JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Жалолов Фаррух Бахшуллоевич
Osiyo xalqaro universiteti,
Umumiy texnika fanlari kafedrasi o‘qituvchisi
jalolovfarruh2@mail.ru
ОСИЛГАН МАССАЛИ ҚОВУШОҚ- ЭЛАСТИК ПЛАСТИНКАНИНГ
ТЕБРАНИШЛАРИНИНГ ТЕНГЛАМАЛАРИ
Аннотация:
Бу ишда осилган массали тўртбурчакли ортотроп, С.П. Тимошенко
гипотезасига бўйсинувчи
қовушоқ- эластик пластинканинг эркин ва мажбурий
тебранишлари тенгламаларини чиқариш масаласи қаралган. Тенгламалар энергетик
усулни қўллаган ҳолда, яъни Гамилтон-Остроградский принципидан фойдаланиб
чиқарилган. Ортотроп С.П. Тимошенко гипотезасига бўйсинувчи пластинка ва осилган
массалар тенгламаларидан иборат бўлган интегро-дифференциал тенгламалар системаси
олинган.
Калит сўзлар:
пластинка, йигилган масса, цовушоц-эластиклик, хос частота.
Аннотация:
В этой работе подвешенный груз четырехугольного ортотропа С.П.
Рассмотрен вопрос вывода уравнений свободных и вынужденных колебаний гибкой
упругой пластины, подчиняющейся гипотезе Тимошенко. Уравнения были выведены
энергетическим методом, то есть с использованием принципа Гамильтона-Остроградского.
Ортотропный С.П. Получена система интегро-дифференциальных уравнений, состоящая
из уравнений для пластины и подвешенных масс, подчиняющихся гипотезе Тимошенко.
Ключевые слова:
пластинка, сосредоточенная масса, вязкоупругость, собственная
частота.
Abstract:
In this work, a rectangular orthotrope with suspended mass, S.P. The issue of deriving
equations of free and forced vibrations of a visco-elastic plate subject to Timoshenko's
hypothesis is considered. The equations were derived using the energetic method, that is, using
the Hamilton-Ostrogradsky principle. Orthotrope S.P. A system of integro-differential equations
consisting of plate and suspended mass equations subject to Tymoshenko's hypothesis is
obtained.
Keywords:
plate, concentrated mass, viscoelasticity, natural frequency.
Кириш.
Чизиқли диссипатив (қовушқоқ) механик системаларнинг тебранишлари
етарли даражада ўрганилмаган [1-3]. Ҳозирги вақтда кўпчилик тадқиқотчилар Больцман-
Вольтер ирсий назариясидан фойдаланган ҳолда материалларнинг реологик (диссипатив)
хусусиятларини ҳисобга олишмоқда. Ирсий назариядан фойдаланиб олинадиган интегро -
дифференциал тенгламаларни ечиш усули [4,5] ишларда келтирилган. Бу олинган интегро
- дифференциал тенгламалар механик системаларни вибрациядан ҳимоялаш масалаларини
ечишга кенг қўлланилади. Бундан келиб чиқадики, механик системанинг массасини
камайтириш ёки ўлчамларини камайтириш тебранишлар жараёнини ўрганишни
мураккаблаштиради [6-8] .
Радио-электрон аппаратларининг (РЭA) конструктив элементларида хосил бўладиган
резонанс ҳодисасини олдини олиш муаммоси элементларнинг массаси ва ўлчамларига
боғлиқ
бўлади.
Электрон
асбоб-ускуналарнинг
функционал
блоклари
ва
конструксияларининг резонансли тебранишларини камайтириш учун кўп қатламли
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
қопламалардан фойдаланилади. Бироқ, кўп қатламли қопламалар ёрдамида резонансли
тебранишлардан ҳимояланганда РЭAнинг массаси ортиради.
Бу ишда ортотроп пластинкага пружинка ёрдамида ўрнатилган массаларнинг
тебранишларининг дифференциал тенгламалари олинган.
1. Методлар
2.1. Массаланинг кўйилиши ва асосий муносабатлар
Турли нуқталарига йиғилган массалар осилган ёки бириктирилган ортотропик
пластинканинг тебранишлари муаммосини кўриб чиқамиз. Пластинка томонлари
бириктирилган бўлиб, унга тўртта масса осилган бўлсин. Шу пластинканинг чизиқли
эркин тебранишлари массаласини кўриб чиқамиз. Осилган массаларнинг ҳар бирининг
эркинлик даражаси бирга тенг. Уларнинг тебранишлар тенгламалари Ньютоннинг
иккинчи конуни орқали олинади ва осилган пружинанинг бикрлиги ҳисобга олинади:
%
x
C
,
%
y
C
,
%
z
C
.
