MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
246
CHEGARA SHARTLARI OSTIDA INTEGRAL TENGLAMALARNI
SONLI YECHISH USULLARI
Ismoilov Axrorjon Ikromjonovich
Farg’ona Davlat Universiteti amaliy matematika va informatika
kafedrasi katta oʻqituvchisi
Metinboyeva Fotimaxon Mirqo’zi qizi
Farg’ona Davlat Universiteti “Kompyuter ilmlari va dasturlash
texnologiyalari” yo’nalishi 23.12-guruh 2-bosqich talabasi
Madatova Ruxshona Bunyodbek qizi
Farg’ona Davlat Universiteti “Kompyuter ilmlari va dasturlash
texnologiyalari” yo’nalishi 23.12-guruh 2-bosqich talabasi
Annotatsiya: Ushbu maqolada chegaraviy shartlar bilan berilgan Fredgolm
va Volterra tipidagi integral tenglamalarni sonli yechish usullari ko‘rib chiqiladi.
Nyustrom, kollokatsiya va kvadratura usullarining nazariy asoslari va amaliy
qo‘llanishi tahlil qilinadi. Chegaraviy shartlarning yechimga ta’siri, sonli usullarning
barqarorligi va konvergentsiyasi muhokama qilinadi. Maqola ilmiy adabiyotlarga
asoslangan bo‘lib, amaliy misollar orqali usullarning samaradorligi ko‘rsatib
beriladi.
Kalit so‘zlar: integral tenglama, Fredgolm tenglamasi, Volterra tenglamasi,
chegaraviy shartlar, sonli usullar, Nyustrom usuli, kvadratura, barqarorlik.
Аннотация: В данной статье рассматриваются численные методы
решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра с граничными
условиями. Анализируются теоретические основы и практическое применение
методов Нюстрёма, коллокации и квадратур. Обсуждается влияние граничных
условий на решение, устойчивость и сходимость численных методов. Статья
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
247
основана на научной литературе и иллюстрирует эффективность методов с
помощью практических примеров.
Ключевые слова: интегральное уравнение, уравнение Фредгольма,
уравнение Вольтерра, граничные условия, численные методы, метод
Нюстрёма, квадратура, устойчивость.
Annotation: This article discusses numerical methods for solving Fredholm
and Volterra integral equations with boundary conditions. Theoretical foundations
and practical applications of the Nyström, collocation, and quadrature methods are
analyzed. The influence of boundary conditions on the solution, as well as the stability
and convergence of numerical methods, is examined. The article is based on scientific
literature and demonstrates the effectiveness of the methods through practical
examples.
Keywords: integral equation, Fredholm equation, Volterra equation, boundary
conditions, numerical methods, Nyström method, quadrature, stability.
Kirish
Integral tenglamalar ko‘plab fizikaviy va muhandislik muammolarini
modellashtirishda muhim rol o‘ynaydi. Chegaraviy shartlar bilan berilgan integral
tenglamalarni analitik yechish ko‘pincha murakkab bo‘lib, sonli usullar orqali yechim
topish zarurati tug‘iladi. Ushbu maqolada Fredgolm va Volterra tipidagi integral
tenglamalarni sonli yechish usullari, xususan Nyustrom, kollokatsiya va kvadratura
usullari tahlil qilinadi.
Asosiy qism
Integral tenglamalarning turlari
Fredgolm tenglamalari:
Chegaralari qat’iy belgilangan integral tenglamalar.
Ular birinchi va ikkinchi turga bo‘linadi.
Volterra tenglamalari:
Chegaralari o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan integral
tenglamalar. Ular vaqtga bog‘liq jarayonlarni modellashtirishda qo‘llaniladi.
Sonli yechim usullari
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
248
Kvadratura usullari:
Integralni sonli hisoblash uchun kvadratura formulalari
qo‘llaniladi. Bu usul orqali integral tenglama algebraik tenglamalar sistemasiga
aylantiriladi.
Kvadratura usuliga misol:
Ko‘rib chiqilayotgan Fredgolm integral tenglamasi (ikkinchi turdagi):
𝜑(𝑥) − λ ∫ 𝐾(𝑥, 𝑡)𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1
0
Bu yerda:
K(x,t)— yadrosi (masalan:
𝐾(𝑥, 𝑡) = 𝑥 × 𝑡
f(x) — berilgan funksiya (masalan:
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
)
λ
— parametr
Maqsad:
𝜑(𝑥)
ni topish
Nyustrom usuli:
Kvadratura usulining rivojlangan shakli bo‘lib, integral
tenglamani sonli yechishda yuqori aniqlikni ta’minlaydi.
