115
КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Бекназаров Медет Кутлымуратович
Магистрант кафедры «Прикладная математика и информатика»
Каракалпакский государственный университет имени Бердаха
medet8282b@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.8388408
Аннотация.
В статье рассмотрены вопросы построения компактных разностных
схем для уравнения теплопроводности. На протяжении всей статьи даются
обоснованные мнения и комментарии.
Ключевые слова:
Уравнения в частных производных, математические уравнения.
COMPACT DIFFERENCE SCHEMES FOR THE HEAT EQUATION
Abstract.
The article discusses the issues of constructing compact difference schemes for
the heat equation. Informed opinions and comments are provided throughout the article.
Key words:
Partial differential equations, mathematical equations.
Уравнения в частных производных (УЧП) – это математические уравнения, которые
играют важную роль в моделировании физических явлений, происходящих в природе. Из-
за сложного характера многих практических задач большинство решений УЧП являются
численными. Параболическое уравнение используется для изучения задач диффузии и
теплопроводности. Основная характеристика параболического уравнения заключается в
том, что оно моделирует переходное состояние или эволюционный диффузионный процесс
и требует указания соответствующих граничных условий на всех границах и начальных
условий в начальной точке эволюционного процесса. Численная схема решения
параболических уравнений из-за более широкого применения во многих естественных и
технических науках часто привлекает внимание многих исследователей [1, 2]. Численный
метод решения параболических задач может подпадать под следующие категории: метод
конечных разностей, метод конечных элементов и метод конечных объемов [3]. Благодаря
простоте реализации и вычислительной эффективности методы конечных разностей
популярны при решении параболического уравнения.
Настоящая работа посвящена построению и исследованию компактных разностных
для однородного уравнения теплопроводности. Компактными принято называть
116
разностные схемы, которые имеют повышенный порядок аппроксимации, но пишутся на
шаблоне, не существенно отличающемся от традиционного для данного уравнения.
В области
( , ) :0
,0
T
Q
x t
x
l
t
T
рассмотрим начально-краевую задачу
2
2
, 0
, 0
u
u
x
l
t
T
t
x
,
(1)
0
,0
, 0
u x
u
x
x
l
,
(2)
0,
0,
,
0, 0
u
t
u l t
t
T
.
(3)
На равномерной сетке узлов
h
, где
,0
,
/
h
i
x
ih
i
N h
l N
,
0
0
,0
,
/
n
t
n
n
N
T N
дифференциальную задачу (1)–(3) заменим компактной разностной схемой с весами
ˆ
1
t
y
y
y
,
(4)
0
0
1
2
ˆ
ˆ
,0
,
,
,
h
N
y x
u
x
x
y
t
y
t
.
(5)
Доказано, что при
2
1
,
2 5
2
12
h
компактная разностная схема (4), (5) имеет
порядок аппроксимации
6
3
O h
.
Замечание 1.
Аналогично (4), (5) можно построить схему порядка
6
3
O h
для
неоднородного уравнения теплопроводности.
REFERENCES
1.
Самарский, А.А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного
уравнения теплопроводности. Журн. вычисл. математики и мат. физики. Т. 3, № 5,
812–840.
2.
Саульев, В.К. О методах повышенной точности и двумерных приближениях к
решению параболических уравнений. Докл. АН СССР, 1958, Т. 118, № 6, 1088–1090.
3.
Andrea, F. D. and Vautard, R. (2001): Extra tropical low-frequency variability as a low-
dimensional problem I: a simplified model. Q.J.R. Meteorol. Soc., 127(54), 1357-1374.
