ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN
SCIENCE
АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
17
TO’PLAMNING JORDAN O’LCHOVI VA UNGA OID MISOLLAR
Juraboyeva Shoxida Nazmiddinovna
TMC instituti “Amaliy matematika va informatika” kafedrasi o’qituvchisi.
https://doi.org/10.5281/zenodo.11428900
Annotatsiya. Mazkur maqola matematik to’plamlar va ularga oid o’lchov nazariyasi,
xususan, Jordan o’lchovi haqida so’z yuritadi. Jordan o’lchovi, Lebeg o’lchoviga nisbatan
oddiyroq bo’lib, ko’plab matematik va amaliy sohalarda qo’llaniladi. Maqolada Jordan o’lchovi
asoslari, uning matematik xususiyatlari va qo’llanilish sohalari keng yoritilgan. Shuningdek,
Jordan o’lchovi bilan bog’liq misollar tahlil qilinadi va o’quvchilarga mukammal tushuncha
berishga yordam beradi. Ushbu maqola matematik o’lchov nazariyasiga qiziqqan talaba va
matematiklarga mo’ljallangan bo’lib, ularni Jordan o’lchovi haqida chuqurroq bilimga ega
qilishni maqsad qilgan.
Kalit so’zlar: To'plam, Jordan o'lchovi, O'lchov nazariyasi, Matematik xususiyatlar, Lebeg
o'lchovi.
JORDAN SIZE OF THE COLLECTION AND EXAMPLES OF IT
Abstract. This article is about mathematical sets and related measure theory, in particular
Jordan's measure. The Jordan measure is simpler than the Lebesgue measure and is used in many
mathematical and practical fields. The article covers the basics of the Jordan scale, its
mathematical properties and fields of application. Also, examples related to Jordan's scale are
analyzed and help to give a perfect understanding to the students. This article is intended for
students and mathematicians who are interested in the theory of mathematical measurement, and
aims to provide them with a deeper knowledge of Jordan's measurement.
Key words: Set, Jordan measure, Measure theory, Mathematical properties, Lebesgue
measure.
ИОРДАНИЯ РАЗМЕР КОЛЛЕКЦИИ И ПРИМЕРЫ ЕЕ
Аннотация. Эта статья посвящена математическим множествам и связанной с
ними теории меры, в частности мере Жордана. Мера Жордана проще меры Лебега и
используется во многих математических и практических областях. В статье
рассмотрены основы шкалы Жордана, ее математические свойства и области
применения. Также анализируются примеры, относящиеся к шкале Джордана, которые
помогают студентам лучше понять ее. Эта статья предназначена для студентов и
математиков, интересующихся теорией математического измерения, и призвана дать им
более глубокие знания об измерении Джордана.
Ключевые слова: множество, жорданова мера, теория меры, математические
свойства, мера Лебега.
Matematik o'lchovlar Biz aksariyat adabiyotlarda, darsliklarda Lebeg manosidagi o’lchovli
to’plamlar va ularni xossalari haqida yetarlicha ma’lumotlarga egamiz [1-2]. Ammo boshqa
o’lchovlar va ularning xossalari haqida ma’lumotlar juda kam [2-4]. Bu maqolada Jordan o’lchovi
hamda to’plamning Jordan manosidagi o’lchovini hisoblash haqida bir nechta misollar keltirilgan.
E
R
to’plam Jordan manosida o’lchovli to’plam bo’lishi uchun
E
to’plamni o’z ichiga
oluvchi biror
1
;
F
a b
=
kesma olinadi (
;
a b
kesmaning Jordan o’lchovi
b
a
−
ga teng deb
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN
SCIENCE
АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
18
qabul qilamiz). Keyin esa,
1
1
,
L l
sonlar aniqlanadi. Keyingi qadamda
1
;
F
a b
=
teng ikkita
kesmaga ajratiladi va
2
2
,
L
l
sonlar aniqlanadi. Bu jarayon huddi shunday davom ettiriladi.
n
-
qadamda
1
;
F
a b
=
to’plam teng
1
2
n
−
ta kesmaga bo’linib
,
n
n
L
l
sonlar aniqlanadi. Bu yerda
n
L
n
-qadamda
E
to’plamning kamida elementi qatnashgan kesmachalar sonini kesmachaning
uzunligiga ko’paytirishdan hosil bo’lgan songa teng.
n
l
esa,
n
-qadamda barcha elementlari
E
to’plamning elementlaridan tashkil topgan kesmachalar sonini kesmachaning uzunligiga
ko’paytirishdan hosil bo’lgan songa teng. Natijada
n
L
va
n
l
sonli ketma-ketliklar hosil
bo’ladi. Agar bu ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib ularning limitlari teng bo’lsa, u holda
E
to’plam Jordan manosida o’lchovli to’plam deyiladi, aks holda
E
to’plam Jordan manosida
o’lchovli to’plam emas deyiladi.
