INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 1, April 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
232
UO'K : 519.6 : 004.02
Abdullayev Shaxboz Solijon o‘g‘li
FarDU Axborot texnologiyalari kafedrasi dotsenti
shaxbozfardu2023@gmail.com
ORCID ID
Tursunaliyeva Sarvinoz G‘ulomjon qizi
Farg‘ona davlat universiteti Axborot tizimlari va texnologiyalari
yoʻnalishi I kurs talabasi
MATEMATIK ALGORITMLAR
Annotatsiya:
Ushbu ilmiy maqola matematik algoritmlar tushunchasini chuqur tahlil etishga
bag‘ishlangan bo‘lib, unda algoritmlarning nazariy asoslari, tasnifi, ishlash tamoyillari hamda
ularning amaliy sohalardagi o‘rni keng yoritilgan. Maqolada algoritmik fikrlashning zamonaviy
texnologik rivojlanishdagi ahamiyati, turli tahlil usullari, optimallashtirish yondashuvlari va
ularning murakkablik darajasiga ko‘ra baholanishi muhokama qilingan. Shu bilan birga,
matematik algoritmlarning dasturlash, kriptografiya, sun’iy intellekt, logistika, iqtisodiyot kabi
sohalardagi real qo‘llanilishiga doir misollar keltirilgan. Mazkur maqola ayniqsa dasturchilar,
muhandislar, ilmiy tadqiqotchilar va matematiklar uchun foydali bo‘lib, ularning nazariy va
amaliy bilimlarini kengaytiradi.
Аннотатция:
Данная научная статья посвящена глубокому анализу понятия
математических алгоритмов. В ней подробно освещаются теоретические основы
алгоритмов, их классификация, принципы работы, а также роль в различных прикладных
сферах. В статье обсуждается значимость алгоритмического мышления в условиях
современного технологического развития, различные методы анализа, подходы к
оптимизации и оценка по степени сложности. Кроме того, приведены примеры реального
применения математических алгоритмов в таких областях, как программирование,
криптография, искусственный интеллект, логистика и экономика. Настоящая статья будет
особенно полезна для программистов, инженеров, научных исследователей и математиков,
способствуя расширению их теоретических и практических знаний.
Annotation:
This scientific article is dedicated to an in-depth analysis of the concept of
mathematical algorithms. It thoroughly explores the theoretical foundations of algorithms, their
classification, principles of operation, and their role in various applied fields. The article
discusses the importance of algorithmic thinking in the context of modern technological
development, various analytical methods, optimization approaches, and evaluation based on
complexity. Additionally, it provides examples of the real-world application of mathematical
algorithms in areas such as programming, cryptography, artificial intelligence, logistics, and
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 1, April 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
233
economics. This article will be especially useful for programmers, engineers, researchers, and
mathematicians, as it contributes to the expansion of their theoretical and practical knowledge.
Kalit so‘zlar:
algoritm, matematik model, hisoblash nazariyasi, rekursiya, iteratsiya,
samaradorlik, vaqt murakkabligi, xotira murakkabligi, Greedy algoritm, dynamic programming,
divide and conquer.
Ключевые слова:
aлгоритм, математическая модель, теория вычислений, рекурсия,
итерация, эффективность, временная сложность, пространственная (памяти) сложность,
жадный алгоритм, динамическое программирование, метод "разделяй и властвуй".
Keywords:
Algorithm, mathematical model, theory of computation, recursion, iteration,
efficiency, time complexity, space (memory) complexity, greedy algorithm, dynamic
programming, divide and conquer.
