2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
314
NUQTAVIY ISSIQLIK MANBALARI BILAN BOGʻLIQ ISSIQLIK ALMASHINUVI
MASALALARNI MATEMATIK MODELLASHTIRISH VA YECHISH USULINI
ISHLAB CHIQISH
Shaimov K.M.
“Axborot texnologiyalari” kafedrasi mudiri, t.f.f.d.(PhD)
Xolov Sh.B.
Samarqand tuman politexnikumi, o'quv Ishlari bo'yicha direktor o'rinbosari.
https://doi.org/10.5281/zenodo.15089436
Annotatsiya.
Issiqlik manbalarining quvvati vaqtga bogʻliq boʻlgan stasionar
jarayonlarda issiqlik almashinuvi masalalari murakkablashadi. Shuning uchun harakatlanuvchi
manba bilan bogʻliq masalalar ilgari ko‘p koʻrib chiqilmagan. Ushbu maqolada issiqlik
almashinuvi hududida harakatlanadigan nuqtaviy manba holini koʻrib chiqamiz.
Kalit so‘zlar:
Statsionar jarayonlar,
harakatlanuvchi manba, issiqlik almashinuvi, issiqlik
sig‘imi.
Nuqtaviy manba yoki aniq uzluksiz qismlar (kesmalar)dagi manbalar bilan bogʻliq
masalalarni analitik yechish yetarlicha mashaqqatli ishdir.
Ish [1]da elementar uchastka boʻylab real gazning quvur orqali tashishning stasionar
masalalariga yoʻl-yoʻlakay gaz olinish holida ayrim yechimlar keltirilgan. Bu holda massa
saqlanish tenglamasining oʻng tomonida bu elementlar Dirakning delta funksiyasi va
Hyevisaydning zinapoya funksiyasi yordamida ifodalangan. Yuqorida aytib oʻtilgan ishda bunday
masalalarni hal qilish uchun Furyening sinus va kosinuslar almashtirishlari qoʻllaniladi. Ushbu
maqolada issiqlik almashinuvi hududida harakatlanadigan nuqtaviy manba holini koʻrib chiqamiz.
Issiqlikning nuqtaviy manbai boshqa issiqlik manbalari yoki oqimlari boʻlmaganda tekis berilgan
harorat taqsimoti bilan chegaralanmagan tekislikda issiqlikning doiraviy taqsimlanishiga olib
keladi. Bunda uzatiladigan issiqlikning intensivligi masofa boʻyicha kvadratik qonunga muvofiq
(
2
r
) kamayadi.
Agar hisoblash sohasi uch oʻlchamli boʻlsa va boshqa bir jinslimasliklar boʻlmasa, u holda
sferik sirtlardan iborat izotermalar kuzatiladi, issiqlik oqimining masofa boʻyicha tushishi uchinchi
tartib (
3
r
)ga ega.
Masalaning qoʻyilishi
.
( )
сq t
issiqlik chiqaruvchi manba (bu yerda
,
с
issiqlik
oʻtkazuvchi muhitning zichligi va issiqlik sigʻimi)
0
0
( ( ),
( ))
x t
y t
trayektoriya boʻylab bir jinsli
boshlangʻich haroratga ega boʻlgan
1 1
kvadrat maydon boʻylab harakatlanadi.
Agar
0
x
va
1
x
chegaralardagi harorat oʻzgarmas boʻlib qolsa va
0
y
va
1
y
chegarada issiqlikdan izolyatsiya qilingan holda issiqlik almashinuv jarayonini oʻrganish talab
etiladi. Manbaning dastlabki koordinatasi –
0
0
0
0
( ,
).
x
y
Haroratning boshlangʻich taqsimoti
0
( , , 0)
( , ),
T x y
T x y
x
boʻyicha chegaraviy shartlar:
(0, , )
(1, , )
0,
T
y t
T
y t
y
boʻyicha –
( ,0, )
( ,1, )
0.
T x
t
T x
t
y
y
Harakatlanuvchi manbani
hisobga olgan holda, ikki oʻlchovli jismning issiqlik holati quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi[2]:
2
2
2
0
0
2
2
( ),
( )
( ).
T
T
T
a
x t
y t
q t
t
x
y
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
315
Ushbu masalaning barcha elementlari diskret koordinatalarda amalga oshirildi (bundan
Dirak delta funksiyasi mustasno) va manbaning koordinatasi uzluksiz va parametrik shaklda
berildi.
Ikki turdagi trayektoriyalar uchun yechim algoritmini tuzamiz.
