JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Homidov Farhod Faxriddinovich
Osiyo Xalqaro Universiteti “Umumtexnik fanlar” kafedrasi o’qituvchisi
MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARI HAQIDA UMUMIY MA’LUMOTLAR VA
ULARGA QO’YILADIGAN TO’G’RI MASALALAR
Annotasiya:
Matematik fizika tenglamalari va ularga qo’yiladigan to’g’ri masalalar haqida
ma’lumot berish. Aralash tipdagi tenglamalar va ularga qo’yiladigan teskari masalalar haqida
umumiy ma’lumot berishdan iboratdir. Matematik fizika fanining nazariy va amaliy metodlari
hamda matematik fizika masalalar to’plamidan foydalanildi.
Kalit so'zlar:
Matematik fizika tenglamalari haqida ma’lumot va ularning klassifikatsiyasi,
Ko‘p erkli o‘zgaruvchili tenglamalarning klassifikasiyasi. Kanonik ko‘rinishlari, Aralash tipdagi
tenglamalar va ularga qo’yiladigan masalalar haqida umumiy ma’lumot berilgan, matematik
fizika fanining nazariy va amaliy metodlari hamda matematik fizika masalalar to’plamidan
foydalanildi.
Matematik fizikaning ko‘pchilik masalalari ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamalarga keltiriladi. Bu tenglamalar, bizning asosiy o‘rganadigan mavzumiz bo‘lgani uchun,
bularni sinflarga ajratish, turlarini aniqlash, kanonik ko‘rinishga keltirish bizning asosiy
maqsadimiz hisoblanadi.
1-Ta’rif:
y
,
x
erkli o‘zgaruvchining
( )
y
,
x
u
noma’lum funksyasi va funksiyaning ikkinchi tartibli
xususiy hosilalari orasidagi bog‘lanishga, ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamalar deyiladi.
2-Ta’rif:
2
E
fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud qandaydir
( )
y
,
x
u
funksiya
berilgan bo‘lsin (
yx
xy
u
u
=
). U holda
(
)
0
=
yy
xy
xx
y
x
u
,
u
,
u
,
u
,
u
,
u
,
y
,
x
F
(1)
tenglama umumiy holda berilgan xususiy hosilali tenglama deyiladi.
Bu yerda
F
- qandaydir funksiya.
Xuddi shunga o‘xshash ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglama quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
(
)
0
2
1
2
1
=
,...
u
,...,
u
,...,
u
,
u
,
u
,
x
,...,
x
,
x
F
j
i
n
x
x
x
x
x
n
(2)
3-Ta’rif: Xususiy hosilali differensial tenglama yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli
deyiladi, agarda u yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko‘rinishga ega bo‘lsa:
( )
( )
( )
(
)
0
2
11
12
11
=
+
+
+
y
x
yy
xy
xx
u
,
u
,
u
,
y
,
x
F
u
y
,
x
a
u
y
,
x
a
u
y
,
x
a
(3)
4-Ta’rif: Quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
11
12
11
=
+
+
+
y
x
yy
y
x
xy
y
x
xx
y
x
u
,
u
,
u
,
y
,
x
F
u
u
,
u
,
u
,
y
,
x
a
u
u
,
u
,
u
,
y
,
x
a
u
u
,
u
,
u
,
y
,
x
a
(4)
5-Ta’rif: Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma’lum
funksiyaning o‘ziga nisbatan ham chiziqli bo‘lsa, ya’ni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsa,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
2
1
11
12
11
=
+
+
+
+
+
+
y
,
x
f
u
y
,
x
c
u
y
,
x
b
u
y
,
x
b
u
y
,
x
a
u
y
,
x
a
u
y
,
x
a
y
x
yy
xy
xx
(5)
Ushbu tenglamada
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y
,
x
c
,
y
,
x
b
,
y
,
x
b
,
y
,
x
a
,
y
,
x
a
,
y
,
x
a
2
1
11
12
11
- (5) tenglamaning
koeffitsientlari,
( )
y
,
x
f
- (5) tenglamaning ozod hadi deyiladi.
6-Ta’rif: Agar (5) tenglamada
( )
0
y
,
x
f
bo‘lsa, u holda (5) tenglama bir jinsli tenglama
deyiladi. Aks holda, agar
( )
0
y
,
x
f
bo‘lsa, (5) tenglama bir jinsli bo‘lmagan differensial
tenglama deyiladi.
Matematik fizika tenglamalarida oddiy differensial tenglamalaridagi kabi barcha
2
3
t
x
,...,
t
,
y
,
x
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
va h.k. belgilar qatnashgan tenglamalar o‘rganilmaydi. Biz faqatgina
konkret tenglamalar va tenglamalar sistemasi bilan kifoyalanamiz. Biz o‘rganadigan tenglamalar
matematik fizika masalalarida uchraydi.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar bir oz keyinroq o‘rganila boshlandi. Shuni ta’kidlash
joizki, xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasi aniq fizikaviy masalalar asosida paydo
bo‘ldi va ular asosiy matematik fizika tenglamalari nomini oldi. Fizikaviy masalalarning
matematik modelini o‘rganish XVIII asrning o‘rtalarida analizning yangi yo‘nalishi – matematik
fizika tenglamalari, ya’ni fizikaviy hodisalarning matematik modeli fanining paydo bo‘lishiga
olib keldi. Bu fanning asosi Dаlamber(1717 - 1783), Eyler (1707- 1783), Bernulli (1700 - 1782),
Lagranj (1736 - 1813), Laplas (1749 - 1827), Puasson (1781 - 1840), Furye (1768 - 1830) va
boshqa olimlar ishlari bilan qo‘yilgan.
Matematik fizikaning klassik tenglamalari: Laplas tenglamasi, issiqlik o‘tkazuvchanlik
tenglamasi, to‘lqin tarqalish tenglamasidir.
Shunisi qiziqki, ko‘rinishi jihatdan oddiy bo‘lgan Laplas tenglamasi, keng qo‘llaniladi. U haqida
ko‘p kitoblar yozilgan. Unga yuzlab maqolalar bag‘ishlangan, ammo shunga qaramay hali u
bilan bog‘liq yechilmagan muammolar ko‘p. Laplas tenglamasi elliptik tenglamalar sinfiga
kiruvchi eng oddiy tenglamadir.
Laplas tenglamasi kabi issiqlik o‘tkazish tenglamasi ham keng qo‘llanish sohasiga ega bo‘lib, u
birinchi marta 1822 yilda J.Furyening «Issiqlikning analitik nazariyasi» ishida taklif etib,
o‘rganilgan. Bu matematik fizika metodlarining va trigonometrik qatorlar nazariyasining
rivojlanishida katta rol o‘ynadi. Issiqlik o‘tkazish tenglamasi parabolik turdagi tenglamalar
sinfiga tegishli.
To‘lqin tarqalish tenglamasi akustikada muhim o‘rin egallaydi va u giperbolik turdagi
tenglamalar sinfining vakilidir.
Matematik fizikaning asosiy tenglamalarini o‘rganish, xususiy hosilali differensial tenglamalar
va tenglamalar sistemasining klassifikatsiyasini o‘tkazish imkonini berdi. 30-yillarda
I.G.Petrovskiy tomonidan birinchi marta elliptik, parabolik, giperbolik tenglamalar sinfi
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
o‘rganilgan va hozirgi kunda bu sinflar yetarlicha o‘rganilgan tenglamalar sinfidir.
