MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–6_Июнь –2025
90
NOKORREKT MASALALARNI TURG’UNLASHTIRISHDA L-
KORREKTLIK TUSHUNCHASI
Muxsinova Sevinchxon Ikromjon qizi
Fargʻona davlat universiteti
akramovasevinchxon08@gmail.com
Daminova Shohsanam Davlatjon qizi
Fargʻona davlat universiteti
Annotatsiya: Mazkur maqolada klassik issiqlik tarqalishi tenglamasi uchun
Cauchy masalasi kontekstida yechimning i-korrektligi tahlil qilinadi. Funksional
analiz va Tikhonov regularizatsiyasi asosida i-korrektlik tushunchasiga izoh beriladi
hamda ushbu masala bo‘yicha teorema asosida i-korrektlik shartlari asoslanadi.
Shuningdek, issiqlik tenglamasi uchun konkret yechim ifodasi orqali baholashlar
keltirilib, masalaning i-korrektligi amalda tasdiqlanadi.
Kalit so‘zlar: i-korrektlik, Tikhonov regularizatsiyasi, issiqlik tenglamasi,
funksional analiz, noaniq masalalar.
Abstract: This article analyzes the i-correctness of the solution to the classical
heat equation in the context of the Cauchy problem. The concept of i-correctness is
explained based on functional analysis and Tikhonov regularization, and the
conditions of i-correctness are justified through a corresponding theorem. Moreover,
estimations based on a specific solution of the heat equation are presented,
confirming the i-correctness of
the problem
in
practice.
Keywords: i-correctness, Tikhonov regularization, heat equation, functional analysis,
ill-posed problems.
Аннотация: В данной статье анализируется i-корректность решения
классического уравнения теплопроводности в контексте задачи Коши.
Понятие i-корректности разъясняется на основе функционального анализа и
регуляризации Тихонова, а также обосновываются условия i-корректности на
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–6_Июнь –2025
91
основе соответствующей теоремы. Кроме того, приводятся оценки с
использованием конкретного решения уравнения теплопроводности, что
подтверждает i-корректность задачи
на практике.
Ключевые слова: i-корректность, регуляризация Тихонова, уравнение
теплопроводности, функциональный анализ, некорректные задачи.
KIRISH
Zamonaviy matematik modellarda uchraydigan ko‘plab amaliy masalalar
operator tenglamalar ko‘rinishida ifodalanadi. Bunday masalalarning aksariyati
nokorrekt masalalar toifasiga kiradi. Ularning asosiy muammosi – yechimning
mavjudligi, yagonaligi yoki turg‘unligining kafolatlanmaganidadir. Shuning uchun
bu turdagi masalalarni yechishda ularni korrektlashtirish, ya’ni yechimning
turg‘unligini ta’minlash muhim ahamiyatga ega.
Mazkur
maqolada
nokorrekt
masalalarni
yechishda
l-korrektlik
tushunchasi
, unga tegishli ta’rif va teorema hamda Tixonov bo‘yicha korrektlik bilan
bog‘liqligi tahlil qilinadi. Shu orqali masalaning yechimini turg‘unlashtiruvchi
funksionalni aniqlash va yechim ustida nazoratni mustahkamlash imkoniyati
yaratiladi.
l-korrektlik tushunchasi
Ko‘plab teskari matematik fizika masalalari quyidagi umumiy ko‘rinishga
ega:
Ax
=
f
,
x
∈
D
(
A
)
X
,
A
:
D
(
A
)
F
,
(1)
bu yerda A — yopiq chiziqli operator, X va F — normallangan fazolar.
Agar bu masala korrekt bo‘lmasa, u holda yechimga qo‘shimcha shart
ko‘rinishida qo‘shimcha funksional ma’lumot beriladi:
x
∈
D(l)
Bu yerda l— chiziqli funksional bo‘lib, u D(l) fazoda aniqlangan va quyidagi
yarim norma xossalariga ega:
l(x)≥0
l(λx)=λl(x)
l(x+y)=l(x)+l(y)
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–6_Июнь –2025
92
bu yerda x,y
∈
D(l). Agar fazo haqiqiy bo‘lsa, λ
∈
R; agar kompleks bo‘lsa, λ
∈
C
Shuningdek, shart quyidagicha bo‘ladi: D(l)∩X≠
∅
1-ta’rif.
Har bir δ>0 uchun shunday musbat c(δ) mavjud bo‘lib, barcha
x
∈
Dda quyidagi baho o‘rinli bo‘lsa:
∥
x
∥
≤δ
⋅
l(x)+c(δ)
∥
Ax
∥
(2)
u holda (1) tenglama
l-korrekt masala
deb ataladi.
Agar masala lll-korrekt bo‘lsa, unda lll funksional Ax= f masalani
turg‘unlashtiruvchi funksional
deb yuritiladi.
