CHEBISHOV INTERPOLATSIYASI ASOSIDA AVTOBUS QATNOVIDAGI YO’LOVCHILAR SONINI MODELLASHTIRISH

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

277

CHEBISHOV INTERPOLATSIYASI ASOSIDA AVTOBUS QATNOVIDAGI

YO’LOVCHILAR SONINI MODELLASHTIRISH

A.I.Ismoilov

Farg‘ona davlat universiteti Amaliy matematika va informatika kafedrasi

katta o‘qituvchisi(PHD)

E-mail: ismoilovaxrorjon@yandex.com

O‘ktamjonova Nilufar Abdurahmon qizi

Farg‘ona Davlat universiteti Amaliy matematika yo‘nalishi 3-kurs talabasi

E-mail:

Karimberdiyevanilufar625@gmail.com

Annotatsiya (O‘zbek tilida):Ushbu maqolada Chebishov interpolatsiya usuli

yordamida avtobus qatnovi vaqtida yo‘lovchilar sonini bashorat qilish masalasi ko‘rib

chiqiladi. Masala hayotiy holat asosida – soat 7:00 dan 9:00 gacha bo‘lgan vaqtda

avtobus bekatida yo‘lovchilar sonining o‘zgarishi misolida ishlab chiqilgan.

Chebishov ko‘paytmalari, ularning xossalari va interpolatsion polinom tuzish

bosqichlari batafsil tahlil qilinadi. Yakuniy natija sifatida yo‘lovchilar sonini vaqtga

bog‘lab hisoblovchi analitik formula hosil qilinadi. Bundan tashqari, modelni Python

dasturlash tilida amaliy tarzda qo‘llash imkoniyati ham ko‘rib chiqilgan. Mazkur

tadqiqot sonli usullar fanini real hayotiy muammolar bilan bog‘lash orqali

talabalarda mavzuga nisbatan qiziqish uyg‘otishni maqsad qiladi.

Annotation (In English):This article explores the application of the Chebyshev

interpolation method to estimate the number of passengers during bus schedules. The

problem is modeled using a real-life scenario where passenger counts vary between

7:00 AM and 9:00 AM. The study provides a detailed breakdown of Chebyshev

polynomials, their properties, and the step-by-step construction of the interpolation

polynomial. As a result, an analytical formula is derived to predict passenger numbers

based on time. Additionally, a practical implementation of the model using Python

programming is presented. This research aims to increase student engagement by

connecting numerical methods with real-world problems.

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

278

Kalit so‘zlar. Chebishov interpolatsiyasi, sonli usullar, Chebyshev polynomial,

interpolatsion polinom, avtobus qatnovi masalasi, normallashtirilgan vaqt,

yo‘lovchilar soni modeli, universitet uchun amaliy masala, chebishov koeffitsiyentlari,

t₀(x) dan t₄(x) gacha, Chebishov interpolatsiyasi amalda, vaqtga bog‘liq yo‘lovchi soni,

sonli yechimlar, tashish jarayonlarini modellashtirish, amaliy matematika, talabalar

uchun sonli usullar, chebyshev method in transportation, transportda interpolatsiya,

vaqt bo‘yicha funksiya qurish

Keywords: Chebishov interpolatsiyasi, sonli usullar, Chebyshev polynomial,

interpolatsion polinom, avtobus qatnovi masalasi, normallashtirilgan vaqt,

yo‘lovchilar soni modeli, universitet uchun amaliy masala, chebishov koeffitsiyentlari,

t₀(x) dan t₄(x) gacha, Chebishov interpolatsiyasi amalda, vaqtga bog‘liq yo‘lovchi soni,

sonli yechimlar, tashish jarayonlarini modellashtirish, amaliy matematika, talabalar

uchun sonli usullar, chebyshev method in transportation, transportda interpolatsiya,

vaqt bo‘yicha funksiya qurish

Kirish.

Sonli usullar fanida Chebishov metodlari interpolatsiya, aproksimatsiya

va integrallash kabi ko‘plab masalalarda qo‘llaniladi. Ular ayniqsa aniqlik va

barqarorlik talab etiladigan hollarda muhim rol o‘ynaydi. Bu maqolada Chebishov

ko‘paytmalari, ularning xossalari, Chebishov interpolatsiyasi va uning amaliy

qo‘llanilishi haqida keng ma'lumot beriladi.

1. Chebishov ko‘paytmalari va ularning xossalari Chebishov ko‘paytmalari —

bu ortogonal polinomlar bo‘lib, ular ko‘plab analitik va sonli usullarda keng

qo‘llaniladi. I tur Chebishov ko‘paytmalari quyidagicha aniqlanadi:

(x)

cos(arccos(x)), x

[ 1,1], n

0,1, 2, 3, 4

n

T



 



Bu polinomlar rekursiv tarzda ham aniqlanishi mumkin:

0

(x) 1,

T



1

(x)

,

T

x



1

1

(x)

2

(x) T (x),

n

n

n

T

xT









Xossalari:

Ortogonallik: Chebishov polinomlari

[1, 1]



oraliqda

2

1

1

x



og‘irliq funksiyasi

ostida ortogonal.

