MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
106
TOPOLOGIK FAZO VA UNI KIRITISHGA DOIR MISOLLAR.OCHIQ VA
YOPIQ TO'PLAMLAR
Zahiriddinova Shahlo Zahiriddin qizi
Matematika va taʼlimda axborot texnologiyasi kafedra oʻqituvchisi
Roʻzmurotova Gulsanam Sherzot qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti pedagogika fakulteti matematika va
informatika yoʻnalishi 2-bosqich talabasi
Annotatsiya: Ushbu maqolada topologik fazo tushunchasi va uning.
kiritilishi bo‘yicha misollar keltirilgan. Shuningdek, topologiyaning asosiy
tushunchalaridan biri bo‘lgan ochiq va yopiq to‘plamlar haqida ma’lumotlar
berilgan. Turli xil topologik fazolar misolida ochiq va yopiq to‘plamlarning xossalari
ko‘rib chiqiladi. Maqola matematikaning topologiya bo‘limi bilan tanishayotgan
talabalar va tadqiqotchilar uchun foydalidir.
Аннотация:
В данной статье рассматривается понятие
топологического пространства и примеры его введения. Также представлены
основные сведения об открытых и замкнутых множествах, которые
являются важными понятиями в топологии. Свойства открытых и
замкнутых множеств исследуются на примерах различных топологических
пространств. Статья будет полезна студентам и исследователям,
изучающим раздел математики — топологию.
Annotation :This article discusses the concept of a topological space and
examples of its introduction. It also provides information on open and closed sets,
which are fundamental concepts in topology. The properties of open and closed sets
are examined through various examples of topological spaces. The article is useful
for students and researchers studying the field of topology in mathematics.
Kalit soʻzlar:Topologik fazo, topologiya, ochiq to‘plam, yopiq to‘plam,
baza, subbaza, uzluksiz funksiya, homeomorfizm, metrik fazo, chekli to‘plam,
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
107
chegaraviy nuqta, ichki nuqta, yopilish, hosil qilingan topologiya, diskret topologiya,
nozik topologiya, mahalliy kompaktlik, bir jinsli fazo, topologik invariantlar.
Ключевые
слова:Топологическое
пространство,
топология,
открытое множество, замкнутое множество, база, суббаза, непрерывная
функция, гомеоморфизм, метрическое пространство, конечное множество,
граничная точка, внутренняя точка, замыкание, индуцированная топология,
дискретная топология, тонкая топология, локальная компактность,
однородное пространство, топологические инварианты.
Keywords:Topological space, topology, open set, closed set, basis,
subbasis, continuous function, homeomorphism, metric space, finite set, boundary
point, interior point, closure, induced topology, discrete topology, fine topology, local
compactness, homogeneous space, topological invariants.
Kirish:
Topologiya fani umumiylik nuqtai nazaridan geometriya va
matematik analiz fanlarining asosiy tushunchalarini qayta ko‘rib chiqish natijasida
vujudga kelgan. Topologiya fani matematikaning deyarli yosh, lekin muhim qismidir.
Topologiyaga quyidagicha ta’rif berish mumkin:
topologiya
- matematikaning
geometrik bo'limi bo‘lib, uzluksizlikni tadqiq qiluvchi, ya’ni uzluksiz
akslantirishlarni o‘rganuvchi sohasi hisoblanadi. Qisqacha qilib aytganda,
funksiyaning uzluksizligi tushunchasga ko‘ra, metrik fazo va topoJogik fazolar
hamda ularning uzluksiz akslantirishlarni anglatadi. Geometrik nuqtai nazardan ikki
sonning ayirmasi moduli uni sonlar o‘qi R da nuqtalar orasidagi masofadan iborat
ekanligini bildiradi.1906-yilda fransuz matematigi M. Freshe fanga metrik fazo
tushunchasini kiritganidan so‘ng ixtiyoriy tabiatli to‘plamda ikki nuqta orasidagi
masofani ma’lum shartlar asosida aniqlash imkoni tug‘ildi.
