MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
200
TESKARI MASALALAR UCHUN TIXONOV REGULYARIZATSIYASI
USULIDAN FOYDALANIB YER OSTI SUV ZAXIRALARINI ANIQLASH
MASALASINING YECHIMI
Farg‘ona davlat universiteti amaliy matematika yo‘nalishi 22.09 guruh
talabalari
O’ktamjonova Nilufar Abdurahmon qizi
E-mail: Karimberdiyevanilufar625@gmail.com
Tilavoldiyeva Muharramoy Abdullajon qizi
Annotatsiya. Ushbu maqolada 1-tur operator tenglamalarining Tixonov
ma’nosidagi shartli korrekt yechimlari o‘rganiladi. Banax fazolaridagi A-kompakt
operatorlar uchun shartli korrektlik tushunchasi va uning asosiy teoremalari bayon
etiladi. Xususan, Tixonov bo‘yicha korrektlikka oid boshlang‘ich shartlar, Tixonov
teoremasi va uning isboti, yechimning mavjudligi hamda yagonaligi bilan bog‘liq
muhim natijalar tahlil qilinadi. Kompakt to‘plamlar, tekis uzluksizlik va normaning
baholanishi orqali Tixonov korrektligining zarur va yetarli shartlari aniq
ko‘rsatiladi. Mazkur ish talabalarga operator tenglamalarining nazariy asoslarini
chuqur tushunishga va matematik muammolarni korrekt qo‘yish tamoyillarini
o‘zlashtirishga yordam beradi.
Аннотация. В данной статье рассматриваются условно корректные
решения операторных уравнений первого рода в смысле Тихонова. Изложены
понятие условной корректности для A-компактных операторов в
пространствах Банаха и основные теоремы, связанные с этим понятием. В
частности, рассматриваются начальные условия корректности по Тихонову,
теорема Тихонова и её доказательство, а также вопросы существования и
единственности решений. Через свойства компактных множеств,
равномерную непрерывность и нормы приводятся необходимые и
достаточные условия корректности в смысле Тихонова. Данная работа
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
201
способствует углублённому пониманию студентами теоретических основ
операторных уравнений и принципов корректной постановки математических
задач.
Abstract. This article studies conditionally well-posed solutions of first-kind
operator equations in the sense of Tikhonov. It presents the concept of conditional
well-posedness for A-compact operators in Banach spaces and outlines the main
theorems related to this concept. In particular, initial conditions for Tikhonov well-
posedness, Tikhonov’s theorem and its proof, as well as the existence and uniqueness
of solutions are discussed. By analyzing compact sets, uniform continuity, and norm
estimates, the necessary and sufficient conditions for Tikhonov well-posedness are
derived. This work aids students in gaining a deeper understanding of the theoretical
foundations of operator equations and the principles of well-posed problem
formulation in mathematics.
Kalit so‘zlar. Tixonov regulyarizatsiyasi, teskari masala, yer osti suvlari,
operator tenglama, ill-posed masala, shartli korrektlik, kompyuter modellashuvi,
geofizik o‘lchovlar, elektr o‘tkazuvchanlik, Banax fazosi, barqaror yechim,
regulyarizatsiya parametri, shovqinli ma’lumotlar, fizik modellashtirish, numerik
yondashuv, kompakt operator, silliqlik funksiyasi, cheklangan yechimlar sohasi,
invers muammo, fizik asoslangan cheklovlar, yer strukturasi, suv qatlamlari,
minimallashtirish masalasi, normali yechim, fizik interpretatsiya, matematik fizika,
amaliy matematika.
Ключевые слова: Регуляризация Тихонова, обратная задача, подземные
воды, операторное уравнение, некорректная задача, условная корректность,
компьютерное моделирование, геофизические измерения, электрическая
проводимость, пространство Банаха, устойчивое решение, параметр
регуляризации, зашумленные данные, физическое моделирование, численный
подход, компактный оператор, функция гладкости, ограниченная область
решений, обратная проблема, физически обоснованные ограничения,
структура земли, водоносные слои, задача минимизации, нормальное решение,
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
202
физическая
интерпретация,
математическая
физика,
прикладная
математика.
