“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
100
TEKISLIKDAGI HARAKAT, UNING ENG SODDA TURLARI, ANALITIK
IFODASI
Xalmanov Ural Rasulovich
Jizzax davlat pedagogika universiteti, “Tabiiy va aniq fanlarda masofaviy ta’lim”
Aliqulova Shoxsanam
Jizzax davlat pedagogika universiteti, Matematika va informatika yo’nalishi 5-
kurs talabasi
Annotatsiya
: Ushbu maqolada tekislikdagi harakat tushunchasi, uning eng
sodda turlari va analitik ifodasi ko‘rib chiqiladi. Geometriyada harakat deganda,
tekislik yoki fazodagi barcha nuqtalar orasidagi masofani saqlovchi o‘zgarishlar
tushuniladi. Maqolada harakatning asosiy turlari – parallel siljish, aylanish va
simmetriya akslantirishlari batafsil tahlil qilinadi. Shuningdek, ushbu harakatlarning
analitik tavsifi, ya’ni koordinatalar yordamida ifodalanishi ham ko‘rib chiqiladi.
Harakatlarning matematik modellari va ularning amaliy qo‘llanilishi geometriya,
fizika va kompyuter grafikasi kabi sohalarda muhim ahamiyat kasb etadi. Mazkur
maqola tekislikdagi harakatning nazariy asoslarini tushunish va ularning real
dunyodagi qo‘llanilishiga doir bilimlarni kengaytirishga xizmat qiladi.
Kalit so‘zlar
: Tekislikdagi harakat, geometrik transformatsiyalar, izometriya,
parallel ko‘chirish, aylanish harakati, akslantirish, transformatsiyalarning analitik
ifodasi, koordinatalar o‘zgarishi, matritsalar yordamida ifodalash, affin o‘zgarishlar.
Maktab geometriya kursida eng sodda almashtirishlar bilan tanishish ko’zda
tutiladi, ular: parallel ko’chirish, simmetriya burish va o’xshash almashtirishlardan
iborat.
Parallel ko’chirish, simmetriya va burish barchasi adabiyotlarda bitta
«harakat», yoki «siljitish» yoki «izometriya» deb aytiladi.
1-ta’rif.
Tekislikning
ixtiyoriy
ikki
nuqtasi
orasidagi
masofani
o’zgartirmaydigan almashtirish «
harakat
»
yoki «izometriya»
deyiladi.
Harakatni
L
orqali belgilaymiz.
L
harakat bo’lsa, tekislikning har qanday ikki
M,N
nuqtasi uchun
ρ(M,N) =ρ(L(M), L(N)) (M
1
= L(M) N
1
= L(N))
Harakat xossalarini ko’rib chiqaylik.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
101
1°. Harakat kesmani o’ziga teng kesmaga o’tkazadi.
2°. Harakat bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtani, yana bir to’g’ri chiziqda
yotuvchi nuqtaga o’tkazadi.
3°. Harakat to’g’ri chiziqni, to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
4°. Harakat nurni nurga o’tkazadi.
5°. Harakatda burchak kattaligi o’zgartirmaydi.
6°. Harakat, parallel to’g’ri chiziqlarni ya’na parallel to’g’ri chiziqlarga
o’tkazadi.
7°. Harakat ko’pburchakni yana ko’pburchakka o’tkazadi (bunda mos
burchaklarning kattaligi, tomonlarining uzunliklari o’zgarmaydi)
8°. Harakat aylanani yana aylanaga o’tkazadi, bunda aylana radiuslari
o’zgarmaydi.
9°. Tekislikdagi harakatlar to’plami gruppa tashkil qiladi
Isboti: 1° xossani isbotlaylik. Tekislikda ikkita
A
va
B
nuqtalarni olaylik.
Harakat
A
va
B
nuqtalarni
L(A)=A'
va
L(B)=B'
nuqtalarga o’tkazsin.
Agar
C
AB
bo’lsa, u holda (1-chizma)
ρ(AC)+ρ(CB)=ρ(AB)
(1)
Harakat ta’rifiga asosan
ρ(A'C') +ρ(C'B') =
ρ(A'B'
)
(2)
bu esa
C'
A'B'
ko’rsatadi.
Aksincha, agar qandaydir
C’
nuqta
C’
A’B’
bo’lsa, u holda (2) tenglik o’rinli
bo’ladi, bundan (1) tenglikning o’rinligini, undan esa
C
AB
bo’ladi.
2° isbotini ko’rib chiqaylik.
