JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
190
190
УЛУЧШЕННЫЙ АНАЛОГ ОЦЕНКИ В.Н.ЧУБАРИКОВА
Дилдора Кобилова Гуломовна
Узбекско-Финский педагогический институт
Кафедра математики, Докторант
Аннотация
: в настоящей статье исследуются осциллирующие интегралы с
полиномиальной фазой специального вида и гладкой амплитудой, имеющей
компактный носитель. Показано, что при таких условиях оценки, полученные
В.Н. Чубариковым, можно улучшить. Основное внимание уделяется тому, как
особенности фазовой функции и амплитуды влияют на поведение интегралов.
Доказана новая теорема, уточняющая и расширяющая ранее известные
результаты, а также приведено следствие для фазовой функции определённой
структуры.
Kлючевые слова:
осциллирующие интегралы, тригонометрические
интегралы, фазовая функция, амплитуда, оценка интегралов, интегрирование по
частям.
Введение
Оценка
осциллирующих
и
тригонометрических
интегралов
с
полиномиальной фазой является важной задачей гармонического анализа и
теории чисел. В ряде классических работ, в частности в трудах В.Н. Чубарикова,
были получены эффективные оценки для таких интегралов в случае специальной
фазовой функции и амплитуд с определёнными свойствами. Однако в более
общем случае, когда амплитуда является гладкой функцией с компактным
носителем, возможны улучшения этих оценок. В данной статье мы предлагаем
модифицированный подход к оценке осциллирующих интегралов, опирающийся
на тонкие свойства фазовой функции и структуры амплитуды. Предложенная
теорема и её следствие демонстрируют, что при определённых условиях можно
достичь более точных асимптотических оценок.
В работе В.Н.Чубарикова получены оценки тригонометрических
интегралов с полиномиальной фазой специального вида. Отметим, что в этой
работе рассматриваются тригонометрические интегралы со специальной
амплитудной функции
x
a
r
1
,
0
.
В данной работе мы исследуем осцилляторные интегралы с
аналогичной фазой, но с гладкой амплитудой, имеющей компактный носитель.
Мы покажем, что в этом случае оценки В.Н.Чубарикова могут быть улучшены.
Это обстоятельство связано с тем, что особенности фазовой функции и
амплитуды не сгущаются.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
191
191
Теорема .
Если
r
x
x
F
x
2
1
''
,
1
то,
2
/
1
2
1
2
1
2
1
,
,
exp
,
r
x
a
c
dx
x
x
iF
x
x
a
V
где,
a
dx
x
x
a
a
V
a
x
a
V
1
2
1
'
2
,
,
.
В результате получим:
,
~
,
1
~
~
,
exp
1
~
~
exp
,
1
~
12
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
2
12
2
2
2
/
1
12
1
2
2
2
12
2
2
2
1
2
1
1
2
/
1
12
2
1
2
1
2
s
s
s
a
U
dy
dy
y
y
y
y
y
y
a
s
dy
dy
y
y
y
y
y
a
y
s
y
i
s
dy
dy
y
s
y
i
y
y
y
y
a
y
s
J
C
U
U U
U
U
где окрестность
R
U
U
2
1
,
выбраны так, что
2
1
U
U
U
.
Используя неравенство
2
1
C
C
a
a
имеем следующую оценку для
J
:
12
2
1
2
~
s
s
s
a
J
C
.
Оценка доказана при
2
r
. Предположим, что она справедлива для
1
r
.
,
...
...
...
...
...
...
...
...
...
12
1
...
12
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
...
12
3
3
2
2
1
1
2
1
12
2
2
1
1
2
1
...
12
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
x
s
s
x
x
x
s
s
x
x
s
s
x
x
x
x
s
x
x
s
x
x
s
x
x
s
x
x
s
x
s
x
s
x
s
x
x
x
s
Ф
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
R
dx
dx
x
s
s
x
x
x
s
s
x
x
s
s
x
i
x
x
a
J
r
...
...
...
exp
,...,
1
...
12
1
...
12
1
1
2
2
2
1
1
1
1
.
Рассмотрим следующие случай
j
i
j
r
t
t
r
j
r
t
t
t
t
r
s
s
1
0
...
2
1
max
j
i
j
r
t
t
r
j
r
t
t
t
t
r
s
s
1
0
...
2
1
max
Если выполняется (3), то для интеграла
J
по предположении индукции
имеем:
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
192
192
dx
x
s
s
x
s
s
a
J
R
t
t
r
t
t
t
t
t
r
t
t
r
t
t
t
t
t
C
k
l
r
j
j
k
l
r
j
j
...
...
3
...
...
1
1
1
1
2
ln
,
1
min
~
.
Применим лемму 2 и получим следующую оценку
s
s
a
J
r
C
2
ln
~
2
.
Если выполняется (4), то мы можем применить формулу интегрирования
по частям по
r
x
и получим:
r
C
s
a
J
1
~
.
Отсюда легко следует искомая оценка. Теорема 1 доказана.
Следствие .
Если фазовая функция имеет вид
r
j
r
t
t
t
t
t
t
t
r
r
j
r
r
x
x
x
s
x
x
x
s
x
x
x
Ф
1
0
...
2
1
2
1
...
...
,
,...,
,
2
1
2
1
то для любых значений
s
и
2
справедлива оценка
2
ln
~
r
J
.
Заключение
В
данной
работе
представлена
усовершенствованная
оценка
осциллирующих интегралов с полиномиальной фазой и гладкой амплитудой,
обладающей компактным носителем. Проведённый анализ показывает, что
особенности амплитуды и фазовой функции играют ключевую роль в улучшении
существующих оценок. Доказанная теорема уточняет ранее известные
результаты В.Н. Чубарикова и открывает возможности для дальнейших
исследований в данной области, включая многомерные обобщения и
приложения в теории кратных экспоненциальных сумм.
Цитированная литература
1.Aрxипoв Г.И.,Kaрaцубa A.A.,Чубaрикoв В.Н. “Tригонометрические
интегралы” Изв.AН СССР Сер. Мат. 43(5) (971-1003),1979.
2. Aрxипoв Г.И.,Kaрaцубa A.A.,Чубaрикoв В.Н.”Теория кратных
тригонометрических сумм” Москва, Наука, 1987.
3. Арнольд В.И.,Варченко А.Н.,Гусейн-заде С.М. “Особенности
дифференцируемых отображений” М.Наука 1982-1984 ,ч.I и II.
4. Stein E.M. Harmonic analysis , Princefon Univ. press Princefon , 1993.
5.А.Н.Варченко Многогранник Ньютона и оценки осциллирующих интегралов
Функционал анализ и его приложения.1976, т.10 вып.5 (13-38).
6. Чубaрикoв В.Н. Математические заметки т.20, №1, 1976, 61-68.