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

279

Ekstremal xossasi:

(x)

n

T

polinomi maksimum darajada tekis taqsimlangan

ekstremal qiymatlarga ega.

Nol nuqtalari:

(x)

n

T

polinomining nol nuqtalari Chebishov tugunlari deb

nomlanadi va interpolatsiyada ishlatiladi

2. Chebishov interpolatsiyasi Interpolatsiya — bu berilgan nuqtalar bo‘yicha

funksiyani yaqinlashtirish jarayoni. Chebishov interpolatsiyasi klassik interpolatsiyaga

nisbatan kamroq osilishga (Runge effekti) ega.

Interpolatsion polinom quyidagicha tuziladi:

0

(x)

(x)

n

n

k

k

k

P

a T







1

0

2

(x ) (x )

n

k

i

i

i

a

f

T

n









1

0

0

1

(x ) (x )

n

i

k

i

i

a

f

T

n









3. Amaliy qo‘llanish: Avtobus qatnovi misolida Masalan, ertalabki avtobus

qatnoviga oid vaqt va yo‘lovchilar soni ma’lum bo‘lsa, Chebishov interpolatsiyasi

yordamida har qanday oraliq vaqtda yo‘lovchilar sonini taxmin qilish mumkin. Bunda

vaqtlar

[1, 1]



oraliqqa moslab o‘zgartiriladi va Chebishov polinomlari yordamida

interpolatsion funksiya tuziladi.

4. Chebishov metodining afzalliklari

Runge effektining kamayishi

Hisoblashda barqarorlik

Ekstremal qiymatlarning optimal taqsimoti

Yaxshi yaqinlashuv xossasш

Xulosa Chebishov metodlari sonli analizda samarali va barqaror

yondashuvlardan biridir. Ayniqsa interpolatsiya va aproksimatsiya masalalarida uning

afzalliklari sezilarli bo‘ladi. Talabalar va mutaxassislar bu metodni o‘rganish orqali

matematik modellashtirish va hisoblashda yuqori aniqlikni ta’minlay oladilar.

Masala:

Soat 7:00 dan 9:00 gacha har 30 daqiqada avtobus qatnaydi. Har bir vaqtda

avtobusga chiqayotgan yo‘lovchilar soni quyidagicha bo‘ladi:

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

280

Vaqt(t)

Yo‘lovchilar

sonif(t)

7:00

5

7:30

10

8:00

15

8:30

10

9:00

5

Maqsad: Bu ma'lumotlarga asoslanib, Chebishov interpolatsion polinom

yordamida istalgan vaqt oralig‘ida yo‘lovchilar sonini aniqlovchi formulani tuzish.

1-Qadam: Vaqtni oraliqqa normallashtirish:

Chebishov usuli uchun vaqtlarni oraliqqa moslab o‘zgartirish kerak.

Formulasi:

Hisoblaymiz:

T(soat)

X(normallashtirilgan)

7:00

-1

7:30

-0,5

8:00

0,0

8:30

0.5

9:00

1

2-Qadam: Chebishov polinomlari formulasi

Chebishov ko‘paytmalari (I turi):

0

(x) 1

T



1

(x)

T

x



2

2

(x)

2

1

T

x





2

3

(x)

4

3

T

x

x





2

4

(x)

8

8

1

T

x

x







3-Qadam: Har bir x nuqtada T₀(x)...T₄(x) qiymatlarini hisoblaymiz

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

281

x

T

0

(x)

T

1

(x)

T

2

(x)

T

3

(x)

T

4

(x)

-1

1

-1

1

-1

1

-0.5

1

-0.50

-0.5

1

-0.5

0

1

0

-1

0

1

0.5

1

0.5

-0.5

-1

-0.5

1

1

1

1

1

1

4-Qadam: Chebishov koeffitsiyentlarini hisoblash

Formulasi:

1

0

0,

0

1

(x ) (x )

5

n

i

k

i

a

f

T









1

0

2

(x ) (x )

5

n

k

i

i

i

a

f

T









k

1, 2,3, 4



Hisoblashlar:

0

1

(5 1 10 1 15 1 10 1 5 1)

9

5

a



         

1

2

(5 ( 1) 10 ( 1) 15 0 10 0.5 5 1)

0

5

a



        

  

2

2

(5 1 10 ( 0.5) 15 ( 1) 10 ( 0,5) 5 1)

6

5

a



   

     

   

3

2

(5 ( 1) 10 1 15 0 10 ( 1) 5 1)

0

5

a



           

4

2

(5 1 10 ( 0.5) 15 1 10 ( 1) 5 1)

6

5

a



   

       

5-Qadam: Polinomni yig‘ish

4

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

(x)

a

(x) a

(x) a

(x) a

(x) a

(x)

P

T

T

T

T

T











2

4

2

4

2

4

(x)

9 6(2 x

1)

6(8 x

8 x

1)

