JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
98
Жалалов Фаррух Бахшуллаевич
Азиатский Международный Университет,
преподаватель кафедры «Общие технические науки
»
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ТОНКОЙ ПАНЕЛИ (ИЛИ
ПЛАСТИНКЕ) С ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНОЙ
Aннотация:
В работе с помощью вариационной теории исследовались колебания тонкой
длинной подкрепленной круглой формы при динамическом волновом заполнении, при
осевом содействии и с учетом трения в контакте. Построены в зависимости от периода
естественного колебания от волнообразования в окружном направлении с учетом трения в
контакте между оболочкой и заливкой. Установлено, что результаты исследования
практически не зависят от характеристики материала, так как зависимость частоты от
коэффициента Пуассона не зависит от модуля упругости.
Ключевые слова:
соединение, соединение, модуль упругости, деформация, полная
энергия, коэффициент трения.
В
ведение.
Рассматривается деформированная бесконечная цилиндрическая оболочка
толщиной
h
, плотности
ρ,
с модулем Юнга
Е
, коэффициентом Пуассона
v
и вязкоупругими
свойствами материала. В криволинейной ортогональной системе координат (α
1
; α
2
; z) при
z = 0 оболочка занимает область
;
1
;
0
2
l
2
2
h
z
h
.
Кривизны срединной поверхности z=0 равны
R
k
k
1
;
0
2
1
соответственно. В рамках
гипотез Кирхгофа – Лява закон изменения компонент вектора перемещений u
1
(z)
, u
2
(z)
, w
(z)
оболочки определяются следующими соотношениями [1,2]
u
1
(z)
= u – θ
1
z;
u
2
(z)
= v - θ
2
z ;
u
3
(z)
=
w,
(1)
где
u, v, w –
компоненты вектора перемещений срединной поверхности;
θ
1
,
θ
2
- углы
поворота нормали относительно осей α
1
и α
2
.
Усилия и моменты связаны с компонентами деформации, определяющимися
соотношениями, вытекающими из обобщенного закона Гука:
B
N
A
S
vx
x
D
M
v
c
T
~
;
~
,
~
,
~
12
2
1
1
2
1
1
, (2)
где
)
1
(
12
~
~
;
)
1
(
2
~
;
)
1
(
12
~
~
;
1
~
~
3
2
3
2
h
E
B
h
E
A
h
E
D
h
с
;
E – операторный модуль упругости, которая имеет вид:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
99
t
E
d
t
t
R
t
E
t
E
01
~
,
t
-произвольная функция времени;
t
R
E
-ядро релаксации;
01
E
-мгновенной модуль
упругости;
-коэффициент Пуассона.
Методы.
После подстановки выражения (2) в уравнение принцип возможных
перемещений и стандартной процедуры интегрирования по частям, получаем уравнения
движения в виде:
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
,
,
t
w
h
T
k
Q
Q
t
h
Q
k
S
T
t
u
h
S
T
1
2
2
2
1
1
1
2
,
N
M
Q
M
Q
. (3)
В случае бегущих вдоль
1
гармонических волн решения краевой задачи допускают
разделение переменных
t
k
z
u
1
1
sin
;
t
k
z
v
1
2
cos
;
t
k
z
w
1
3
cos
;
t
k
z
1
4
2
cos
;
t
k
z
S
1
5
sin
;
t
k
z
T
1
6
2
cos
; (4)
t
k
z
1
7
2
cos
;
t
k
z
M
1
8
2
cos
;
где
I
R
i
- комплексная собственная частота;
к-
волновое число
,
действительная
величина;
R
-действительная часть комплексной частоты;
-плотность ;
8
.
1
2
1
i
z
-
функции формы колебаний.
После подстановки соотношений (4) в уравнения (3), имеем спектральную краевую
задачу по параметру
для системы восьми обыкновенных дифференциальных уравнений
относительно комплексной функции формы:
2
5
1
kz
A
z
z
,
3
2
1
6
2
z
k
kz
C
z
z
,
2
2
4
3
z
k
z
z
3
2
8
4
/
z
k
D
z
z
,
6
2
1
2
2
5
z
h
z
k
E
h
z
, (5)
7
2
5
2
2
6
z
k
kz
z
h
z
,
6
2
8
2
3
4
3
3
2
7
12
z
k
z
k
z
k
h
E
z
h
z
;
4
2
3
7
8
3
z
k
h
G
z
z
;
0
8
7
6
5
z
z
z
z
; (
l
,
0
2
)
Е выражаются через операторные модули упругости:
R
S
E
R
С
E
i
E
E
1
.
В качестве примеры вязкоупругого материала примем трех параметрическое ядро
релаксации
1
/
t
Ae
t
R
t
, обладающее слабой сингулярностью.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
100
Для виртуальной работы сил инерции (
A
I
) запишем следующее соотношение:
A
I
=
V
i
i
dV
u
u
,
где
- плотность тела;
u
i
– компоненты перемещения;
2
2
/
t
ui
u
i
;
t
-время.
