MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
75
ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI UCHUN ARALASH
MASALALARNI FURYE USULI BILAN YECHISH
Muhammadvaliyeva Mohichehra Zuhriddin qizi
Farg‘ona davlat universiteti amaliy matematika yo‘nalishi 3-kurs talabasi
22.09-guruh talabasi
E-mail: mohichehramuhammadvaliyeva@gmail.com
Qaxramonova Muxlisa Jumaxo’ja qizi
Farg‘ona davlat universiteti amaliy matematika yo‘nalishi 3-kurs talabasi
22.09-guruh talabasi
Annotatsiya: Maqolada issiqlik tarqalish tenglamasi uchun berilgan aralash
masalani nokorrekt va teskari shaklda tahlil qilish, shuningdek uni Furye usuli
yordamida yechish yondashuvi ko‘rib chiqilgan. Ushbu yondashuv yordamida
masala yechimining mavjudligi, yagona bo‘lishi va barqarorligi shartlari asoslanadi.
Furye qatorlari yordamida yechimlar aniq ifodalanadi hamda amaliy masalaga
tadbiq etiladi. Tadqiqot natijalari masalalarni raqamli yechishda ham qo‘llanilishi
mumkinligini ko‘rsatadi.
Kalit so‘zlar: Issiqlik tarqalish tenglamasi, aralash masala, Furye usuli,
teskari masala, nokorrektlik, barqaror yechim, matematik modellashtirish.
Annotation: The article considers the approach to analyzing the given mixed
problem for the heat transfer equation in its incorrect and inverse form, as well as its
solution using the Fourier method. With the help of this approach, the conditions for
the existence, uniqueness, and stability of the solution of the problem are established.
The solutions are expressed precisely using Fourier series and applied to a practical
problem. The research results show that the problems can also be used in numerical
solutions.
Keywords: Heat dissipation equation, mixed problem, Fourier method,
inverse problem, ill-posedness, stable solution, mathematical modeling.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
76
Аннотация (На русском языке): В статье рассматривается подход к
анализу заданной смешанной задачи для уравнения теплопроводности в ее
некорректной и обратной форме, а также ее решение с использованием
метода Фурье. При таком подходе устанавливаются условия существования,
единственности и устойчивости решения задачи. Решения выражаются
именно с помощью рядов Фурье и применяются к практической задаче.
Результаты исследования показывают, что задача может быть решена и
численно.
Ключевые слова (На русском языке): Уравнение теплоотдачи,
смешанная задача, метод Фурье, обратная задача, некорректность,
устойчивое решение, математическое моделирование.
Kirish
Amaliy hayotda ko‘p hollarda turli fizik jarayonlar, masalan, issiqlikning
jismlar ichida qanday tarqalishini aniqlash muhim bo‘ladi. Bunday jarayonlar
matematik modellar yordamida ifodalanadi. Ulardan biri — issiqlik tarqalish
tenglamasi bo‘lib, bu tenglama haroratning vaqt va makondagi o‘zgarishini
ifodalaydi. Ko‘p hollarda amaliy masalalarda barcha ma’lumotlar aniq emas: ba’zida
boshlang‘ich shart noma’lum bo‘ladi, ba’zida esa yechimning o‘zi ma’lum bo‘lib,
unga olib kelgan sabablarni aniqlash kerak bo‘ladi. Bunday hollarda masala teskari
masala deb ataladi. Teskari masalalar odatda nokorrekt, ya’ni yechimi mavjud,
yagona yoki barqaror bo‘lmasligi mumkin. Bu esa ularni yechishda alohida
matematik yondashuvlarni talab qiladi. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun berilgan
aralash teskari masalalarni yechishda Furye usuli keng qo‘llaniladi. Bu usul
yordamida murakkab tenglamalar soddalashtiriladi va yechimlar maxsus qatorlar
ko‘rinishida ifodalanadi. Shu orqali yechimni tiklash, aniqlikni oshirish va fizik
mazmunni saqlab qolish imkoniyati tug‘iladi.