O‘rganilmagan sinfi sifatida aralash turdagi tenglamalar sinfini qarash mumkin.
Differensial tenglamalar nazariyasining matematikaning boshqa: funksional analiz, algebra va
ehtimollar nazariyasi kabi bo‘limlari bilan aloqasi mavjud. Differensial tenglamalar nazariyasi,
asosan xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasi matematikaning turli sohalaridagi
asosiy tushunchalar, g‘oyalar va usullardan keng foydalanadi va undan tashqari ularning
muammolariga va tadqiqotlar xarakteriga ta’sir etadi. Masalan, 1747 yilda tor tebranish
tenglamasini Dalamber aniqladi va yechimini ham
)
(
)
(
)
,
(
2
1
t
x
F
t
x
F
x
t
u
-
+
+
=
ko‘rinishida oldi.
Bu yerda
1
F
va
2
F
ixtiyoriy funksiyalar. Eyler u uchun qo‘yilgan Koshi masalasining yechimini
beradigan formulani aniqladi. Bu formula hozirgi kunda Dalamber formulasi deyiladi. Qanday
funksiyalarni yechim deb qarash mumkin degan savol tug‘ildi. Eyler ixtiyoriy chizilgan egri
chiziq yechim bo‘ladi, deb o‘ylagan. Dalamber esa yechim faqat analitik ko‘rinishda ifodalanishi
kerak deb hisoblardi. D.Bernulli esa yechim trigonometrik qatorlar ko‘rinishda ifodalanadi, deb
hisoblardi. Uning fikriga Dalamber va Eyler qo‘shilmadilar, natijada o‘rtada vujudga kelgan
tortishuv sababli matematik analizning asosiy tushunchalaridan bo‘lgan funksiyalarni
aniqlashtirish tushunchasi kelib chiqdi va funksiyalarni trigonometrik qator ko‘rinishida
ifodalash savollari yuzaga keldi.
Keyinchalik bu qatorlarni Furye, Dirixle va boshqa katta olimlar o‘rganib chiqdilar va natijada
trigonometrik qatorlar nazariyasi vujudga keldi. Bu qatorlar nazariyasining rivoji zamonaviy
o‘lcham nazariyasining, to‘plam nazariyasining, funksiyalar nazariyasining paydo bo‘lishiga olib
keldi. Bunga o‘xshash misollarni ko‘p keltirish mumkin.
Differensial tenglamalar nazariyasining ko‘pgina bo‘limlari shunday rivojlandilarki, natijada ular
alohida yo‘nalishlar
bo‘lib shakllandilar. Shunday yo‘nalishlardan biri aralash turdagi
tenglamalardir.
Biz
x
va
y
erkli o‘zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya’ni
( )
y
,
x
j
x
=
,
( )
y
,
x
y
h
=
(6)
berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo‘lgan va soddaroq ko‘rinishga ega bo‘lgan tenglamaga
ega bo‘lishimiz mumkin. Haqiqatan
x
va
h
o‘zgaruvchilarni qanday tanlasak (3) tenglama
soddaroq ko‘rinishga keladi degan savol tug‘iladi? Buning uchun (3) tenglamada
x
va
y
erkli
o‘zgaruvchilardan yangi
x
va
h
o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:
(
)
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
=
+
=
yy
yy
y
y
y
y
yy
xy
xy
y
x
x
y
y
x
y
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
xx
y
y
y
x
x
x
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
h
x
h
h
x
x
h
x
h
h
h
x
h
x
x
x
h
x
h
h
x
x
h
x
h
x
h
x
hh
xh
xx
h
x
hh
xh
xx
h
x
hh
xh
xx
h
x
h
x
2
2
2
2
2
2
(7)
(7) ifodalarni (3) tenglamaga keltirib qo‘yib,
x
va
h
o‘zgaruvchilarga nisbatan (3) tenglamaga
ekvivalent bo‘lgan quyidagi tenglamani olamiz:
( )
( )
( )
(
)
0
2
11
12
11
=
+
+
+
h
x
hh
xh
xx
h
x
h
x
h
x
h
x
u
,
u
,
u
,
,
F
u
,
a
u
,
a
u
,
a
(8)
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
bu yerda
2
22
12
2
11
11
2
y
y
x
x
a
a
a
a
x
x
x
x
+
+
=
(
)
y
y
y
x
y
x
x
x
a
a
a
a
h
x
x
h
h
x
h
x
22
12
11
12
+
+
+
=
2
22
12
2
11
22
2
y
y
x
x
a
a
a
a
h
h
h
h
+
+
=
F
- funksiya ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga bog‘liq emas. Agar (3) tenglama chiziqli
bo‘lganda, ya’ni
( )
( )
( )
( )
( )
y
,
x
f
u
y
,
x
c
u
y
,
x
b
u
y
,
x
b
y
,
x
F
y
x
+
+
+
=
2
1
ko‘rinishda bo‘lganda,
F
funksiya quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
( )
( )
( )
( )
( )
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
,
f
u
,
c
u
,
b
u
,
b
,
F
+
+
+
=
2
1
(8) tenglama sodda ko‘rinishga ega bo‘lishi uchun
x
va
h
o‘zgaruvchilarni shunday
tanlaymizki,
11
a
koeffitsient nolga teng bo‘lsin. Buning uchun ushbu birinchi tartibli
0
2
2
22
12
2
11
=
+
+
y
y
x
x
z
a
z
z
a
z
a
(9)
xususiy hosilali tenglamani qaraymiz. Faraz qilamiz,
( )
y
,
x
z
j
=
- funksiya bu tenglamaning
qandaydir xususiy yechimi bo‘lsin. Agar
( )
y
,
x
j
x
=
deb qabul qilsak, u holda
0
11
=
a
bo‘ladi.
Demak, yuqorida bayon qilingan masalaning yechimi yangi erkli o‘zgaruvchilarga o‘tish
masalasi (9) tenglamani yechishga bog‘liq ekan.
Quyidagi lemmalarini isbotlaymiz.
1-Lemma. Agar
( )
y
,
x
z
j
=
funksiya ushbu
0
2
2
22
12
2
11
=
+
+
y
y
x
x
z
a
z
z
a
z
a
(9)
tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda
( )
C
y
,
x
=
j
munosabat, quyidagi oddiy
0
2
2
22
12
2
11
=
+
-
dx
a
dxdy
a
dy
a
(10)
differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
1-Isbot.
( )
y
,
x
z
j
=
funksiya (9) tenglamaning yechimi bo‘lgani uchun, shu tenglamani
qanoatlantirishi kerak va
0
2
22
12
2
11
=
+
-
-
a
a
a
y
x
y
x
j
j
j
j
(11)
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
tenglik ayniyatni ifodalaydi. Bu tenglik
x
va
y
o‘zgaradigan sohaning barcha qiymatlarida
o‘rinli.