Nyustrom usuli uchun misol
Integral tenglama:
𝜑(𝑥) − λ ∫ 𝐾(𝑥, 𝑡)𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1
0
Berilgan:
𝐾(𝑥, 𝑡) = cos (𝑥 − 𝑡)
f(x)=
sin (𝑥)
λ=1
𝑥 ∈ [0,1]
Chegaraviy shartlarning ta’siri
Chegaraviy shartlar integral tenglamaning yechimiga sezilarli ta’sir ko‘rsatadi.
Masalan, Diraqle, Noyman yoki Robin turidagi shartlar yechimning mavjudligi va
yagona bo‘lishiga ta’sir qiladi. Sonli usullarda bu shartlarni hisobga olish uchun
interpolatsiya va aproksimatsiya usullari qo‘llaniladi.
Barqarorlik va konvergentsiya
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
249
Sonli usullarning barqarorligi va konvergentsiyasi integral tenglamaning turiga va
qo‘llanilgan usulga bog‘liq. Masalan, Nyustrom usuli Fredgolm tenglamalari uchun
yuqori konvergentsiyani ta’minlaydi, kollokatsiya usuli esa Volterra tenglamalari
uchun samarali hisoblanadi.
Amaliy misollar
Fredgolm tenglamasi:
Diraqle chegaraviy sharti bilan berilgan tenglama
Nyustrom usuli orqali yechiladi.
Fredgolm integral tenglamasini Dirixle chegaraviy sharti bilan
berilgan
holatda
Nyustrom usuli
yordamida yechish uchun
C# dastur kodi
va
misol
bilan
to‘liq yechim berilgan.
Masala:
Berilgan Fredgolm tenglamasi (2-tur):
𝜑(𝑥) − ∫ cos (𝑥 − 𝑡) × 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥), 𝑥 ∈ [0,1]
1
0
Dirixle sharti:
𝜑(0) = 0
Kvadratura formulasi:
Trapetsiya usuli (Nyustrom usuli)
Yondashuv (Nyustrom):
Oraliqni
n
ta
bo‘lakka
bo‘lamiz
(masalan,
n=5).
Integral Nyustrom usuli yordamida kvadratura og‘irliklari bilan almashtiriladi:
∫ 𝑲(𝒙
𝒊
, 𝒕
𝒋
𝟏
𝟎
)𝝋(𝒕
𝒋
)𝒅𝒕 ≈ ∑ 𝝎
𝒋
𝑲(𝒙
𝒊
, 𝒕
𝒋
)𝝋(𝒕
𝒋
)
𝒏
𝒋−𝟏
C#dagi kodi:
using
System;
class
NyustromFredgolm
{
static
void
Main()
{
int
n = 5;
double
a = 0.0, b = 1.0;
double
h = (b - a) / (n - 1);
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
250
double
[] x =
new
double
[n];
double
[] f =
new
double
[n];
double
[,] K =
new
double
[n, n];
double
[] w =
new
double
[n];
double
[,] A =
new
double
[n, n];
double
[] phi =
new
double
[n];
// Tugun nuqtalari va f(x) qiymatlari
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{ x[i] = a + i * h;
f[i] =
Math
.Sin(x[i]);
}
// Trapetsiya og‘irliklari
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
w[i] = (i == 0 || i == n - 1) ? h / 2.0 : h;
// Yadro K(x, t) = cos(x - t)
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
for
(
int
j = 0; j < n; j++)
K[i, j] =
Math
.Cos(x[i] - x[j]);
// Sistema matritsasi: A = I - λ * W * K
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
for
(
int
j = 0; j < n; j++)
A[i, j] = (i == j ? 1.0 : 0.0) - w[j] * K[i, j];
// Gauss usuli bilan yechish
phi = GaussElimination(A, f, n);
// Natijani chiqarish
Console
.WriteLine(
"x
\t
phi(x)"
);
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
Console
.WriteLine(
$"
{x[i]:
F2
}
\t
{phi[i]:
F5
}
"
);
}
static
double
[] GaussElimination(
double
[,] A,
double
[] b,
int
n)
{
double
[] x =
new
double
[n];
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
251
for
(
int
k = 0; k < n; k++)
{
// Normalizatsiya
double
max = A[k, k];
for
(
int
j = k; j < n; j++)
A[k, j] /= max;
b[k] /= max;
for
(
int
i = k + 1; i < n; i++)
{
double
factor = A[i, k];
for
(
int
j = k; j < n; j++)
A[i, j] -= factor * A[k, j];
b[i] -= factor * b[k];
} }
// Orqaga yurish
for
(
int
i = n - 1; i >= 0; i--)
{
x[i] = b[i];
for
(
int
j = i + 1; j < n; j++)
x[i] -= A[i, j] * x[j];
}
return
x;
}
Natija:
Eslatma:
Dirixle shart
𝜑(0) = 0
ni qanoatlantiradi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
252
Volterra tenglamasi:
Noyman chegaraviy sharti bilan berilgan tenglama
kollokatsiya usuli orqali yechiladi.