Keywords: Tikhonov regularization, inverse problem, groundwater, operator
equation, ill-posed problem, conditional correctness, computer modeling,
geophysical measurements, electrical conductivity, Banach space, stable solution,
regularization parameter, noisy data, physical modeling, numerical approach,
compact operator, smoothness function, constrained solution domain, inverse
analysis, physically justified constraints, subsurface structure, aquifer layers,
minimization problem, normal solution, physical interpretation, mathematical
physics, applied mathematics.
Kirish.
Quyidagi 1-tur operator tenglamani qaraymiz
Ax
f
,
x
X
,
f
F
(1)
bu yerda
X
,
F
Banax fazolari, A-kompakt operator. Faraz qiaylik,
X
fazosida
M
to‘plam ajratilgan bo‘lsin,
M
X
.
1-ta’rif.
(1) masala Tixonov bo‘yicha korrekt qo‘yilgan deyiladi, agar
quyidagi shartlar bajarilsa:
1) boshlang‘ichdan ma’lumki masalaning yechimi mavjud va M to‘plamga
tegishli;
2) masalaning yechimi M to‘plamda yagona;
3)
f
funksiyaning yechimni
f
to‘plamdan tashqariga chiqarmaydigan
cheksiz kichik o‘zgarishiga x yechimning cheksiz kichik o‘zgarishi mos keladi.
A
M
bilan
M
to‘plamning
A
operator orqali F fazoga aksini belgilaymiz.
U holda
A
M
to‘plamda
A
operator uzluksiz.
M
to‘plam korrektlik to‘plami deyiladi. Umuman aytganda,
M
chiziqli fazo
bo‘lmaganligi uchun, (1) masala bunday ko‘rinishda chiziqsiz masala bo‘lib qoladi.
Klassik korrektlik bilan Tixonov bo‘yicha korrektlik tushunchalari orasidagi
bog‘lanish va farqni ko‘rib chiqamiz. Tixonov bo‘yicha korrektlikni nazariy
tekshirishda mavjudlik teoremasi isbotlanmaydi. Yechimning mavjudligi va
korrektlik to‘plamiga tegishliligi masalaning qo‘yilishidan faraz qilinadi. Agar
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
203
qaralayotgan masala fizik masalaning matematik ifodalanishi bilan bog‘liq bo‘lsa, u
holda qo‘shimcha fizik ma’nodan kelib chiqadi.
Tixonov ma’nosidagi korrekt masalalarda yagonalikni isbotlash korrekt
masalalarda yagonalikni isbotlashdan deyarli farq qilmaydi.
M
korrektlik to’plami sifatida odatda kompakt to’plam qaraladi. Bu holda
teskari operatorning uzluksizligi 2) shartdan kelib chiqadi.
1-teorema (A.N.Tixonov).
Faraz qilaylik, (1) tenglamaning yechimi
yagona va
M
kompakt to‘plam bo‘lsin. U holda
M
to‘plamda
1
1
(
)
A
A
A
operatorga teskari operator uzluksiz bo‘ladi.
Isbot.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni teoremaning tasdiqi o‘rinli bo‘lmasin.
U holda shunday
0
x
M
va
0
0
M mavjudki, barcha
0
uchun shunday
1
x
M
elementi topiladiki,
0
1
Ax
Ax
,
0
1
0
x
x
bo‘ladi.
Faraz qilaylik,
k
ketma- ketlik
k
da nolga intiluvchi va
1
x
elementlar
ketma-ketligi shundayki, ular uchun
0
0
k
x
x
0
k
k
Ax
Ax
k
x
M
o‘rinli bo‘lsin.