( )
C
y
,
x
=
j
munosabat (10) tenglamaning umumiy yechimi bo‘la oladi.
y
-
( )
C
y
,
x
=
j
oshkormas munosabatdan aniqlansin, ya’ni faraz qilaylik
( )
C
,
x
f
y
=
bo‘lsin, u holda oshkormas
funksiyadan olingan to‘la differensial quyidagicha bo‘ladi:
0
=
+
dy
dx
y
x
j
j
bundan quyidagi tenglikni olamiz.
(
)
C
,
x
f
y
y
x
dx
dy
=
-
=
j
j
(12)
Bu tenglikda
y
- erkli o‘zgaruvchi bo‘lmasdan
x
va
C
ga bog‘liq funksiyani ifodalaydi va
uning qiymati
( )
C
,
x
f
ga teng bo‘ladi. Bundan esa
( )
C
,
x
f
y
=
funksiya (10) tenglamani
qanoatlantirishi kelib chiqadi, chunki
(
)
0
2
2
22
12
2
11
22
12
2
11
=
+
-
-
=
+
-
=
C
,
x
f
y
y
x
y
x
a
a
a
a
dx
dy
a
dx
dy
a
j
j
j
j
kvadrat qavs ichidagi ifoda barcha
x
va
y
o‘zgaruvchilarning qiymatlarida nolga teng bo‘ladi.
Shu bilan 1-lemma isbot bo‘ldi.
2-Lemma. Agar
( )
C
y
,
x
=
j
munosabat
0
2
2
22
12
2
11
=
+
-
dx
a
dxdy
a
dy
a
oddiy differensial
tenglamaning umumiy yechimi bo‘lsa, u holda
( )
y
,
x
z
j
=
funksiya
(9) tenglamani
qanoatlantiradi.
2-Isbot. Faraz qilamiz,
( )
C
y
,
x
=
j
munosabat (9) tenglamaning umumiy yechimini ifodalasin.
0
2
2
22
12
2
11
=
+
+
y
y
x
x
a
a
a
j
j
j
j
(10`)
(10`) tenglama
x
va
y
ning barcha qiymatlarida o‘rinli ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilamiz,
(
)
0
0
y
,
x
nuqta sohaning qandaydir nuqtasi bo‘lsin. Agar biz bu ixtiyoriy nuqtada (10`) tenglama
o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatsak, u holda
(
)
0
0
y
,
x
nuqta ixtiyoriy bo‘lganligi sababli, bu tenglama
ayniyatga aylanishi kelib chiqadi va
( )
y
,
x
j
funksiya (10`) tenglamaning yechimi bo‘ladi.
(
)
0
0
y
,
x
nuqtadan (10) tenglamaning integral egri chizigini o‘tkazamiz va faraz qilamiz,
(
)
0
0
0
C
y
,
x
=
j
va
(
)
0
C
,
x
f
y
=
, u holda
(
)
0
0
0
C
,
x
f
y
=
bo‘ladi. Bu egri chiziqning barcha
nuqtalari uchun esa,
(
)
0
2
2
0
22
12
2
11
22
12
2
11
=
+
-
-
=
+
-
=
C
,
x
f
y
y
x
y
x
a
a
a
a
dx
dy
a
dx
dy
a
j
j
j
j
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikda
0
x
x
=
deb olsak,
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
(
)
(
) (
)
(
)
0
2
0
0
2
22
0
0
0
0
12
0
0
2
11
=
+
+
y
,
x
a
y
,
x
y
,
x
a
y
,
x
a
y
y
x
x
j
j
j
j
ayniyatga ega bo‘lamiz. Shu bilan ikkinchi lemma isbotlandi.
7-Ta’rif: (10) tenglama (3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
8-Ta’rif: (10) tenglamaning integrallari esa (3) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
Faraz qilamiz,
( )
y
,
x
j
x
=
, bu yerda
( )
const
y
,
x
=
j
(10) tenglamaning umumiy integrali. Biz
xx
u
oldidagi koeffitsientni nolga aylantiramiz. Agar
( )
const
y
,
x
=
y
(10) tenglamaning boshqa
umumiy integralini ifodalasa va
( )
y
,
x
j
ga bog‘liq bo‘lmasa, biz
( )
y
,
x
y
h
=
deb olsak,
hh
u
oldidagi koeffitsientni nolga aylantiramiz.
(10) tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:
11
22
11
2
12
12
a
a
a
a
a
dx
dy
-
+
=
(13)
11
22
11
2
12
12
a
a
a
a
a
dx
dy
-
-
=
(14)
Ildiz ostidagi ifodaning ishorasi
( )
( )
( )
(
)
0
2
11
12
11
=
+
+
+
y
x
yy
xy
xx
u
,
u
,
u
,
y
,
x
F
u
y
,
x
a
u
y
,
x
a
u
y
,
x
a
(3)
tenglamaning tipini aniqlaydi.
Agar
M
nuqtada
0
22
11
2
12
>
-
a
a
a
bo‘lsa, (3) tenglama giperbolik tipga qarashli, agar
M
nuqtada
0
22
11
2
12
<
-
a
a
a
bo‘lsa, berilgan (3) tenglama elliptik tipga qarashli, agar
M
nuqtada
0
22
11
2
12
=
-
a
a
a
bo‘lsa, parabolik tipga qarashli deyiladi.
Quyidagi tenglik sohaning barcha nuqtalarida o‘rinli bo‘ladi, ya’ni
(
)
2
22
11
2
12
22
11
2
12
D
a
a
a
a
a
a
-
=
-
,
y
x
y
x
D
x
h
h
x
-
=
Bunda o‘zgaruvchilar almashtirilganda ham tenglama tipining invariantligi saqlanishi ko‘rinib
turibdi. Chunki
D
- yakobian noldan farqli.
Barcha nuqtalarida tenglama bir xil tipga tegishli bo‘lgan
G
sohani qaraymiz.
G
sohaning har
bir nuqtasidan ikkita xarakteristika o‘tadi. Aynan, giperbolik tipdagi tenglamalar uchun ikkita
haqiqiy va o‘zaro farqli xarakteristikalar, elliptik tenglamalar uchun esa ikkita kompleks va
o‘zaro farqli xarakteristikalar, parabolik turdagi tenglamar uchun esa, ikkita haqiqiy va o‘zaro
ustma-ust tushadigan xarakteristikalar o‘tadi.
Bu hollarning har birini alohida-alohida qaraymiz.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
1-hol. Giperbolik turdagi tenglamalar uchun
0
22
11
2
12
>
-
a
a
a
va (13) va
(14) tenglamalarning o‘ng tomoni haqiqiy va o‘zaro farqli. Bu tenglamalarning umumiy
yechimlari
( )
const
y
,
x
=
j
va
( )
const
y
,
x
=
y
bo‘lib, haqiqiy xarakteristikalar oilasiga ega
bo‘ladi. Faraz qilamiz,
( )
y
,
x
j
x
=
,
( )
y
,
x
y
h
=
. U vaqtda (8) tenglamani
xh
u
oldidagi
koeffitsientga bo‘lib, ushbu ko‘rinishga keltiramiz:
(
)
h
x
xh
h
x
F
u
,
u
,
u
,
,
u
=
(15)
bu yerda
12
2
a
F
-
=
F
.
(10) tenglamaning (15) ko‘rinishi giperbolik turdagi tenglamaning kanonik ko‘rinishi deyiladi.