Kirish
Hozirgi kunda insoniyat duch kelayotgan ko‘plab muammolarni hal qilishda aniq va
samarali algoritmlarga tayanmoqda. Algoritm — bu muammoni bosqichma-bosqich hal qilishga
yo‘naltirilgan, qat’iy qoidalarga asoslangan amallar ketma-ketligidir. Ayniqsa matematik
algoritmlar sonli, analitik, kombinatorik va boshqa murakkab masalalarning aniq yechimlarini
taqdim etishga xizmat qiladi. Ular nafaqat nazariy matematikada, balki informatika, texnika,
tibbiyot, iqtisodiyot, transport, muhandislik tizimlarida keng qo‘llaniladi.
Matematik algoritmlarni o‘rganish orqali foydalanuvchi algoritmik fikrlash malakalarini
shakllantiradi, ya’ni u har qanday muammoni mantiqiy tahlil qilish, uni kichik qismlarga ajratish
va izchil tarzda yechim topish qobiliyatiga ega bo‘ladi. Aynan shu jihat uni boshqa bilim
turlaridan ajratib turadi.
Maqolaning asosiy maqsadi — matematik algoritmlarning nazariy asoslarini ochib berish,
ularning turlarini ta'riflash, baholash mezonlarini ko‘rsatish va ularni real hayotdagi masalalarda
qanday ishlatishni misollar bilan tushuntirishdir. Ushbu tahlil orqali o‘quvchi algoritm yaratish
va uni samarali tahlil qilish ko‘nikmalarini rivojlantiradi.
Matematik algoritm tushunchasi va uning o‘rni
Algoritm — bu aniq va tugallangan qadamlar to‘plami bo‘lib, u ma’lum bir masalani hal etishga
xizmat qiladi. Matematik algoritmlar esa aynan matematik muammolarni hal etish uchun ishlab
chiqiladi. Bunday algoritmlar sonlar, algebraik ifodalar, matritsalar, kombinatorik strukturalar,
tenglamalar va boshqa matematik obyektlar ustida ishlaydi.
Masalan, Evklid algoritmi ikkita sonning eng katta umumiy bo‘luvchisini (EKUB) topish uchun
ming yillardan beri ishlatiladi va bugungi kunda ham samaradorligidan qolmagan.
Matematik algoritmlar quyidagi sohalarda muhim ahamiyatga ega:
Algebraik masalalarni hal qilish
Optimallashtirish muammolari
Statistika va ehtimollar nazariyasida
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 1, April 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
234
Chiziqli dasturlashda
Kriptografik tizimlarda
Algoritmlarning asosiy turlari va yechim strategiyalari
Chiziqli (Lineer) algoritmlar
Bu algoritmlar ketma-ket bajariladigan bosqichlardan iborat. Ularning murakkabligi odatda O(n)
bo‘lib, har bir element ustida bir marotaba amal bajariladi.
Tarmoqlanuvchi (Branching) algoritmlar
Bu algoritmlar shartlar orqali turli yo‘nalishlarga ajraladi. “If-else” operatorlari orqali amalga
oshiriladi.
Misol: Son musbatmi yoki manfiyligini tekshirish.
Takrorlanuvchi (Iterativ) algoritmlar
Bu algoritmlar biror amalni bir necha marotaba takrorlaydi (for, while, do-while).
Misol: 1 dan n gacha bo‘lgan sonlar yig‘indisini hisoblash.
Rekursiv algoritmlar
Rekursiya o‘zini o‘zi chaqiruvchi funksiyalar orqali masalani yechadi. Misol uchun, Fibonachchi
sonlarini topish.
Greedy (Ochko‘z) algoritmlar
Greedy algoritmlar har bir bosqichda eng yaxshi lokal variantni tanlab, umumiy yechimga
erishishga harakat qiladi. Biroq har doim optimal natija bermasligi mumkin.
Misollar:
Minimal tarmoqlarni topish (Kruskal yoki Prim algoritmlari)
Pul qaytimini qaytarish
Dynamic Programming (Dinamik dasturlash)
Bu usul masalani kichik submasalalarga bo‘lib, ularni qayta ishlatish orqali umumiy masalani hal
qiladi. Har bir yechim kesh (cache) yoki jadvalda saqlanadi.