Результатов и анализ.
Рассмотрим клиновидную пластинку, бесконечную вдоль оси
х
2
.
В соответствии с гипотезами Кирхгофа- Лява имеем:
13
=
23
=
3 3
= 0;
i
i
дx
дW
x
u
3
;
W
x
W
)
(
3
(6)
где
W
– прогиб срединной плоскости пластинки.
Среди множества решений системы выберем те, которые описывают гармонические
плоские волны, распространяющиеся вдоль оси
х
2
t
кх
i
i
i
e
x
z
y
2
1
.
(7)
Подставляя решение (7) в систему дифференциальных уравнений в частных
производных, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка, разрешенную относительно производных:
(8)
На рис. 1 показаны дисперсионные кривые фазовых скоростей первых трех мод
колебаний в пластинке Кирхгофа-Лява с линейным законом изменения толщины.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
101
Рис.1. Дисперсионные кривые первой моды
I. h
1
=h
2
=0,1; II. h
1
=h
2/2
=0,05; III. h
2/100
= 0,001; IV. h
1
=h
2/1000
=0,001
p
x
h
x
h
1
0
1
,
o < x
1
b,
где параметр
р
принимался равным 1,5; 2; 2,5; 3 в соответствии с обозначениями кривых 1,
2, 3, 4. При
р=1
, как отмечалось выше, фазовые скорости асимптотически приближаются к
ненулевым предельным значениям, кривая первой моды монотонно возрастает.
Литература
1. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек– Л.: Судпромгиз,1962.-431с.
2. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация -М.: Высшая шкала,1976.-277с.
3.
Boboqulova, M. X. (2025). GIDROENERGETIKANING ENERGETIKA SOHASIDA
TUTGAN O ‘RNI VA AHAMIYATI.
Recent scientific discoveries and methodological
research
,
2
(6), 14-24.
4.
Boboqulova,
M.
X.
(2025).
SUYUQ
KRISTALLAR
VA
ULARNING
XUSUSIYATLARI.
Science, education, innovation: modern tasks and prospects
,
2
(6), 9-18.
C
R
0,27
0,18
0,09
0
I
II
III
IV
1
3
5
7
9
K
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
102
5. Boboqulova, M. X. (2025). BIOLOGIK TOQIMALAR VA SUYUQLIKLARNING
OZGARMAS TOKDA ELEKTR OTKAZUVCHANLIGI.
Science, education, innovation:
modern tasks and prospects
,
2
(6), 58-66.
6. Boboqulova, M. X. (2025). MEXANIK TO ‘LQINLARNING INSON ORGANIZMIGA
TA’SIRI.
Science, education, innovation: modern tasks and prospects
,
2
(6), 34-43.
7. Boboqulova, M. X. (2025). YADROVIY NURLANISHLAR VA ULARNI QAYD QILISH
USULLARI.
Modern World Education: New Age Problems–New solutions
,
2
(6), 57-66.
8.
Boboqulova, M. X. (2025). TIRIK SISTEMALAR TERMODINAMIKASI. Methods of applying
innovative and digital technologies in the educational system, 2(4), 20-27.
9. Boboqulova, M. X. (2025). YADRO REAKSIYALARIDA SAQLANISH QONUNLARI.
Introduction of new innovative technologies in education of pedagogy and psychology, 2(4), 33-
39.
10.
Boboqulova, M. X. (2025). VAVILOV-CHERENKOV EFFEKTINING FIZIK ASOSLARI VA
AMALIY QO ‘LLANILISHI. ИКРО журнал, 15(01), 282-284.
11.
Boboqulova,
M.
X.
(2025).
QON
AYLANISH
SISTEMASINING
FIZIK
ASOSLARI.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 518-521.
12.
Boboqulova,
M.
X.
(2025).
SUYUQLIKLARNING
YORUG
‘LIK
YUTISH
KOEFFITSIYENTINI VA ERITMALARNING KONSENTRATSIYASINI ANIQLASHDA
OPTIK USULLARNI QO ‘LLASH.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 526-530.
13.
Boboqulova, M. X. (2025). " ISSIQLIK TEXNIKASI" FANINI O ‘QITISHDA INNOVASION
TA’LIM USULLARIDAN FOYDALANISH.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1),
531-539.
14.
Boboqulova, M., Marasulov, A., Bayaly, A., Sadybekov, R., & Aimeshov, Z. (2025, February).
Thermal stress-strain state of a partially thermally insulated and clamped rod in the presence of
local temperature and heat transfer. In
AIP Conference Proceedings
(Vol. 3268, No. 1). AIP
Publishing.
15.
Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний
диссипативно однородных и неоднородных механических систем. СО РАН,
Новосибирск, 1996.- 188с.