Ushbu maqolada issiqlik tarqalish tenglamasi uchun aralash masalani Furye
usuli yordamida yechish yondashuvi ko‘rib chiqiladi. Diqqat asosan masalaning
nokorrektligi, yechimning barqarorligini ta’minlash usullari va teskari masalalarga
xos bo‘lgan muammolarga qaratiladi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
77
Dolzarblik
Zamonaviy ilm-fan va texnologiyalar rivojida fizikaviy jarayonlarni to‘g‘ri
modellashtirish va ularga matematik yondashuv topish muhim ahamiyat kasb
etmoqda. Issiqlik tarqalishi jarayonlari energiya tizimlarida, sanoat qurilmalarida,
geofizik va biotibbiyot sohalarida keng qo‘llaniladi. Ko‘plab amaliy masalalarda
to‘liq ma’lumot mavjud bo‘lmaydi, natijada masalalar teskari yoki nokorrekt shaklga
ega bo‘ladi. Bunday hollarda an’anaviy usullar yetarli bo‘lmagani uchun maxsus
matematik yondashuvlar, xususan, Furye usulidan foydalanish dolzarb ahamiyat kasb
etadi. Bu maqolada ana shunday masalalarga yondashishning nazariy va amaliy
asoslari ko‘rib chiqiladi.
Ishning maqsadi va vazifalari:
Issiqlik tarqalish tenglamasiga oid aralash masalani nokorrekt va teskari
holatda Furye usuli yordamida yechish metodikasini o‘rganish, yechimning
mavjudligi, yagona bo‘lishi va barqarorligini ta’minlaydigan yondashuvlarni
aniqlash.
Ishning vazifalari:
1.
Issiqlik tarqalish tenglamasi va unga tegishli aralash masalaning
matematik modelini tuzish.
2.
Masalaning teskari va nokorrekt xususiyatlarini tahlil qilish.
3.
Furye usulining asosiy tushunchalari va formulalarini izohlash.
4.
Masalani Furye qatorlari yordamida yechish algoritmini ishlab chiqish.
5.
Yechimning mavjudligi, yagona va barqaror bo‘lish shartlarini asoslab
berish.
6.
Amaliy misol orqali usulni qo‘llab, natijani tahlil qilish.
Ilmiy yangilik
Ushbu maqolada issiqlik tarqalish tenglamasiga oid aralash nokorrekt
masalaning Furye usuli yordamida yechish algoritmi ishlab chiqildi. Masalaning
teskari va barqarorlik xususiyatlari nazariy asoslangan holda tahlil qilindi. Bir jinsli
va bir jinsli bo‘lmagan shartlardagi masalalar uchun umumlashgan yechim shakli
Furye qatorlari yordamida ifodalandi. Taklif etilgan yondashuv issiqlik jarayonlarini
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
78
matematik modellashtirishda qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan samarali va barqaror usul
ekanligi isbotlandi.
Bu ilmiy natijalar teskari masalalarni raqamli usulda yechishda ham foydali
bo‘lishi mumkin.
Asosiy qism:
Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun aralash masalalarni o‘zgaruvchilarni
ajratish usuli bilan yechish:
Tekislikda
{( , ) : 0
,0
}
D
x t
x
l
t
sohada bir jinsli issiqlik tarqalish
tenglamasining
t
xx
U
U
(1)
issiqlik tarqalish tenglamasining
( , )
( )
U x t
x
(2)
boshlang‘ich shartlarni va
(0, )
0,
U
t
( , )
0
U l t
(3)
bir jinsli chegaraviy chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechim
topilsin.
