MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
334
TRIGONOMETRIK FUNSIYALAR MAVZUSINI O’QITISHDA
O’QUVCHILAR BILAN YANGICHA METODLAR BILAN ISHLASH
Andijon shahar 1-son politexnikumi
Tajidinov Ilxomidin Nabijonivich
Fan: Matematika
Tel+998906221274
Annotatsiya:
Ushbu ilmiy maqola ko'rsatgichlik va logarifmik tenglamalarni
yechishning asosiy usullarini tahlil qiladi. Maqolada tenglamalarning ta'rifi,
xossalari, ularni yechishda qo'llaniladigan algebraik almashtirishlar, logarifmlash,
potensirlash, grafik usul va maxsus hollari ko'rib chiqiladi. Shuningdek, har bir
usulning afzalliklari va kamchiliklari, qo'llanilish sohalari misollar bilan yoritiladi.
Kalit so'zlar: ko'rsatgichlik tenglama, logarifmik tenglama, yechish usullari,
algebraik almashtirish, logarifmlash, potensirlash, grafik usul, maxsus holatlar.
Kirish
Ko'rsatgichlik va logarifmik tenglamalar matematika, fizika, kimyo,
biologiya, iqtisodiyot va texnikaning turli sohalarida keng qo'llaniladi. Masalan,
radioaktiv parchalanish, murakkab foizlar hisobi, bakteriyalar ko'payishi, tovush
intensivligi va boshqa jarayonlar ko'rsatgichlik va logarifmik funksiyalar orqali
modellashtiriladi. Shuning uchun ham bu turdagi tenglamalarni yechish usullarini
o'rganish fundamental ahamiyatga ega. Ushbu maqolaning maqsadi ko'rsatgichlik va
logarifmik tenglamalarni yechishning asosiy usullarini tizimlashtirish va ularning
amaliy qo'llanilishini ko'rsatishdan iborat.
Ko'rsatgichlik tenglamalar
Ko'rsatgichlik tenglama deb noma'lum o'zgaruvchi ko'rsatkichda qatnashgan
tenglamalarga aytiladi. Umumiy ko'rinishi ax=b (bu yerda a>0,a =1) yoki
f(ax)=g(ax) ko'rinishida bo'lishi mumkin.
Ko'rsatgichlik tenglamalarni yechishning asosiy usullari:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
335
1.
Asoslarni tenglashtirish usuli:
Agar tenglamani af(x)=ag(x)
ko'rinishiga keltirish mumkin bo'lsa, u holda f(x)=g(x) tenglik o'rinli bo'ladi. Bu usul,
ayniqsa, asoslar bir-birining darajasi bo'lgan hollarda qulaydir.
Misol:
2x+1=8. Bu yerda 8=23, shuning uchun 2x+1=23. Asoslar teng
bo'lgani uchun ko'rsatkichlarni tenglashtiramiz: x+1=3, bundan x=2.
2.
Algebraik almashtirish usuli:
Ba'zan ko'rsatgichlik tenglamalar ax yoki
uning biror darajasiga nisbatan kvadratik yoki boshqa algebraik tenglamalarga
keltirilishi mumkin. Bunday hollarda yangi o'zgaruvchi kiritish orqali tenglama
soddalashtiriladi.
Misol:
4x−5
⋅
2x+4=0. Bu yerda 4x=(2x)2. Agar y=2x deb belgilasak,
tenglama y2−5y+4=0 ko'rinishiga keladi. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari y1=1 va
y2=4. Endi qayta almashtirishni bajaramiz:
o
2x=1
⇒
x=0
o
2x=4
⇒
x=2 Demak, tenglamaning yechimlari x=0 va x=2.
3.
Logarifmlash usuli:
Agar tenglamani asoslarni tenglashtirish yoki
algebraik almashtirish orqali yechish imkoni bo'lmasa, tenglamaning ikkala tomonini
bir xil asosga ko'ra logarifmlash mumkin. Odatda natural logarifm (ln) yoki o'nlik
logarifm (lg) ishlatiladi.
Misol:
3x=7. Ikkala tomonni natural logarifmga ko'ra logarifmlaymiz:
ln(3x)=ln(7). Logarifmning xossasiga ko'ra xln(3)=ln(7), bundan x=ln(3)ln(7)=log3
7.
4.
Grafik usul:
ax=b ko'rinishidagi tenglamani yechish uchun y=ax va y=b
funksiyalarining grafiklarini chizish va ularning kesishish nuqtalarining absissalarini
topish mumkin. Bu usul aniq yechimni topishga imkon bermasa ham, yechimning
mavjudligi va taqribiy qiymatini aniqlashga yordam beradi.
5.
Maxsus holatlar:
Ba'zi ko'rsatgichlik tenglamalar maxsus usullar yoki
mulohazalar orqali yechiladi. Masalan, agar tenglamaning bir tomoni monoton
o'suvchi, ikkinchi tomoni esa monoton kamayuvchi funksiya bo'lsa, u holda tenglama
ko'pi bilan bitta yechimga ega bo'ladi.
Logarifmik tenglamalar
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
336
Logarifmik tenglama deb noma'lum o'zgaruvchi logarifm belgisi ostida
qatnashgan tenglamalarga aytiladi. Umumiy ko'rinishi logax=b (bu yerda
a>0,a =1,x>0) yoki f(logax)=g(logax) ko'rinishida bo'lishi mumkin.
Logarifmik tenglamalarni yechishning asosiy usullari:
1.
