MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–7_Июнь –2025
131
YAQINLASHUVCHI QATORLARNING XOSSALARI
Xasanova Mohichexra Farxod qizi
Chirchiq davlat pedagogika universiteti 3-bosqich talabasi
Annotatsiya: Ushbu maqolada matematik analizning muhim bo‘limlaridan
biri bo‘lgan yaqinlashuvchi qatorlar va ularning asosiy xossalari yoritib berilgan.
Qatorlarning konvergentlik sharti, ularning turlari hamda bu xossalarning
qo‘llanishi nazariy va amaliy misollar yordamida yoritilgan. Tadqiqot natijalari
yaqinlashuvchi qatorlar bilan ishlashda zarur bo‘lgan asosiy bilim va ko‘nikmalarni
shakllantirishga xizmat qiladi.
Kalit so‘zlar: qator, absolyut yaqinlashuv, guruhlash, o‘rin almashtirish,
matematik analiz, yig‘indi, limit.
Аннотация: В данной статье раскрываются сходящиеся ряды — одно
из важных направлений математического анализа, а также их основные
свойства. Рассматриваются условия сходимости рядов, их виды и
применение этих свойств на теоретических и практических примерах.
Результаты исследования способствуют формированию основных знаний и
навыков, необходимых для работы со сходящимися рядами.
Ключевые слова: ряд, абсолютная сходимость, группировка,
перестановка членов, математический анализ, сумма, предел.
KIRISH
Matematik analiz fanining muhim bo‘limlaridan biri bu – qatorlar
nazariyasidir. Qatorlar sonli ketma-ketliklar yig‘indisi sifatida qaralib, turli
matematik, fizika va texnika masalalarini tahlil qilishda keng qo‘llaniladi.
Biz ushbu maqolada yaqinlashuvchi qatorlarda hadlarni guruhlash, absolyut
yaqinlashuvchi qatorlarda esa hadlarning o‘rnini almashtirish kabi xossalarga
to‘xtalamiz.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–7_Июнь –2025
132
Guruhlash xossasi:
Biror
1
n
n
a
qator berilgan bo‘lsin. Bu qator hadlarini
guruhlab quyidagi qatorni tuzamiz:
1
1
1
2
1
2
1
2
...
...
...
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
(1)
bunda
1
2
1
2
,
...(
...)
n n
n
n
lar natural sonlar ketma-ketligining biror
k
n
qismiy ketma-ketligi bo‘lib,
k
da
k
n
. Agar
1
n
n
a
qator yaqinlashuvchi
bo‘lib, uning yig‘indisi
A
songa teng bo‘lsa, u holda bu qatorning hadlarini
guruhlashdan hosil bo‘lgan
(1)
qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ham
A
songa teng bo‘ladi[1].
O‘rin almashtirish xossasi.
Agar
1
n
n
a
qator
absolyut yaqinlashuvchi
bo‘lsa, ya’ni
1
n
n
a
bo‘lsa, u holda ushbu qatorning hadlarini ixtiyoriy tartibda
o‘zgartirish mumkin, ya’ni ularning o‘rnini almashtirish orqali tuzilgan har qanday
yangi qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va yig‘indisi o‘zgarmaydi. Ya’ni, agar
:
Ґ
Ґ
— natural sonlar ustida biror permutatsiya (o‘zaro bir qiymatli, to‘liq
tartib almashtirish) bo‘lsa, u holda [2]
( )
1
n
n
a
qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi asl qatorning
yig‘indisiga teng bo‘ladi:
( )
1
1
n
n
n
n
a
a
1-misol.
Ushbu
4
4
4
4
...
...
1 3
3 5
5 7
(2
1)(2
)
n
n
qatorning yaqinlashuvchanligi aniqlansin va yig’indisi topilsin.
Yechilishi:
Bu qatorning umumiy hadini quyidagicha
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–7_Июнь –2025
133
4
2
2
(2
1)(2
1)
2
1
2
1
n
n
n
n
yozib, uning qismiy yig’indisini topamiz:
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
...
2
...
1 3
3 5
5 7
(2
1)(2
)
3
3
5
5
2
1
2
1
2
2
2
1
n
S
n
n
n
n
n
Ravshanki,
lim
𝑛→∞
𝑆
𝑛
= lim
𝑛→∞
2
2
2
1
n
= 2
Yaqinlashuv turlari
Qatorlarning yaqinlashuvini ikki asosiy turga ajratish mumkin:
1.
Absolyut yaqinlashuv.
Qatorning barcha hadlari musbat bo‘lib, ularning moduldan olingan qatori
ham yaqinlashsa, u absolyut yaqinlashuvchi deyiladi[3]. Ya’ni,
1
1
n
n
n
n
a
a
2.
Shartli yaqinlashuv.
Agar qator o‘zi yaqinlashuvchi bo‘lsa, lekin moduldan olingan qatori
yaqinlashmasa, u holda bu qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi. Masalan, garmonik
qator:
1
1
( 1)
n
n
n
shartli yaqinlashuvga misol bo‘la oladi.
2-misol.
Quyidagi qatorning yaqinlashuvini tekshiring:
1
( 1)
n
n
n
Yechilishi
:
Bu yerda:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–7_Июнь –2025
134
1
n
a
n
1
0
n
kamayuvchi ketma-ketlik, chunki
1
1
1
n
n
lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
barcha shartlar bajarilgan
Bu muqobil ishorali garmonik qator bo‘lib, uning hadlari ketma-ket
kamayadi va noldan kichiklashib boradi[4]. Shuning uchun Leibniz mezoniga ko‘ra,
qator shartli yaqinlashuvchi hisoblanadi.
XULOSA
. Yuqoridagi tahlillardan ko‘rinib turibdiki, matematik analizda
qatorlar nazariyasi muhim o‘rin tutadi. Ayniqsa, yaqinlashuvchi qatorlar va ularning
guruhlash hamda o‘rin almashtirish xossalari amaliy va nazariy masalalarda muhim
ahamiyatga ega. Guruhlash xossasi orqali qatorlar ustida turli transformatsiyalar
bajarish mumkin bo‘lsa, o‘rin almashtirish xossasi faqat absolyut yaqinlashuvchi
qatorlar uchun amal qiladi. Bundan tashqari, yaqinlashuvning turlari — absolyut va
shartli yaqinlashuv o‘rtasidagi farqlar aniq misollar orqali yoritildi. Ayniqsa, Leibniz
mezoni yordamida shartli yaqinlashuvga ega qatorlarni tahlil qilishning qulay
usullari ko‘rsatildi. Mazkur maqolada keltirilgan nazariy bilimlar va misollar,
talabalar va tadqiqotchilar uchun qatorlar bilan ishlashda muhim nazariy asos bo‘lib
xizmat qiladi hamda matematik tahlilni chuqurroq tushunishga yordam beradi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Романовский В. И. Избранные труды, т., I (Введение в анализ). Изд. АН
УзССР, Ташкент, 1959.
2.
Yo.U. Soatov. Oliy matematika. II tom. - T., «O’qituvchi», 1992
3.
A.Sa’dullayev, G.Xudoyberganov, X. Mansurov, A.Vorisov, R G‘ulomov.
Matematik analizdan misol va masalalar to‘plami. -T., «O‘zbekiston», 1992.
4.
B.A.Shoimqulov, T.T.To‘ychiyev, D.H.Djumabayev. Matematik analizdan
mustaqil ishlar. T., 2008.
5.
П.С. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.1. -М.: 2003.
6.
https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcii/EstimatingSeries.aspx