Akslantirish / : X -> Y ning biror nuqtadagi uzluksizlik shartini olaylik, bunda
nuqtaning yetarli “yaqin” nuqtalari obrazning yetarli “yaqin” nuqtalariga o‘tadi. Bu
fikrni geometrik tasawur nuqtai nazardan ifodalaymiz: X metrik fazo x0 nuqtasining
(xususiy holda R - to‘g‘ri chiziq) e atrofi О r (x 0) deb fazoning x„ nuqtadan e > 0
dan katta bo‘lmagan uzoqlikda yotgan nuqtalari to‘plamini bildiradi, ya’ni Os (x0)
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
108
= {x : p (jcnjc0) < £} (to‘g‘ri chiziqda x0 nuqtaning s atrofi (x0 - s,xn + f) intervaldan
iborat).Akslantirishning x0 nuqtasidagi uzluksizligi quyidagi ko‘rinishni oladi:
ixtiyoriy £ > 0 son uchun shunday <5>0 topilib, xe Of (x0 nuqtalar uchun f ( x ) e O
sf ( x Q) o‘rinli bo‘laveradi. Bu esa, / : X - > 7 akslantirish x0 nuqtada uzluksiz
boMishi, x0 nuqtaning yetarli “zich” atrofidagi nuqtalari obrazi /( x 0) nuqtaning
yetarli “zich” atrofidagi nuqtalariga akslanadi demakdir. Bundan ko‘rinadiki,
akslantirishning nuqtadagi uzluksizligini aniqlash uchun nuqtalar orasidagi masofa
yetarli emas, balki nuqtaning atrofi tushunchasidan foydalanish ma’qul bo‘ladi.
1914-yilda nemis matematigi F. Xausdorf o‘zining “To‘plamlar nazariyasi” kitobida
birinchi bo‘lib nuqtaning atrofi tushunchasini aksiomalashtirib, topologik (atroflar
orqali aniqlangan) fazoning ta’rifini ifodalab berdi. Keyinchalik topologik
fazolarning nisbatan soddaroq ta’riflari keltirildi. Shuni jiddiy ta’kidlashimiz kerakki,
metrik fazolar tabiiy ravishda topologik fazoni tashkil qiladi. Topologik fazolarga
uzluksiz akslantirishlarning mavjud bo‘lishi uchun tabiiy muhit sifatida qaralib, uning
asosida topologiyaning umumiy topologiya deb ataluvchi bir tarmog'i vujudga keldi
va barqaror rivojlanib bormoqda. Topologiyaning boshqa tarmoqlaridan farqli oiaroq
umumiy geometrik topologiya uning umumiy va sof topologik xossalarini
o‘rganadi.Xususiy holda differensial va bo‘lakli-chiziqli (kusochno-lineynaya)
topologiya differensiallanuvchi ko‘pxilliklar va poliedrlar (umumlashgan
ko‘pyoqliklar)ning, algebraik va gomotopik topologiya esa, algebraning topologiyada
qo'llanishiga asoslanadi. Shuni ta’kidlash kerakki, oxirgi paytlarda gomologiya va
gomotopik topologiyalarda topologiyaning juda muhim umumiy topologik fazolar
sinflari o‘rganilmoqdaki, algebraik topologiya bilan umumiy topologiya orasidagi
chegarani aniqlash ma’lum murakkablik tug‘dirmoqda. Uzluksiz akslantirishlar
xususiyatini o‘rganish, o‘z navbatida, bu akslantirishlami aniqlash va qiymatlari
sohalari bo‘ Imish topologik fazolarni o‘rganishga olib keladi.Topologik fazolarni
uzluksiz akslantirishlar orasida topologik akslantirishlar (gomeomorf) deb ataluvchi
gomeomorfizmlar maxsus o‘rin tutadi. Bu akslantirishlar topologiyada shunday
