНИЮ
.
s
МНОГООБРАЗИЕ НАЗЫВАЕТСЯ МНОГООБРАЗИЕМ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ,
ЕСЛИ
0
K
s
ДЛЯ ВСЕХ
.
s
ПУСТЬ
:
f M
R
®
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ БЕЗ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК. ТОГДА
ДЛЯ КАЖДОГО ЗНАЧЕНИЯ
c R
ПОЛНЫЙ ПРООБРАЗ
1
( )
N f c
-
=
ЯВЛЯЕТСЯ
ПОДМНОГООБРАЗИЕМ РАЗМЕРНОСТИ
1.
n
-
ПУСТЬ
p N
,
p
T N
s
-ПЛОСКОСТЬ, ДЛЯ КОТОРОГО ВЕКТОРЫ
u
,
v
ЯВЛЯЕТСЯ ОРТОНОРМИРОВАННЫМ БАЗИСОМ. ТОГДА ДЛЯ СЕКЦИОННЫХ
КРИВИЗН
k
s
,
k
s
%
СООТВЕТСТВЕННО МНОГООБРАЗИЙ
N
,
M
СВЯЗАНЫ
ФОРМУЛОЙ
(
)
2
( , )
( , )
1
det
( , )
( , )
grad
f
f
f
f
h u u
h u v
k
k
h u v
h v v
f
s
s
=
+
%
(1)
ГДЕ,
( , )
,
f
u
h u v
Z v
=
И
grad
Z
f
=
.
ГАУССОВА КРИВИЗНА ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ СОВПАДАЕТ С
СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНОЙ В ДВУМЕРНОМ НАПРАВЛЕНИИ.
РАССМОТРИМ ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ ТИПА (0,1)
,
X
X
Z
t
®
ГДЕ
X
-ВЕКТОРНОЕ
ПОЛЕ, КАСАТЕЛЬНОЕ К МНОГООБРАЗИЮ
1
( )
N f c
-
=
,
Z gradf
=
-ГРАДИЕНТ
ВЕКТОР ФУНКЦИИ
f
,
X
Z
t
-КАСАТЕЛЬНАЯ КОМПОНЕНТА ВЕКТОРА
.
X
Z
ЭТО
ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ ЗАДАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
A
, КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
ГЕССИАНА ФУНКЦИИ
f
.
ПУСТЬ
( )
c l
- ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ МАТРИЦЫ
A
СО
СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ
( 1) det .
n
A
-
ОПРЕДЕЛИМ ПОЛИНОМ
( )
r l
ТОЖДЕСТВОМ
( ) det
( 1) ( ).
n
A
lr l
c l
=
- -
В СИЛУ ИЗВЕСТНОГО ТОЖДЕСТВА
( ) 0
A
c
=
ИМЕЕМ
( ) det
.
A A
A E
r
=
В ЛЮБОМ БАЗИСЕ МАТРИЦА
( )
c
A
A
r
=
ИЗОБРАЖАЕТСЯ
МАТРИЦЕЙ, ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРОЙ СУТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ К
СООТВЕТСТВУЮЩИМ ЭЛЕМЕНТАМ МАТРИЦЫ
A
. ГАУССОВА КРИВИЗНА
ПОДМНОГООБРАЗИЯ
N
ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
1
1
,
||
||
c
n
G
A f f
f
+
=
(2)
ПОСКОЛЬКУ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В
3
R
ГАУССОВА И СЕКЦИОННАЯ
КРИВИЗНЫ СОВПАДАЮТ, ФОРМУЛА (2) ОКАЗЫВАЕТСЯ В ЭТОМ СЛУЧАЕ
УДОБНЫМ СРЕДСТВОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ. ПРИ ЭТОМ НЕТ
НАДОБНОСТИ ЯВНО НАХОДИТЬ КАКИЕ-ЛИБО КАСАТЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ.
ПРИМЕР.
РАССМОТРИМ
ПОВЕРХНОСТЬ
( , , )
,
f x y z
C
=
ГДЕ
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
195
2
2
2
( , , )
f x y z
x
y
z
=
+
-
,
C
-
НЕКОТОРОЕ
ЗНАЧЕНИЕ
ФУНКЦИИ,
{2 ,2 , 2 }.