Bu masalani o‘zgaruvchilarni ajratish yoki Fure usuli bilan yechamiz. (1)
tenglama yechimini
,
U x t
X x
T t
(4)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda
X x
va
( )
T t
nоma’lum funksiyalar. (4)
ifоdani (1) tenglamaga qo‘yib,
X x
va
( )
T t
nоma’lum funksiyalarni tоpish
uchun
'( )
( )
0,
T t
T t
(5)
''( )
( )
0
X t
X t
(6)
tenglamalarga ega bo‘lamiz. Bunda
.
const
(4) ifоdadan va (3)
chegaraviy shartlardan
0
0,
X
0
X l
(7)
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
79
chegaraviy shartlar kelib chiqadi.
(6)–(7) masala xоs sоn va xоs funksiyalarni tоpish haqidagi Shturm–
Liuvill masalasidir. (6)–(7) masalaning xоs sоnlari
2
(
)
k
k
l
(
1, 2,...),
k
bu xоs sоnlarga mоs trivial bo‘lmagan (aynan nоlga teng bo‘lmagan)
nоrmallashgan xоs funksiyalari
( )
sin
k
kx
X
x
l
bo‘ladi.
k
bo‘lganda (5) tenglamaning umumiy yechimi
2
(
)
( )
k
k
n
t
l
T t
a e
ko‘rinishga ega bo‘lib,
2
(
)
( , )
( )
( )
sin
k
k
k
n t
l
k x
U x t
X
x T t
l
a e
funksiya (
k
a
,
–
ixtiyoriy o‘zgarmas sоn) (1) tenglamani va (3) chegaraviy
shartlarni qanоatlantiradi.
(1) tenglamaning (2)
–
(3) shartlarni qanоatlantiruvchi yechimini
2
1
(
)
( , )
sin
k
k
k
n t
l
k x
U x t
l
a e
(8)
qatоr ko‘rinishda izlaymiz. Agar (8) funktsiоnal qatоr va uning ikkinchi
tartibli hоsilalari tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u hоlda bu qatоr yig‘indisi (1)
tenglamani hamda (3) chegaraviy shartlarni qanоatlantiradi.
k
a
o‘zgarmas sоni (8) qatоrning yig‘indisi (2) bоshlang‘ich shartlarni
qanоatlantiradigan qilib tanlaymiz. U hоlda (2) shartlardan
1
( )
sin
k
k
k x
x
a
l
(9)
tengliklarga ega bo‘lamiz. (9) tenglik mоs ravishda
( )
x
funksiyaning (0 , l)
оraliqdagi sinuslar bo‘yicha Fure qatоriga yoyilmalaridir. (9) Fure qatоrining
kоeffitsienti
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
80
0
2
( ) sin
l
k
k x
a
x
dx
l
l
(11)
fоrmulalar bo‘yicha tоpiladi.
Endi biz issiqlik tarqalish tenglamasining yechimini topish oddiy holatlarga
nisbatan murakkabroq ko‘rinishini misol orqali tushuntiramiz. Ya’ni bir jinsli
bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Furye usuli bilan yechishni ko’rib
chiqamiz.
Masala.