muhim o‘rinni egallaydiki, chunonchi, o‘zaro bir qiymatli affin akslantirishlar affin
geometriyada qanday ahamiyat kasb etsa, ular ham topologiyada shunday ahamiyat
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
109
kasb etadi. Masalan, X va Y lar metrik fazolar bo‘lsa, / : X —>Y akslantirishning
gomeomorfizm ekanligi X fazoning shakl va o‘lchovlari Y fazoga ham bir xilda
o‘tadi, X fazoda hech qanday “uzilish” va hech qanday nuqtalarni “yelimlash” ro‘y
bermasa, Y fazoda ham xuddi shunday bo‘ladi.Masalan, [0,1] kesmani ixtiyoriy
kesmaga va uni yarim aylana {(x,y):x2 + y 2 -l,y^.O} ga topologik akslantirish
mumkin, (0,1) intervalni esa, butun R to‘g‘ri chiziqqa gomeomorf akslantirish
mumkin. Bu jarayonda [0,2 n ) yarim intervalning <p nuqtasiga R2 tekislikning /( p )
= (cosip, sin<y9) nuqtasini mos qo‘yuvchi birlik aylana S ning nuqtasini olsak, bu
akslantirish bir qiymatli va bir tomonga uzluksiz, f~lakslantirish esa, (l,0)e S nuqtada
uzilishga ega ( / akslantirish [0,2л-) yarim intervalning 0 nuqtasini “uzoq” to‘plam
[л,2л:) ga “yelimlamoqchi”).Topologik akslantirishlar bizga jo‘n topologik
invariantlami ta’riflash va aniqlashda qo‘l keladi. Bu invariantlar topologik
akslantirishda o‘z xususiyatini o‘zgartirmaydi. Topologik invariantlarga misol
tariqasida topologik fazoning quvvati tushunchasini, topologik fazolarning
salmog‘ini, fazoning bir yoki bir necha bo‘lakdan iborat bo‘lishini, ya’ni bog‘lamli
yoki bog‘lamsiz ekanligini, topologik chegaralanganlik xossasini (kompaktliligini),
fazolarning “o‘lchovlari soni”ni (fazoning o‘lchami) keltirish mumkin. Metrik, affin
va proektiv geometriyalarga o‘xshab, topologiya ham ko‘p hollarda matematikaning
topologik invariantlarini o‘rganuvchi bo‘limi deb yuritiladi. Topologiyaning
ko‘pgina masalalarini bayon qilishda ochiq va yopiq akslantirishlar sinfi juda muhim
ahamiyatga egadir. Ta’rit Agar uzluksiz f : X ^ Y akslantirishda, X dagi har bir ochiq
to‘plamning (mos ravishda yopiq to‘plamning) aksi Y to‘plamda ochiq (mos ravishda
yopiq) to‘plam bo‘lsa, ochiq (mos ravishda yopiq) akslantirish deyiladi.Bir vaqtda
ham ochiq, ham yopiq akslantirishga misol sifatida ix \ X - ^ X ayniy akslantirishni
olsak, ix : A - > X shaklidagi joylashtirishda doimo ochiq to‘plamning aksi ochiq,
yopiq to‘plamning aksi yopiq to‘plamdir, bunda A czX .Ochiq akslantirishlarning
muhim sinfi sifatida ochiq to'plamlarda aniqlangan kompleks o‘zgaruvchili golomorf
funksiyalar sinfmi ko‘rsatish mumkin. Bundan tashqari, topologik guruhda
aniqlangan gomeomorfizmlar ham mavjuddir.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
110
Misol. Ixtiyoriy f ’.[a,h] -> R] uzluksiz akslantirishni olsak, bu akslantirish
doimo yopiq akslantirish bo‘ladi. Lekin u doimo ochiq akslantirish bo‘lavermaydi.
