JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
73
73
CHEGARALANGAN IKKI JISM MASALASI
Eshboyev Ilxom Akrom o‘g‘li
Toshkent davlat texnika universiteti Olmaliq filiali, assistant
Annotatsiya:
Ushbu maqolada chegaralangan ikki jism masalasining asosiy
matematik modeli va uning modellashtirish usullari tahlil qilinadi. Chegaralangan ikki
jism tizimi mexanika sohasida keng qo‘llaniladigan oddiy, ammo muhim masaladir.
Maqolada tizimning harakat tenglamalari, parametrlarining ta’siri, shuningdek, turli
boshlang‘ich va chegaraviy sharoitlarda yechimlar ko‘rib chiqiladi. Zamonaviy
modellashtirish usullari va analitik yechimlar yordamida masalaning amaliy
qo‘llanilishi va uning muhimligi ochib beriladi. Natijalar muhokama qilinib,
masalaning mexanik tizimlar nazariyasidagi o‘rni ta’kidlanadi.
Kalit so‘zlar:
Chegaralangan ikki jism, mexanik tizimlar, matematik model,
dinamika, harakat tenglamalari, modellashtirish usullari, analitik yechimlar, boshqaruv
tizimlari, tizim dinamikasi
1. Kirish:
Mexanik tizimlarni o‘rganish va ularning harakatini bashorat qilish
ko‘plab muhandislik va ilmiy tadqiqotlarning asosiy vazifalaridan biridir. Ushbu
tizimlarning murakkabligi va o‘zaro ta’sir mexanik jism va ularning bir-biri bilan
chegaralangan aloqalariga bog‘liq. Aynan shu nuqtai nazardan, chegaralangan ikki
jism masalasi mexanika va tizim nazariyasida alohida ahamiyat kasb etadi.
Chegaralangan ikki jism tizimi — bu ikki qattiq jismning o‘zaro ta’sirini va ularning
vaqtga bog‘liq harakatini ifodalovchi matematik modeldir. Bu masala klassik
mexanika qonunlariga asoslangan bo‘lib, ko‘plab amaliy sohalarda, jumladan,
boshqaruv
tizimlarida,
mexanik
mexanizmlarda,
robototexnikada
va
avtomatlashtirishda keng qo‘llaniladi. Mazkur masalani yechish uchun turli matematik
usullar — analitik va raqamli modellashtirish, differensial tenglamalar yechimlari,
hamda zamonaviy kompyuter yordamida simulyatsiya qilish usullari qo‘llaniladi.
Ushbu maqolada chegaralangan ikki jism masalasining matematik modeli, uning
modellashtirish usullari va amaliy qo‘llanilishi tahlil qilinadi. Shuningdek, masalaning
boshlang‘ich va chegaraviy sharoitlari, tizim parametrlarining ta’siri va muhimligi
haqida muhokama olib boriladi. Bu orqali mexanik tizimlarni chuqurroq tushunishga,
ularning nazariy va amaliy jihatlarini rivojlantirishga xizmat qiladi.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
74
74
2. CHEGARALANGAN IKKI JISM TUSHUNCHASI VA
ASOSIY PARAMETRLAR
2.1.
Chegaralangan ikki jism tushunchasi
Chegaralangan ikki jism masalasi klassik mexanikada keng qo‘llaniladigan model
bo‘lib, u ikki jismning bir-biriga nisbatan cheklangan harakatini o‘rganishga
asoslanadi. “Chegaralangan” atamasi jismning harakati ma’lum shartlar bilan
chegaralanganini bildiradi — masalan, prujina, ip yoki boshqa bog‘lovchi element
orqali biriktirilgan bo‘ladi. Bu masala ko‘pincha quyidagi holatlarda qo‘llaniladi:
Jismlar elastik prujina orqali bog‘langan
Harakat faqat bir yo‘nalishda sodir bo‘ladi
Jismlar o‘zaro tortishish kuchlari yoki tashqi kuchlar ta’sirida harakat qiladi
Massalar bir-biriga nisbatan siljiydi, biroq ularning o‘zaro masofasi yoki holati
doimiy nazorat ostida bo‘ladi.