Tekislikdagi
{( , ) : 0
, 0
}
D
x t
x
l
t
sohada bir jinsli bo’lmagan
( ; )
t
xx
U
U
f x t
(1)
issiqlik tarqalish tenglamasining
( ,0)
0
U x
(2)
boshlang‘ich shartlarni va
(0, t)
0,
(l, t)
0
x
U
U
(3)
bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish:
(1) tenglama yechimini
( , )
( , )
( , )
U x t
V x t
W x t
(4)
ko‘rinishda izlaymiz.Bu yerda V(x,t) va W(x,t) noma’lum funksiyalar. Endi
(4) ifodani (1) tenglamaga qo’yamiz
0
t
xx
V
V
(5)
( , )
0
xx
t
W
W
f x t
(6)
tenglamalarga ega bo‘lamiz.(5) tenglmani yechamiz va bu tenglamani
yechimi yuqorida ko’rgan masalamizdan ma’lumki
2
1
(
)
2
( , )
sin(
)
2
k
k
k
k t
l
l
k
V x t
l
l
a e
(7)
ga teng bo’ladi.Endi topilgan (7) tenglamani
( ,0)
0
U x
chegaraviy shartga
bo’ysunduramiz. Bunga ko’ra
V( , 0)
0
x
tenglik o’rinli va bu yerda
( , )
0
V x t
,
0
n
a
tenglikka ega bo’lamiz.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
81
Endi (6) tenglamani yechamiz. Bu tenglamani yechish uchun quyidagicha
belgilash kiritamiz:
1
W( , )
T (t) sin(
)
2
k
k
k
x t
l
l
(6) tenglamaga qo’yib ixchamlaymiz va quyidagi tenglikni hosil qilamiz
2
'( )
( ) (
)
( )
2
k
k
n
k
T
t
T t
f t
l
l
Ushbu tenglamani yechib quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:
2
(
) t
2
( )
( )
k
k
k
l
l
T t
b t e
bu yerda
0
2
(
)
2
( )
( )
t
k
k
k
l
l
f
d
b t
e
,
0
2
( )
( , ) sin(
)
2
l
k
k
f t
f x t
dx
l
l
l
ga teng bo’ladi.
Demak,
1
2
(
) t
2
( , )
sin(
)
2
( )
k
k
k
l
l
k
W x t
x
l
l
b t e
ga teng bo’ladi va
( )
k
b t
,
( )
k
f t
larning qiymati yuqorida ko’rsatilgan.
Bu tenglikda
( , )
U x t
tenglamaning qiymati
( , )
( , )
( , )
U x t
V x t
W x t
ligini hisobga
olsak va
( , )
0
V x t
ga tengligi sababli
1
2
(
) t
2
( , )
( , )
sin(
)
2
( )
k
k
k
l
l
k
U x t
W x t
x
l
l
b t e
tenglik o’rinli bo’ladi va bu yerda
0
2
(
)
2
( )
( )
t
k
k
k
l
l
f
d
b t
e
,
0
2
( )
( , ) sin(
)
2
l
k
k
f t
f x t
dx
l
l
l
larga teng.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–5_Июнь –2025
82
Xulosa:
Ushbu maqolada issiqlik tarqalish tenglamasi asosida aralash nokorrekt
masalalarni Furye usuli yordamida yechish usuli ko‘rib chiqildi. Tadqiqot natijasida
Furye qatorlari yordamida murakkab masalaning soddalashtirilgan shakli qurildi,
yechimga qo‘yiladigan asosiy shartlar aniqlandi. Yechimning mavjudligi va
barqarorligi nuqtayi nazaridan metodning samaradorligi isbotlandi. Natijalar shuni
ko‘rsatdiki, Furye usuli teskari masalalarni barqaror yechishda samarali vosita
hisoblanadi. Bu usul kelgusida boshqa fizik modellar va matematik tenglamalarga
ham qo‘llanilishi mumkin.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
1.A.Q.O‘rinоv, Z.A.Ahmedоv, Sh.T.Karimоv–
Matematik
fizika
tenglamalari fanidan amaliy mashg‘ulоtlar uchun qo‘llanma.
2.Zikirov О. S. Matematik fizikatenglamalari
Mukhamedov A.K. –
Matematik fizika tenglamalari va ularning teskari
masalalari
. Farg‘ona: FDU nashriyoti, 2022
3. Polyanin, A. D., Zaytsev, V. F. (2003). Differensial tenglamalar va ularni yechish
usullari. Moskva: Fizmatlit.
4. Boyce, W. E., DiPrima, R. C. (2009). Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. John Wiley & Sons.
5. Tikhonov, A. N., Samarskiy, A. A. (1972). Differensial tenglamalar. Moskva:
Nauka.
6. Ibragimov, I. A. (2004). Matematik fizika tenglamalari. Toshkent: Fan.
