JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
180
180
DIFFERENSIAL HISOBNING ASOSIY TEOREMALARI
(FERMA,ROLL, LAGRANJ VA KOSHI TEOREMALARI)
Bozorov Jo’rabek Tog’aymurotovich
Termiz davlat universiteti “Matematik analiz”
Kafedra mudiri,Tel:+998901231906
Raxmatova Maral Shuxrat qizi
Termiz Davlat universiteti
Matematika yo’nalish 1-kurs talabasi
Annotatsiya:
Mazkur maqolada differensial hisobning asosiy teoremalari-
Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari o’rganiladi. Bu teoremalar matematik
analizning fundamental qismidir va funksiyalarni tahlil qilishda muhim o’rin tutadi.
Har bir teoremaning matematik bayoni, geometrik ma’nosi va isboti bilan tanishiladi.
Shuningdek bu teoremalar asosida hosila va differensialning xususiyatlarini chuqur
tushunish imkoniyati yuzaga keladi.
Tayanch tushunchalar:
Hosila, differensial, differensiallanuvchilik, Ferma
teoremasi, Roll teoremasi, Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi, chekli hosila,
uzluksizlik.
Kirish:
Matematik analizda funksiyalarni tahlil qilishning asosiy vositalaridan
biri-hosiladir. Chunki hosila funksiyaning o’zgarishini ifodalaydi. Hosila yordamida
funksiya qanday o’zgarishini, uning eng yuqori yoki eng past qiymatlarini aniqlash
mumkin. Bu jarayonlarda asosiy o’rinni egallovchi muhim teoremalar mavjud va ular
Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalaridir. Ular o’zaro bog’liq bo’lib, bir-birini
umumlashtiradi. Bu teoremalar matematikadan tashqari fizika, mexanika va boshqa
ko’plab sohalarda keng qo’llaniladi. Chunki ma’lumotlarni tahlil qilish va ularning
o’zgarishi har qanday sohada kerak bo’ladi. Endi esa funksiya differensiali
tushunchasiga to’xtalamiz.
Faraz qilaylik, f (x) funksiya (a,b) da berilgan bo‘lib, x
0
(a,b), x
0
x
(a,b)
bo‘lsin. Ma’lumki,
f(x
0
)
f(x
0
x)
f(x
0
) ayirma f (x) funksiyaning x
0
nuqtadagi
orttirmasi deyiladi. Agar
f(x
0
) ni ushbu
f (x
0
)
A
x
x ko‘rinishda ifodalash
mumkin bo‘lsa, f (x) funksiya x
0
nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bunda A
const,
x
0, da
0. Funksiya orttirmasidagi f '(x
0
)
x ifoda f(x) funksiyaning x
0
nuqtadagi differensiali deyiladi va df(x
0
) kabi belgilanadi:
df(x
0
)
f '(x
0
)
x
x
(a, b) nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiyaning grafigini keltiraylik:
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
181
181
1-rasm
Keltirilgan chizmadan ko‘rinadiki,
𝐷𝐶
𝐴𝐶
= 𝑡𝑔𝛼
bo‘lib, DC
tg
AC
f
(x)
x
bo‘ladi. Demak, f (x) funksiyaning x nuqtadagi differensiali funksiya grafigiga (x, f
(x)) nuqtada o‘tkazilgan urinma orttirmasi DC ni ifodalar ekan. f (x) funksiyaning
differensialini df (x)
f
(x)
dx ko‘rinishda ifodalash mumkin.
Ferma teoremasi:
f(x) funksiya X to’plamda aniqlangan bo’lsin. Shu
to’plamning ichki nuqtasida
𝑐 ∈ 𝑋
o’zining eng katta(kichik) qiymatiga erishsin. Agar
shu nuqtada chekli ikki tomonlama hosila mavjud bo’lsa, bu hosilaning qiymati 0 ga
teng bo’lishi zarurdir.
Isbot:
Aniqlik uchun f(x) funksiya c nuqtada o’zining eng katta qiymatiga
erishsin deylik. Demak barcha x lar uchun f(x)
≤
f(c). U holda quyidagi ikkita holatni
qarab chiqamiz:
1-hol:
𝛥𝑥 < 0 𝑏𝑜
′
𝑙𝑠𝑎, 𝑓
′
(𝐶 − 0) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→−0
𝑓(𝐶+𝛥𝑥)−𝑓(𝐶)
𝛥𝑥
≥ 0 ⇒ 𝑓
′
(𝑐 − 0) ≥ 0
bo’ladi.