Z gradf
x y
z
=
=
-
РАССМОТРИМ
ВЗАИМНО
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
ВЕКТОРНЫЕ
ПОЛЯ,
{ , ,0},
X
y x
= -
2
2
{ , ,
}
Y
xz yz x
y
=
+
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ГРАДИЕНТУ. ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ ПО ФОРМУЛЕ (1), ПОЛОГАЯ
,
| |
X
u
X
=
| |
Y
v
Y
=
ПОЛУЧИМ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
УЧИТЫВАЯ
СВОЙСТВА
КОВАРИАНТНОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ПОЛУЧАЕМ, ЧТО
| |
1
,
, ,
| |
| || |
X
X
X
Y
Z
Z Y
Y
X Y
=
2
1
( , )
,
,
,
| |
f
u
h u u
Z u
AX X
X
=
=
1
( , )
,
, ,
| || |
f
u
h u v
Z v
AX Y
X Y
=
=
2
1
( , )
,
, .
| |
f
v
h v v
Z v
AY Y
Y
=
=
ТЕПЕРЬ НАХОДИМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, УЧАСТВУЮЩИЙ В ФОРМУЛЕ (1)
2
2
( , )
( , )
,
,
1
det
det
,
( , )
( , )
,
,
| | | |
f
f
f
f
h u u h u v
AX X
AX Y
h u v
h v v
AX Y
AY Y
X Y
=
ГДЕ, МАТРИЦА
A
ГЕССИАНА ФУНКЦИИ
f
.
В НАШЕМ ПРИМЕРЕ МАТРИЦА
A
ГЕССИАНА ФУНКЦИИ
f
ИМЕЕТ ВИД:
2 0 0
0 2 0 .
0 0
2
A
=
-
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ГАУССОВА КРИВИЗНА ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАВНА ПО
ФОРМУЛЕ (1) РАВНА
(
)
2
2
2
2
.
C
k
x
y
z
-
=
+
+
ТЕПЕРЬ ВЫЧИСЛИМ ГАУССОВУ КРИВИЗНУ ПОВЕРХНОСТИ
2
2
2
x
y
z
C
+
-
=
ПО ВТОРОЙ ФОРМУЛЕ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ДОСТАТОЧНО НАЙТИ МАТРИЦУ
c
A
И
ГРАДИЕНТ ВЕКТОР ФУНКЦИИ
f
. В НАШЕМ СЛУЧАЕ МАТРИЦА
c
A
ИМЕЕТ ВИД:
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
196
4 0 0
0
4 0 .
0
0 4
c
A
-
=
-
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПО ВТОРОЙ ФОРМУЛЕ (2) ДАЕТ ТОТ ЖЕ РЕЗУЛЬТАТ, НО
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОРАЗДО УДОБНЕЕ
(
)
2
2
2
2
.
C
k
x
y
z
-
=
+
+
ЛИТЕРАТУРА
1. DETLEF CROMOLL, GERARD WALSCHAP. METRIC FOLIATIONS AND CURVATURE.
BASEL-BOSTON-BERLIN. 2009.
2. БУРАГО Ю.Д., ЗАЛГАЛЛЕР В.А. ВВЕДЕНИЕ В РИМАНОВУ ГЕОМЕТРИЮ. СПБ.:
НАУКА, 1994. 318СТР.
3. КАТАНАЕВ М.О. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ.
МОСКВА, НАУКА, 2013.
4. НАРМАНОВ А.Я., ТУРСУНОВ Б.A. О ГЕОМЕТРИИ СУБМЕРСИЙ НАД ОРБИТОЙ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ КИЛЛИНГА. УЗБЕКИСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ. 2017,
№ 2, СТР.76-83
5. НАРМАНОВ А.Я., ТУРСУНОВ Б.A. О ГЕОМЕТРИИ СУБМЕРСИЙ НАД ОРБИТОЙ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ КИЛЛИНГА. «ALGEBRAIC AND GEOMETRIC METHODS OF
ANALYSIS» INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE «ALGEBRAIC AND
GEOMETRIC METHODS OF ANALYSIS» MAY 31 - JUNE 5, 2017. PP. 129-130.
6. ЗОЙИДОВ А. Н., ТУРСУНОВ Б. А. О ГЕОМЕТРИИ СУБМЕРСИЙ НА
МНОГООБРАЗИЯХ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ
КРИВИЗНЫ.
УЗБЕКСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, № 2, СТР. 27-34.
7. ГРОМОЛ Д., КЛИНГЕНБЕРГ В., МЕЙЕР В. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ.
МОСКВА, «МИР», 1971, 343 С.
1.