Пластинканинг эркин ва мажбурий тебранишлари массаласини кўрамиз. Пластинкага
таъсир этувчи кучлар даврий нормал куч сифатида олинган. Кўйилган массала Декарт
координаталар
x
,
y
,
z
системасида ечилади. Пластинканинг қалинлиги 2h унинг бошқа
ўлчамларига нисбатан кичик деб ҳисоблаймиз ва баландлик бўйича тақсимлаш учун биз
С.П. Тимошенко гипотезасини қўллаймиз. Унга кўра
1
2
;
;
.
z
z
z
u
u z
v
v z
w
w
g
g
= +
= +
=
(1)
Бунда
z
u
,
z
v
,
z
w
- пластинка нуқталарининг
z
коодинатага боғлиқ ҳолда
x
,
y
бўйича
кўчиши;
u
,
v
,
w
- пластинка ўрта сиртининг
0
z
=
текисликда кўчиши;
1
g
ва
2
g
-
x
ва
y
координата ўқлариганисбатан буралиш бурчаклари. Деформация
1
e
,
2
e
,
12
e
,
13
e
,
23
e
, ва
эгриликлар
1
c
,
2
c
,
12
c
нинг ўзгариши қуйидаги формулалар билан аниқланади:
1
2
12
13
1
23
2
;
;
;
;
.
u
v
v
u
w
w
x
y
x
y
x
y
e
e
e
e
g
e
g
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
=
=
+
= +
=
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
13
1
23
2
,
;
w
w
x
y
e
g
e
g
¶
¶
= +
=
+
¶
¶
(2)
1
2
1
2
1
2
12
,
, 2
.
x
x
x
x
y
y
x
g
g
g
g
¶
¶
¶
¶
=
=
=
+
¶
¶
¶
¶
Гук қонуни зўриқиш ва моментлар бўйича деформация ва эгрилик орқали ифода килинади:
1
1
1
2 2
2
2
2
1 1
(
),
(
);
=
+
=
+
%
%
N
B
N
B
e n e
e n e
12
1
1 13
2
2 23
2
,
,
;
=
= L
= L
%
%
%
S
hG
Q
Q
e
e
e
(3)
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
1
1
1
2 2
2
2
2
1 1
(
),
(
);
=
+
=
+
%
%
M
D x
x
M
D x
x
n
n
3
13 12
2
,
3
=
h
H
G x
бунда
1
11
2
22
2
,
2
;
=
=
%
%
%
%
B
hE
B
hE
3
3
1
11
2
22
2
2
,
;
3
3
=
=
%
%
%
%
h
h
D
E
D
E
1
1 13
2
2 23
2
,
2
;
L =
L =
%
%
%
%
K G
K G
1
2
1 2
2 1
11
22
1 2
1 2
1 2
1 2
,
,
.
1
1
1
1
=
=
=
=
-
-
-
-
%
%
%
%
%
%
%
E
E
E
E
E
E
E
n
n
n n
n n
n n
n n
Бу ерда
E
к
f(t) = E
к0
f(t) −
−∞
t
R
Eк
(t − τ)f(τ)dτ , к = 1,2;
E
kk
f(t) = E
kk0
f(t) −
−∞
t
R
kk0
(t − τ)f(τ)dτ ,
G
13
f(t) = G
130
f(t) −
−∞
t
R
G13
(t − τ)f(τ)dτ ,
G
23
f(t) = G
230
f(t) −
−∞
t
R
G23
(t − τ)f(τ)dτ .
(4)
Бу ерда f(t)– вақтнинг ихтиёрий функцияси,
(
)
Eк
R t
t
-
,
0
(
)
кк
R t t
-
,
130
230
(
),
(
)
G t
G t
t
t
-
-
-
релаксация ядролари,
0
к
E
,
0
кк
E
,
130
230
,
G G
– оний эластиклик модуллари, t – вақт.
(4) даги интеграл ҳад
кичик ҳисобланади, шунинг учун
( )
t
f
функция учун
( )
( )
t
i
R
e
t
t
f
w
y
-
=
муносабат ўринли бўлади. Бу кичик чизиқли тебранишларга мос келади.