Misol: minimum xarajatlar bilan marshrutni aniqlash.
Divide and Conquer (Bo‘lib va zabt etish)
Masalani bo‘laklarga bo‘lib, har birini alohida hal qilib, oxirida umumlashtiradi.
Misollar:
Merge Sort
Quick Sort
Binary Search
Algoritm samaradorligini tahlil qilish va murakkablik darajalari
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 1, April 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
235
Algoritmlarning samaradorligini baholash ularning tezligi va xotira sarfiga bog‘liq. Asosan
quyidagi murakkablik darajalari mavjud:
Vaqt murakkabligi (Time Complexity)
Bu ko‘rsatkich algoritm bajarilishi uchun ketadigan vaqtni baholaydi.
O(1)
— doimiy vaqtli
O(n)
— chiziqli vaqt
O(log n)
— logarifmik vaqt
O(n²)
— kvadratik murakkablik
Algoritm yaratish va baholash bosqichlari
Algoritm yaratish — bu ijodiy va mantiqiy jarayon. U quyidagi bosqichlarda amalga oshadi:
1. Masalani aniq tushunish
2. Matematik model yaratish
3. Muqobil yechim strategiyalarini ko‘rib chiqish
4. Algoritmni tanlash va rejalashtirish
5. Kodinga aylantirish
6. Test qilish (unit test, edge case test)
7. Samaradorlikni tahlil qilish
8. Hujjatlashtirish va optimallashtirish
Xulosa
Xulosa qilib aytganda, matematik algoritmlar nafaqat hisoblash va dasturlash
jarayonlarining, balki umumiy axborot texnologiyalarining ajralmas qismidir. Ular orqali biz
murakkab masalalarni aniqlik bilan, qat’iy ketma-ketlikda va optimal yechimga olib boruvchi
yo‘l bilan hal qilish imkoniyatiga ega bo‘lamiz. Har qanday algoritm samarali ishlashi uchun
uning vaqt va xotira murakkabligi puxta tahlil qilinishi lozim.
Zamonaviy algoritmlarning dinamik, greedy, divide and conquer kabi turlari dasturiy
ta’minotlardan tortib, sun’iy intellekt va katta ma’lumotlar (big data) tizimlarigacha bo‘lgan
barcha sohaga tadbiq qilinmoqda.
Shu bois, matematik algoritmlar bo‘yicha chuqur bilimga ega bo‘lish zamonaviy
mutaxassis uchun muhim kompetensiyadir. Bu sohada tadqiqotlar olib borish va yangi, samarali
algoritmlarni ishlab chiqish esa axborot texnologiyalari rivojiga katta hissa qo‘shadi.
Maqola yakunida shuni ta’kidlash joizki, har bir ilmiy izlanishda, har bir texnik yechimda,
har bir dasturiy tizimda — puxta ishlab chiqilgan matematik algoritm yotadi. Demak, ularni
o‘rganish — bu texnologiyalar kelajagini o‘rganish demakdir.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., Stein, C.Introduction to Algorithms (3rd
Edition), The MIT Press, 2009.
2. Knuth, D. E.The Art of Computer Programming, Volume 1-4, Addison-Wesley, 1997.
3. Sedgewick, R., Wayne, K.Algorithms (4th Edition), Addison-Wesley, 2011.
4. Baxtiyor Saidov, Temur G‘ulomov.Algoritmlash va dasturlash asoslari, TATU nashriyoti,
Toshkent, 2020.
5. S. Obidov, M. Qodirov.Dasturlash asoslari va algoritmik tafakkur, TDYU nashriyoti, 2021.
6. Tim Roughgarden.Algorithms Illuminated (Vol. 1–4), Soundlik LLC, 2018–2020.
7. Ullman, J. D., Hopcroft, J. E., Motwani, R.Automata Theory, Languages and Computation,
Pearson, 2006.