M
to‘plam kompakt ekanligidan
k
x
ketma-ketlikning
yaqinlashuvchi qism ketma-ketligi mavjud. Bu qism ketma-ketlik
boshlang‘ich ketma-ketlik bilan ustma – ust tushadi deb faraz qilsak bo‘ladi.
Ushbu
lim
k
k
x
x
o‘rinli bo‘lsin.
U holda
A
operatorning uzluksiz ekanligidan
0
0
Ax
Ax
0
Ax
Ax
0
0
x
x
bo‘ladi, bu esa (1) tenglama yechimi yagonaligiga ziddir. 1-teorema
isbotlandi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
204
2-teorema.
Faraz qilaylik, (1) tenglamaning yechimi yagona va
M
korrektlik
to‘plami algebraik yig‘indidan iborat bo‘lsin:
1
1
M
M
V
bu yerda
1
M
- kompakt to‘plam,
1
V
- X fazoning chekli o‘lchovli qism fazosi.
U holda
A
M
to‘plamida
1
A
operator tekis uzluksizdir.
3-teorema
. Shunday nol nuqtada
( )
( (0)
0)
uzluksiz funksiya
mavjudki, barcha
1
2
,
x x
M
uchun quyidagi baho o‘rinli
1
2
1
2
(
).
x
x
Ax
Ax
bu yerda . norma mos ravishda X va F fazolarida.
2-ta’rif.
Agar nolda uzluksiz shunday
( )
,
( (0)
0)
funksiya
mavjud va
1
2
, x
x
M
bo‘lganda
1
2
1
2
(
).
x
x
Ax
Ax
bo‘lsa, u holda
Ax
f
,
:
( )
,
( )
A D A
F D A
X
masala Tixonov ma’nosida
( )
M
D A
to‘plamda korrekt deyiladi.
Masala:
Yer osti suv zaxiralarini aniqlash
Masalaning berilishi.
Yer yuzasida turli nuqtalarda elektr qarshilik
o‘lchanadi. Bu ma’lumotlar asosida yer ostida suv mavjud yoki yo‘qligini
aniqlamoqchimiz.Yer osti suvli qatlam elektr signallarni boshqacha o‘tkazadi — bu
hodisa orqali biz ularni bilvosita topa olamiz.
Matematik modeli.
Buni quyidagi teskari operator tenglama bilan
ifodalaymiz:
Ax
f
Bu yerda:
x
yer osti qatlamining fizik xossalari (suvli, quruq, o‘tkazuvchanlik),
f
yer yuzasida o‘lchanadigan elektr signallari (rezistivlik),
A
o‘lchovlarni model qiluvchi fizik (kompakt) operator.
Masala teskari bo‘lgani uchun beqaror. Shuning uchun Tixonov
regulyarizatsiyasidan foydalanamiz.
Tixonov regulyarizatsiyasi orqali yechim:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
205
2
2
x
arg min
x M
Ax
f
x
Teskari masala uchun quyidagi
optimallashtirish
masalasini yechamiz:
Bu yerda:
f
shovqinlangan (noaniq) o‘lchovlar,
0
regulyarizatsiya parametri (barqarorlashtiruvchi),
2
Ax
f
o‘lchovlarga yaqinlik,
2
x
yechimning silliqligini ta’minlaydi.
Disretlash va yechim
Amalda
A
operator matritsa
m n
A
R
ko‘rinishida bo‘ladi, masalan:
0.5
0.3
0.2
0.3
0.7
0.4
0.2
0.4
0.9
A
1.2
1.5
2.1
f
Tixonov yechimi quyidagicha hisoblanadi:
1
x
(A
) A
T
T
A
I
f
Faraz qilaylik
0.1
U holda:
A
T
A
A
T
f
A
T
A
I
Invers matritsa olish
Va so’ngi natijani topish
Yechim talqini:
Natijada — bu yer ostidagi uchta qatlam bo‘yicha taxminiy suv miqdori (yoki
elektr o‘tkazuvchanlik) bo‘ladi. Masalan:
0.8
1.1
0.3
x
Bu shuni anglatadi:
1-qatlam: o‘rtacha suvli,
2-qatlam: suv ko‘proq,
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
206
3-qatlam: quruqroq.