Бу ерда
( )
t
y
- вақтнинг секин ўзгарувчи функцияси,
R
w
- қақиқий катталик.
У ҳолда [38] ишда келтирилган муносабатлардан фойдалансак, (4) муносабатларни
қуйидагича ифодалар билан тақрибан алмаштириш мумкин:
E
к
f(t) = E
к0
1 − Γ
Eк
С
ω
R
− iΓ
Eк
S
ω
R
f(t), к = 1,2;
E
kk
f(t) = E
kk0
1 − Γ
kk0
С
ω
R
− iΓ
kk0
S
ω
R
f(t),
G
13
f(t) = G
130
1 − Γ
G13
С
ω
R
− iΓ
G13
S
ω
R
f(t),
G
23
f(t) = G
230
1 − Γ
G23
С
ω
R
− iΓ
G23
S
ω
R
f(t),
(5)
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
бу ерда
Γ
Eк
C
ω
R
=
0
∞
R
Eк
τ cos ω
R
τdτ, Γ
Eк
S
ω
R
=
0
∞
R
Eк
τ sin ω
R
τdτ ,
Γ
kk
C
ω
R
=
0
∞
R
kk
τ cos ω
R
τdτ, Γ
kk
S
ω
R
=
0
∞
R
kк
τ sin ω
R
τdτ ,
Γ
G13
C
ω
R
=
0
∞
R
G13
τ cos ω
R
τdτ, Γ
G13
S
ω
R
=
0
∞
R
G13
τ sin ω
R
τdτ ,
Γ
G23
C
ω
R
=
0
∞
R
G23
τ cos ω
R
τdτ, Γ
G23
S
ω
R
=
0
∞
R
G23
τ sin ω
R
τdτ −
- материал релаксация ядросининг мос равишда, косинус ва синус Фурье тасвирлари.
Йиғилган
массали
пластинканинг
кинетик
энергияси
қуйидагича
бўлади:
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
s
h
u
v
w
h
K
ds
t
t
t
t
t
g
g
r
¶
¶
¶
¶
¶
=
+
+
+
+
+
¶
¶
¶
¶
¶
2
2
2
( )
( )
( )
2
2
2
( )
( )
( )
1
( )
( )
( )
3
1
2
1
2
1
2
=
¶
¶
¶
+
+
+
¶
¶
¶
+
-
¶
¶
¶
+
+
¶
¶
¶
i
i
i
g
g
g
i
k
s
i
i
i
i
i
i
i
x
y
z
u
v
w
m
t
t
t
I
I
I
t
t
t
j
j
j
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
1
2
2
1
i
i
i
i
i
i
xy
yz
xz
I
I
I
t
t
t
t
t
t
j
j
j
j
j
j
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-
-
-
¶
¶
¶
¶
¶
¶
(
) (
) ,
i
i
x x
y y dS
d
d
-
-
(6)
бунда
( )
i
g
u
,
( )
i
g
v
,
( )
i
g
w
- йиғилган
i
- массаларнинг массалар маркизини абсолют кўчиши;
( )
1
i
j
,
( )
2
i
j
,
( )
3
i
j
-
i
- массаларнинг буралиш
x
,
y
,
z
бўйича бурчаклари;
( )
( )
( )
, ,
i
i
i
x
y
z
I I I
,
( )
( )
( )
, ,
i
i
i
xy
xz
yz
I I I
- осилган массаларни инерция моментлари;
r
- пластинканинг
зичлиги;
i
m
-
i
- нуқтанинг массаси.
i
-чи йиғилган массанинг абсолют кўчишлари
( )
i
g
u
,
( )
i
g
v
,
( )
i
g
w
куйидагича бўлади:
( )
( )
( )
( )
3
2
;
|
i
i
x x
i
i
i
i
g
np
y
z
y y
u
u
a
a
u
j
j
=
=
=
+
-
+
( )
( )
( )
( )
1
3
;
|
i
i
x x
i
i
i
i
g
np
z
x
y y
v
v
a
a
v
j
j
=
=
=
+
-
+
(7)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
.
|
i
i
x x
i
i
i
i
i
i
g
np
x
y
y y
w
w
a
a
w
j
j
=
=
=
+
-
+
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Бу ерда
( )
( )
( )
, ,
i
i
i
np
np
np
u v w
— пружинканинг кўчиши;
( )
( )
( )
,
,
i
i
i
x
y
z
a a a
—йиғилган масса оғирлик
марказининг пластинкага махкамланган нуқтага нисбатан координата ўқларига
проекциялари.