Birinchi holda
( )
q t
const
nuqta manbasining toʻgʻri chiziq boʻylab
U
oʻzgarmas tezlik
bilan ilgarilanma harakati koʻrib chiqiladi. Uning dastlabki joylashuvini
0
0
0
0
;
(
)
(0.5; 0)
x y
deb
olsak, uning harakat qonuni
0
0
( )
0.5,
( )
x t
y t
Ut
tenglamalar bilan tavsiflanadi.
Ikkinchi holda, manba trayektoriyasi aylanadan iborat.
Issiqlik manbasining toʻgʻri chiziqli harakati holi.
Ushbu masalaning qabul qilingan
shartlariga koʻra
0
( )
(
1) / 2
,
x
x
x t
h N
const
bundan tashqari,
(
1) / 2
Nx
butun son.
0
( )
y t
ni diskretlashtirish
0
j
eng yaqin diskret koordinata bilan almashtirish orqali amalga
oshiriladi, ya’ni
0
0
/
, агар 0
0.5,
/
1, агар 0.5
1.
y
y
y
y
Ut
Ut h
j
h
j
Ut
Ut h
j
h
Bu yerda {a} – a ning butun qismi. Ushbu funksiyani kompyuterda bajarish
a
ni
0
j
butun
songacha yaxlitlash orqali amalga oshiriladi.
Bu masalaga boshqa nuqtai nazardan qarash mumkin. Masalan, qoʻzgʻalmas issiqlik
manbai
U
tezlikka ega bir jinsli oqim maydonida joylashgan. U holda issiqlik uzatish
tenglamasida
U
doimiy koeffitsiyentga ega boʻlgan konvektiv had hosil boʻladi va bu had tufayli
masalaning (sonli) yechimi murakkablashadi.
U
tezlikning yoʻnalishi ordinata oʻqiga nisbatan
ma’lum bir burchakni tashkil etadi, tezlikning oʻzi esa vaqt funksiyasi boʻlgan variantlarni ham
koʻrib chiqish mumkin.
0
0,5
1
0
0,5
1
T(x,y,6)
x
y
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
100-105
105-110
110-115
115-120
120-125
125-130
130-135
135-140
140-145
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
316
1-rasm.
1000
q
issiqlik manbasini
2
0.05
/
U
m
s
tezlik bilan
0
0
0.5,
x
y
Ut
dagi harakatlantirish natijasida olingan
6
t
vaqtdagi izotermalar.
1,
1,
49,
x
y
x
y
l
l
N
N
2
2
0.02,
0.001
/ ,
a
m с
0.05
/
,
U
m sek
0
0
1,
0,
l
l
0
( , )
( , )
0,
l
y t
y t
( , )
( , ) 0
x t
x t
hol uchun hisoblash
natijalarini keltiramiz. Issiqlik chiqarish intensivligi
1000.0
q
ni tashkil etdi.
Natijalar har 100 vaqt qadamida saqlandi va hisob 1001-vaqt qadamigacha davom ettirildi.
Natijalarni Excel muhitida intervali 5 boʻlgan izotermalar koʻrinishida tasvirladik.
1-2-rasmlarda
6
t
, 12 va 18 vaqt momentlari uchun izotermalar keltirilgan. Ularda
0
y
dagi
/
0
T
y
shartning sezilarli roli bor, chunki chegaralarda izotermalar abssissa
oʻqiga deyarli perpendikulyar.
Natijalar
0
t
va
20
t
da manba atrofida juda zich boʻlib chiqdi, bunga sabab
0
y
va
1
y
dagi
/
0
T
y
shart hisoblanadi.
2-rasm.
12
t
vaqt
momenti
izotermlari
1,
1,
49,
x
y
x
y
l
l
N
N
2
2
0.02,
0.001
/
,
a
m
sek
0.05
/
,
U
m sek
0
0
1,
0,
l
l
1000.0
q
0
0,5
1
0
0,5
1
T(x,y,12)
x
y
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
100-105
105-110
110-115
115-120
120-125
125-130
130-135
135-140
140-145
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
317
3-rasm.
18
t
vaqt momenti izotermalari. Ma’lumotlar 2-rasmda
Yuqorida ta’kidlab oʻtilganidek, birinchi paragrafda, shuningdek ishlab chiqilgan dasturda
keltirilgan algoritmdagi tuzatishlar parametrik shaklda berilgan issiqlik manbai trayektoriyasini
koʻrsatishga tegishli. Quyida biz yetarlicha kichik vaqt qadami bilan ishonchli natijalar beradigan
variantni taqdim etamiz.
