JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Самандаров Тожи Нормуродович,
Учитель Математики UNIVERSITY OF BUSINESS AND SCIENCE,
Ташкент, Узбекистан
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация:
В данной работе рассматривается задача типа Стефана для системы
квазилинейных параболических уравнений, которая возникает в модели заживления ран.
Исследование нелинейных задач со свободными границами методом, основанным на
построении априорных оценок. Поэтому сначала устанавливаются некоторые
первоначальные априорные оценки для решения рассматриваемой задачи. Затем задача
сводится к задаче с фиксированной границей через замену переменных. Полученная
задача имеет зависящие от времени и положения в пространстве коэффициенты с
нелинейными слагаемыми. Далее построены априорных оценок типа Шаудера для
решения уравнения с нелинейными слагаемыми и закрепленной границей. На основе
полученных оценок доказана единственность решения задачи. Затем мы доказываем
глобальное существование решения задачи с помощью теоремы Лерэ-Шаудера о
неподвижной точке.
Ключевые слова:
квазилинейное параболическое уравнение, свободная граница,
априорные оценки, теорема существования и единственности.
THE STEFAN PROBLEM FOR A SYSTEM OF PARABOLIC EQUATIONS
Abstract.
This paper considers the Stefan-type problem for a system of quasi-linear parabolic
equations, which arises in a model of wound healing. Nonlinear problems with free boundaries
are studied using a method based on constructing a priori estimates. Therefore, some initial a
priori estimates for the solution to the problem under consideration are first established. Then,
the problem is reduced to a fixed-boundary problem through a change of variables. The resulting
problem has time- and space-dependent coefficients with nonlinear terms. Next, Schauder-type a
priori estimates are constructed for the equation with nonlinear terms and a fixed boundary.
Based on these estimates, the uniqueness of the solution to the problem is proven. Then, the
global existence of the solution to the problem is demonstrated using the Leray-Schauder fixed-
point theorem.
Key words:
quasilinear parabolic equation, a free boundary, a priori estimates, existence and
uniqueness theorem.
1.Введение.
Модели в математической биологии направлены на объяснение биологических процессов,
а затем служат инструментом для продвижения новых исследований в области биологии.
Когда предсказания математической модели согласуются с экспериментальными данными,
модель может быть использована для проведения экспериментов и для выдвижения новых
гипотез. Тем не менее, биологические процессы, как правило, чрезвычайно сложны [1-4].
В этой работе мы рассматриваем систему из двух квазилинейных параболических
уравнений реакции-диффузии с свободной границей, которая возникает в модели
заживления ран. Хронические раны представляют собой серьезную проблему
общественного здравоохранения во всем мире. Основным осложняющим фактором в
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
заживлении ран является ишемия, то есть недостаточное поступление кислорода в область
раны, что является результатом повреждения сосудистой системы вокруг раны.
Существует несколько математических моделей заживления ран, в которых учитывается
эффект кислородной недостаточности [2]. Здесь мы вводим и обобщаем модель,
предложенную в [1], которая включает в себя динамику границы раны как свободной
границы.
Постановка задачи.
Требуется найти функции
( )
s t
,
( )
,
u t x
,
( )
,
v t x
, удовлетворяющие
условиям
( )
(
)
( )
( )
( )
{
}
1
1
,
, ,
, :0
,0
,
t
x x
u
a u v u
f u v
D
t x
t T
x s t
=
+
=
<
< <
(1)
( )
(
)
( )
( )
{
}
2
2
,
, ,
, :0
,0
,
t
x x
v
a u v v
f u v
Q
t x
t T
x l
=
+
=
<
< <
(2)
( )
( )
( )
0
0
0,
, 0
0
,
u
x
u x
x s
s
l
=
=
<
(3)
( )
( )
0
0,
, 0
,
v
x
v x
x l
=
(4)
( )
,0 0, 0
,
x
u t
t T
=
(5)
( )
,0 0, 0
,
x
v t
t T
=
(6)
( )
,
0, 0
,
x
v t l
t T
=
(7)
( )
(
)
,
0, 0
,
u t s t
t T
=
(8)
( )
( )
,
0,
,
u t x
s t
x l
=
(9)
( )
( )
( )
(
)
1
0,
,
, 0
,
x
s t
a
v u t s t
t T
= -
(10)
где
( )
x s t
=
-
свободная (неизвестная) граница, которая представляет фронт
распространения раны, и определяется вместе с функциями
( )
,
u t x
,
( )
,
v t x
. Здесь
( )
,
u t x
-
плотность здоровых тканей вне раны,
( )
,
v t x
-
концентрация химико-
биологических препаратов.