2-hol:
𝛥𝑥 > 0 𝑏𝑜
′
𝑙𝑠𝑎, 𝑓
′
(𝐶 + 0) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→+0
𝑓(𝐶+𝛥𝑥)−𝑓(𝐶)
𝛥𝑥
≤ 0 ⇒ 𝑓
′
(𝑐 + 0) ≤ 0
bo’ladi.
Chekli ikki tomonlama hosila mavjud bo’lishi uchun yuqoridagi ikki holat teng
bo’lishi kerak bo’ladi va quyidagi natijaga kelamiz:
𝑓
′
(𝐶 − 0) = 𝑓
′
(𝐶 + 0) = 𝑓
′
(𝐶) = 0
Isbotlandi.
Ferma teoremasining geometrik ma’nosi:
X to’plamda shunday c nuqta
mavjudki, bu nuqtada funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma OX o’qiga parallel
bo’ladi.
2-rasm
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
182
182
Roll teoremasi:
Agar у
f (x) funksiya [
𝑎
,
𝑏
] kеsmada aniqlangan, uzluksiz va
diffеrеnsiallanuvchi bo‘lib, kеsmaning oxirlarida tеng f(
𝑎
) = f(
𝑏
) qiymatlarni qabul
qilsa, u holda kеsmaning ichida kamida bitta
𝑐
∈
(
𝑎
,
𝑏
) nuqta mavjudki, unda hosila
nolga tеng, ya’ni f ′ (
𝑐
) = 0 ( Tеorеmaning shartlaridan aqalli bittasining buzilishi
tеorеma tasdig‘ining buzilishiga olib kеladi).
Isbot:
Shartga ko'ra f(x)
∈
C[a, b]. Unda Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga
ko'ra f(x) funksiya [a, b] da o'zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi, ya’ni
shunday c
1
,c
2
nuqtalar (c
1
,c
2
∈
[a, b]) topiladiki, unda
f(c
1
) = max{f(x)|x
∈
[a,b]},
f(c
2
) = min{f(x)|x
∈
[a,b]} shartlar bajariladi.
Bu yerda ham ikkita holni qaraymiz:
1-hol: Agar f(c
1
)=f(c
2
) bo'lsa, unda [a, b] da f(x) = const bo'lib,
∀
x
0
∈ (𝑎, 𝑏)
da
𝑓
′
(𝑥
0
) = 0
bo'ladi.
2-hol: Agar f(c
1
)
≠
f(c
2
) bo’lsa, u holda f(a)=f(b) bo'lganligi sababli f(x) funksiya
f(c
1
) hamda f(c
2
) qiymatlaming kamida bittasiga [a,b] kesmaning ichki x
0
(a<x
0
<b)
nuqtasida erishadi. Ferma teoremasiga binoan f'(x
0
) = 0 bo'ladi.
Isbotlandi.
Roll teoremasining geometrik ma’nosi:
shunday
𝑐
∈
(
𝑎
,
𝑏
) nuqta mavjudki, bu
nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma Ox o‘qiga parallel bo‘ladi.
3-rasm
Lagranj teoremasi:
Agar у
f (x) funksiya [
𝑎
,
𝑏
] kеsmada aniqlangan, uzluksiz
va diffеrеnsiallanuvchi bo‘lsa, u holda [
𝑎
,
𝑏
] kеsma ichida kamida bitta
𝑐
∈
(
𝑎
,
𝑏
) nuqta
topiladiki, bu nuqtada f (b)
f (a)
f
(c)(b
a) tеnglik bajariladi.
𝑓
′
(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
.
Isbot:
Ushbu F(x)=f(x)-f(a)-
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(x-a) yordamchi funksiyani qarab
chiqaylik. Bu funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Uning
hosilasi
F
(x)= f
(x)-
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
bo’ladi. Roll teoremasiga ko’ra shunday c(
𝑐
∈
(
𝑎
,
𝑏
))
nuqta topiladiki, bunda F
(c)=0 bo’ladi.