A, B, C
bir to’g’ri chiziq nuqtalari bo’lsin,
harakatda ularga
A’, B’, C’
nuqtalar mos kelsin. Aniqlik uchun
C
nuqta
A
va
B
nuqtalar orasida yotsin deylik. U holda 1° xossaga asosan
C'
A’B’
da yotadi. Demak,
A’, B’, C’
nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
102
Nuqtalarning bir to’g’ri chiziqda yotish xossasini
kollinearlik munosabati
deyiladi.
Kollinearlik
munosabatini
saqlovchi
almashtirish
kollineatsiya
deyiladi. Demak, tekislikdagi harakat
kollineatsiyadan iborat bo’ladi.
3° Tekislikda
L
-harakat va ixtiyoriy
d
to’g’ri chiziq berigan bo’lsin.
d
to’g’ri
chiziqda yotuvchi ikkita
A
va
B
nuqtalarni
olamiz. Harakat
L(A)=A', L(B)=B'
.
A’
va
B’
nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni
d’
bilan belgilaymiz (2-chizma).
Agar
M
nuqta
d
to’g’ri chiziqqa qarashli ixtiyoriy nuqta bo’lsa, u holda 1°
xossaga ko’ra
L(M)=M’
d’.
4°-9° larni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganiladi.
2-ta’rif. Agar ikki figuradan birini ikkinchisiga o’tkazadigan harakat mavjud
bo’lsa, bu figuralar
kongruent
deyiladi. Bu kongruent figuralar tekislikdagi
vaziyatlari bilan farq qiladi xolos.
Teorema
.
Tekislikdagi
L
harakat
R
to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini,
R'
to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga o’tkazsa,
M'=L(M)
nuqtaning
R'
koordinatalar sistemasidagi koordinatalari
M
nuqtaning
R
to’g’ri burchakli
koordinatalar sistemasidagi koordinatalari bilan bir xil bo’ladi (3-chizma).
Isbot.
R(0,i,j)
tekislikdagi to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi.
L(O) = O', L(A
1
)=A
1
’, L(A
2
)=A
2
'
o’tkaziladi. Yuqoridagi xossalarga asosan
O’
1
, A’
1
va
A’
2
nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotmaydi va
A’
2
O’A’
1
=90
0
. Demak
R
'
dekart
koordinatalar sistemasi bo’ladi.
3-chizma
2-chizma
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
103
Тekislikda ixtiyoriy
M
nuqtasini
R
ga nisbatan koordinatalari
x,y
bo’lsin.
)
(
1
1
1
1
1
1
O
A
M
OA
O
M
OA
OM
x
)
(
2
2
2
2
2
2
O
A
M
OA
O
M
OA
OM
y
M'
nuqtaning
R'
ga nisbatan koordinatalari
x',y'
bo’lsin
)
'
'
'
(
'
'
'
'
'
'
'
'
'
1
1
1
1
1
1
O
A
M
A
O
O
M
A
O
M
O
x
)
'
'
'
(
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
2
2
2
2
2
O
A
M
A
O
O
M
A
O
M
O
y
(M,A,O) = (M
1
1
A
1
1
O
1
), (M
2
A
2
O) = (M'
2
A'
2
O')
tengliklardan
x=x', y = y'.
2. Harakatning eng sodda turlarini ko’rib chiqaylik,
a) To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya
(
S
d
)
Tekislikda
d
to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin.
3-ta’rif. Tekislikdagi
A, A
1
nuqtalar uchun
AA
1
kesma
d
ga perpendikulyar bo’lib,
AA
1
kesmaning
o’rtasi
d
to’g’ri chiziqida yotsa, u holda bu nuqtalar
d
to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik
deb ataladi va
S
d
ko’rinishda yoziladi.
d
to’g’ri chiziqni
simmetriya o’qi
deyiladi.
Agar biror nuqta
N
d
bo’lsa, u holda
S
d
(
N
)
=N
(4-chizma) ya’ni
d
to’g’ri chiziqning
har bir nuqtasi simmetrik almashtirishda o’z-o’ziga o’tadigan qo’sh nuqtadan
iborat bo’ladi.
Tekislikda bulardan tashqari bunday xossaga ega bo’lgan nuqta mavjud
emas.
To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirish quyidagi xossalarga ega:
1°
S
d
simmetrik almashtirish to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
2°
S
d
simmetrik almashtirish ikki nuqta orasidagi masofani saqlaydi.
Bu xossalarni koordinatalar metodidan foydalanib isbotlaymiz.