Относительно данных задачи предполагаются выполненными следующие условия:
a)
( )
0
,
0
i
i
a u v
a
>
,
0
i
a
,
1,2;
i
=
b) если
( )
( )
(
)
1
0
1
0
,
,
0,0 ,
u t x
M u
f
( )
( )
(
)
2
0
2
0
,
,
0,0
v t x
M v
f
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
(эти неравенства будут установлены для точных
1
,
M
2
M
в теореме 1), то определим
множество
( )
( )
( )
{
}
1
2
, : 0
,
,0
,
,
u v
u t x
M
v t x
M
W =
причем
2
1
0
M
M
<
,
( )
( )
1
,
i
a u v C
a
+
W
,
0
1
a
< <
,
( )
,
0
iu
a u v
,
( )
,
0
iu
f u v
,
( )
,
0,
iv
f u v
1,2;
i
=
c)
( )
( )
1
1
,
,
f u v C
a
+
W
( )
1
,
0
f u v
>
, если
( )
,
0,
u t x
( )
1
,
0
f u v
, если
( )
1
,
u t x
M
при любом
( )
,
v t x
;
d)
( )
1
2
,
( ),
f u v C
a
+
W
( )
2
,
0
f u v
, если
( )
,
0,
v t x
( )
2
,
0
f u v
, если
( )
2
,
v t x
M
при любом
( )
,
u t x
;
e)
( )
2
0
,
u x C
a
+
( )
0
1
0
,
u x
M
<
<
0
0
,
x s
( )
0
0 0,
u
=
( )
0
0
0,
u s
=
( )
0
0
0,
u s
<
( )
[ ]
2
0
0, ,
v x C
l
a
+
( )
0
2
0
,
v x
M
( )
'
0
0 0
v
=
,
( )
'
0
0
v l
=
.
Задача (1)-(10) поставлена в работе [1] и изучена в [2] в виде задача со свободной
границей в случае
( )
2
,
1
a u v
.
2. Априорные оценки.
В этом разделе установим некоторые априорные оценки шаудеровского типа, которые
будут использованы при доказательстве глобальной разрешимости задачи. При этом
широко применяется принцип максимума и теоремы сравнений.
Теорема 1.
Пусть функции
( )
,
s t
( )
, ,
u t x
( )
,
v t x
являются решением задачи (1)-(10).
Тогда существуют положительные постоянные
1
M
,
2
M
, не зависящие от
T
, для которых
справедливы оценки
( )
( )
(
)
( )
1
0
1
0
,
,
0,0 ,
,
,
u t x
M u f
t x
D
(11)
( )
( )
(
)
( )
2
0
2
0
,
,
0,0 ,
,
,
v t x
M v f
t x Q
(12)
( )
0
, 0
.
s t
t T
<
(13)
Верхняя оценка для
( )
s t
устанавливается при помощи оценок для
x
u
,
x
v
, которые
будут построены в следующих теоремах.
Теперь для каждого уравнения системы отдельно сформулируем соответствующую задачу:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
1
1
0
0
1
,
, , ,
0,
,
,
0,
, 0
,
,0 0, 0
,
,
0, 0
,
0,
,
, 0
,
xx
x
x
t
x
x
a u v u
b u v u v
u
t x
D
u
x
u x
x s
u t
t T
u t s t
t T
s t
a
v u t s t
t T
+
- =
=
=
=
= -
(14)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2
2
,
, , ,
0,
,
,
0,
0, 0
,
,0 0, 0
,
,
0, 0
,
xx
x
x
t
x
x
a u v v
b u v u v
v
t x Q
v
x
x l
v t
t T
v t l
t T
+
- =
=
=
=
(15)
где
(
)
( )
2
1
1
1
1
, , ,
, ,
x
x
u x
v x x
b u v u v
a u
a v u
f u v
=
+
+
(
)
( )
2
2
2
2
2
, , ,
, .
x
x
v x
u x x
b u v u v
a v
a u v
f u v
=
+
+
При условии e) без ограничений общности можно предполагать, что
( )
0
0
v x
=
.