Bunday soddalashtirilgan model orqali ko‘plab real mexanik tizimlarning asosiy
dinamik xususiyatlarini tushunish va tahlil qilish mumkin.
2.2.
Asosiy parametrlar
Chegaralangan ikki jism tizimini ifodalashda quyidagi asosiy parametrlar va fizik
kattaliklar ishlatiladi:
Massalar (m
1
; m
2
)
: Har bir jismning inertsiya xususiyatini ifodalaydi. Massalar
harakat tezligiga va tashqi kuchlarga qanday javob berishini belgilaydi.
Koordinatalar (x
1
(t), x
2
(t))
: Vaqtga bog‘liq holda jismlarning fazodagi holatini
ko‘rsatadi. Bu holat o‘zgarishlari orqali tizim dinamikasi aniqlanadi.
Tezliklar (ẋ
1
,ẋ
2
)
: Jismlarning harakat tezligi bo‘lib, dinamik tahlil uchun zarur.
Prujina qattiqlik koeffitsienti (k)
: Jismlar orasidagi bog‘lovchi element
(masalan, prujina) ning kuchga qarshilik darajasini bildiradi. Bu parametr kuchning
holatga bog‘liqligini ifodalaydi.
Prujina tabiiy uzunligi (L)
: Tizimdagi prujinaning kuchsiz holatdagi (ya’ni
tortilmagan yoki siqilmagan) uzunligi. Bu uzunlikdan farqlanish elastik kuch hosil
qiladi..
Tormozlovchi kuch koeffitsienti (c)
: Agar tizimda ishqalanish yoki qarshilik
mavjud bo‘lsa, bu parametr kuch miqdorini ifodalaydi. U harakatning sekinlashishiga
sabab bo‘ladi.
Tashqi kuchlar (F
1
(t), F
2
(t))
: Tashqaridan jismlarga ta’sir qilayotgan kuchlar
bo‘lib, ularning harakatini sezilarli darajada o‘zgartirishi mumkin.
2.3. Harakat doirasi va cheklovlar
Chegaralangan ikki jism masalasida harakatning o‘ziga xos cheklovlari mavjud:
Harakat faqatgina bir o‘qda (odatda gorizontal yoki vertikal) amalga oshadi.
Jismlar orasidagi masofa prujina yoki ip orqali chegaralangan.
Tizim tashqi kuchlarga bog‘liq holda barqarorlikka yoki tebranma harakatga ega
bo‘lishi mumkin.. Ushbu parametrlar yordamida ikki jismdan iborat har qanday
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
75
75
dinamik tizimni modellashtirish, uning harakatini oldindan bashorat qilish va
boshqaruv strategiyalarini ishlab chiqish mumkin bo‘ladi.
3. MASALANING MATEMATIK MODELI
Chegaralangan ikki jism masalasi – bu ikki mexanik jismning o‘zaro ta’siri va
ularning harakatini ifodalovchi matematik modeldir. Ushbu jismlar o‘zaro kuch bilan
bog‘langan bo‘lib, harakat faqatgina berilgan yo‘nalish yoki sharoitda amalga oshadi.
Masalaning soddalashtirilgan holatida ikki jism elastik prujina yoki ip orqali
bog‘langan deb qaraladi. Ularning harakati Nyutonning ikkinchi qonuniga (F = ma)
asoslanadi.
3.1. Jism holatlarini belgilash
Tasavvur qilaylik, ikkita jism mos ravishda m
1
va m
2
massalarga ega va ular bir-
biri bilan elastik prujina yordamida bog‘langan. Tizim gorizontal tekislikda joylashgan
deb faraz qilamiz. Har bir jismning holati koordinata o‘qida
[
x
1
(t), x
2
(t)]: bilan
belgilanadi.
3.2. Kuchlar tahlili
Agar prujinaning qattiqlik koeffitsienti k, uzunligi
L
bo‘lsa, Huk qonuniga ko‘ra
prujinada hosil bo‘ladigan kuch quyidagicha aniqlanadi:
F = (−k(x
2
− x
1
) − L)
1.