Ko‘pincha giperbolik turdagi tenglamalarning ikkinchi kanonik ko‘rinishidan foydalaniladi.
Ikkinchi kanonik ko‘rinishga keltirish uchun quyidagicha yangi almashtirish
kiritishga to‘g‘ri keladi:
b
a
x
+
=
,
b
a
h
-
=
yoki
2
h
x
a
+
=
,
2
h
x
b
-
=
(16)
Bunda
a
va
b
lar yangi o‘zgaruvchilar. Natijada biz ushbu tengliklarga ega bo‘lamiz:
(
)
b
a
x
u
u
u
+
=
2
1
,
(
)
b
a
h
u
u
u
-
=
2
1
,
(
)
bb
aa
xh
u
u
u
-
=
4
1
(17)
Bundan (10) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
1
F
bb
aa
=
-
u
u
(18)
bu yerda
F
F
4
1
=
.
2-hol. Parabolik tenglamalar uchun
0
22
11
2
12
=
-
a
a
a
bo‘lib, (13) va
(14) tenglamalar ustma-ust tushadi va biz bitta umumiy integralga:
( )
const
y
,
x
=
j
ga ega
bo‘lamiz. Bu holda
( )
y
,
x
j
x
=
,
( )
y
,
x
h
h
=
deb qabul qilamiz. Bu yerda
( )
y
,
x
h
h
=
funksiya
( )
y
,
x
j
x
=
funksiyaga bog‘liq bo‘lmagan ixtiyoriy funksiya. O‘zgaruvchilarni bunday qabul
qilish natijasida
(
)
0
2
2
22
11
2
22
12
2
11
11
=
+
=
+
+
=
y
x
y
y
x
x
a
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
x
Chunki ,
22
11
12
a
a
a
=
tenglik
0
22
11
2
12
=
-
a
a
a
tenglikdan olinadi. Bundan esa quyidagi kelib
chiqadi:
(
)
(
)(
)
0
22
11
22
11
22
12
11
12
=
+
+
=
+
+
+
=
y
x
y
x
y
y
y
x
y
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
h
h
x
x
h
x
x
h
h
x
h
x
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
(10) tenglamani
hh
u
oldidagi koeffitsientga bo‘lish natijasida, parabolik turdagi tenglamlarning
kanonik ko‘rinishini keltirib chikaramiz:
(
)
h
x
hh
h
x
F
u
,
u
,
u
,
,
u
=
(19)
bu yerda
22
a
F
-
=
F
.
Agar (19) tenglamaning o’ng tomonida
x
u
qatnashmasa, u holda bu tenglama
x
parametrga
bog‘liq oddiy differensial tenglama bo‘lib qoladi.
3-hol. Elliptik turdagi tenglamalar uchun
0
22
11
2
12
<
-
a
a
a
bo‘lib, (13) va
(14) tenglamalarning o’ng tomoni kompleks bo‘ladi. Faraz qilamiz
( )
const
y
,
x
=
j
(13)
tenglamaning kompleks integrali bo‘lsin. U holda
( )
y
x
,
j
funksiyaga qo’shma
( )
y
,
x
*
j
funksiya (14) qo’shma tenglamaning umumiy integralini ifodalaydi. Kompleks o‘zgaruvchilarga
o‘tamiz. Bu uchun faraz qilamiz,
( )
y
,
x
j
x
=
,
( )
y
,
x
*
j
h
=
.
Bu holda elliptik turdagi tenglama giperbolik turdagi tenglama qaysi ko‘rinishga kelgan bo‘lsa
o’sha ko‘rinishga keladi.
Kompleks o‘zgaruvchilar bilan ish ko’rmaslik uchun, quyidagi yangi
a
va
b
o‘zgaruvchilarni
kiritamiz:
2
*
j
j
a
+
=
,
i
*
2
j
j
b
-
=
, chunki
b
a
x
i
+
=
,
b
a
h
i
-
=
.
Bu holda
(
) (
)
(
)
(
)
y
y
x
y
y
x
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
a
a
a
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
x
x
x
x
22
12
11
2
22
12
2
11
2
22
12
2
11
2
22
12
2
11
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
=
+
+
(
x
x
x
i
b
a
x
+
=
va x.k. ekanligidan foydalanamiz) ya’ni
22
11
a
a
=
va
0
12
=
a
.
(10) tenglamani
aa
u
oldidagi koeffitsientga bo‘lib quyidagi tenglamani olamiz:
(
)
h
x
bb
aa
h
x
F
u
,
u
,
u
,
,
u
u
=
+
(20)
bu yerda
22
a
F
-
=
F
Shunday qilib,
22
11
2
12
a
a
a
-
ifodaning ishorasiga qarab (3) tenglama quyidagi kanonik
ko‘rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
0
22
11
2
12
>
-
a
a
a
(giperbolik turda),
F
=
-
yy
xx
u
u
yoki
F
=
xy
u
.
0
22
11
2
12
<
-
a
a
a
(elliptik turda),
F
=
+
yy
xx
u
u
.
0
22
11
2
12
=
-
a
a
a
(parabolik turda)
F
=
xx
u
.
1 Ko‘p erkli o‘zgaruvchili tenglamalarning klassifikasiyasi.
Kanonik ko‘rinishlari
Ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama qanday kanonik
ko‘rinishga keltiriladi. Shu masalani qarab chiqaylik. Ko‘p o‘zgaruvchili chiziqli ikkinchi tartibli
xususiy hosilali differensial tenglama quyidagicha berilgan bo‘lsin :
f
Cu
x
u
B
x
x
u
A
n
i
i
i
n
j
i
j
i
ij
=
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
=
=
1
,
1
,
2
(1.1)
U holda ushbu tenglamaning xarakteristik ko‘rinishi kvadratik forma bo‘ladi:
=
=
n
j
i
j
i
ij
n
x
A
Q
1
,
1
)
(
)
,...,
(
l
l
l
l
Har bir fiksirlangan
x
nuqtada
Q
kvadratik formani uncha qiyin bo‘lmagan
affin almashtirishlari yordamida kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin:
=
=
n
i
i
i
Q
1
2
x
a
(1.2)
Bu yerda
i
a
1, -1, 0 qiymatlarni qabul qiladi. (1.2) dagi manfiy va nol
koeffisiyentlar
Q
ni kanonik ko‘rinishga keltirish usuliga bog‘liq emas. Shunga asosan (1.1)
tenglama klassifikasiyalanadi.
1.1-Ta’rif: (1.1) chiziqli tenglama o‘zi aniqlangan qandaydir
D
sohada elliptik, giperbolik yoki
parabolik deyiladi, agar har bir
D
x
nuqtada (1.2) dagi
i
a
koeffisiyentlar mos ravishda:
hammasi noldan farqli va bir xil ishorali, hammasi noldan farqli va har xil ishorali yoki va
nihoyat hech bo‘lmasa bittasi (hammasi emas) nol bo‘lsa.
Ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardan bittasini
kanonik ko‘rinishga keltirish usulini qarab chiqaylik. Quyidagi tenglama berilgan bo‘lsin:
0
5
4
2
2
=
+
+
+
+
zz
yz
yy
xy
xx
u
u
u
u
u
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Ushbu tenglamaga mos xarakteristik kvadratik forma:
2
3
3
2
2
2
2
1
2
1
5
4
2
2
l
l
l
l
l
l
l
+
+
+
+
=
Q
. Bu
kvadratik formani, masalan, Lagranj usulidan foydalanib kanonik ko‘rinishga keltiramiz:
(
) (
)
2
3
2
3
2
2
2
1
2
l
l
l
l
l
+
+
+
+
=
Q
. Quyidagi belgilashlar kiritamiz:
2
1
1
l
l
m
+
=
;
3
2
2
2
l
l
m
+
=
;
3
3
l
m
=
(*)
va natijada Q formani kanonik ko‘rinishga keltiramiz:
2
3
2
2
2
1
m
m
m
+
+
=
Q
. (*) tengliklardan
l
larni topib olamiz. Shunday qilib,
-
-
=
1
0
0
2
1
0
2
1
1
M
matrisali quyidagi xosmas affin
almashtirishlari:
3
2
1
1
2
m
m
m
l
+
-
=
,
3
2
2
2
m
m
l
-
=
,
3
3
m
l
=
Q formani kanonik ko‘rinishga
keltiradi:
2
3
2
2
2
1
m
m
m
+
+
=
Q
.
Berilgan differensial tenglamani kanonik ko‘rinishga keltiradigan xosmas affin almashtirishining
matrisasi M matrisaga simmetrik bo‘lgan matrisa bo‘ladi:
-
-
=
1
2
2
0
1
1
0
0
1
*
M
, bu almashtirish
quidagi ko‘rinishga ega:
x
=
x
;
y
x
+
-
=
h
;
z
y
x
+
-
=
2
2
z
.
Shulardan va
)
,
(
)
,
,
(
h
x
v
z
y
x
u
=
belgilashdan foydalanib, quyidagilarni topamiz:
hz
xz
xh
zz
hh
xx
v
v
v
v
v
v
u
xx
4
4
2
4
-
+
-
+
+
=
;
hz
zz
hh
v
v
v
u
yy
4
4
-
+
=
;
zz
v
u
zz
=
;
hz
xz
xh
zz
hh
v
v
v
v
v
u
xy
4
2
4
+
-
+
-
-
=
;
hz
zz
v
v
u
yz
+
-
=
2
.
Topilgan ifodalarni tenglamaga etib qo‘yib, soddalashtirishlar bajargandan so‘ng, tenglamaning
kanonik ko‘rinishini olamiz:
0
=
+
+
zz
hh
xx
v
v
v
Biror fizik jarayonni to‘la o‘rganish uchun, bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari,
uning boshlang‘ich holatini (boshlang‘ich shartlarni) va jarayon sodir bo‘ladigan sohaning
chegarasidagi holatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir.
Matematik nuqtai nazardan bu narsa differensial tenglamalar yechimining
yagona emasligi bilan bog‘liqdir. Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lumki,
-
n
tartibli
0
,...,
'
,
,
(
)
(
=
n
y
y
y
x
F
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
tenglamaning yechimi
n
ta ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liqdir, ya’ni
)
,...,
,
(
1
n
c
c
x
y
j
=
. Bu
o‘zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya
)
(
x
y
qo‘shimcha shartlarni qanoatlantirishi
kerak.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun bu masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning
yechimi ixtiyoriy o‘zgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog‘liq bo‘lib, bu
funksiyalar soni tenglamalar tartibiga teng bo‘ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni
yechim argumentlari sonidan bitta kam bo‘ladi.
1.2.1.1-Misol. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping: u
xy
=0.
Dastlab
x
bo‘yicha,
so‘ngra
y
bo‘yicha
integrallaymiz.
Natijada
)
(
)
(
)
,
(
2
1
y
f
x
f
y
x
u
+
=
yechimni olamiz. Ko‘rib turganingizdek, xususiy hosilali differensial
tenglamaning yechimida tenglama tartibiga teng miqdorda, ya’ni ikkita funksiya qatnashyapti.
Bu funksiyalar argumenti esa yechim argumentlari sonidan bitta kam.
1.2.1.2-Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:
u
xyy
=0.
Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:
)
(
)
(
)
(
)
,
(
3
2
1
y
f
x
f
y
x
f
y
x
u
+
+
=
.
1.2.1.3-Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:
u
xyz
=0.
Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
3
2
1
z
y
f
z
x
f
x
y
x
f
y
x
z
y
x
u
+
+
=
.
Oxirgi misolda, ko‘rib turganingizdek yechimda tenglama tartibiga mos uchta funksiya
qatnashaypti. Yechim uch o‘zgaruvchili bo‘lgani uchun bu funksiyalar argumenti ikki
o‘zgaruvchili.
Shunday qilib, aniq fizik jarayonni ifodolovchi yechimni ajratib olish uchun qo‘shimcha
shartlarni berish zarurdir. Bunday qo‘shimcha shartlar boshlang‘ich va chegaraviy shartlardan
iboratdir.
Jarayon sodir bo‘layotgan soha
n
R
G
bo‘lib,
S
uning chegarasi bo‘lsin.
S
ni bo‘laklari silliq
sirt hisoblaymiz.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Differensial tenglamalar uchun, asosan, quyidagi 3 tipdagi masalalar bir biridan farq qiladi:
a) Koshi masalasi. Bu masala, asosan giperbolik va parabolik tipdagi
tenglamalar uchun qo‘yiladi.
G
soha butun
n
R
fazo bilan ustma ust tushadi. Bu holda chegaraviy
shartlar bo‘lmaydi.
b) Chegaraviy masala. Bu masala, asosan elliptik tipdagi tenglamalar uchun
qo‘yiladi.
S
da chegaraviy shartlar beriladi, boshlang‘ich shartlar esa berilmaydi.
c) Aralash masala. Bu masala, asosan giperbolik va parabolik tipdagi
tenglamalar uchun qo‘yiladi.
n
R
G
bo‘lib, boshlang‘ich va chegaraviy shartlar beriladi.
1.2.2 Koshi masalasi va uning qo‘yilishida xarakteristikalarning roli
Giperbolik turdagi tenglama uchun Koshi masalasi bunday qo‘yiladi :
)
0
(
)
0
(
1
2
>
t
C
t
C
sinfga tegishli,
0
>
t
yarim fazoda giperbolik turdagi tenglamani va
0
+
=
t
da
)
(
|
0
0
x
u
u
t
=
+
=
,
)
(
|
1
0
x
u
t
u
t
=
¶
¶
+
=
(1.2.2.1)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi
)
,
(
t
x
u
funksiya topilsin.
1.2.2.1-Misol. Ushbu
0
2
=
¶
¶
¶
y
x
u
tenglamaning
)
(
|
0
0
x
u
y
j
=
+
=
,
)
(
|
1
0
x
y
u
y
j
=
¶
¶
+
=
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi
topilsin.
0
=
dx
,
0
=
dy
tenglamalar berilgan tenglamaning xarakteristik tenglamalari.