Ўрганаётган механик системанинг потенциал энергияси қуйидагича бўлади:
(
)
3
2
2
2
2
2
11 1
12 1 2
22 2
12 12
13 13
23 23
1
2
2
2
2
3
S
h
u
h E
E
E
G
G
G
e
e e
e
e
e
e
=
+
+
+
+
+
+
(
)
2
2
2
11 1
12 1 2
22 2
12 12
2
4
E
E
E
G
dS
c
c c
c
c
+
+
+
+
( )
( )
( )
|
(
1
)
3
1
(
2
x xi
y yi
K
i
i
i
x
i
g
y
S
C u
u
a
t
j
=
=
=
+
-
-
+
)
(
)
2
2
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
12 12
3
2
|
1
1
4
2
x x
i
i
y y
K
i
i
i
i
i
i
x
g
y
z
s
i
G
ds
C u
u
a
a
c
j
j
=
=
=
+
+
-
-
+
+
(
)
2
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
3
|
i
i
i
i
i
i
i
i
y
g
x
y
x
y
z
x
C v
v
a
a
j
j
=
=
+
-
-
+
+
(
)
2
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
(
) (
) .
|
i
i
x x
i
i
i
i
i
i
z
g
x
y
y
i
y
i
C
w
w
a
a
x x
y y ds
j
j
d
d
=
=
+
-
-
+
-
-
(8)
2. Натижалар ва уларнинг таҳлили
Қўйилган масалани ечиш учун Гамильтон –Остроградский приципидан фойдаланамиз. У
ҳолда эластиклик назариясининг уч ўлчовли масаласини қўйишда вариацион тенглама
қуйидаги кўрнишга келади:
1
0
(
)
0.
t
t
K U A dt
d
- +
=
(9)
Бу ерда
U
-пластинка ва осилган масса деформациянинг потенциал энергиси;
K
- кинетик
энергия;
A
- ташқи куч потенциал энергияси.
Фараз қилайлик пластинкага нуқтавий массалар
1
1
(
,
)
k
k
X
Y
+
+
,
2
2
(
,
)
k
k
X
Y
+
+
,
3
3
(
,
)
k
k
X
Y
+
+
, ...,
(
,
)
k p
k p
X
Y
+
+
нуқталарда нормал қўйилган бўлсин ва уларга вақт бўйича гармоник бўлган Р
куч таъсир этсин, у ҳолда:
( )
3
1
( , ) (
) (
) .
p k
i
i
i
s
i k
A
P w x y
x x
y y ds
d
d
+
= +
=
-
-
(10)
Олинган ифодаларни вариацион тенгламага кўйсак, у ҳолда
u
,
v
,
w
,
1
g
,
2
g
,
( )
i
g
u
,
( )
i
g
w
,
( )
1
i
j
,
( )
2
i
j
,
( )
3
i
j
номаълум катталикларга нисбатан қуйидагича дифференциал тенгламалалар
системасини оламиз:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
2
2
2
1
12
1 2
12
2
2
2
(
2
)
u
u
v
B
hG
B
hG
x
y
x y
n
¶
¶
¶
+
+
+
+
¶
¶
¶ ¶
2
( )
1
2
1
(
) (
) 2
;
K
i
i
i
i
v
P
x x
y y
h
t
d
d
r
=
¶
+
-
-
=
¶
2
2
2
12
2 1
12
2
2
2
(2
)
2
u
v
v
hG
B
hG
B
x y
y
y
n
¶
¶
¶
+
+
+
+
¶ ¶
¶
¶
2
( )
2
2
1
(
) (
) 2
;
K
i
i
i
i
v
P
x x
y y
h
t
d
d
r
=
¶
+
-
-
=
¶
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
w
w
x
y
x
y
g
g
¶
¶
¶
¶
L
+ L
+ L
+ L
+
¶
¶
¶
¶
2
( )
3
2
1
(
) (
) 2
;
K p
i
i
i
i
w
P
x x
y y
h
t
d
d
r
+
=
¶
+
-
-
=
¶
2
2
2
3
3
1
1
2
1
12
1 1
12
1 2
2
2
(
)
3
3
h
h
D
G
G
D
x
y
x y
g
g
g
g
n
¶
¶
¶
+
- L
+
+
-
¶
¶
¶ ¶
2
3
1
1
2
2
;
3
w
h
x
t
g
r
¶
¶
-L
=
¶
¶
2
2
2
3
3
1
2
2
2 1
12
12
2
2 2
2
2
(
)
3
3
h
h
D
G
G
D
x y
x
y
g
g
g
n
g