Unga ko’ra f
(c)-
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
=0 va f
(c)=
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
bo’ladi.
Isbotlandi.
Lagranj teoremasining geometrik ma’nosi:
shunday
𝑐
∈
(
𝑎
,
𝑏
) nuqta
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
183
183
mavjudki, bu nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma (
𝑎
,
𝑓
(
𝑎
)) va (
𝑏
,
𝑓
(
𝑏
))
nuqtalardan o‘tkazilgan vatarga parallel bo‘ladi.
4-rasm
Koshi teoremasi:
Agar ikkita f(
𝑥
) va g(
𝑥
) funksiya [
𝑎
,
𝑏
] kеsmada aniqlangan,
uzluksiz, (
𝑎
,
𝑏
) oraliqda diffеrеnsiallanuvchi, shu bilan birga barcha
𝑥
∈
(
𝑎
,
𝑏
) lar uchun
g ′ (
𝑥
) ≠ 0 bo‘lsa, u holda [
𝑎
,
𝑏
] kеsma ichida hech bo‘lmaganda bitta
𝑐
∈
(
𝑎
,
𝑏
) nuqta
mavjudki, u nuqtada
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
=
𝑓
′
(𝑐)
𝑔
′
(𝑐)
tеnglik bajariladi, bunda g(
𝑏
) ≠ g(
𝑎
).
Isbot:
Ushbu
F(x)=f(x)-f(a)-
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
(g(x)-g(a)),(x
∈
[a,b])
yordamchi
funksiyani qaraymiz. Bu funksiya ham Roll teoremasining barcha shartlarini
qanoatlantiradi. Uning hosilasi F
(x)= f
(x)-
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
g
(x) bo’ladi. Roll teoremasiga
ko’ra shunday c(
𝑐
∈
(
𝑎
,
𝑏
)) nuqta topiladiki, bunda F
(c)=0 bo’ladi.
Unga ko’ra f
(c)-
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
g
(c)=0 va
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
=
𝑓
′
(𝑐)
𝑔
′
(𝑐)
bo’ladi.
Isbotlandi.
Yuqoridagi teoremalarga bog’liq quyidagi misollarni qaraylik.
Misol:
y=2x-x
2
egri chiziqning AB yoyida shunday M nuqtani topingki, bu
nuqtada egri chiziqqa o’tkazilgan urinma AB vatarga parallel bo’lsin, bunda A(1;1) va
B(3;-3).
Yechilishi: Berilgan egri chiziq Lagranj teoremasi shartlarini qanoatlantiradi.
f
(c)=
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
ga ko’ra
𝑓(3)−𝑓(1)
3−1
=(2x-x
2
)
. Ushbu tenglamani yechsak x=2 va
y(2)=0 natijaga erishamiz. Shunday qilib M(2;0) nuqtada egri chiziqqa o’tkazilgan
urinma AB vatarga parallel bo’ladi.
Misol:
f(x)=x
3
va g(x)=x
2
funksiyalar uchun [0;1] kesmada Koshi teoremasini
qanoatlantiruvchi c nuqtani toping.
Yechilishi:
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
=
𝑓
′
(𝑐)
𝑔
′
(𝑐)
formulaga ko’ra
𝑓(1)−𝑓(0)
𝑔(1)−𝑔(0)
=
3𝑐
2
2𝑐
bo’ladi.
Tenglamani yechsak c=
2
3
yechimga kelamiz.