,
const
x
=
const
y
=
to‘g‘ri chiziqlar oilasi, jumladan
0
=
y
ham berilgan tenglamaning
xarakteristikalaridan iborat. Demak, boshlang‘ich shartlar xarakteristikada berilyapti.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Tenglamaning umumiy yechimi:
)
(
)
(
)
,
(
2
1
y
f
x
f
y
x
u
+
=
funksiyadan iborat. Ummumiylikka
ziyon yetkazmay
0
)
0
(
2
=
f
deb hisoblash mumkin. Boshlang‘ich shartlarga asosan :
),
(
)
(
|
0
1
0
x
x
f
u
y
j
=
=
+
=
)
(
|
)
('
|
1
0
2
0
x
y
f
y
u
y
y
j
=
=
¶
¶
+
=
+
=
.
Agar
const
x
)
(
1
j
bo‘lsa, oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi
yechimga ega bo‘lmaydi. Shunday qilib,
a
const
x
=
=
)
(
1
j
bo‘lgandagina Koshi masalasi
yechimga ega bo‘lishi mumkin. Bu holda
)
(
2
y
f
funksiya uchun ushbu funksiyani olishimiz
mumkin:
)
(
)
(
2
y
c
ay
y
f
+
=
.
Bu yerda
)
0
(
)
(
2
y
C
y
c
sinfga tegishli va
0
)
0
('
)
0
(
=
=
c
c
shartlarni qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy funksiya.
Agar
2
0
)
(
C
x
j
bo‘lsa, Koshi masalasining haqiqatan yechimi mavjud bo‘lib, bu yechim
)
(
)
(
)
,
(
0
y
c
ay
x
y
x
u
+
+
=
j
formula bilan aniqlanadi, lekin yagona emas.
Demak, xarakteristik sirtda boshlang‘ich shartlarni ixtiyoriy berilishi mumkin emas. Bu holda
Koshi masalasi umuman yechimga ega bo‘lmasligi mumkin yoki yechimga ega bo‘lsa ham u
yagona bo‘lmaydi.
Endi boshqa bir nechta masalalarga to’xtalib o’tamiz.
Ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili kanonik ko‘rinishga keltrilgan ushbu
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
2
2
y
x
f
u
y
x
c
y
u
y
x
b
x
u
y
x
a
y
u
x
u
=
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
(1.2.2.2)
umumiy chiziqli tenglama berilgan bo‘lsin. Bu tenglamaning xarakteristikalar tenglamasi
0
2
2
=
-
dx
dy
dan iborat. Bundan
const
y
x
=
-
,
const
y
x
=
+
to‘g‘ri chiziqlar oilasi (1.2.2.2)
tenglamaning xarakteristikalari ekanligi kelib chiqadi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Uchlari A, B, C va D nuqtalarda, tomonlari (1.2.2.2) tenglamaning xarakteristikalaridan iborat
bo‘lgan to‘rtburchakni
G
orqali belgilab olamiz. Odatda bu to’rtburchak - xarakteristik
to’rtburchak deyiladi.
Endi Gursa masalasini qarab chiqamiz.
G
to’rtburchakda regulyar,
G
da uzluksiz va
j
=
AB
u
,
y
=
CB
u
shartlarni qanoatlantiruvchi (1.2.2.2) tenglamaning yechimi topilsin.
Masalaning qo‘yilishiga asosan,
j
va
y
funksiyalar berilgan sohasida uzluksiz va
)
(
)
(
A
A
y
j
=
shart bajarilishi zarur. Demak, Gursa masalasida (1.2.2.2) tenglamaning ikkita kesishadigan
xarakteristikalarida bitta chegaraviy shart beriladi.
Gursa masalasida shartlar xarakteristikalarda berilgani uchun bu masala xarakteristik masala deb
ham yuritiladi.
Endi
G
orqali
0
=
y
o‘qning ixtiyoriy
)
0
,
(
1
x
A
,
)
0
,
(
2
x
B
kesmasi va (1.2.2.2) tenglamaning
,
:
1
x
y
x
AC
=
+
2
:
x
y
x
BC
=
-
xarakteristikalari bilan chegaralangan uchburchakni belgilaymiz.
Bu uchburchak xarakteristik uchburchak deyiladi.
Matematik fizika masalalarining qo‘yilishida ayrim funksiyalar (boshlang‘ich,
chegaraviy shartlar) ishtirok etadi. Tabiiyki, qo‘yilgan masalaning yechimi shu funksiyalarga
bog‘liq bo‘ladi. Bu funksiyalar, odatda tajriba asosida aniqlanadi. Shuning uchun ham ularni
absolyut aniq topish mumkin emas.
Demak, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarda hamma vaqt xatolikning bo‘lishi muqarrardir. Bu
xatolik o‘z navbatida yechimga ham ta’sir qiladi. Boshlang‘ich va chegaraviy masalalarni
tekshirishda, yechimning mavjudligi va yagonaligidan tashqari boshlang‘ich va chegaraviy
shartlarda qo‘yilgan xatolikning yechimga qanday ta’sir qilishini aniqlash muhim ahamiyatga
egadir.
Har qanday masalaning mohiyati berilgan
j
j
E
funksiyalarga asosan uning
u
E
u
yechimini
topishdan iboratdir. Bu yerda
u
E
va
j
E
- metrikalari
u
r
va
j
r
bo‘lgan qandaydir metrik fazolar.
Bu fazolar masalaning qo‘yilishi bilan aniqlanadi. Masalaning yechimi tushunchasi aniqlangan
bo‘lib, har bir
j
j
E
elementlar yagona
u
E
R
u
=
)
(
j
yechim mos kelsin.
Agar
0
>
"
e
uchun shunday
0
)
(
>
e
d
sonni ko‘rsatish mumkin bo‘lib,
)
(
)
,
(
2
1
e
d
j
j
r
j
tengsizlikdan
e
r
)
,
(
2
1
u
u
u
tengsizlik kelib chiqsa, masala
(
)
j
E
E
u
,
fazolar juftida turg‘un
masala deyiladi.
Bunda
)
(
i
i
R
u
j
=
,
u
i
E
u
,
j
j
E
i
,
,...
2
,1
=
i
masalaning yechimi berilgan shartlar
(boshlang‘ich va chegaraviy shartlar, tenglamaning koeffisientlari, ozod hadi va x.k.) ga uzluksiz
bog‘liq bo‘ladi.
Agar tekshirilayotgan masala uchun ushbu:
1) ixtiyoriy
j
j
E
uchun
u
E
u
yechim mavjud;
2)
u
yechim yagona;
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
3) masala
(
)
j
E
E
u
,
fazolar juftligida turg‘un shartlar bajarilsa, masala
(
)
j
E
E
u
,
fazolar juftligida korrekt (to‘g‘ri) qo‘yilgan yoki to‘g‘ridan-to‘g‘ri korrekt masala deyiladi. Aks
holda masala korekt qo‘yilmagan masala deyiladi.
1.2.3 Adamar misoli
1.2.3.1-Misol.
Ushbu
0
2
2
2
2
=
¶
¶
+
¶
¶
y
u
x
u
Laplas tenglamasining
0
>
y
yarim tekislikda
,
0
)
0
,
(
=
x
u
kx
e
x
u
k
y
cos
)
0
,
(
-
=
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantruvchi regulyar yechimi topilsin. Uning yechimi
,
cos
1
)
,
(
shky
kx
e
k
y
x
u
k
=
-
...