48 x

60

21

P

x

 

 



 





Yakuniy javob:

4

2

48 x

60

21

x





Yo‘lovchilar sonini Chebishov polinomi bilan ifodalovchi formula:

4

(x)

P

=

4

2

48 x

60

21

x





Bu yerda — normallashtirilgan vaqt. Agar siz real vaqt bilan ishlamoqchi

bo‘lsangiz, avval x ni quyidagicha topasiz:

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

282

2(t 7)

1

8

2

x

t





  

Shunday qilib umumiy formulaning ko’rinishi

4

2

48(

8)

60(

8)

21

t

t









Pythondagi natija

# Foydalanuvchidan soat t ni kiritishni so'raymiz

t = float(input("Iltimos, soatni kiriting (masalan, 7.5 yoki 8): "))

# Hisoblash: x = t - 8

x = t - 8

# P_4(t - 8) ni hisoblaymiz

P = 48 * (x 4) - 60 * (x 2) + 21

# Natijani yaxlitlaymiz

P_rounded = round(P)

# Natijani chiqaramiz

print(f"Soat {t} da taxminiy yo'lovchilar soni: {P_rounded} ta")

XULOSA

Ushbu maqolada sonli usullardan biri bo‘lgan Chebishov interpolatsiyasi

yordamida real hayotdagi transport masalalaridan biri — avtobus qatnovi vaqtida

yo‘lovchilar sonining o‘zgarishini modellashtirish yoritildi. Vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchi

bo‘lgan yo‘lovchilar soni ma’lum oraliqda (7:00 dan 9:00 gacha) kuzatildi va ushbu

oraliqda har 30 daqiqada olingan statistik ma’lumotlar asosida Chebishov

interpolatsion polinomi tuzildi. Mazkur usul yordamida real vaqt qiymatlarini [-1, 1]

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

283

oralig‘iga normallashtirish orqali Chebishov polinomlari (T₀(x) dan T₄(x) gacha) uchun

qiymatlar va tegishli koeffitsiyentlar aniqlandi.

Natijada, P₄(x) = 48x⁴ − 60x² + 21 ko‘rinishidagi interpolatsion polinom hosil

qilindi. Bu polinom vaqtga bog‘liq yo‘lovchilar sonini aniqroq ifodalashga xizmat

qiladi. Bunday yondashuv, ayniqsa, transport sohasida oqimlarni oldindan baholash,

rejalashtirish va optimal jadval tuzishda katta ahamiyatga ega.

Shuningdek, tuzilgan matematik model asosida Python dasturlash tilida

dasturiy modul ishlab chiqildi. Ushbu modul foydalanuvchidan vaqt (soat) kiritilishini

talab qiladi va berilgan formulaga asoslangan holda yo‘lovchilar sonini taxminan,

ammo yaxlit holda (butun son) hisoblab beradi. Bu esa Chebishov interpolatsiyasi

nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy dasturlashda ham samarali qo‘llanilishini

isbotlaydi.

Xulosa qilib aytganda, Chebishov interpolatsiyasi yordamida real hayotdagi

transport oqimlarini modellashtirish, talaba va mutaxassislar uchun nafaqat matematik

bilimni chuqurlashtirishga, balki dasturiy model yaratish orqali texnologik

yondashuvni shakllantirishga ham xizmat qiladi. Bunday yondashuv boshqa sohalarda,

masalan, ekologiya, iqtisodiyot, energetika, tibbiyot va boshqa vaqtga bog‘liq

tizimlarda ham samarali tadbiq etilishi mumkin. Mazkur ish sonli usullar fanining

amaliy ahamiyatini ochib beruvchi namuna bo‘lib xizmat qiladi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. B. S. Qayumov, T. I. Egamberdiyev. Amaliy matematika va sonli usullar. –

Toshkent: Fan, 2008.

2. S. N. Eshmatov. Sonli usullar va ularni dasturlash asoslari. – Toshkent: O‘zMU

nashriyoti, 2020.

3. A. M. Abdukarimov, B. K. Toshtemirov. Kompyuter matematikasi va sonli

metodlar. – Samarqand: SamDU nashriyoti, 2017.

4. Chapra S.C., Canale R.P. Numerical Methods for Engineers, 7th Edition. – McGraw-

Hill Education, 2015.

5. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis, 9th Edition. – Brooks Cole, 2010.

MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT

Выпуск журнала №-26

Часть–5_ Май –2025

284

6. Журавлев Ю.И., Суханов А.Л. Численные методы в примерах и задачах. –

Москва: Наука, 1996.

7. Тимошенко Г.А. Численные методы и основы программирования. – Санкт-

Петербург: Питер, 2004.

8. Python Software Foundation. https://www.python.org

9. NumPy Documentation. https://numpy.org/doc/

10. Kress R. Numerical Analysis. – Springer, 1998.

11. Hildebrand F.B. Introduction to Numerical Analysis. – Dover Publications, 1987.

12. Atkinson K.E. An Introduction to Numerical Analysis. – Wiley, 1989.