Ikkinchi holda, issiqlik manbasining trayektoriyasi
0.25
R
radiusli va markazi
(0.5;0.5)
nuqtada boʻlgan aylanadan iborat boʻladi:
0
0
( )
0.5 0.25cos
,
( )
0.5 0.25sin
.
x t
t
y t
t
Jarayon davriy xarakterga ega: ikkiga teng vaqt davomida manba toʻliq aylana hosil qiladi.
Nuqtaviy manbaning chiziqli aylanma tezligi
ga teng.
0
t
da u
3 / 4; 1 / 4 ,
1 / 2
t
da
(1 / 2; 3 / 4),
1
t
da -
(1 / 4; 1 / 4),
3 / 4
t
da
(1 / 2; 1 / 4)
nuqtada boʻladi
2
t
da
(3 / 4; 1 / 4)
boshlangʻich nuqtaga qaytadi va hokazo.
Dekart koordinatalarida manba trayektoriyasi
2
2
1
1
1
.
2
2
16
x
y
aylana
tenglamasi bilan tavsiflanadi. Kamdan kam hollarda manba trayektoriyasi
x
h
va
y
h
qadamli
toʻrning
( , )
i j
tuguni bilan ustma-ust tushadi. Qadamlarni maydalash bu yerda yordam bermaydi.
Dasturda biz hisob-kitoblarda manba nuqtasiga yaqin boʻlgan tugunni manba joylashuv
nuqtasi sifatida oldik. Agar bunday tugunlar bir nechta boʻlsa, u holda trayektoriya yoʻnalishiga
yaqin tugun tanlandi.
Shunday qilib, tenglama quyidagicha koʻrinishga ega:
2
2
2
2
2
1
1
1
1
( )
cos
,
sin
.
2
4
2
4
T
T
T
a
q t
t
t
t
x
y
Bunday holda, chekli-ayirmali tenglamaning oʻng qismida
0
0
0
( ,
)
i,
n
n
n
f
i
j
q
j
had hosil
boʻladi.
0
n
i
va
0
n
j
qiymatlarni,
masalan, quyidagi tarzda aniqlash mumkin:
0
0,5
1
0
0,5
1
T(x,y,18)
x
y
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
100-105
105-110
110-115
115-120
120-125
125-130
130-135
135-140
140-145
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
318
0
0
1
1
1
1
1
cos
/
,
sin
/
.
1
2
4
2
4
x
y
x
y
x
y
i
t
h
j
t
h
h
h
Manba joylashgan nuqtadan toʻr toʻgʻri toʻrtburchak uchlarigacha boʻlgan masofalar
kvadratlarini hisoblaymiz:
2
2
2
2
2
1
0
1
1
1
2
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
0
1
1
1
4
1
1
1
1
(
) (
) ,
(
(
1) )
(
) ,
(
(
1) )
(
(
1) ) ,
(
)
(
(
1) ) .
x
y
x
y
x
y
x
y
r
x
i h
y
j h
r
x
i
h
y
j h
r
x
i
h
y
j
h
r
x
i h
y
j
h
Agar hisoblangan masofalar kvadratlarining eng kichigi
2
1
r
boʻlsa, u holda manba
joylashuvi tugunlari uchun
0
1
0
1
,
i
i
j
j
diskret koordinatalarni qabul qilamiz; agar
2
2
r
boʻlsa
0
1
0
1
1,
;
i
i
j
j
- agar
2
3
r
boʻlsa
1
1
1
1
1,
1;
i
i
j
j
va agar
2
4
r
boʻlsa
0
1
0
1
,
1
i
i
j
j
deb qabul qilamiz.
Bu usul
0
0
0
0
( ),
( )
x
x t
y
y t
parametrik shaklda berilgan ixtiyoriy uzluksiz
trayektoriyali manbaga qoʻllanilishi mumkin. Manbalar sonini koʻpaytirish mumkin.
Trayektoriyalarning xususiyatiga qarab, sonli integrallash qadamlarini tanlash kerak boʻladi.
Batafsil
illyustrativ
rasmlar
49,
x
y
N
N
2
2
0.100
/
,
a
m
sek
0.002,
10000.0
q
da olindi. Hisoblashlar vaqt boʻyicha 2001-qadamgacha olib borildi.
Natijalar har 100 vaqt qadamda saqlandi. Izotermalarni vizualizatsiya qilish Yexcyel muhitida har
5 darajadan keyin amalga oshirildi.