2
,1
=
k
ko‘rinishda bo‘ladi. Agar
+
®
k
,
kx
e
k
cos
-
funksiya nolga tekis intiladi, lekin
)
,
(
y
x
u
yechim noldan farqli ixtiyoriy
y
da
0
cos
1
)
,
(
®
/
=
-
shky
kx
e
k
y
x
u
k
+
®
k
bo‘ladi. Shunday qilib, Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi korrekt qo‘yilmagan masala.
1.2.3.2-Misol.
Ushbu
2
2
x
u
t
u
¶
¶
=
¶
¶
issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasining
0
<
t
,
p
x
0
sohada
kx
e
x
u
k
sin
)
0
,
(
-
=
0
)
,
(
)
,
0
(
=
=
t
u
t
u
p
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu masalaning yechimi
kx
e
e
t
x
u
t
k
k
sin
)
,
(
2
-
-
=
funksiyadan iborat. Shu sababli yozilgan yechimni yechimlar
ketma –ketligi deb qarash kerak.
kx
e
k
sin
-
funksiya
+
®
k
da nolga intiladi, lekin yechim esa xuddi Adamar misolidek hech
qanday limitga intilmaydi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
1.3 Aralash tipdagi tenglamalar va ularga qo’yiladigan masalalar haqida umumiy ma’lumot
Differensial tenglamalar nazariyasi zamonaviy matematikaning eng katta bo’limlaridan
biridir.Uning hozirgi matematika ilmidagi o’rnini ko’rsatish uchun differensial tenglamalar
nazariyasining ikkita: oddiy differensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial tenglamalar
nazariyasidan iborat bo’lgan katta sohalarining o’ziga xos tomonlarini aytib o’tish joizdir.
Birinchi o’ziga xos bo’lgan tomoni - differensial tenglamalar nazariyasining hayotda keng
qo’llanilishi.
Tadqiqotchi biror bir fizikaviy hodisani o’rganayotganda uning matematik modelini tuzadi ,
boshqacha qilib aytganda matematik modelini quradi. Ko’p hollarda bu model differensial
tenglama ko’rinishida bo’ladi.
Tutash muhitlar mexanikasidagi hodisalar, kimyoviy reyaksiyalar, elektrik, magnit va boshqa
hodisalarning modellari differensial tenglama ko’rinishida bo’ladi. Olingan differensial
tenglamalarni qo’shimcha, ya'ni boshlang’ich va chegaraviy shartlar bilan tadqiq etib, matematik,
bo’layotgan hodisa xaqida axborot oladi. Ba'zida esa hodisaning o’tmishi va kelajagidan
xabardor bo’lishi mumkin. Matematik, modelni matematik metodlar bilan o’rganishi nafaqat
fizikaviy hodisalarning sifatli xarakteristikalarini olish imkonini beradi, balki fizikaviy
hodisaning asosini bilish imkonini, ba'zan yangi fizikaviy hodisalarni kashf etish imkonini
yaratadi. Matematik, modelni to’g’ri tanlanganini aniqlovchi kriteriy - amaliyot, matematik
tadqiqot yordamida olingan natijalarni eksperimental berilganlar bilan taqqoslash hisoblanadi.
Agar noma'lum funksiya bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, oddiy differensial tenglamalar paydo
bo’ladi. Erkli o’zgaruvchi, noma'lum funksiya va uning biror bir tartibgacha bo’lgan hosilalari
orasidagi munosabat differensial tenglamani hosil qiladi. Oddiy differensial tenglamalar
nazariyasining asosiy masalalari: bu tenglamalarning qo’shimcha shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimlarini topish, yechimning yagonaligi, uning turg’unligi, ya'ni qo’shimcha shartlar bir oz
o’zgarganda yechim xam bir oz o’zgarsin. Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish usullari
hozirgi paytda keng rivojlanib boryapti, yangi usullar yaratilyapti. Nazariya injener va fiziklar
qo’liga yechimni tez topish usullarini berishi kerak.
Bu fanning asosi Dalamber (1717 - 1783), Eyler (1707 - 1783), Bernulli (1700 - 1782), Lagranj
(1736 - 1813), Laplas (1749 - 1827), Puasson (1781 - 1840), Fur’e (1768 - 1830) va boshqa
olimlar ishlari bilan qo’yilgan. Qizig’i shundaki, ularning ko’plari nafaqat matematik, balki
astronom, mexanik, fizik ham bo’lgan. Matematik fizikaning aniq masalalarini o’rganganda ular
tomonidan ishlab chiqilgan g’oya va fikrlar, differensial tenglamalarning keng sinfini
o’rganishda qo’l keldi. Bu esa XIX asrda differensial tenglamalar umumiy nazariyasi
rivojlanishining asosi bo’lib xizmat qildi.
Differensial tenglamalarning ikkinchi o’ziga xos tomoni - differensial tenglamalar nazariyasi
matematikaning boshqa: funksional analiz, algebra va ehtimollar nazariyasi kabi bo’limlari bilan
aloqasi. Xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasi matematikaning turli soxalaridagi
asosiy tushunchalar, g’oyalar va usullardan keng foydalanadi va undan tashqari ularning
muammolariga va tadqiqotlar xarakteriga ta'sir etadi. Demak, xususiy hosilali differensial
tenglama qaralayotgan sohaning bir qismida elliptik, boshqa bir qismida giperbolik, o’tish
chizig’ida parabolik yoki buziladigan tenglama bo’lsa, bunday xususiy hosilali differensial
tenglamaga aralash tipdagi tenglama deyiladi. Aralash turdagi va turi o’zgaradigan tenglamalarni
matematik jihatdan o’rganish juda muhim, chunki undan mexanika va fizikaning turli
bo’limlarida foydalanadilar, ya'ni mexanika va fizikaning ko’pgina masalalari aralash turdagi
yoki turi o’zgaradigan tenglamalarga keladi. Masalan, gaz dinamikasining juda muhim va qiyin
muammolaridan biri bo’lgan harakat muammosi, ya'ni tovushgacha va tovushdan keyingi
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
sohalari mavjud bo’lgan hollarda. Bunday oqimlar odatda aralash, tovush oldi, ba'zan
transtovushli oqimlar deyiladi. Aralash oqimlar odatda aralash turdagi elliptiko-giperbolik
turdagi tenglamalar bilan aniqlanadi. Shuning uchun transtovushli gaz dinamikasi masalalarini
o’rganish, aralash turdagi tenglamalar nazariyasining rivoji bilan chambarchas bog’liq. Eng
birinchi bo’lib, aralash turdagi tenglamalarni o’rganish muhimligini 1902 yilda «»Gaz oqimlari
haqida» nomli ishida S.A.Chapligin ta'kidlagan. Sistematik ravishda aralash turdagi
tenglamalarni o’rganish 20-yillardan boshlangan. Italyan olimi F.Trikomi aralash turdagi
tenglamalarni o’rganishni boshlab, uni S.Gellerstend umumlashtirgan. Ular tomonidan birinchi
marta aralash turdagi tenglamalar uchun chegaraviy shartlar qo’yilib, o’rganila boshlangan. Bu
tenglamalar hozirgi vaqtda ularning nomi bilan ataladi.Turi o’zgaradigan xususiy hosilali
differensial tenglamalar, aralash turdagi tenglamalar va noklassik turdagi tenglamalar nazariyasi
rivojining yangi etapi bo’lib, M.V.Keldish, M.A.Lavrentev, A.V.Bitsadze, K.I.Babenko,
F.I.Frankel, L.V.Ovsyannikov, L.D.Kudryavtsev va ularning o’quvchilarini bir qator ishlari
bo’ldi. Aralash turdagi tenglamalar nazariyasining keyingi rivoji A.V.Bitsadze, O.A.Oleynik,
Ye.V. Radkevich, M.M.Smirnov, G.Fiker, T.D.Djuraev, D.G.Karatoprakliev, M.S.Salaxitdinov,
V.P.Glushko, T.Sh.Kalmenov, A.I.Kipriyanova, V.N.Vragov, B.A.Bubnov, X.O.Raxmonov va
boshqa olimlarning nomi bilan bog’liq.Aralash tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalani XX
asrning 20-yillarida birinchi marta italiyalik matematik Franchesko Trikomi
0
=
+
yy
xx
u
yu
(1.3.1)
tenglama uchun qo’ygan va tekshirgan.
