MODELS AND METHODS IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
24
ПОЧТИ ВСЮДУ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Гадаев С.А.
Гайвиева Н.У.
Чориев Ш.Ф.
Ташкентский университет социальных инноваций, ул. Узумзор, 37,
Ташкент, 100015, Узбекистан, sokhibgadayev@gmail.com
Национальный университет Узбекистана, ул. Университет, 4, Ташкент,
100174 Узбекистан, shoxruzchoriyev2001@gmail.com
Национальный университет Узбекистана, ул. Университет, 4, Ташкент,
100174 Узбекистан, @noilagayviyeva2@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15827523
Аннотация.
В данной работе обсуждаются вопросы, связанные со
свойствами дифференцируемости логарифмический потенциалов, и
изучается аналог теоремы Киши для логарифмический потенциала. Также
доказывается, что при некоторых достаточных условиях, наложенных на
Лебегов меру
, логарифмической потенциал
( )
l
U
x
принадлежит классу
k
C
E
.
Ключевые слова:
потенциал Рисса, логарифмический потенциал,
дифференцируемость потенциалов, теорема Картана, теорема Киши,
теорема Лузина о непрерывности ёмкостей, класс
k
C
E
.
1.Введение
Рассмотрим
следующего
логарифмического
потенциала
в
пространстве
n
( )
ln
( ),
,
n
l
U
x
x
y d
y
x
где
конечная борелевская мера с компактным носителем
n
S
.
В работе Картана [1] (см. также [2, стр. 231]) доказана следующая
аналог
C
свойства Лузина (см.[3, стр. 309] ) для потенциалов Рисса:
( )
( )
n р
d
y
n р
x y
U
x
,
n
x
,
0
р n
.
Теорема 1
(Картан). Для любого
0
существует открытое
множество
n
O
с ёмкостью
(
)
n р
C
O
такое, что потенциал
( )
n р
U
x
является непрерывной в дополнении
\
n
O
.
В работе [4] М.Киши доказал теорему Картана в случае более общего
потенциала
MODELS AND METHODS IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
25
( )
( , )
( )
K
U
x
K x y d
y
,
n
x
.
Здесь, также мера
с компактным носителем и ядро
( , )
K x y
,
( , )
n
n
x y
, обладает следующими свойствами:
1)
( , )
K x y
положительнозначная
полинепрерывная
снизу
функция
такое,
что
( , )
,
n
K x x
x
и
непрерывная
в
(
) (
)
\
,
,
n
n
n
x x x
,
2)
( , )
K x y
симметрическая, т.е.
( , )
( , )
K x y
K y x
.
Согласно условию 2) всегда выполняется закон взаимности: для
любых меры
и
с компактными носителями верна
K
K
U d
U d
.
Мера
называется допустимой на компакте
n
E
, если
S
E
и
1
K
U
x
всюду в
n
. Семейство всех допустимых мер на
E
обозначается
.
E
M
Каждому компактному множеству
E
сопоставляется число
K
C
E
,
определяемое как sup
( )
E
для всех
( ).
E
M
С помощью этой функции-
множества
( )
K
C
E
мы определяем внутреннюю и внешнюю емкости
произвольного множества
M
следующим образом:
внутренняя емкость
(
)
i
K
C
M
равно
sup
( )
K
C E
для всех компактных множеств
,
E
M
а внешняя
емкость
(
)
e
K
C
M
равна
inf
( )
i
K
C
G
для всех открытых множеств
.
G
M
Отсюда сразу следует, что
( )
( )
i
K
K
C
E
C
E
для любого компактного
множества
E
,
(
)
(
)
i
e
K
K
C
M
C
M
для произвольного множества
M
и
( )
( )
i
e
K
K
C
G
C
G
для любого открытого множества
G.
Когда
(
)
(
)
i
e
K
K
C
M
C
M
мы будем говорить,
что
M
является
емким
и мы обозначим общее
значение этих двух емкостей через
(
)
K
C M
, которое мы будем называть
емкостью
M
.
Теорема 2
(Киши [4]). Для любого
0
существует открытое
множество
n
O
с ёмкостью
(
)
K
C O
такое, что потенциал
( )
K
U
x
является непрерывной в дополнении
\
n
O
.
Заметим, что в частности потенциал
K
U
x
может быть потенциалом
Рисса или логарифмическим потенциалом с ядром
2
( , )
ln
, ( , )
(0, )
(0, ),
R
x y
K x y
x y
B
R
B
R
где
(0, )
:
n
B
R
x
x
R
(см. [2]).
MODELS AND METHODS IN MODERN SCIENCE
International scientific-online conference
26
В работах [5],[7],[8],[9] изучена дифференциальные свойства
потенциалов Рисса и Бесова. В этой работе мы изучаем
p
C
свойства
Лузина логарифмических потенциалов.
Теорема 3.
Для любого числа
0
и
: 0
p
p
n
существует
открытое множество
,
n
p
O
с ёмкостью
,
(
)
p
p
C O
такое, что
логарифмический потенциал
( )
l
U
x
принадлежит классу
,
)
\
(
p
n
p
C
O
.
(О ёмкости
p
С
можно смотрет из книги [2])
Литература:
1.Cartan H. Theori du Potential newtonien: energie, capacite, suites de
potentials. Bull. Soc. Math. France. 1945. V. 73. P. 74-106.
2.Landkof N.S. Foundation of modern potential theory (in Russian).
Мoskov,1966.
3.Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функции и
функционального анализа. 7-е издание.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
4.Kishi M. Capacities of borelian sets and the continuity of potentials. Nagoya
Mathematical Journal. 1957. V. 12. P. 195-219.
5.Stocke B.M. A Lusin type approximation of Bessel potentials and besov
functions by smooth functions. Mathematica Scandinavica. 1995. V. 77. № 1. pp.
60-70.
6.Imomkulov S.A., Gadaev S.A. C^k-Properties of Subharmonic Functions.
Lobachevskii J. Math. 2025, Vol. 46, № 2, pp.672-682. https:// doi.org/
10.1134/S19950802256001675
7.Imomkulov S.A., Dauzhanov A.Sh. Differential properties of Riesz
potentials // Boundary value problems for differential equations. Zb.nauk.
Ave. Chernivtsi (Ukraine): Prut, 2005. – V, 12. – P. 120–128.
8.Verdera J. Capacitary differentiability of potentials of finite Radon measures,
Ark. Mat., 57 (2019), 437–450.
Cuf ́ı J. and Verdera J. Differentiability properties of Riesz potentials of finite
measures and non-doubling Calder ́on–Zygmund theory, Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa (5) 18 (2018), 1081–1123.