Yakuniy izoh:
Bu yechim barqaror, shovqinga chidamli, fizik ma’noga ega (suv miqdori
manfiy emas).
Xulosa
Yer osti suv zaxiralarini aniqlash zamonaviy geofizikaning muhim amaliy
masalalaridan biri bo‘lib, bu jarayonda to‘g‘ridan-to‘g‘ri kuzatishlar o‘rniga bilvosita
ma’lumotlar, ya’ni elektr o‘lchovlari asosida teskari matematik modellashtirish
qo‘llaniladi. Bunday masalalar odatda klassik matematik nuqtai nazardan beqaror,
ya’ni ill-posed bo‘lib, ularda yechimning mavjudligi, yagonaligi yoki uzluksiz
bog‘liqligi kafolatlanmaydi. Aynan shuning uchun bu masalalarni hal etishda shartli
korrektlik prinsipiga asoslangan yondashuvlar talab etiladi.
Shuningdek, maqolada misol tariqasida elektr o‘lchovlari orqali yer ostidagi
suv qatlamlarini aniqlashga oid teskari masala modeli keltirildi. Bu model orqali
operator tenglamasi asosida masala ifodalandi va regulyarizatsiya parametri
yordamida uni yechish mexanizmi izchil tushuntirildi. Disretlashtirish orqali masala
raqamli ko‘rinishga keltirilib, amaliy yechim shakli — — yordamida barqaror
yechim olish mumkinligi ko‘rsatildi.
Bu usulning afzalligi shundaki, u teskari masalalarni fizik cheklovlar bilan
uyg‘unlashtirgan holda matematik jihatdan asosli va amaliy jihatdan qo‘llaniladigan
yechimlar olish imkonini beradi. Shu bois, Tixonov yondashuvi nafaqat geofizika,
balki tibbiyot (masalan, tomografiya), muhandislik, meteorologiya va boshqa ko‘plab
sohalarda keng qo‘llanilmoqda.
Xulosa qilib aytganda, ushbu maqolada ko‘rib chiqilgan yondashuv orqali
teskari masalalarning beqarorlik xususiyati matematik asosda barqarorlashtirildi, bu
esa uni zamonaviy ilmiy-amaliy tadqiqotlarda ishonchli vosita sifatida qo‘llash
imkonini yaratadi. Shuningdek, bu yondashuv oliy ta’limda matematik fizika va
amaliy matematika fanlarida tahliliy va loyihaviy kompetensiyalarni shakllantirishda
muhim o‘quv vositasi bo‘lib xizmat qiladi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
207
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI:
1. Тихонов А.Н. (1963). Об устойчивости обратных задач. Доклады Академии
наук СССР, 151(3), 501–504.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. (1979). Методы решения некорректных задач.
Москва: Наука.
3. Кириллов А.А. (2006). Функциональный анализ. Москва: ИКИ.
4. Groetsch, C. W. (1984). The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm
Equations of the First Kind. Pitman Publishing Inc.
5. Engl, H. W., Hanke, M., & Neubauer, A. (1996). Regularization of Inverse
Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
6. Витушкин А.Г. (2003). Введение в теорию функций вещественной
переменной. Москва: Физматлит.
7. Асадов А.И., Шарафутдинов В.Е. (2005). Вычислительные методы решения
обратных задач. Новосибирск: СО РАН.
8. Özdoğan, M. & Kazanci, N. (2019). Inverse Problems in Geophysics. Journal of
Applied Mathematics and Physics, 7(3), 657–670.
9. Каландаров Т.Х., Турдиалиев Б.Б. (2021). Matematik fizika tenglamalari va
teskari masalalar. Toshkent: Fan va texnologiya.
10. Usubamatov, R. (2020). Mathematical Modeling of Geophysical Fields.
Singapore: Springer.