To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasining
Ox
o’qini simmetriya
o’qi deb olsak,
A(x,y
)
nuqtaning aksi
A'(x',y')
bo’ladi (5-chizma).
4-chizma
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
104
Bunda
y
y
x
x
'
'
(3)
(3)
Ox
o’qiga nisbatan
simmetrik almashtirish formulasi.
Simmetrik almashtirish
xossalarini isbotlaylik.
1° Agar
d
to’g’ri chiziq
tenglamasi
Ax+By+C=0
berilsa,
uning
d
1
aksini (3) almashtirishdan foydalanib topamiz,
Ax
1
-By
1
+C=0
. Bu yana to’g’ri chiziqdir.
2°. Tekislikning ixtiyoriy ikkita
A(x
1
,y
1
)
va
B(x
2
,y
2
)
nuqtalari,
)
,
(
),
,
(
2
'
2
'
'
1
'
1
'
'
y
x
B
y
x
A
nuqtalar esa ularning aksi bo’lsin. (3) formulani e’tiborga olib,
bu nuqtalar orasidagi masofani hisoblaymiz
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
))
(
(
)
(
)
(
)
(
)
'
,
'
(
y
y
x
x
y
y
x
x
B
A
)
,
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
B
A
y
y
x
x
Demak simmetrik almashtirish harakatdir.
4-ta’rif. Agar biror
F
figura
d
to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik
almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, u holda
d
to’g’ri chiziq bu figuraning
simmetriya
o’qi
deyiladi.
b)
Parallel ko’chirish
(
T
). Tekislikda
0
vektor berilgan bo’lsin.
5-ta’rif. Tekislikning har bir
A
nuqtasiga
'
AA
=
(4)
shartni qanoatlantiruvchi
A
1
nuqtani mos keltirishga tekislikdagi
vektor qadar
parallel ko’chirish
deyiladi. Uni
T
ko’rinishda belgilanadi.
vektorni
ko’chirish vektori
deyiladi.
Ta’rifga ko’ra,
T
parallel ko’chirish tekislikning barcha nuqtalarini
vektor yo’nalishida |
| masofaga siljitadi.
Parallel ko’chirish quyidagi xossalarga ega:
1
0
. Parallel ko’chirish, to’g’ri chiziqni unga parallel to’g’ri chiziqqa
o’tkaziladi.
2
0
. Parallel ko’chirishda ikki nuqta orasidagi masofaga o’zgarmaydi.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
5-chizma
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
105
Isbot: 1
0
. Xossani isbotlaylik.
Agar
A
1
(x
1
1
;y
1
1
)
nuqta
A(x;y)
nuqtaning aksi bo’lsa, u holda ta’rifga ko’ra
'
AA
=
. Bunda
(x
0
,y
0
)
va
'
AA
(x'-x, y'-y)
koordinatalarga ega. (4) dan:
0
0
'
'
у
у
y
x
х
x
,
ya’ni
0
0
'
'
y
y
y
x
x
x
(5)
Parallel ko’chirish formulasiga ega bo’lamiz.
1
0
. Tekislikda
d
to’g’ri chiziq
Ax + By+C = 0
tenglama bilan berilgan bo’lsin.
(5) formuladan foydalanib
d
to’g’ri chiziqni
vektor qadar parallel ko’chiramiz.
Ya’ni
x = x
’
-x
0
, y = y
’
-y
0
qiymatlarni
d
to’g’ri chiziq tenglamasiga qo’yib:
d
1
: Ax
1
+By
1
+(C-Ax
0
-By
0
)=0
(6)
birinchi darajali tenglamaga ega bo’ldik, bu (6) tenglama to’g’ri chiziq tenglamasi,
d || d
1
Demak
T
(d) = d
1
to’g’ri chiziq.
2°. Ikkita ixtiyoriy
A(x
1
;x
2
)
va
B(x
2
; y
2
)
nuqtalarning obrazlari
A
1
(x
1
1
,y
1
1
)
va
B
1
(x
1
2
,y
1
2
)
nuqtalar bo’lsin, u holda
0
1
1
0
1
1
'
'
y
y
y
x
x
x
0
2
2
0
2
2
'
'
y
y
y
x
x
x
(7)
Ikkita
A
1
va
B
1
nuqtalar
orasidagi
masofani
(7)
formulani
e’tiborga olib hisoblasak,
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
B
A
y
y
x
x
y
y
x
x
B
A
Demak parallel ko’chirish harakat.
v) Burish
(R
a
)
Tekislikda yo’nalishga ega bo’lgan
burchak berilgan bo’lsin.