Misol:
Bizga
𝑓(𝑥) = 𝑎
0
𝑥
𝑛
+ 𝑎
1
𝑥
𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎
𝑛−1
𝑥 + 𝑎
𝑛
funksiya [0;1]da
berilgan bo’lsin. Agar ko’phadning koeffitsiyentlari
𝑎
0
𝑛+1
+
𝑎
1
𝑛
+ ⋯ +
𝑎
𝑛−1
2
+ 𝑎
𝑛
= 0
bo’lsa, u holda f(x) funksiya [0;1] da kamida bitta yechimi borligini isbotlang.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
184
184
Yechilishi:
𝑔(𝑥) =
𝑎
0
𝑛+1
𝑥
𝑛+1
+
𝑎
1
𝑛
𝑥
𝑛
+ ⋯
+𝑎
𝑛−1
2
𝑥
2
+ 𝑎
𝑛
𝑥
funksiyani [0;1] da
tekshiramiz. Bu ifoda ko’phad bo’lgani uchun [0;1] da uzluksiz bo’ladi va
differensiallanuvchi bo’ladi.Bunda g(0)=0 va g(1)=
𝑎
0
𝑛+1
+
𝑎
1
𝑛
+ ⋯ +
𝑎
𝑛−1
2
+ 𝑎
𝑛
= 0
natijalarga kelamiz. Chetki nuqtalarda ko’phadning qiymatlari teng bo’lganligi uchun,
uzluksiz va differensiallanuvchi bo’lgani uchun Roll teoremasining shartlarini
bajaradi. Demak [0;1] da shunday c nuqta mavjudki unda
𝑔
′
(𝑐) = 0
shart bajariladi.
𝑔
′
(𝑥)
=
𝑎
0
𝑥
𝑛
+ 𝑎
1
𝑥
𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎
𝑛−1
𝑥 + 𝑎
𝑛
= 𝑓(𝑥)
bo’lgani uchun f(x)
funksiyaning [0;1] oraliqda yechimi mavjud bo’ladi.
Isbotlandi.
Misol:
|sina-sinb|
≤
|a-b| tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi:Ushbu tengsizlikni isbotlash uchun f(x)=sinx funksiyani [a;b]
oraliqda
qarab
chiqamiz.
Ushbu
funksiya
berilgan
oraliqda
uzluksiz,
differensiallanuvchi va shuningdek Lagranj teoremasining shartlarini bajaradi. Lagranj
teoremasiga ko’ra
|
sin a−sin 𝑏
𝑎−𝑏
| = 𝑓
′
(𝑐)
=|cosc| . Bunda |cosc|
≤
1 ekanligini hisobga
olsak quyidagi natijaga kelamiz:
|
sin a−sin 𝑏
𝑎−𝑏
| ≤
1
⇒
|sina-sinb|
≤
|a-b|
Misol:
Aytaylik f(x) funksiya [0;1] segmentda uzluksiz va (0;1) oraliqda
differensiallanuvchi. Agar f(1) = 0 bo‘lsa, u holda
𝑓
′
(𝐶) =
−𝑓(𝐶)
𝐶
shartni
qanoatlantiruvchi c
∈
(0, 1) nuqta topilishini isbotlang..
Yechilishi:Ushbu F(x)=xf(x) yordamchi funksiyani qarab chiqaylik.F(0)=0 va
F(1)=f(1)=0. Demak F(0)=F(1). F(x) funksiya [0;1] da uzluksiz va
differensiallanuvchi bo’lib Roll teoremasidagi shartlarni qanoatlantiradi. Unga ko’ra
c
∈ (0; 1)
da F′ (c)=0 bo’ladi. Yordamchi funksiyaning hosilasi F ′ (x)=f(x)+x f ′ (x)
ko’rinishda bo’ladi.Yuqoridagi xulosaga ko’ra
F ′ (c)=f(c)+c f ′ (c)=0
⇒
f(c)+c f ′(c)=0
c
∈ (0; 1)
da c
≠ 0
bo’lgani uchun tenglikni c ga bo’lib yubora olamiz.Undan esa
𝑓
′
(𝐶) =
−𝑓(𝐶)
𝐶
natijaga kelamiz.
Adabiyotlar ro’yxati:
1.
Sadaddinova S.S. Hisob (Calculus): O‘quv qo‘llanma. – Toshkent: TATU.
2.
G.Xudayberganov, A.K.Vorisov, X.T.Mansurov,B.A.Shoimqulov.Matematik analizdan
ma’ruzalar:O’quv qo’llanma. “Voris-nashriyot” Toshkent-2010.
3.
B.A.Shoimqulov, T.T.Tuychiyev, D.H.Djumaboyev. Matematik analizdan mustaqil
ishlar: O’quv qo’llanma. “O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” nashriyoti, Toshkent-
2008.
4.
T.Azlarov, X.Mansurov. Matematik analiz 1-qism. Toshkent “O’qituvchi”-1994.
5.
https:
∕∕
arxiv.uz
6.
https:
∕∕
soff.uz