Теорема 2.
Пусть непрерывная в
Q
функция
( , )
v t x
удовлетворяет условиям задачи (15).
Предположим, что непрерывные функции
( )
2
,
a u v
,
(
)
2
, , ,
x
x
b u v u v
для
( )
,
t x Q
,
1
u M
,
2
v M
и произвольных
,
x
u
x
v
удовлетворяют условиям
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
2
, , , ,
1 ,
,
x
x
x
x
b x u v u v
K u
v
a u v
+ +
2
0.
K
>
Тогда
( )
(
)
0
2
20
2
,
, , ,
x
v t x
P M a K
d
,
( )
,
t x Q
d
.
(16)
Кроме того, если
( )
2
22
,
a u v
a
в области
( )
{
}
1
2
02
,
,
,
,
x
t x Q u M v M v
P
то
(
)
2
2
2
20
2
3
, , , .
Q
v
C M a K
d
d
И если еще известно, что
( )
,
v t x
обладает в
Q
суммируемыми с квадратом обобщенными
производными
tx
v
,
xx
v
, то
2
2
20
22
0
2
1
( , , , , , ), 0
1,
Q
v
C M a a P K
d
g
d
g
+
< <
(17)
4
2
20
22
0
2
2
( , , , , , ), 0
1,
Q
v
C M a a P K
d
b
d
b
+
< <
(18)
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Если
( )
(
)
0, 0,
0
x
t
x s t
u
G =
=
=
=
, то оценки (16)-(18) справедливы и в
Q
; где
( )
{
}
, : 0
,0
1
Q
t x
t T
x
d
d
d
d
=
<
<
-
,
( )
2
20
min
,
Q
a
a u v
=
,
( )
22
2
max
,
Q
a
a u v
=
.
Теорема 3.
Пусть выполнены все предположения теоремы 1 и теоремы 2, кроме того
( )
1
,
0,
d a u v
dx
( )
0
0
max
x
u x
N
s
x
-
. Тогда
( )
3
s t
M
, где
3
M
зависит только от данных
задачи и не зависит от
T
.
Доказательство.
В
задаче
(1),
(3),
(5),
(8),
производя
замену
( ) ( )
( )
(
)
,
,
U t x u t x N x s t
=
+
-
, имеем
( )
(
)
(
)
( ) ( )
1
1
1
1
, ,
,
,
xx
t
u x
x
v x
x
aU
U Ns t a u U
N
a v U
N
f u v
t x D
-
=
-
-
-
-
-
( )
( )
(
)
,0
0,
,
0, 0
x
U t
N
U t s t
t T
= >
=
( )
( )
(
)
0
0
0
0,
0, 0
.
U
x U x
N x s
x s
=
+
-
Необходимое неравенство
( )
,
0
U t x
в
D
устанавливается следующим образом. Пусть
в некоторой внутренней точке
(
)
0
0
,
P t x
=
функция
( )
,
U t x
достигает положительного
максимума и в точке
P
с учетом
( )
0
x
U P
=
уравнение примет вид
( )
( )
( )
1
1
1
,
, .
xx
t
d
aU
U Ns t
N
a u v
f u v
dx
-
=
+
-
Так как
( )
( )
1
0,
,
0
d
s t
a u v
dx
>
>
и в
силу условия c) задачи
( )
1
,
0
f u v
, то придем к противоречию.
Тогда по принципу максимума
( ) ( )
( )
(
)
,
,
0
U t x u t x N x s t
=
+
-
в
.
D
В силу теоремы о знаке производной в граничной точке экстремума (см. Chap.15, Th. 4.1;
[5])
( )
(
)
( )
(
)
,
,
0.
x
x
U t s t
u t s t
N
=
+
Тогда
из
условия
(10)
получим
( )
( )
1
3
0,
.
s t
a
v N M
В случае задачи (14) априорные оценки строятся следующим образом. Предполагается
выполненным условие теоремы 2 для задачи (14). Произведя замену
t
t
=
,
( )
x
y
s t
=
,
распрямляем
границу.