Misol. P :R2 -> R proeksiyalashni olsak, bu akslantirish p(xl;x2) = x, formula
bilan aniqlanadi va ochiq akslantirish bo'ladi. Ya’ni, markazi (x,,x2) nuqtada bo‘lgan
ochiq doira proeksiyasi markazi x, da bo‘lgan intervaldan iboratdir. Agar R2 da x,x2
= 1 giperbolani olsak, bu giperbola yopiq to‘plamdir.Yopiq to‘plamlarga misol
keltirganda tekislikdagi ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziq yopiq to‘plam ekanligini
ta’kidlagan edik. Bu to‘plamlardan ba’zilarining proeksiyasi R ] \ {0} dan iborat
bo‘lib, bu yopiq to‘plam emas. Demak, bu akslantirish yopiq akslantirish emas.
Xulosa:
Topologiya – matematikaning eng fundamental bo‘limlaridan biri
bo‘lib, u fazolar, uzluksizlik, yaqinlik va shakllarning asosiy xossalarini o‘rganadi.
Topologik fazo tushunchasi esa matematik fazolarni umumiy holda tavsiflash
imkonini beradi. Topologik fazo kiritish uchun ochiq to‘plamlar tushunchasi
ishlatiladi va ular muayyan shartlarni bajarishi kerak. Ochiq va yopiq to‘plamlar
topologiyaning eng asosiy elementlari bo‘lib, ular orqali uzluksizlik, chegaralar, ichki
va yopiqlik kabi muhim tushunchalar ta’riflanadi. Masalan, Evklid fazosida ochiq
to‘plamlar ochiq intervallar yoki sharlardan iborat bo‘lsa, diskret va trivial
topologiyalarda ochiq to‘plamlarning ta’riflari boshqacha bo‘ladi. Topologiya
nazariyasi faqat nazariy matematika bilan cheklanmaydi, balki differensial
tenglamalar, fizikada kvant mexanikasi, ma’lumotlar tuzilishi va tahlili, hisoblash
texnikasi hamda sun’iy intellekt kabi turli sohalarda ham keng qo‘llaniladi. Ushbu
mavzuni o‘rganish orqali biz fazolarni yaxshiroq tushunish va matematik analiz,
funksional analiz hamda geometriyada chuqurroq bilim olish imkoniga ega bo‘lamiz.
Shu sababli, topologiya nazariyasi matematika va uning qo‘llaniladigan sohalarida
muhim ahamiyatga ega.
REFERENCES
1. Tashmatov M., Topologiya asoslari, Toshkent: Fan, 1995.
2. Karimov U., To‘rayev B., Topologiyaning elementlari, Toshkent: O‘zbekiston,
2005.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-22
Часть–5_ Март –2025
111
3. Mamatqulov Yo., Nazariy topologiya va uzluksizlik masalalari, Toshkent: Fan,
2010.
4. Qo‘chqorov A., Ziyodullayev R., Umumiy topologiya va uning tatbiqlari,
Toshkent: Universitet, 2018.
5. Nazarov Q., Matematik analiz va topologiya elementlari, Toshkent: O‘zbekiston
Milliy universiteti nashriyoti, 2020.
6. Turg‘unov T., Matematik analiz va topologiyaning nazariy asoslari, Toshkent,
2017.Oʻzbek tilidagi topologiya boʻyicha adabiyotlar nisbatan kam bo‘lsa-da,
quyidagi manbalar foydali bo‘lishi mumkin:
7. Saidov M.M. – Topologiya asoslari, Toshkent, 2005.
8. Turdaliyev Sh., Ro‘ziyev Sh. – Topologiya va funktsional analiz asoslari,
Toshkent, 2010.
9. Yo‘ldoshev S. – Matematik analiz va topologiya asoslari, Toshkent, 2012.
10. Karimov A. – Nazariy mexanika va topologik usullar, Toshkent, 2008.