Har bir jismga ta’sir qiladigan umumiy kuchlar asosida quyidagi differensial
tenglamalar tuziladi:
1-jism uchun:
m
1
x
1
= k(x
2
− x
1
) − L
2-jism uchun:
m
2
x
2
= −k(x
2
− x
1
) − L
3.
Bu tenglamalar ikkita bog‘langan ikkinchi tartibli differensial tenglamalardan
iborat bo‘lib, tizimning dinamikasini to‘liq ifodalaydi. Agar tizimda tormozlovchi kuch
(masalan, ishqalanish) yoki tashqi kuchlar mavjud bo‘lsa, ular ham qo‘shilishi
mumkin:
m
1
x
1
= k(x
2
− x
1
) − L
)-c
⋅
ẋ
1
+F
1
(t)
m
2
x
2
= −k(x
2
− x
1
) − L
- c
⋅
ẋ
2
+F
2
(t)
4.
Bu yerda:
c – tormozlovchi kuchning koeffitsienti,
F
1
(t), F
2
(t) – tashqi kuchlar.
3.3.
Tizimni holat fazosida ifodalash
Tizimni holat fazosida ifodalash uchun har bir jismning koordinatasi va tezligini
alohida holat o‘zgaruvchilari sifatida olamiz:
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
76
76
{
x
1
`
= v
1
x
2
`
= v
2
v
1
`
=
1
m
1
(k(x
2
− x
1
− L) − cv
1
+ F
1
(t))
v
2
`
=
1
m
2
(−k(x
2
− x
1
− L) − cv
2
+ F
2
(t))
5.
Bu yerda:
x
1
`
′,
x
2
`
_— vaqt bo‘yicha
x
1
va
x
2
joylashuvlarining hosilalari (ya’ni tezliklar),
v
1
, va
v
2
— vaqt bo‘yicha tezliklarning hosilalari (ya’ni tezlanishlar),
m
1
, m
2
— massalar,
k — prujina qattiqligi,
c — demping koeffitsienti,
L — prujinaning bo‘sh holatdagi uzunligi,
F
1
(t), F
2
(t)— tashqi vaqtga bog‘liq kuchlar.
4. MODELLASHTIRISH USULLARI
Chegaralangan ikki jism masalasini tahlil qilishda turli xil modellashtirish
yondashuvlari qo‘llaniladi. Bu usullar masalaning xususiyatlari, tashqi kuchlarning
mavjudligi, tizim parametrlarining o‘zgaruvchanligi va modeldan kutilayotgan aniqlik
darajasiga qarab tanlanadi. Quyida asosiy modellashtirish usullari ko‘rib chiqiladi:
4.1.
Analitik modellashtirish
Analitik modellashtirish usuli asosiy fizik qonunlarga, masalan, Nyutonning
ikkinchi qonuniga, Huk qonuniga va differensial tenglamalarga asoslanadi. Ushbu
yondashuvda tizim harakati tenglamalari qo‘l bilan chiqariladi va ularning yechimlari
analitik shaklda topiladi. Bu usul kichik, soddalashtirilgan tizimlar uchun juda
foydalidir, ammo murakkab holatlarda u amaliy yechim bera olmaydi.
4.2.
Holat fazosida modellashtirish
Holat fazosida modellashtirish — bu tizimning barcha o‘zgaruvchilarini
(koordinatalar, tezliklar) alohida holat sifatida olib, ularni birgalikda differensial
tenglamalar tizimi shaklida ifodalashdir. Bu usul zamonaviy boshqaruv nazariyasida
keng qo‘llaniladi va simulyatsiya qilish uchun qulaydir. Bu usul Matlab/Simulink
kabi dasturlarda tezkor modellashtirish imkonini beradi.
4.3.
Energetik yondashuv (Lagrange va Hamilton usullari)
Agar tizimda kuchlar bilan emas, balki energiya bilan ishlash qulayroq bo‘lsa,
Lagrange yoki Hamilton usullari qo‘llaniladi. Lagrange funksiyasi quyidagicha
aniqlanadi:
L=T−VL = T - VL=T−V 6.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
77
77
bu yerda T — kinetik energiya, V — potentsial energiya. Ushbu yondashuv
tizimda kuchlar bevosita aniqlanmasa ham, energiyalar asosida tenglamalarni
chiqarish imkonini beradi.