Тогда
области
D
соответствует
область
( )
{
}
1
, : 0
,0
1
y
T
y
t
t
W =
<
< <
, а для функции
( )
( )
(
)
,
,
U
y
u
ys
t
t
t
=
получается
задача для уравнении с непрерывными по Гельдеру коэффициентами и правой частью.
Применяя метод четного продолжения через правой границы [6], установим оценки для
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
y
w
,
1
w
g
+
вплоть до
1
y
=
. А оценки для старших производных получим по результатам
для линейных уравнений [5, 7].
Теперь покажем, что неизвестная кривая монотонно возрастает по
t
и пересекает правую
границу
x l
=
при некотором
*
t T
=
.
Теорема 5.
Существует положительная постоянная
0
e
>
, не зависящая от
T
, такая, что
( )
0, 0
.
s t
t T
e
>
Доказательство.
Чтобы воспользоваться теоремой сравнения [1], построим субрешение
уравнения (1) в виде
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
2
1
0
0
2
1
0
0
, 0
,
2
,
1
[
],
,
2
s
x s t
s
U t x
s s t
x
x s t
s t
s
x s t
e
e
< <
-
=
-
-
-
- < <
причем
( )
( )
2,1
,
U t x W D
,
1
0
e
>
достаточно малое число.
В промежутке
( )
(
)
0
0,
s t s
-
имеем
(
)
(
)
(
)
2
1
1
1
1
0
,
,
,
0.
2
t
x
LU U
a U v U
f U v
f
s v
e
=
-
-
= -
<
А в промежутке
( )
( )
(
)
0
,
s t s s t
-
находим
( )
( )
(
)
( )
1
0
1
3
,
[
]
,
t
U t x
s
s t x s t
M
e
e
=
-
-
(
)
( )
1
1
1 1
,
0,
,
f U v
f
v C
e
-
а другие члены оператора
LU
ограничены
2 1
C
e
, где
1
C
и
2
C
положительные константы,
не зависящие от
1
e
и
T
.
Поскольку
( )
1
0,
0
f
v
m
>
, то находим
(
)
1
3
1
2
0.
LU
M C C
m e
- +
+
+
<
С другой
стороны, имеем краевые условия
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
,0
,0 0,
,
,
0,
x
x
U t
u t
U t s t
u t s t
=
=
=
=
( )
( )
2
1
0
0
0
0,
, 0
.
2
U
x
s
u x
x s
e
=
<
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Сравнивая функции
( )
,
u t x
и
( )
,
U t x
, имеем
( ) ( )
,
,
U t x u t x
в
D
. Отсюда
( )
(
)
( )
(
)
1 0
,
,
x
x
u t s t
U t s t
s
e
= -
. Тогда условие Стефана дает
( )
10 0 1
0.
s t
a s
e e
= >
Единственность и существование решения.
Теорема 6.
Пусть выполнены условия теоремы 2 и теоремы 3. Тогда решение задачи (1)-
(10) единственно.
Теорема 7.
Пусть выполнены условия теоремы 2 и теоремы 3. Тогда существует в
D Q
решение
( )
( )
2
,
u t x C
D
a
+
,
( )
( )
2
,
v t x C
Q
b
+
,
( )
1
s t
C
g
+
(
)
*
0
t T
задачи (1)-(10),
причем значение
*
T
определяется из условия
( )
*
lim
.
t T
s t
l
®
=
Список литературы
1. X. Chen. A free boundary problem arising in a model of wound healing // SIAM J. Math.
Anal. 2000. Vol. 32, pp.788-800.
2. P.D. Dale Mathematical Modeling of Corneal Epithelial Wound Healing //
Math.Biosciences. 1994. Vol.124, pp.127-147.
3. А.Friedman. Free boundary problems arising in biology // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2018,
Vol. 23, No. 1. pp. 193-202.
4. G. Webb. The force of cell-cell adhesion in determining the outcome in a nonlocal
advection diffusion model of wound healing |// J.Mathematical Biosciences and Engineering.
2022, Vol.19. No.9: pp.8689-8704.
5. Cannon J.R. The One dimensional heat equation. Cambridge: Cambridge University Press,
1984. – 500 p.
6. Кружков С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми
переменными // Тр. ММО. 1967, т.16, С.329-346.
7. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.
Москва: Наука, 1967. –736 с.