Agar c(δ) funksiyasi δ→0da cheksizga intilsa:
lim
c
( )
,
0
unda (2) bahoni δ→0 da qabul qilib, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:
∥
x
∥
≤c(0)
∥
Ax
∥
.
Bu esa, masalaning nolga yaqin aniqlikdagi yechimlar uchun turg‘un
bo‘lmasligini bildiradi.
Demak, l-korrektlik (1) masalaning yechimining D(A)∩D(l) sohada
mavjudligi,
yagonaligi
va turg‘unligini ta’minlaydi. Bundan tashqari,
M={x
∈
D(A)∩D(l)
∣
l(x)≤m} ko‘rinishidagi to‘plamlarda yechim turg‘un bo‘ladi.
1-teorema.
Tenglama Ax= f faqat va faqat shu holda lll-korrekt bo‘ladi, agar
u har qanday
M
S
={x
∈
D(l)
∣
l(x)≤s}, s>0
to‘plamda
Tixonov yondashuvi
bo‘yicha korrekt bo‘lsa.
Masala:
Quyidagi issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasining to‘g‘ri masalasini ko‘rib
chiqamiz:
∂u/∂t = ∂²u/∂x², 0 < x < 1, t > 0
Chegara shartlari: u(0,t) = 0, u(1,t) = 0
Boshlang‘ich shart: u(x,0) = sin(πx)
Bu masala klassik to‘g‘ri masala bo‘lib, uning yechimi separatsiya usuli
yordamida topiladi. Yechimni quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–6_Июнь –2025
93
u(x,t) = X(x)·T(t)
Bu yechimni tenglamaga qo‘ysak:
X(x)·T'(t) = X''(x)·T(t)
Bo‘lish orqali ajratsak:
T'(t)/T(t) = X''(x)/X(x) = -λ
Bu ikkita oddiy differensial tenglamaga olib keladi:
T'(t) + λT(t) = 0
X''(x) + λX(x) = 0
Chegara shartlariga ko‘ra: X(0) = 0, X(1) = 0
Bu shartlar trigonometrik yechimni beradi:
Xₙ(x) = sin(nπx), λₙ = (nπ)², n = 1, 2, 3, ...
Mos ravishda Tₙ(t) = e^{-λₙ t} = e^{-(nπ)² t}
Masalaning umumiy yechimi quyidagicha bo‘ladi:
u(x,t) = Σ Aₙ · e^{-(nπ)² t} · sin(nπx),
n=1 dan ∞ gacha
u(x,0) = sin(πx)
⇒
faqat A₁ = 1, qolgan Aₙ = 0
Shunday qilib, yakuniy yechim quyidagicha bo‘ladi:
u(x,t) = e^{-π²t} · sin(πx)
Ko‘rib chiqilgan masala issiqlik tenglamasining klassik to‘g‘ri masalasidir.
Fourier qatorlari yordamida yakuniy yechim topildi. Yechim aniq, silliq va fizik
ma’noga ega.
XULOSA
Tadqiqot natijalari shuni ko‘rsatadiki,
l-korrektlik
tushunchasi nokorrekt
masalalarning yechimlarini turg‘unlashtirishda muhim vosita hisoblanadi. Agar
berilgan masala l-funksional orqali baholanishi va Tixonov bo‘yicha korrektlik
shartlarini qanoatlantirsa, u holda bu masalaning turg‘un yechimi mavjud bo‘lishi
kafolatlanadi.
Shu bilan birga,
l-funksional
yordamida masalaning yechimi aniqligi,
turg‘unligi va mavjudligi ustidan nazorat olib boriladi. Ushbu yondashuv, ayniqsa,
amaliy hisoblashlarda va fizik jarayonlarning tahlilida keng qo‘llaniladi. Shuning
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–6_Июнь –2025
94
uchun bu metodologiyaning yanada chuqur o‘rganilishi va rivojlantirilishi hozirgi
ilmiy izlanishlar uchun dolzarb bo‘lib qolmoqda.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
1.
K.S.Fayazov, I.O.Xajiyev Nokorrekt va teskari masalalar(o‘quv qo‘llanma)
2.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for
solutions
of
elliptic
partial
differential
equations
satisfying
general
boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math. 17, 1964. P. 35-92.
3.
Ames
K.A., Straughan B. Non-Standard and Improperly Posed
Problems.Academic Press, New York, 1997. 303 p.
4.
Fayazov K.S. Hisoblash matematikasi, matematik fizika va analizning
nokorrekt masalalarini yechish usullari. Toshkent, O‘zMU, 2001. 100 b.
5.
Fayazov K.S. Khajiev I.O. The ill-posed boundary value problem for a
high-order differential equation with the degeneration line. Problems of
Computational and Applied Mathematics. 2(39), 2022. P. 122-129