4.4..
Raqamli modellashtirish
Murakkab tizimlar uchun analitik yechimlar mavjud bo‘lmasligi mumkin.
Bunday holatda raqamli modellashtirish (numerik yondashuv) qo‘llaniladi. Eng ko‘p
ishlatiladigan usullar:
Euler usuli
Runge-Kutta usullari (odatda 4-tartibli)
ODE solver’lar (Matlab: ode45, ode23)
Bu usullar yordamida harakat tenglamalarini vaqt bo‘yicha yechish va tizim
holatini graflar ko‘rinishida tahlil qilish mumkin bo‘ladi.
4.4. Kompyuter modellashtirish
Zamonaviy texnologiyalar yordamida chegaralangan ikki jism masalasini
kompyuter dasturlari orqali modellashtirish keng tarqalgan. Quyidagi dasturlar keng
qo‘llaniladi:
MATLAB/Simulink
– tizim harakatini grafik interfeysda modellashtirish
Maple/Mathematica
– analitik yechimlarni chiqarish va tahlil qilish
Python (SciPy, NumPy)
– raqamli integratsiya va vizualizatsiya
ANSYS yoki SolidWorks Motion
– murakkab mexanik tizimlarni 3D
muhitda modellashtirish
4. XULOSA VA TAVSIYA LAR
Chegaralangan ikki jism masalasi mexanik tizimlarni tahlil qilishda muhim
nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi. Ushbu maqolada masalaning matematik modeli,
asosiy parametrlar, modellashtirish usullari va amaliy yechimlari batafsil ko‘rib
chiqildi. Analitik va raqamli modellashtirish orqali tizim harakati, barqarorligi hamda
tashqi kuchlar ta’siridagi dinamikasi tahlil qilindi. Tizim parametrlarining harakatga
ta’siri, tormozlovchi kuchlarning rolini va tashqi tebranishlarga javob reaksiyalarini
aniqlash orqali, real texnik qurilmalarni loyihalash va ularning xavfsiz ishlashini
ta’minlash mumkin. Bundan tashqari, bu model mexanik tizimlar nazariyasining asosiy
g‘oyalari bilan tanishish uchun qulay platforma bo‘lib, uni murakkab tizimlarga
kengaytirish imkoniyati mavjud. Raqamli usullarning qo‘llanilishi esa modellashtirish
jarayonini soddalashtiradi va aniqlikni oshiradi. Umuman olganda, chegaralangan ikki
jism masalasi nafaqat nazariy o‘rganish, balki amaliy muammolarni hal qilishda ham
dolzarb ahamiyatga ega. U mexanika, avtomatlashtirish, robototexnika, aviatsiya va
boshqa ko‘plab muhandislik sohalarida fundamental rol o‘ynaydi.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–79_Issue-1_June-2025
78
78
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering. 5th ed. Pearson Education.
2.
Meirovitch, L. (2001). Fundamentals of Vibrations. McGraw-Hill.
3.
Shabana, A. A. (2013). Dynamics of Multidiv Systems. 4th ed. Cambridge
University Press.
4.
Karnopp, D. C., Margolis, D. L., & Rosenberg, R. C. (2012). System Dynamics:
Modeling, Simulation, and Control of Mechatronic Systems. 5th ed. Wiley.
5.
Safarmatov Uchqun Sohibjon o‘g‘li, Eshboyev Ilhom Ikrom o‘g‘li, (2024) Tenzor
Tahlilining Arxitektura Va Qurilishdagi Roli: Tizimlar Va Strukturaviy Tahlil.
Young Scientist Research Journal Of Karakalpakstan_October vol 1 issue 4
2024y
6.
Safarmatov Uchqun Sohibjon o‘g‘li, Eshboyev Ilhom Ikrom o‘g‘li. THREE-
BODY PROBLEM: MATHEMATICAL APPROACH TO SIGNAL
TRANSMISSION BETWEEN EARTH AND MOON VIA ARTIFICIAL
SATELLITE. 2024/10/23. 202-208.
https://scopusacademia.org/index.php/jmea/article/view/1081