Logarifm
ta'rifidan
foydalanish
(potensirlash):
logaf(x)=b
ko'rinishidagi tenglamani yechish uchun logarifm ta'rifiga ko'ra f(x)=ab tenglikdan
foydalaniladi. Shuningdek, logaf(x)=logag(x) ko'rinishidagi tenglamadan f(x)=g(x)
tenglik kelib chiqadi, bunda f(x)>0 va g(x)>0 shartlari bajarilishi kerak.
Misol:
log2(x−1)=3. Logarifm ta'rifiga ko'ra x−1=23=8, bundan x=9.
Yechimning to'g'riligini tekshirish zarur: log2(9−1)=log28=3.
2.
Algebraik almashtirish usuli:
Ko'pgina logarifmik tenglamalar logax
yoki uning biror ifodasiga nisbatan algebraik tenglamalarga keltirilishi mumkin.
Yangi o'zgaruvchi kiritish orqali tenglama soddalashtiriladi.
Misol:
(log2x)2−3log2x+2=0. Agar y=log2x deb belgilasak, tenglama
y2−3y+2=0 ko'rinishiga keladi. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari y1=1 va y2=2. Endi
qayta almashtirishni bajaramiz:
o
log2x=1
⇒
x=21=2
o
log2x=2
⇒
x=22=4 Demak, tenglamaning yechimlari x=2 va x=4.
3.
Logarifmning xossalaridan foydalanish:
Logarifmlarning yig'indisi,
ayirmasi, darajasi va asosini o'zgartirish kabi xossalari tenglamalarni soddalashtirish
va yechishda muhim rol o'ynaydi.
Misol:
log3x+log3(x−2)=1. Logarifmlar yig'indisi xossasiga ko'ra log3
(x(x−2))=1. Endi logarifm ta'rifidan foydalanamiz: x(x−2)=31=3. Bu kvadrat
tenglamaga olib keladi: x2−2x−3=0. Uning ildizlari x1=3 va x2=−1. Logarifm
ostidagi ifoda musbat bo'lishi kerakligi sababli (x>0 va x−2>0), x=3 yechim yaroqli,
x=−1 esa chet yechimdir.
4.
Grafik usul:
logax=b ko'rinishidagi tenglamani yechish uchun y=logax
va y=b funksiyalarining grafiklarini chizish va ularning kesishish nuqtalarining
absissalarini topish mumkin.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
337
5.
Potensirlash usuli:
Agar tenglamada logarifmlar bilan birga boshqa
algebraik ifodalar ham qatnashsa, ba'zan tenglamaning ikkala tomonini bir xil asosga
ko'ra potensirlash orqali logarifmdan qutulish mumkin.
Misol:
xlog2x=4. Ikkala tomonni asosga ko'ra 2 logarifmlaymiz: log2(xlog2
x)=log24. Logarifmning daraja xossasiga ko'ra (log2x)
⋅
(log2x)=2, ya'ni (log2x)2=2.
Bundan log2x=2 yoki log2x=−2. Potensirlash orqali yechimlarni topamiz: x=22 yoki
x=2−2.
Xulosa
Ko'rsatgichlik va logarifmik tenglamalarni yechish turli xil usullarni talab
qilishi mumkin. Asoslarni tenglashtirish, algebraik almashtirish, logarifmlash,
potensirlash va grafik usullar eng ko'p qo'llaniladigan yechish usullaridir. Har bir
usulning o'ziga xos afzalliklari va kamchiliklari mavjud bo'lib, muayyan
tenglamaning ko'rinishiga qarab eng qulay usulni tanlash muhimdir. Logarifmik
tenglamalarni yechishda logarifm ostidagi ifodaning musbat bo'lishi kabi
cheklovlarni hisobga olish zarur. Ushbu maqolada keltirilgan usullar ko'rsatgichlik va
logarifmik tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish uchun mustahkam poydevor
yaratadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR;
1.
Azlarov T.A., Mansurov X. Trigonometriya. – Toshkent: O’qituvchi,
1982.
Ushbu kitobda trigonometrik funksiyalarga oid nazariy ma'lumotlar, misollar
va masalalar keltirilgan. Trigonometriyaning asosiy tushunchalarini o'rganish uchun
yaxshi manba bo'lishi mumkin.
2.
Mirzaahmedov M.A., Sobirov A. Matematika (akademik litsey va kasb-
hunar kollejlari uchun). – Toshkent: O’qituvchi, 2003.
Ushbu darslikda
trigonometrik funksiyalarga oid qisqa ma'lumotlar va misollar keltirilgan. Darslik
sifatida foydalanish mumkin.
3.
Jo'rayev M., Xudoyberganov G., Vorontsova T. va boshqalar. Algebra va
analiz asoslari (I qism). – Toshkent: O’qituvchi, 2000.
Ushbu kitobda
trigonometrik funksiyalarga oid chuqurroq ma'lumotlar, isbotlar va misollar
keltirilgan. O'qituvchilar uchun qo'shimcha manba bo'lishi mumkin.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
338
4.
G'ulomov P. Trigonometriya masalalari to'plami. – Toshkent: O’qituvchi,
1990.
Ushbu to'plamda trigonometriyaga oid turli murakkablikdagi masalalar
keltirilgan. O'quvchilarning bilimini mustahkamlash uchun foydali bo'lishi mumkin.
5.
O'zbekiston Respublikasi Xalq ta'limi vazirligi tomonidan tavsiya etilgan
matematika darsliklari (7-11 sinflar).
Ushbu darsliklarda trigonometrik funksiyalar
mavzusi o'quv rejasiga muvofiq ravishda yoritilgan.