Keyingi tadqiqotlar S.Gellerstend tomonidan
0
|
|
=
+
yy
xx
m
u
u
y
signy
,
0
>
=
const
m
(1.3.2)
tenglamaga qaratilgan. Bu tenglama o’qning ixtiyoriy qismini o’z ichiga olgan sohada aralash
tipga tegishli bo’ladi, ya'ni yarim tekislikda elliptik tipga, yarim tekislikda giperbolik tipga
tegishli bo’lib, to’g’ri chiziqda esa parabolik buziladi.
0
=
m
bo’lganda (1.3.2) tenglama
0
=
+
yy
xx
u
signyu
(1.3.3)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Bu tenglamani aralash tipdagi tenglamalarning eng soda vakili sifatida o’rganishni akademik
M.A.Lavrentev tavsiya qilgan va uning uchun turli masalalarni akademik A.V.Bitsadze
tekshirgan. (1.3.1), (1.3.2), (1.3.3) tenglamalar ularni o’rgangan olimlar nomlariga mos ravishda
Trikomi, Gellerstend, Lavrentev-Bitsadze tenglamalari deb ataladi.
Yuqorida biz ta'rif bergan aralash tipdagi tenglamalar, shu jumladan, (1.3.1), (1.3.2), (1.3.3)
tenglamalar elliptiko-giperbolik tenglamalar deb xam ataladi. Hozirgi vaqtda bunday aralash
tipdagi tenglamalardan tashqari elliptiko-parabolik va parabolo-giperbolik tenglamalar ham
o’rganiladi.
Asosan matematik fizika tenglamalari , ularning tiplari , ularning klassifikatsiyasi , ularga
qo’yiladigan asosiy hamda boshqa bir qancha masalalar, aralash tipdagi tenglama , ularga
qo’yiladigan masalalar haqida umumiy ma’lumotlar keltirilgan va misollar yechib ko’rsatilgan.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Qolaversa, boshlang’ich va chegaraviy shartlar, ularning ahamiyati ham aytib o’tilgan. Ushbu
bobdagi ma’lumotlardan barcha oliy o’quv yurti talabalari va o’qituvchilari foydalanishlari
mumkin.
ADABIYOTLAR:
1.
Koshi Masalasi Yechimini Regulyarlashtirish
FF Homidov Educational Research in
Universal Sciences 2 (15 SPECIAL), 205-207
2.
Tekislikda momentli elastiklik nazariyasi sistemasi yechimi uchun somilian-betti formulasi
F.F Homidov Educational Research In Universal Sciences 2 (11), 132-136
3.
Elastiklik Nazariyasi Sistemasining Fundamental Yechimlari Matritsasini Qurish
F.F.Homidov Educational Research In Universal Sciences 2 (16), 300-302
4.
Koshi Masalasini Statika Tenglamalari Sistemasi Uchun Yechish
F. F Homidov GOLDEN
BRAIN 2 (6), 80-83
5.
Tekislikda Somilian–Betti Formulasi
F. F Homidov Educational Research in Universal
Sciences 3 (1), 587-589
6.
GARMONIK FUNKSIYALAR VA ULARNING XOSSALARI
H. F Faxriddinovich
PEDAGOG 7 (5), 511-521
7.
H.F Faxriddinovich PEDAGOG 7 (4), 281-290
8.
The Cauchy problem for a system of moment e-elasticity theory existence sign of solution y
HF Faxriddinovich Multidisciplinary Journal of Science and Technology 4 (3), 433-440
9.
KOSHI MASALASINI STATIKA TENGLAMALARI SISTEMASI UCHUN YECHISH
FF Homidov GOLDEN BRAIN 2 (6), 80-83
10.
TEKISLIKDA SOMILIAN–BETTI FORMULASI
FF Homidov Educational Research in
Universal Sciences 3 (1), 587-589
11. Boboqulova, M. X. (2025). YADROVIY NURLANISHLAR VA ULARNI QAYD QILISH
USULLARI. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI, 3(2), 132-136.
12. Boboqulova, M., Marasulov, A., Bayaly, A., Sadybekov, R., & Aimeshov, Z. (2025,
February). Thermal stress-strain state of a partially thermally insulated and clamped rod in the
presence of local temperature and heat transfer. In AIP Conference Proceedings (Vol. 3268, No.
1). AIP Publishing.
13. Xamroyevna, M. B. (2024). ERKIN KONVEKSIYA JARAYONI. Международный
журнал научных исследователей, 9(1), 108-111.
14.
Boboqulova, M. X. (2025). ENDOSKOPIK USULLARNING TIBBIYOTDA QO
‘LLANISHI. Modern World Education: New Age Problems–New solutions, 2(4), 1-8.
15.
Boboqulova, M. X. (2025). 3D CHOP ETISH TEXNOLOGIYASINING FIZIK
ASOSLARI. Introduction of new innovative technologies in education of pedagogy and
psychology, 2(3), 5-11.
16.
Boboqulova,
M.
X.
(2025).
ELEKTROMAGNIT
TO
‘LQINLARNING
NURLANISHI. New modern researchers: modern proposals and solutions, 2(3), 19-25.
17.
M.X. Boboqulova. (2025). IONLANISH VA REKOMBINATSIYA JARAYONLARI. New
Modern Researchers: Modern Proposals and Solutions, 2(3), 48–54.
18. Boboqulova, M. X. (2025). QON AYLANISH SISTEMASINING FIZIK
ASOSLARI. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI, 3(1), 518-521.
19. Boboqulova, M. X. (2025). SUYUQLIKLARNING YORUG ‘LIK YUTISH
KOEFFITSIYENTINI VA ERITMALARNING KONSENTRATSIYASINI ANIQLASHDA
OPTIK USULLARNI QO ‘LLASH. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI, 3(1), 526-530.
20. Boboqulova, M. X. (2025). " ISSIQLIK TEXNIKASI" FANINI O ‘QITISHDA
INNOVASION TA’LIM USULLARIDAN FOYDALANISH. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR
JURNALI, 3(1), 531-539.