Biz quyida bir nechta misollar yordamida to’plamlarning Jordan manosida o’lchovli yoki
o’lchovli emasligini ko’rsatamiz.
1-misol.
(
)
;
E
a b
=
intervalning Jordan o’lchovini hisoblang.
Yechish.
(
)
;
a b
to’plamni o’z ichiga oluvchi
1
;
F
a b
=
kesmani olamiz.
1
;
F
a b
=
kesmaning Jordan o’lchovi
b
a
−
ga teng.
1
F
to’plamning elementlari ichida kamida bitta
E
to’plamning elementi tegishli bo’lganligi uchun
1
L
b
a
= −
ga,
1
F
to’plamning barcha
elementlari
E
to’plamning elementlaridan iborat bo’lmaganligi uchun
1
0
l
=
ga teng. Ikkinchi
qadanda o’lchovi
2
b
a
−
ga teng bo’lgan ikkita
1
2
;
2
a
b
F
a
+
=
va
2
2
;
2
a
b
F
b
+
=
to’plamlarni qaraymiz.
1
2
2
2
,
F
F
to’plamlarning elementlari ichida kamida bitta
E
to’plamning
elementi bo’lganligi uchun
2
2
2
b
a
L
b
a
−
=
= −
ga,
1
2
2
2
,
F
F
to’plamlarning barcha
elementlari
E
to’plamning elementlaridan iborat bo’lmaganligi uchun
1
0
l
=
ga teng. Keyingi
qadamlarda,
3
3
4
,
2
4
4
2
b
a
b
a
b
a
L
b
a l
−
−
−
=
= −
=
=
4
4
3(
)
8
,
6
8
8
4
b
a
b
a
b
a
L
b
a l
−
−
−
=
= −
=
=
. . . . . .
1
2
,
(2
2)
,
3
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
L
b
a l
b
a
n
−
−
−
−
=
= −
=
−
= − −
. . . . . .
ekanligini topamiz.
Jordan o’lchovi tarifiga ko’ra,
n
cheksizga intilganda limitga o’tib
(
)
;
a b
intervalning
Jordan o’lchovi
b
a
−
ga teng ekanligi kelib chiqdi.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN
SCIENCE
АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
19
Bu misoldan shuni xulosa qilishimiz mumkinki,
;
a b
kesma,
) (
;
,
;
a b
a b
yarim
intervallarning Jordan o’lchovi ham
b
a
−
ga teng bo’ladi.
2-misol.
Ushbu
(
2; 1
2; 4
6
E
= −
to’plamning Jordan o’lchovini hisoblang.
Yechish.
E
to’plamni o’z ichiga oluvchi
1
2; 6
F
= −
to’lamni qaraymiz.
1
2; 6
F
= −
to’plamning Jordan o’lchovi 8 ga teng.
1
F
to’plamning elementlari ichida kamida
bitta
E
to’plamning elementi tegishli bo’lganligi uchun
1
8
L
=
ga,
1
F
to’plamning barcha
elementlari
E
to’plamning elementlaridan iborat bo’lmaganligi uchun
1
0
l
=
ga teng.
Endi o’lchovi 4 ga teng bo’lgan ikkita
1
2
2; 2
F
= −
va
2
2
2; 6
F
=
to’plamlarni olamiz.
1
2
2
2
,
F
E
F
E
ekanligidan
2
2 4
8
L
= =
ga teng bo’ladi.
1
2
2
2
,
F
E F
E
ekanligidan
2
0 4
0
l
= =
ga teng ekanligini topamiz.
Keyingi
qadamda
o’lchovi
2
ga
teng
bo’lgan
to’rtta
1
2
3
4
3
3
3
3
2; 0 ,
0; 2 ,
2; 4 ,
4; 6
F
F
F
F
= −
=
=
=
to’plamlarni olamiz.
E
to’plam
barcha to’rtta to’plamning har biri bilan kesishmasi bo’sh bo’lmaganligi uchun
3
4 2
8
L
= =
ga
teng. To’rtta to’plamdan
3
3
2; 4
F
=
to‘plam
E
to’plamning qism to’plami bo’lganligi uchun
3
1 2
2
l
= =
ga teng bo’ladi.
O’lchovi
1
ga
teng
bo’lgan
1
2
3
4
4
4
2; 1 ,
1; 0 ,
0; 1 ,
F
F
F
= − −
= −
=
4
5
6
7
8
4
4
4
4
4
1; 2 ,
2; 3 ,
3; 4 ,
4; 5 ,
5; 6
F
F
F
F
F
=
=
=
=
=
to’plamlar uchun
yuqoridagi
mulohazalar yuritib
4
8 1 8
L
= =
va
4
4 1
4
l
= =
bo’lishini topamiz.