6-ta’rif. Tekislikning har bir
A
nuqtasiga
ushbu
1.
(
0,A)=
(O,A
1
);
2.
<A0A
1
=<NKM=
;
shartlarni qanoatlantiruvchi
A
1
nuqtani mos
keltiruvchi almashtirishga
O
nuqta atrofida berilgan
burchakka burish deyiladi. (6-chizma)
O
nuqta burish markazi,
burish burchagi deyiladi.
Tekislikdagi
O
nuqta atrofidagi
burchakka burish
R
0
bilan belgilanadi.
a
a
a
a
6-chizma
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
106
R
0
burish quyidagi xossalarga ega:
1°. Burish to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
2°. Ikki nuqta orasidagi masofa o’zgarmaydi.
Bu xossalarni koordinatalar metodi bilan isbotlash mumkin.
Burish ham harakat bo’ladi.
g) Markaziy simmetriya
(S
0
)
7-ta’rif. Tekislikdagi biror
O
nuqta atrofida
=180°
ga burish
O
nuqtaga
nisbatan simmetrik almashtirish yoki markaziy simmetriya deyiladi va
S
0
bilan
belgilanadi.
O
nuqta simmetriya markazi deyiladi.
(7-chizma)
Markaziy simmetriyada simmetriya
markazi
O
nuqta
A
nuqta va uning aksi
A
1
nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi va
OA
OA
1
.
Markaziy simmetriyaning harakat ekanligini isbotlash qiyin emas.
8-ta’rif. Agar birorta figura
O
nuqtaga nisbatan simmetrik almashtirishda o’z-
o’ziga o’tsa, u holda
O
nuqta figuraning simmetriya markazi deyiladi.
d) Sirpanuvchi simmetriya.
Tekislikda
S
d
simmetriya
p
T
(
p
0
,
p
||d)
parallel ko’chirish berilgan bo’lsin.
9-ta’rif.
f=
p
T
·
S
d
almashtirish kompozitsiyasi sirpanuvchi simmetriya
deyiladi (8-chizma).
Agar
S
d
(A)=A'
ga va
p
T
(A')=A"
ga o’tkazsa, u
holda
f(A)=A''
ga o’tkazadi.
Agar
p
T
(A)=A
1
ga va
S(A
1
)=A''
ga o’tkazsa
f(A)=A''
ga o’tkazadi (8-chizma).
Demak
p
T
·
S
d
=S
d
·
p
T
.
Sirpanuvchi simmetriya kommutativlik
xossasiga ega.
Agar
A(x,y), A
1
(x
1
,y
1
)
A
11
(x
11
,y
11
)
koordinatalarga ega,
d = Ox
bo’lsa:
y
y
x
x
S
x
1
1
0
:
1
11
0
1
11
:
y
y
x
x
x
T
p
8-chizma
7-chizma
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
107
bundan
f
:
y
y
x
x
x
11
0
11
;
(8)
(8)
d=Ox
bo’lgan sirpanuvchi simmetriya formulasidir. Yuqoridagi ko’rilgan
xossalar ham sirpanuvchi simmetriya uchun o’rinli bo’lishini ko’rsatish qiyin emas.
(8) formuladan
= -1
ekanligi ma’lum. Demak, sirpanuvchi simmetriya
ikkinchi tur harakat.
Adabiyotlar ro‘yxati
1.
Axmedov A. A., Sodiqov R. S. "Geometriya" – Toshkent: O‘zbekiston Milliy
Ensiklopediyasi, 2015.
2.
Mahmudov N. "Matematik analiz va geometriya asoslari" – Toshkent: Fan va
texnologiya nashriyoti, 2018.
3.
Qosimov I., O‘rozov M. "Geometriya: nazariya va amaliyot" – Toshkent:
O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nashriyoti, 2020.
4.
Xamidov U. "Matematik transformatsiyalar va ularning qo‘llanilishi" – Toshkent:
Universitet nashriyoti, 2016.
5.
Rashidov A., Norqulov B. "Geometriyaning asosiy tushunchalari va metodlari" –
Toshkent: Fan va texnologiya, 2019.
6.
Muminov S. "Geometriya va uning amaliy ahamiyati" – Samarqand: Samarqand
davlat universiteti nashriyoti, 2021.
7.
Jo‘rayev N. "Simmetriya va transformatsiyalar nazariyasi" – Toshkent: Fan, 2017.
8.
Karimov H. "Geometrik modellar va ularning fizikaga tatbiqi" – Toshkent: Fan va
texnologiya, 2014.