Volterra integral tenglamasi
uchun
Noyman chegaraviy sharti
berilgan
misol keltirilib, u
kollokatsiya usuli
yordamida
C# dasturlash tilida
yechiladi. Dastur
kodi va natijasi ham berilgan.
Masala:
Quyidagi
Volterra 1-tur integral tenglama
berilgan:
φ(x) + ∫ (x − t) × φ(t)dt = x, xϵ[0,1]
x
0
Noyman (Neumann) sharti
:
𝜑
′
(0)=0
Yechish usuli: Kollokatsiya usuli
Taqribiy yechim:
φ(t) ≈ a
1
+ a
2
t
Kollokatsiya nuqtalari:
𝑥
1
=
1
3
, 𝑥
2
=
2
3
Integralni analitik hisoblash:
∫ (𝑥 − 𝑡)(𝑎
1
𝑥
0
+ 𝑎
2
𝑡)𝑑𝑡
C#dagi kodi:
using
System;
class
VolterraKollokatsiya
{
static
void
Main()
{
// Kollokatsiya nuqtalari
double
[] x = { 1.0 / 3.0, 2.0 / 3.0 };
// Taqribiy yechim: phi(t) ≈ a1 + a2 * t
// I(x) = ∫₀ˣ (x - t)(a1 + a2 * t) dt
// = a1 * x^2 / 2 + a2 * x^3 / 3
double
[,] A =
new
double
[2, 2];
double
[] b =
new
double
[2];
for
(
int
i = 0; i < 2; i++)
{
double
xi = x[i];
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
253
double
I1 =
Math
.Pow(xi, 2) / 2.0;
// ∫₀ˣ (x - t) dt
double
I2 =
Math
.Pow(xi, 3) / 3.0;
// ∫₀ˣ (x - t)t dt
A[i, 0] = 1 + I1;
A[i, 1] = xi + I2;
b[i] = xi;
}
// Gauss usuli bilan yechish
double
[] result = GaussSolve(A, b, 2);
// Natijani chiqarish
Console
.WriteLine(
"Taqribiy yechim: phi(x) ≈ a1 + a2 * x"
);
Console
.WriteLine(
$"a1 =
{result[0]:
F5
}
"
);
Console
.WriteLine(
$"a2 =
{result[1]:
F5
}
"
);
// Aga xohlasangiz, grafigini ham chizish mumkin
}
static
double
[] GaussSolve(
double
[,] A,
double
[] b,
int
n)
{
double
[] x =
new
double
[n];
for
(
int
k = 0; k < n; k++)
{
double
pivot = A[k, k];
for
(
int
j = k; j < n; j++)
A[k, j] /= pivot;
b[k] /= pivot;
for
(
int
i = k + 1; i < n; i++)
{
double
factor = A[i, k];
for
(
int
j = k; j < n; j++)
A[i, j] -= factor * A[k, j];
b[i] -= factor * b[k];
} }
for
(
int
i = n - 1; i >= 0; i--)
{ x[i] = b[i];
for
(
int
j = i + 1; j < n; j++)
x[i] -= A[i, j] * x[j];
}
return
x;
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–8_ Май –2025
254
}}
Natija:
Xulosa
Chegaraviy shartlar bilan berilgan integral tenglamalarni sonli yechish muammosi
murakkab bo‘lsa-da, Nyustrom, kollokatsiya va kvadratura usullari orqali samarali
yechimlar topish mumkin. Har bir usulning o‘ziga xos afzalliklari va cheklovlari
mavjud bo‘lib, ularni tanlashda integral tenglamaning turi va qo‘yilgan chegaraviy
shartlar hisobga olinishi zarur. Kelgusida bu usullarni yanada takomillashtirish va
murakkab muammolarga qo‘llash istiqbollari mavjud.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Atkinson, K. (1997).
The Numerical Solution of Integral Equations of the
Second Kind
. Cambridge University Press.
2.
Brunner, H. (2017).
Volterra Integral Equations: An Introduction to Theory and
Applications
. Cambridge University Press.
3.
Constanda, C., Doty, D., & Hamill, W. (2016).
Boundary Integral Equation
Methods and Numerical Solutions
. Springer.
4.
Baker, C.T.H. (1977).
The Numerical Treatment of Integral Equations
.
Clarendon Press, Oxford.
5.
Delves, L.M., & Mohamed, J.L. (1985).
Computational Methods for Integral
Equations
. Cambridge University Press.