Keyingi qadamda o’lchovi 0,5 ga teng bo’lgan 16 ta to’plamni
E
to’plam bilan tekshirib
chiqamiz. Natijada
5
14 0,5
7
L
=
=
va
5
9 0,5
4,5
l
=
=
bo’ladi. Navbatdagi qadamda
o‘lchovi 0,25 ga teng 32 ta to‘plamni tekshirib,
6
24 0, 25
6
L
=
=
va
6
19 0, 25
4,75
l
=
=
ekanligini hisoblaymiz.
n
-qadamda uzunligi
4
2
n
−
ga teng bo’lgan
1
2
n
−
ta to’plamni
E
to’plam bilan tekshirib
chiqamiz.
Buning
natijada,
5
4
1
(2
2
4) 2
,
6
n
n
n
n
L
L
n
−
−
−
=
−
va
5
4
1
(2
2
1) 2
,
6
n
n
n
n
l
l
n
−
−
−
=
+
ekanligi kelib chiqadi. Ushbu rekurent formula
6
4
1
1
2
,
2
,
6
n
n
n
n
n
n
L
L
l
l
n
−
−
−
−
=
−
=
+
va
5
5
7,
4,5
L
l
=
=
ekanligidan
6
5
0
4
3
2
5
5
2
2
... 2 ,
2
2
... 2
n
n
n
n
n
n
L
L
l
l
−
−
−
−
−
=
−
−
− −
= +
+
+ +
bo’lishini topamiz. Bularni soddalashtirib,
6
4
5
2
,
5
2
n
n
n
n
L
l
−
−
= +
= −
ketma-ketliklarni umumiy hadini aniqlaymiz.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN
SCIENCE
АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
20
Natijada,
6
5
2
,
6
n
n
L
n
−
= +
kamayuvchi,
4
5
2
,
6
n
n
l
n
−
= −
o’suvchi va
,
n
n
L
l
n
N
shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketliklarni hosil qilamiz. Bu ketma-ketliklar
yaqinlashuvchi.
n
cheksizga intilganda ketma-ketliklarni limitini hisoblab,
6
(5
2
)
5
lim
lim
n
n
n
n
L
−
→
→
=
+
=
4
(5
2
)
5
lim
lim
n
n
n
n
l
−
→
→
=
−
=
ekanligini topamiz.
Jordan o’lchovi tarifiga ko’ra,
(
2; 1
2; 4
6
E
= −
to’plamning o’lchovi 5 ga
teng ekan.
Endi Jordan manosida o’lchovli bo’lmagan to’plamga misol keltiramiz.
3-misol.
Ushbu
0; 1
E
Q
=
(
0; 1
kesmadagi barcha ratsional sonlar) to’plamning
Jordan o’lchovini hisoblang.
Yechish.
Birinchi
E
to’plamni o’z ichiga oluvchi
1
0; 1
F
=
to’lamni qaraymiz.
1
0; 1
F
=
to’plamning elementlari ichida
E
to’plamning elementlari bo’lganligi uchun
1
1
L
=
ga,
1
F
to’plamning barcha elementlari
E
to’plamning elementlaridan iborat bo’lmaganligi uchun
1
0
l
=
ga teng. Ikkinchi qadamda
1
2
0; 0,5
F
=
va
2
2
0,5; 1
F
=
to’plamlarning elementlari
ichida
E
to’plamning elementlari bo’lganligi uchun
2
2 0,5 1
L
=
=
ga,
1
2
F
va
2
2
F
to’plamning barcha elementlari
E
to’plamning elementlaridan iborat bo’lmaganligi uchun
2
0
l
=
ga teng bo’ladi. Ratsional sonlar zichlik xossasiga ko’ra, keyingi qadamlarda ham
1
n
L
=
ga va
0
n
l
=
ga teng ekanligini osongina ko’rsatish qiyin emas.
1
lim
n
n
L
→
=
va
0
lim
n
n
l
→
=
ekanligidan Jordan o’lchovi tarifiga ko’ra
0; 1
E
Q
=
to’plamning Jordan o’lchovi mavjud emasligi kelib chiqadi.
Bizga ma’lumki,
0; 1
E
Q
=
to’plamning Lebeg o’lchovi 0 ga teng. Ushbu
0; 1
E
Q
=
to’plam Lebeg manosida o’lchovli va Jordan monasida o’lchovli bo’lmagan
to’plamga misol bo’lar ekan.
REFERENCES
1.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализу. Москва: Наука. 1989.
2.
Sarimsoqov T.A. Haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi. Toshkent: Fan. 1994.
3.
Sarimsoqov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent: O‘qituvchi. 1986.
4.
Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev. Funksiyalar nazariyasi. Toshkent.
2004.
5.
J.I. Abdullayev, R.N. G‘anixo‘jayev, I.A. Ikromov, Funksional analizdan masalalar
to‘plami. I qism Lebeg integrali. Toshkent: Turon-Iqbol. 2013