3-rasmda turli vaqtlar uchun olingan izotermalar tasvirlangan. Jadvalda bu vaqtlar va
vaqtga bogʻliq ravishda manbaning joylashuvi koordinatalari koʻrsatilgan.
1-jadval
Izotermalar shaklda koʻrsatilgan 4-shaklda keltirilgan issiqlik manbasini hisoblash vaqti va
koordinatalari
Vaqt
Manba abssissasi
Manba ordinatasi
0.4
0.57725
0,73776
0.8
0.29775
0,64695
1.4
0.42275
0,26224
2.0
0.75000
0,50000
2.4
0.57725
0,73776
4.6
0.57725
0,26224
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
319
4-rasm. Issiqlik manbaining
0
0
( ) 0.5 0.25cos ,
( ) 0.5 0.25sin
x t
t y t
t
qonun boʻyicha
harakatida hosil boʻlgan izotermalar.
2
2
0.100
/
,
a
m
sek
0.002,
10000.0
q
Xulosa
Toʻgʻri chiziqlar va oddiy quvish usullaridan birgalikda foydalanib, parabolik tenglama
asosida ikki oʻlchovli masalalarning ma’lum bir sinfidan kelib chiqadigan chekli ayirmali
tenglamalar sistemasini yechishning aniq analitik usuli ishlab chiqildi[3]. Bu sinfga Dekart
koordinatalarining birida birinchi jinsli chegaraviy shartlarning va boshqa koordinatada uch jinsli
shartlarning ixtiyoriy kombinatsiyasini berish hollariga taalluqli.
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
320
Qoʻllanilgan approksimatsiya formulalari aniqlikning fazoviy koordinatalar boʻyicha
ikkinchi tartibini va vaqt boʻyicha birinchi tartibini ta’minlaydi. Vaqt boʻyicha aniqlik tartibini
vaqt boʻyicha markaziy sxema yordamida oshirish mumkin[4-5].
Usul chegaraviy shartlarda trigonometrik va uzilishga ega funksiyalar ishtirok etgan
oʻrnatish masalalarida sinovdan oʻtkazildi va oʻrnatishning
5
10
gacha aniqligiga erishildi.
Harakatlanuvchi elementlari boʻlgan yuqori haroratli va nuqtaviy issiqlik manbalarining
issiqlik uzatishini jadallash boʻyicha bir qator masalalar yechildi.
Manbaning toʻgʻri chiziqli va aylanma harakati uchun sinovdan oʻtgan, ixtiyoriy
trayektoriya boʻylab harakatlanuvchi nuqtaviy manbani sonli amalga oshirish uchun usul ishlab
chiqildi[6].
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Mohamed M. Mousa. Efficient numerical scheme based on the method of lines for the
shallow water equations // Journal of Ocean Engineering and Science, 2018. № 3, – P. 303-
309.
2.
Nana A. Mbroh, Justin B. Munyakazi. A fitted operator finite difference method of lines
for singularly perturbed parabolic convection–diffusion problems // Mathematics and
Computers in Simulation, 2019. No 165 (39). – P. 156-171.
3.
Nana Adjoah Mbroh, Suares Clovis Oukouomi Noutchie, Rodrigue Yves M’pika
Massoukou. A robust method of lines solution for singularly perturbed delay parabolic
problem // Alexandria Engineering Journal, 2020. No. 59. – P. 2543-2554.
doi.org/10.1016/j.aej.2020.03.042
4.
Niknama A.R., Ghorbanib M., Solaimanic M. Analysis of filamentation instability in a
current-carrying plasma using meshless method of lines coupled with radial basis functions
// Physics Letters A, 2020, No. 348.
doi.org/10.1016/j.physleta.2020.126839
5.
Eshmurodov M.Kh., Khujaev I. and Khujaev J. Method of lines for solving linear
equations of mathematical physics with the third and first types boundary conditions.
Journal of Physics: Conference Series 2131 (2021) 032041 IOP Publishing
doi:10.1088/1742-6596/2131/3/032041
6.
Eshmurodov M.X., Shaimov K.M. Ixtiyoriy chiziqli chegaraviy shartlar uchun parabolik
tenglamani yechishda toʻgʻri chiziqlar usulini qoʻllash algoritmi // Ta’lim sohasidagi
akademik tadqiqotlar koʻp tarmoqli ilmiy jurnal (Academic Research in Educational
Sciences. Multidisciplinary Scientific Journal. Volume 3 // Issue 11 // 2022). 2022 yil 30
noyabr. 124-133 b.