¶
¶
¶
+
+
+
- L
-
¶ ¶
¶
¶
2
3
2
2
2
2
;
3
w
h
y
t
g
r
¶
¶
-L
=
¶
¶
(11)
i
- чи йиғилган массанинг тенгламаси қуйидагича бўлади:
2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
11
15 2
16 3
11
2
;
i
g
i
i
i
i
i
i
i
i
g
u
m
a u
a
a
P
t
j
j
¶
+
+
+
= -
¶
2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
22
24 1
26 3
22
2
;
i
g
i
i
i
i
i
i
i
i
g
v
m
a v
a
a
P
t
j
j
¶
+
+
+
= -
¶
2
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
33
34 1
35 2
33
2
;
i
g
i
i
i
i
i
i
i
i
g
W
m
a W
a
a
P
t
j
j
¶
+
+
+
= -
¶
2 ( )
2 ( )
2 ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
1
2
24
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
x
xy
xz
g
I
I
I
a v
t
t
t
j
j
j
¶
¶
¶
-
-
+
+
¶
¶
¶
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
34
44 1
45 2
46 3
i
i
i
i
i
i
i
i
g
a W
a
a
a
j
j
j
+
+
+
+
=
( ) ( )
( ) ( )
33
22
;
i
i
i
i
y
z
a P
a P
= -
+
2 ( )
2 ( )
2 ( )
( )
3
1
2
15
2
2
2
i
i
i
i
xy
y
yz
g
I
I
I
a u
t
t
t
j
j
j
¶
¶
¶
-
+
-
+
+
¶
¶
¶
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
35
45 1
55 2
56 3
i
i
i
i
i
i
i
i
g
a W
a
a
a
j
j
j
+
+
+
+
=
( ) ( )
( ) ( )
11
33
;
i
i
i
i
z
x
a P
a P
= -
+
2 ( )
2 ( )
2 ( )
( ) ( )
3
1
2
16
2
2
2
i
i
i
i
i
xz
yz
z
g
I
I
I
a u
t
t
t
j
j
j
¶
¶
¶
-
-
+
+
+
¶
¶
¶
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
26
46 1
56 2
66 3
i
i
i
i
i
i
i
i
g
a v
a
a
a
j
j
j
+
+
+
+
=
( ) ( )
11
) (
22
(
)
.
i
i
i
i
x
y
a P
a P
= -
+
(12)
Бу ерда қуйидагича белгилашлар киритилган :
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
3
2
|
;
i
i
x x
i
i
i
i
i
i
i
x
y y
g
y
z
P
C
u
u
a
a
j
j
=
=
=
-
+
-
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
3
|
;
i
i
x x
i
i
i
i
i
i
i
y
y y
g
z
x
P
C
v
v
a
a
j
j
=
=
=
-
+
-
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
( )
3
1
|
i
i
x x
i
i
i
i
i
i
i
z
y y
g
x
y
P
C W
W
a
a
j
j
=
=
=
-
+
-
( )
( )
( )
( )
( )
( )
11
22
33
| ;
| ;
|
i
i
i
i
i
i
x x
x x
x x
i
i
i
i
i
i
x
y y
y
y y
z
y y
P
C u
P
C v
P
C W
=
=
=
=
=
=
= -
= -
= -
11
22
33
16
;
;
;
;
x
y
z
x y
C
C
C
a
a
a
a
C
a
=
=
=
= -
15
24
26
34
;
;
;
,
x z
y z
y x
z y
C
C
C
a
a
a
a
a
a
C
a
a
=
= -
=
=
35
45
46
;
;
;
z x
z x y
y z x
a
a
a
a
C
C
C
a
a
a a
= -
= -
= -
2
2
56
44
;
;
x y z
z y
y z
a
a a
a
a
C
a
C
C
= -
=
+
2
2
2
2
55
66
;
.
x z
z x
x y
y x
a
a
a
a
C
C
C
a
C
a
=
+
=
+
(13)
(11) ва (12) тенгламалар С.П. Тимошенко гипотезасига бўйсинувчи осилган массали
тўртбурчакли ортотроп қовушоқ- эластик пластинканинг тебранишлари тенгламаларини
ифодалайди.
3. Хулосалар
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Шундай қилиб, С.П. Тимошенко гипотезасига бўйсинувчи осилган массали тўртбурчакли
ортотроп қовушоқ- эластик пластинканинг тебранишлари тенгламалари олинди.
Тенгламалар энергетик усулни қўллаган ҳолда, яъни Гамилтон-Остроградский
принципидан фойдаланиб чиқарилди.
Адабиётлар:
1. X. Su and E. Bai, “Analytical free vibration solutions of fully free orthotropic rectangular
thin plates on two-parameter elastic foundations by the symplectic superposition method,” J. Vib.
Control, vol. 28, nos. 1–2, pp. 3–16, 2022.
https://doi.org/10.1177/1077546320967823
2. Y. Xing, L. I. Gen, and Y. Yuan, “A review of the analytical solution methods for the
eigenvalue problems of rectangular plates,” Int. J. Mech. Sci., vol. 221, 2022, Art. no.
107171.
https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2022.107171
3. Y. Kiani and K. K. Żur, “Free vibrations of graphene platelet reinforced composite skew
plates resting on point supports,” Thin-Walled Struct., vol. 176, 2022, Art. no.
109363.
https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.109363
4. J. Jędrysiak, “The effect of the material periodic structure on free vibrations of thin plates
with different boundary conditions,” Materials, vol. 15, no. 16, 2022, Art. no.
5623.
https://doi.org/10.3390/ma15165623
.
Search in Google ScholarPubMed PubMed Central
5. M. O. Belarbi, A. A. Daikh, A. Garg, et al.., “Bending and free vibration analysis of porous
functionally graded sandwich plate with various porosity distributions using an extended
layerwise
theory,”
Arch.
Civ.
Mech.
Eng.,
vol.
23,
no.
1,
pp.
1–24,
2022.
https://doi.org/10.1007/s43452-022-00551-0
.
6. Sahu S. K . a n d D a tta P. K . Dynamic stability of laminated composite curved panels with
cutouts // J. Eng. Mech. - 2003. - 129, No. 11. - P. 1245 - 1253.
7. Mirsaidov M. M., Safarov I.I., Teshaev M. Kh.Dynamics of Structurally Inhomogeneous
Lamellar and Shell Mechanical Systems. Part 1.Journal of Applied Mathematics and
October 14, 2019 . DOI: 10.4236/jamp.2019.710155
8. Mirsaidov M.M., Safarov I.I., Teshaev M.Kh. Dynamics of Structural-Inhomogeneous
Laminate and Shell Mechanical Systems with Point Constraints and Focused Masses. Part 2.
Statement of the Problem of Forced Oscillations, Methods of Solution, Computational Algorithm
and Numerical Results. Journal of Applied Mathematics and Physics. Vol.7 No.11
November 5,
2019. DOI: 10.4236/jamp.2019.711182
9. Boboqulova, M. X. (2025). " ISSIQLIK TEXNIKASI" FANINI O ‘QITISHDA
INNOVASION TA’LIM USULLARIDAN FOYDALANISH. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR
JURNALI, 3(1), 531-539.
10. Boboqulova, M. X. (2025). YADROVIY NURLANISHLAR VA ULARNI QAYD QILISH
USULLARI. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI, 3(2), 132-136.
11. Boboqulova, M., Marasulov, A., Bayaly, A., Sadybekov, R., & Aimeshov, Z. (2025,
February). Thermal stress-strain state of a partially thermally insulated and clamped rod in the
presence of local temperature and heat transfer. In AIP Conference Proceedings (Vol. 3268, No.
1). AIP Publishing.
12. Xamroyevna, M. B. (2024). ERKIN KONVEKSIYA JARAYONI. Международный
журнал научных исследователей, 9(1), 108-111.
13.
Boboqulova, M. X. (2025). ENDOSKOPIK USULLARNING TIBBIYOTDA QO
‘LLANISHI. Modern World Education: New Age Problems–New solutions, 2(4), 1-8.
14.
Boboqulova, M. X. (2025). 3D CHOP ETISH TEXNOLOGIYASINING FIZIK
ASOSLARI. Introduction of new innovative technologies in education of pedagogy and
psychology, 2(3), 5-11.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
15.
Boboqulova,
M.
X.
(2025).
ELEKTROMAGNIT
TO
‘LQINLARNING
NURLANISHI. New modern researchers: modern proposals and solutions, 2(3), 19-25.
